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2015-2016学年高中数学 1.3.1函数的单调性与导数练习 新人教A版选修2-2



2015-2016 学年高中数学 1.3.1 函数的单调性与导数练习 新人教 A 版选修 2-2
一、选择题 1.函数 y=x -2x +5 的单调递减区间为( A.(-∞,-1]和[0,1] B.[-1,0]和[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]和[1,+∞) [答案] A [解析] y′=4x -4x, 令 y′<0,即 4x -4x<0,

解得 x<-1 或 0<x<1,所以函数的单调减区间为(-∞,-1)和(0,1),故应选 A. 2.函数 f(x)=ax -x 在 R 上为减函数,则( A.a≤0 C.a<2 [答案] A [解析] f ′(x)=3ax -1≤0 恒成立,∴a≤0. 3.(2015·吉林市实验中学高二期中)设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函 数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集 是( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) [答案] D [分析] 由 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 可确定 F(x)=f(x)g(x)在 x<0 时的单 调性,再由 f(x)与 g(x)的奇偶性可得出 x>0 时 F(x)的单调性.再结合 g(-3)=0,可得结 论. [解析] 设 F(x)=f(x)g(x),当 x<0 时, ∵F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0. ∴F(x)当 x<0 时为增函数.
1
2 3 3 3 4 2

)

)

B.a<1 1 D.a≤ 3

∵F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x). 故 F(x)为奇函数,∴F(x)在(0,+∞)上亦为增函数. 已知 g(-3)=0,必有 F(-3)=F(3)=0. 构造如图的 F(x)的图象,可知 F(x)<0 的解集为 x∈(-∞,-3)∪(0,3).

故选 D. 4.函数 f(x)=2 +x -2 在区间(0,1)内的零点个数是( A.0 C.2 [答案] B [解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性, 考查分析问题、 解决问题 的能力. ∵f(x)=2 +x -2,0<x<1, ∴f ′(x)=2 ln2+3x >0 在(0,1)上恒成立, ∴f(x)在(0,1) 上单调递增. 又 f(0)=2 +0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,f(0)f(1)<0,则 f(x)在(0,1)内至 少有一个零点, 又函数 y=f(x)在(0,1)上单调递增,则函数 f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点. 5.设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f ′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象 最有可能的是( )
0

x

3

)

B.1 D.3

x

3

x

2

[答案] C [分析] 由导函数 f ′(x)的图象位于 x 轴上方(下方), 确定 f(x)的单调性, 对比 f(x)
2

的图象,用排除法求解. [解析] 由 f ′(x)的图象知,x∈(-∞,0)时,f ′(x)>0,f(x)为增函数,x∈(0,2) 时,f ′(x)<0,f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)为增函数. 只有 C 符合题意,故选 C. 6 .设函数 F(x) =

f?x?
e
x

是定义在 R 上的函数,其中 f(x) 的导函数 f ′(x) 满足 )

f ′(x)<f(x)对于 x∈R 恒成立,则(
A.f(2)>e f(0),f(2016)>e B.f(2)<e f(0),f(2016)>e C.f(2)<e f(0),f(2016)<e D.f(2)>e f(0),f(2016)<e [答案] C [解析] ∵函数 F(x)=
2 2 2 2 2016

f(0) f(0) f(0) f(0)

2016

2016

2016

f?x?
e
2

x

的导数 = <0,

F′(x)=

f ′?x?ex-f?x?ex f ′?x?-f?x?
?e ?
x

e

x

∴函数 F(x)=

f?x?
e
x

是定义在 R 上的减函数, < ,故有 f(2)<e f(0).
2

∴F(2)<F(0),即

f?2? f?0?
e
2

e

0

同理可得 f(2016)<e 二、填空题

2016

f(0).故选 C.

7.函数 y=ln(x -x-2)的单调递减区间为__________________. [答案] (-∞,-1) [解析] 函数 y=ln(x -x-2)的定义域为 (2,+∞)∪(-∞,-1), 1 2 令 f(x)=x -x-2,f ′(x)=2x-1<0,得 x< , 2 ∴函数 y=ln(x -x-2)的单调减区间为(-∞,-1). 8. (2014~2015·福建省闽侯二中、 永泰二中、 连江侨中、 长乐二中联考)已知函数 f(x) =x -ax -3x 在区间[1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是________________. [答案] (-∞,0] [解析] ∵f(x)=x -ax -3x,∴f ′(x)=3x -2ax-3, 又因为 f(x)=x -ax -3x 在区间[1,+∞)上是增函数,
3 2 3 2 2 3 2 2 2

2

f ′(x)=3x2-2ax-3≥0 在区间[1,+∞)上恒成立,

3

a ? ? ≤1, ∴?3 ? ?f ′?1?=3×12-2a-3≥0,
故答案为(-∞,0].

