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【新课标通用】2014届高考文数二轮复习方案专题课件第4讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质



核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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第4讲 函数、基本初等函数 Ⅰ的图像与性质

第4讲
核 心 知 识 聚 焦

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

——主干知识 —— —— 体验高考 —— 1.[2013· 山东卷改编] 函数

f(x)= ? 函数的概 1 ① 1-2x+ 的定义域 为________. 念及表示 x+3 [答案] (-3,0] 关键词:函数的三
[解析] -3<x≤0.
?1-2x≥0, ? 由题意得? 所以 ?x+3>0, ?

要素,如①②③.

2 . [2013·浙 江 卷 ] 已 知 函 数


f(x)= x-1 ,若 f(a)=3,则实数 a=________. [答案] 10

[解析] 由已知得到 f(a)= a-1=3,所 以 a-1=9,所以 a=10.
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第4讲
核 心 知 识 聚 焦

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 体验高考 ——
3. [2013· 安徽卷] 函数
? 1? y=ln?1+x ? ? ?

——主干知识 ——
? 函数的概 念及表示 关键词:函数的三 要素,如①②③.

+ 1-x2的定义域③为________.

[答案] (0,1]

? 1 ?1+ >0, ?x>0或x<-1, ? x [解析] ? ?? ?-1≤x≤1, ? ?1-x2≥0 ? 由此可得 x 的取值范围为(0,1].

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核 心 知 识 聚 焦

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 体验高考 ——
4.[2013· 天津卷改编] 已知函数 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , ④ 且在区间[0,+∞)单调递增 .若实 1 数 a 满足 f(log2a)+f(log2a)≤2f(1), 则 a 的取值范围是________.
[答案]
?1 ? ? ,2? ?2 ?

——主干知识 ——
? 函数的单 调性 关键词:定义判断 及等价形式,如④.

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核 心 知 识 聚 焦

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——

? 函数的单 [解析] 因为函数 f(x)是定义在 R 上 调性 1 的偶函数,且 log 2 a=-log2a,所以 关键词:定义判断 1 f(log2a)+f(log 2 a)=f(log2a)+f(-log2a) 及等价形式,如④. =2f(log2a)≤2f(1), f(log2a)≤f(1). 即 因 为函数在区间[0,+∞)单调递增,所以 f(|log2a|)≤f(1) , 即 |log2a| ≤ 1 , 所 以 - 1 1≤log2a≤1,解得2≤a≤2,即 a 的取 ?1 ? 值范围是?2,2?. ? ?
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第4讲
核 心 知 识 聚 焦

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

——主干知识 —— —— 体验高考 —— 5 . [2013·湖 南 卷 改 编 ] 已 知 ? 函数的奇
函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数⑤ 偶性 ,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4, 关键词:函数奇偶 则 g(1)=________. 性与图像的关系,

[答案] 3
[解析] 由函数的奇偶性质可得 f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),f(-1) +g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(-1) =f(1)+g(1)=4,可得 2g(1)=6,即 g(1)=3.

如⑤.

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核 心 知 识 聚 焦

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

——主干知识 —— —— 体验高考 —— 6 . [2013·辽 宁 卷 改 编 ] 已 知 ? 指数函数 函数f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1⑥ , 与对数函数 则 ? 1? 关键词:指数函数 f(lg 2)+f?lg 2?=________. ? ? 与对数函数的图像
[答案] 2
[解析] 因为 f(-x)=ln( 1+9x2+ 1 3x)+1, 所以 f(x)+f(-x)=2.因为 lg 2, 2 lg 互为相反数,所以所求值为 2.

与性质,如⑥.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 基础知识必备 ——

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

? 考向一 函数的概念与表示 考向:分段函数的定义域划分、求函数的定义域. 1 例 1 (1)[2013· 重庆卷] 函数 y= 的定义 log2(x-2) 域是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞) ? 1 ?x+ ,x>0, (2) 已 知 函 数 f(x) = ? x 则 f[f( - 2)] = ?x3+9,x≤0, ? ________.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)C

(2)2

命 题 考 向 探 究

[解析]

?x-2>0, ? (1)由题可知? 所以 ?x-2≠1, ?

x>2 且 x≠3,

故选 C. (2)f(-2)=(-2)3+9=1,f[f(-2)]=f(1)=1+1=2.
小结:考查函数定义域的求解,应牢记对数的真数大 于 0,分式的分母不为 0,偶次根式被开方数大于等于 0. 解析式中有多个代数式时,要逐一对自变量求有意义的 值的集合,再求它们的交集.
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

lg(x+1) 变式题 (1)[2013· 广东卷] 函数 y= 的定义 x-1 域是( ) A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞) ?x+1,x<0, ? (2) 已 知 函 数 f(x) = ? x 则 f[f(0) - 3] = ?e ,x≥0, ? ________.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)C

