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河南省滑县2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试卷 (扫描



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2014——2015 学年第二学期高二年级期末测试试题 数 学 试 题(文科)参考答案
一、选择题 BACDA 二填空题:13. 20 14. 三、解答题 17.解 (Ⅰ)在△ABC 中,由正弦定理得: a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入(2a-c)cos B=bcos C, 整理得 2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B, 4分 即 2sin Acos B=sin(B+C)=sin A, 在△ABC 中,sin A>0, 2cos B=1, ∵∠B 是三角形的内角,∴B=60°. (Ⅱ)在△ABC 中,由余弦定理得
b 2 = a + c -2ac·cos B
2

ABBCB

CB 15.y=-x
1 1? 16. ? ? , ? ? 2 2? ?

3

6分

2

= (a ? b) -2ac-2ac·cos B,
2

8分 10 分

将 b= 7 ,a+c=4 代入整理,得 ac=3.

故S ?ABC ?

1 3 3 3 ac sin B ? sin 60? ? . 2 2 4

12 分
AD ,

MN 18.(Ⅰ) 证明: 取 PA 的中点 N, 连结 BN、 NM, 在△PAD 中,

且 MN ? AD ? 1 ;又 BC

1 2

AD ,且 BC ? AD ? 1 ,所以 MN ? BC,即四边 BN .又 CM ? 平面 PAB, BN ? 平面 PAB,
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1 2

CM 形 BCMN 为平行四边形,

故 CM 平面 PAB.

……5 分

(Ⅱ)在平面 ABCD 中,AB 与 CD 不平行,延长 AB、CD 交于一点, 设为 E,连结 PE,则 PE 为侧面 PAB 与侧面 PCD 所成二面角的棱,又 由题设可知 DA ? 侧面 PAB,于是过 A 作 AF ? PE 于 F,连结 DF,由 三垂线定理可知 ? AFD 为侧面 PAB 与侧面 PCD 所成二面角的平面 角. 在△EAD 中,由 BC
1 2

……8 分
AD , BC ? AD ,知 B 为 AE 为中点,∴AE=2,
2 5 . 故 tan ?AFD ? 2 ?

AF ? 在 Rt△PAE 中, PA=1, AE=2, ∴ PE ? 5 ,

2

5



5

即 所 求 侧 面 PAB 与 侧 面 PCD 所 成二 面 角 的 平 面 角 的 正 切 值 为

5.
P N A B C M

……12 分

P

F A D B C D

E

19.解(Ⅰ)从 8 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者 各 1 名,其一切 可能的结果组成的基本事件有: (A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B 1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1), (A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2). 由 18 个基本事件组成. 6分

(Ⅱ)用 N 表示“A1,B1 不全被选中”这一事件,
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则其对立事件 于

表示“A1,B1 全被选中”这一事件,由 由 2 个基本事

={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},事件

件组成,所以

N
N
11 分

由对立事件的概率公式得 N

2 1 ? . 8 答:所以 A1,B1 不全被选中的概率为 12 分 18 9 9 1 8 P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ? ? . 9 9 20.解: (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上, P( N ) ?
所以 2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1F2 ? 故椭圆的半焦距 c= 从而 b 2 = a 2 - c 2 =4,
2 2

2分

PF2 ? PF1 ? 2 5,

5,

4分

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1 9 4 (Ⅱ)设点 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2 y2). ,
已知圆的方程为 ( x ? 2) + ( y ? 1) =5,所以圆心 M 的
2
2

6分

坐标为(-2,1) ,从而可设直线 l 的方程为: y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得: (4+9 k 2 ) x +(36 k 2 +18k)x+36 k 2 +36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称,
x1 ? x2 18k 2 ? 9k 8 ?? ? ?2, 解得k ? , 2 所以 2 4 ? 9k 9 10 分
2

8分

所以直线 l 的方程为 y= 8 (x+2)+1,
9

即 8x-9y+25=0.

12 分
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21.解

(Ⅰ)∵f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-3a)(x-a),

由 f′(x)>0 得:a<x<3a, 由 f′(x)<0 得:x<a 或 x>3a, 则函数 f(x)的单调递增区间为(a,3a), 单调递减区间为(-∞,a)和(3a,+∞). 列表如下: x f ′ (x ) f ( x) (-∞,a) - 减 a 0 4 -3a3+b (a,3a) + 增 6分 3a 0 b (3a,+∞) - 减 3分

4 ∴函数 f(x)的极大值为 b,极小值为-3a3+b. (Ⅱ)∵f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-2a)2+a2, ∴f′(x)在[a+1,a+2]上单调递减, ∴f′(x)max=f′(a+1)=2a-1, f′(x)min=f′(a+2)=4a-4. ∵不等式|f′(x)|≤a 恒成立,
?|2a-1|≤a ? 4 ∴? ,解得:5≤a≤1, ? ?4a-4≥-a 4 4 又 0<a<1,∴5≤a<1,即 a 的取值范围是 ≤a<1. 5

9分

12 分

22.(Ⅰ)证明:连接 BE,则 BE ? EC,又因 D 是 BC 的中点

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? DE=BD ? OE=OB,OD=OD
? D,E,O,B 四点共圆
(Ⅱ)延长 DO 交圆于点 H

? △ODE ? △ODB

? ? OBD= ? OED= 900
5分

? DE 2 =DM ? DH=DM ? (OD+OH)=DM ? OD+DM ? OH
=DM ? AC+DM ? AB

? 2 DE

1 2

1 2

2

=DM ? AC+DM ? AB

10 分

1 ? x = t + ? t, 23.曲线? 1 ? y = t - ? t 可以化为 x2-y2=4,

(t 为参数) 4分

将直线的参数方程代入上式, 得 s2-6 3s+10=0. 设 A、B 对应的参数分别为 s1,s2, ∴s1+s2=6 3,s1s2=10. AB=|s1-s2|= (s1+s2)2-4s1s2=2 17. 24. 解 (Ⅰ)当 a=3 时,则 f(x)=3x-2, ∴|f(x)|<4 |3x-2|<4 ? ? -4<3x-2<4 -2<3x<6
2 ? x ? 2, 3

6分

8分 10 分

2 ? ∴不等式的解集为 ? ? x | ? ? x ? 2?. ? 3 ?
(Ⅱ)|f(x)|≤3 |ax-2|≤3 -3≤ax-2≤3

5分

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-1≤ax≤5 ∵x∈[0,1] ,∴当 x=0 时,不等式组恒成立; 当 x≠0 时,不等式组转化为

?a ? 5 ? x ? ?a ? ? 1 . ? x
10 分

又?

5 ?1 ? 5, ? ?1,? ?1 ? a ? 5且a ? 0. x x

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