解得 a≤0,

1 2 9. (2014~2015·郑州网校期中联考)若 f(x)=- x +bln(x+2)在(-1, +∞)上是减 2 函数,则 b 的取值范围是________________. [答案] b≤-1 [解析] f(x)在(-1,+∞)上为减函数,∴f ′(x)≤0 在(-1,+∞)上恒成立,∵

f ′(x)=-x+

,∴-x+ ≤0,∵b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立,∴b≤-1. x+2 x+2

b

b

三、解答题 10.(2014~2015·甘肃省金昌市二中期中)已知函数 f(x)=x +ax +bx(a、b∈R)的图 象过点 P(1,2),且在点 P 处的切线斜率为 8. (1)求 a、b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. [解析] (1)∵函数 f(x)的图象过点 P(1,2), ∴f(1)=2. ∴a+b=1.① 又函数图象在点 P 处的切线斜率为 8, ∴f ′(1)=8, 又 f ′(x)=3x +2ax+b, ∴2a+b=5.② 解由①②组成的方程组,可得 a=4,b=-3. (2)由(1)得 f ′(x)=3x +8x-3, 1 令 f ′(x)>0,可得 x<-3 或 x> ; 3 1 令 f ′(x)<0,可得-3<x< . 3 1 1 ∴函数 f(x)的单调增区间为(-∞,-3),( ,+∞),单调减区间为(-3, ). 3 3
2 2 3 2

一、选择题 11. (2015·新课标Ⅱ理, 12)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数, f(-1)=0, 当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )

4

A.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(-1,0) [答案] A [解析] 记函数 g(x)=

B.(-1,0)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

f?x? xf′?x?-f?x? , 则 g′(x)= , 因为当 x>0 时, xf′(x) x x2

-f(x)<0,故当 x>0 时,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数 f(x)(x ∈R)是奇函数,故函数 g(x)是偶函数,所以 g(x)在(-∞,0)上单调递增,且 g(-1)=g(1) =0.当 0<x<1 时,g(x)>0,则 f(x)>0;当 x<-1 时,g(x)<0,则 f(x)>0,综上所述,使得

f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),故选 A.
12.(2014~2015·北京西城区期末)已知函数 f(x)及其导数 f ′(x),若存在 x0,使得

f(x0)=f ′(x0),则称 x0 是 f(x)的一个“巧值点”,下列函数中,有“巧值点”的函数的
个数是( )

1 2 -x ①f(x)=x ,②f(x)=e ,③f(x)=lnx,④f(x)=tanx,⑤f(x)=x+ A.2 C.4 [答案] B B.3 D.5

x

[解析] ①中的函数 f(x)=x ,f ′(x)=2x,要使 f(x)=f ′(x),则 x =2x,解得 x =0 或 2,可见函数有巧值点;对于②中的函数,要使 f(x)=f ′(x),则 e =-e ,由 对任意的 x,有 e >0,可知方程无解,原函数没有巧值点;对于③中的函数,要使 f(x)=
-x -x -x

2

2

f ′(x),则 lnx= ,由函数 f(x)=lnx 与 y= 的图象有交点知方程有解,所以原函数有巧 x x
值点;对于④中的函数,要使 f(x)=f ′(x),则 tanx= 1 2 ,即 sinxcosx=1,显然无解, cos x

1

1

1 1 3 所以原函数没有巧值点;对于⑤中的函数,要使 f(x)=f ′(x),则 x+ =1- 2,即 x -

x

x

x2+x+1=0,设函数 g(x)=x3-x2+x+1,g′(x)=3x2-2x+1>0 且 g(-1)<0,g(0)>0,
显然函数 g(x)在(-1,0)上有零点,原函数有巧值点,故①③⑤正确,选 C. 13.(2015~2016·临沂质检)函数 f(x)的定义域为 R,f(-2)=2017,对任意 x∈R, 都有 f ′(x)<2x 成立,则不等式 f(x)>x +2013 的解集为( A.(-2,2) C.(-∞,-2) [答案] C [解析] 令 F(x)=f(x)-x -2013,则 F′(x)=f ′(x)-2x<0,∴F(x)在 R 上为减函 数,
2 2

)

B.(-2,+∞) D.(-∞,+∞)