(2)-1

命 题 考 向 探 究

[解析]

?x+1>0, ? (1)由题知? 得 ?x-1≠0, ?

x∈(-1,1)∪(1,

+∞),故选 C. (2)f(0)=e0=1,所以 f(0)-3=1-3=-2,f[f(0)-3]= f(-2)=-2+1=-1.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

? 考向二 函数的基本性质 考向:单调性判断、奇偶性应用、周期性应用. 例 2 (1)定义在 R 上的函数 f(x)=ex+e-x+|x|, 则满足 f(2x-1)<f(3)的 x 的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(-1,2) (2)已知函数 f(x-1)是定义在 R 上的奇函数,若对于 任意给定的不等实数 x1, 2, x 不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 恒成立,则不等式 f(x+2)<0 的解集为( ) A.(1,+∞) B.(-∞,-3) C.(0,+∞) D.(-∞,1)

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案]

(1)D

(2)B

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)函数 f(x)为偶函数,且当 x≥0 时,f(x)=ex e2x-1 - - +e x+x, f′(x)=ex-e x+1= ex +1>0,即函数 f(x) 在[0,+∞)上单调递增.当 2x-1≥0 时,2x-1<3,解得 1 ≤x<2;当 2x-1<0 时,1-2x>0,不等式 f(2x-1)<f(3), 2 1 即 f(1-2x)<f(3),所以 1-2x<3,解得-1<x<2.综上可知, 满足 f(2x-1)<f(3)的 x 的取值范围是(-1,2).

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

(2)由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 可知 f(x)在 R 上为单调 递增函数.f(x-1)是由 f(x)的图像向右平移一个单位得 到的图像对应的函数,平移不改变 f(x)的单调调性.又 因为 f(x-1)为奇函数,所以 f(x-1)<0 的解集为(-∞, 0). 又因为 f(x+2)可以由 f(x-1)向左平移 3 个单位得到, 所以 f(x+2)<0 的解集为(-∞,-3).

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

方法指导

5.函数基本性质的应用

函数的奇偶性、函数图像的对称性、函数的周期性三
命 题 考 向 探 究

者之间有密切的关系.如偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x =a(a≠0)对称时,根据函数图像的对称性可得函数解析式 满足 f(a+x)=f(a-x),以 x+a 代替 x,得 f(2a+x)=f(-x) =f(x),这样就得到函数 y=f(x)的一个周期是 2a;奇函数 y =f(x)的图像关于点(a,0)(a≠0)对称时,可得 f(a+x)=- f(a-x),以 x+a 代替 x,得 f(2a+x)=-f(-x)=f(x),也推 出 2a 是函数 y=f(x)的一个周期.
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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

小结:函数的单调性往往与不等式相结合,应用时
命 题 考 向 探 究

要清楚函数的单调区间,涉及抽象函数时还需要结合奇 偶性作适当变换,去掉函数符号 f 后再求解.

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

变式题 (1)[2013· 江苏卷] 已知 f(x)是定义在 R 上的奇 函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用 区间表示为________.
命 题 考 向 探 究

(2)已知偶函数 f(x)对?x∈R,都有 f(x-2)=-f(x), 且当 x∈[-1,0]时,f(x)=2x,则 f(2013)=( ) 1 1 A.1 B.-1 C.2 D.-2

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)(-5,0)∪(5,+∞)

(2)C

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)设 x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2-4(-x) =x2+4x. ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=x2+4x,∴f(x)=-x2-4x. ?x2-4x(x>0), ? 又∵f(0)=0,∴f(x)=?0(x=0), ?-x2-4x(x<0), ? ?x>0, ?x<0, ? ? 由 f(x)>x 得? 2 或? 2 ∴x>5 或-5<x<0. ?x -4x>x ?-x -4x>x, ? ? ∴不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).
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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

(2)由 f(x-2)=-f(x)得 f(x-4)=f(x),所以函数的 周期是 4,所以 f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=f(-1) 1 -1 =2 = . 2

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

? 考向三 基本初等函数Ⅰ的图像与性质 考向:二次函数与幂函数的性质、指数函数与对数 函数的性质.
命 题 考 向 探 究

例 3 (1)已知指数函数 f(x)=ax(a>0,a≠1),对数函 数 g(x)=logbx(b>0, b≠1)和幂函数 h(x)=xc(c∈Q)的图像 ?1 ? 都经过点 P?2,2?,如果 f(x1)=g(x2)=h(x3)=4,那么, ? ? x1+x2+x3=( ) 7 6 5 3 A.6 B.5 C.4 D.2

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

??1?x ?? ? -1(x≤0), (2)已知函数 f(x)=??2? 对于下列命题: ?-x2+2x(x>0), ? ①函数 f(x)的最小值是 0; ②函数 f(x)在 R 上是单调递减函数; ③若 f(x)>1,则 x<-1; ④若函数 y=f(x)-a 有三个零点,则 a 的取值范围是 0<a<1; ⑤函数 y=|f(x)|的图像关于直线 x=1 对称. 其中正确命题的序号是________(填上你认为所有正确命 题的序号).

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)D

(2)③④

命 题 考 向 探 究

1 [解析] (1)因为三个函数的图像都经过点 P(2,2) , 代入各解析式分别确定 a,b,c 后得到解析式为 f(x)= 2 x 4 ,g(x)=log 2 x,h(x)=x-1,再由 f(x1)=g(x2)=h(x3)= 1 1 3 4,求出 x1=1,x2=4,x3=4,x1+x2+x3=2 .

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

(2)画出函数的图像, 在(1, +∞)上函数单调递减, 因此 f(x)没有最小值,①错误. 由于函数在(0,1)上单调递增,在(-∞,0),(1, +∞)上单调递减, 因此在 R 上不具有单调性, ②错误. 由图像可知,若 f(x)>1,则 x<-1,③正确. 设 y=f(x)-a=f(x)-g(x),则问题转化为函数 g(x) =a 与 y=f(x)图像的交点问题,显然当 0<a<1 时它们 有三个交点,④正确. y=|f(x)|的图像是在函数 y=f(x)图像的基础上把 x 轴下方的图像对称画到上方得到的,但整体不关于直 线 x=1 对称,⑤错误. .

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

小结:指数函数、对数函数是最为重要的初等函数,
命 题 考 向 探 究

可以与不等式、方程、导数等结合进行考查,而这些函数 的单调性是重中之重,要注意底数变化对单调性形成的 影响.

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

变式题 (1)函数 f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数, 则 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3,+∞) ? 1 ? 3 (2)若函数 f(x)=loga(x -ax)(a>0, a≠1)在区间?-2,0? ? ? 内单调递增,则 a 的取值范围是( ) ?1 ? ?3 ? A.?4,1? B.?4,1? ? ? ? ? ?9 ? ? 9? C.?4,+∞? D.?1,4? ? ? ? ?

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)B

(2)B

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)当 0≤x≤2 时,函数 g(x)=6-ax 单调递减,所 以要使函数 f(x)为减函数,即使函数 y=logag(x)为增函数,所 以有 a>1 且 g(2)=6-2a>0,即 1<a<3,所以 a 的取值范围是 (1,3),选 B. (2)令 y=x3-ax,分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论: ? 1 ? 2 2 ①0<a<1,y′=3x -a<0,a>3x ,由 x∈?-2,0?,故 a≥3 ? ? ? 1?2 3 3 ?- ? = ,所以 ≤a<1. × 2 4 4 ? ? ②a>1,y′=3x2-a>0,a<3x2,显然不存在满足条件的 a. ?3 ? 综上可知,a 的取值范围是?4,1?. ? ?
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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 抽象概括能力——
函数基本性质的抽象概括与应用 抽象概括能力是从具体的实例中发现研究对象 的本质,从给定的大量信息材料中概括出结论,并 能将其用来解决问题或作出新的判断的能力.函数 的基本性质的抽象概括是概括能力的有力体现,反 映在基本性质的形成过程、基本性质的使用和抽象 函数问题的解决上.
命 题 立 意 追 溯
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 立 意 追 溯

示例 函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a, ?x1+x2? 1 ? b],有 f? ? 2 ?≤2[f(x1)+f(x2)],则称 f(x)在[a,b]上具有性质 ? ? P.设 f(x)在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图像是连续不断的; ②f(x2)在[1, 3]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ?x1+x2+x3+x4? ? ④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 f? ? ?≤ 4 ? ? 1 [f(x )+f(x2)+f(x3)+f(x4)]. 4 1 其中真命题的序号是( ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④
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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

?2,1≤x<3, ? [解析] D 取函数 f(x)=? 则函数 f(x)具有性 ?3,x=3, ? 质 P,但函数 f(x)的图像是不连续的,故①为假命题,排除 A, B; 取函数 f(x)=-x, 1≤x≤3, 则函数 f(x)具有性质 P, f(x2) 但 =-x2,1≤x≤ 3就不具有性质 P,故②为假命题,排除 C; 用反证法,可得③为真命题;命题④也可直接判断其成立:
? ? ? ? ?x1+x2? 1 ?x3+x4? 1 ∵f? ?≤2[f(x1)+f(x2)],f? ?≤2[f(x3)+f(x4)], ? 2 ? ? 2 ?