5

又 F(-2)=f(-2)-4-2013=2017-2017=0, ∴当 x<-2 时,F(x)>F(-2)=0, ∴不等式 f(x)>x +2013 的解集为(-∞,-2). 14.已知函数 y=xf ′(x)的图象如图(1)所示(其中 f ′(x)是函数 f(x)的导函数), 下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
2

[答案] C [解析] 当 0<x<1 时 xf ′(x)<0, ∴f ′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数. 当 x>1 时 xf ′(x)>0,∴f ′(x)>0,故 y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,因此否定 A、 B、D 故选 C. 二、填空题 15.已知函数 f(x)=x +ax +(2a-3)x-1. (1)若 f(x)的单调减区间为(-1,1),则 a 的取值集合为________________. (2)若 f(x)在区间(-1,1)内单调递减,则 a 的取值集合为________________. [答案] (1){0} (2){a|a<0} [解析] f ′(x)=3x +2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3). (1)∵f(x)的单调减区间为(-1,1), ∴-1 和 1 是方程 f ′(x)=0 的两根, ∴ 3-2a =1,∴a=0,∴a 的取值集合为{0}. 3
2 3 2

(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,∴f ′(x)<0 在(-1,1)内恒成立,又二次函数 y 3-2a =f ′(x)开口向上,一根为-1,∴必有 >1,∴a<0, 3 ∴a 的取值集合为{a|a<0}. [点评] f(x)的单调减区间为(m,n),则必有 f ′(m)=0,f ′(n)=0 或 x=m,x=n

6

是函数 f(x)的不连续点,f(x)在区间(m,n)上单调递减,则(m,n)是 f(x)的单调减区间的 子集,f ′(x)≤0 在(m,n)上恒成立. 16.(2014~2015·衡阳六校联考)在区间[-a,a](a>0)内图象不间断的函数 f(x)满足

f(-x)-f(x)=0,函数 g(x)=ex·f(x),且 g(0)·g(a)<0,又当 0<x<a 时,有 f ′(x)+ f(x)>0,则函数 f(x)在区间[-a,a]内零点的个数是________________.
[答案] 2 [解析] ∵f(-x)-f(x)=0,∴f(x)为偶函数, ∵g(x)=e ·f(x),∴g′(x)=e [f ′(x)+f(x)]>0, ∴g(x)在[0,a]上为单调增函数, 又∵g(0)·g(a)<0, ∴函数 g(x)=e ·f(x)在[0,a]上只有一个零点, 又∵e ≠0, ∴f(x)在[0,a]上有且仅有一个零点, ∵f(x)是偶函数,且 f(0)≠0,∴f(x)在[-a,a]上有且仅有两个零点. 三、解答题 17.已知函数 f(x)=x +3ax +3x+1. (1)当 a=- 2时,讨论 f(x)的单调性; (2)若 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求 a 的取值范围. [解析] (1)当 a=- 2时,f(x)=x -3 2x +3x+1,
3 2 3 2

x

x

x

x

f ′(x)=3x2-6 2x+3.
令 f ′(x)=0,得 x1= 2-1,x2= 2+1. 当 x∈(-∞, 2-1)时,f ′(x)>0,f(x)在(-∞, 2-1)上是增函数; 当 x∈( 2-1, 2+1)时,f ′(x)<0,f(x)在( 2-1, 2+1)上是减函数; 当 x∈( 2+1,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)在( 2+1,+∞)上是增函数. 5 (2)由 f(2)≥0 得 a≥- . 4 5 当 a≥- ,x∈(2,+∞)时, 4

f ′(x)=3(x2+2ax+1)≥3(x2- x+1)=3(x- )(x-2)>0,
所以 f(x)在(2,+∞)上是增函数,于是当 x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2)≥0. 5 综上,a 的取值范围是[- ,+∞). 4 2a 18.(2014~2015·山师附中学分认定考试)已知函数 f(x)=alnx+ +x(a>0).若函
2

5 2

1 2

x

7

数 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x-2y=0 垂直. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. [解析] (1)f ′(x)= -
2

a 2a2 +1, x x2

∵f ′(1)=-2,∴2a -a-3=0, 3 ∵a>0,∴a= . 2 3 9 2x +3x-9 ?2x-3??x+3? (2)f ′(x)= - 2+1= = , 2 2 2x 2x 2x 2x 3 3 ∵当 x∈(0, )时,f ′(x)<0;当 x∈( ,+∞)时,f ′(x)>0, 2 2 3 3 ∴f(x)的单调递减区间为(0, ),单调递增区间为( ,+∞). 2 2
2

8



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