命 题 立 意 追 溯

?x1+x2 x3+x4? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 1? ?x1+x2? ?x3+x4?? ?x1+x2+x3+x4? + 2 ≤ f ∴f? ?=f? 2 ? 2? ? 2 ?+f? 2 ??≤ 4 ? ? ?? ? ? ?? ? 2 ? 1 [f(x )+f(x2)+f(x3)+f(x4)]. 4 1
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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

小结:本题涉及函数的性质、图像的研究方法,通 过举例对抽象的问题加深理解.此类问题可通过选取满 足题设条件的特殊函数,化抽象为直观,既考查了抽象 概括能力,又考查了逻辑推理能力和处理新问题的应变
命 题 立 意 追 溯

能力.

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

跟踪练 对于定义在 D 上的函数 f(x),若存在距离为 d 的两条直线 y=kx+m1 和 y=kx+m2,使得对任意 x∈D 都有 kx+m1≤f(x)≤kx+m2 恒成立,则称函数 f(x)(x∈D)有 1 一个宽度为 d 的通道.给出下列函数:①f(x)= x ,②f(x) =sin x,③f(x)= x2-1,其中在区间[1,+∞)上通道宽度 可以为 1 的函数有( ) A.①② B.①③ C.① D.③
命 题 立 意 追 溯
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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] B

1 [解析] 因为在区间[1,+∞)上,0<x ≤1,所以函数 1 f(x)=x在区间[1,+∞)上的通道宽度可以为 1;当 x≥1 时, -1≤sin x≤1, 所以函数 f(x)=sin x 的宽度最小为 2; 当 x≥1 时, f(x)= x2-1表示双曲线 x2-y2=1 在第一象
命 题 立 意 追 溯

限的部分,双曲线的渐近线为 y=x,故可取另一直线为 y=x- 2,满足在[1,+∞)有一个宽度为 1 的通道,因 此选 B.

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 教师备用例题 ——

[备选理由] 例 1 给出的几个函数均为基本初等函 数,通过新定义二次判断,可作为考向二的补充,加强对 基本初等函数性质的理解和应用. 2 为基于含参数的函 例 数的图像的识别,因需要通过基本不等式来确定参数,难 度较大,但体现了知识的交汇,可与考向三相结合,有补 充的价值.

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

例 1 如果对于任意一个三角形, 只要它的三边长 a, b, c 都在函数 f(x)的定义域内,则 f(a),f(b),f(c)也是某个三 角形的三边长,则称函数 f(x)为“保三角形函数”.现有 下列五个函数:①f(x)=2x;②f(x)=ex;③f(x)=x2;④f(x) = x;⑤f(x)=sin x. 则其中是“保三角形函数”的是______________. (写 出所有正确的序号)

[答案] ①④

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[解析] 不妨设 a≤b≤c,对于定义域内单调递增的函数只 要在 a+b>c 的条件下, 满足 f(a)+f(b)>f(c)即可. 对于 f(x)=2x, 当 a+b>c 时,f(a)+f(b)=2(a+b)>2c=f(c),故函数 f(x)=2x 是 “保三角形函数”.对于函数 f(x)=ex,取 a=2,b=2,c=3, 此时 f(a)+f(b)=2e2,f(c)=e3,此时 f(a)+f(b)<f(c),故函数 f(x) =ex 不是“保三角形函数”.对函数 f(x)=x2,取 a=2,b=2, c=3,此时有 f(a)+f(b)<f(c),故 f(x)=x2 不是“保三角形函 数”. 对函数 f(x)= x, [f(a)+f(b)]2=( a+ b)2=a+b+2 ab> a+b>c,即 f(a)+f(b)> c=f(c),故函数 f(x)= x是“保三角形 5π π 函数”.对于函数 f(x)=sin x,取 a=b= 6 ,c= 2 ,则 f(a) +f(b)=f(c),故函数 f(x)=sin x 不是“保三角形函数”.

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

9 例 2 已知函数 f(x)=x-4+ ,x∈(0,4),当 x=a x+1 ?1?|x+b| 时, f(x)取得最小值 b, 则函数 g(x)=?a? 的图像为( ) ? ?

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

9 9 [解析] B f(x)=x-4+ =(x+1)+ -5≥ x+1 x+1 9 9 2 (x+1)× -5=1,当且仅当 x+1= ,即 x+1 x+1 x=2 时等号成立,故 f(x)的最小值为 1,即 b=1.所以函数 ?1?|x+1| ?1?|x| g(x)=?2? ,其图像是由函数 y=?2? 的图像向左平移 ? ? ? ? 一个单位得到的,为选项 B 中的图像.

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