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第六讲 三角函数基本公式



第六讲
基本公式 1.同角公式: (1) 平方关系:sin2α+cos2α=1 2.诱导公式: -α sin cos
?
2

三角函数基本公式

(2) 商数关系:tanα=

π -α

π+α

2π-α

2kπ+α

/>
??

?
2

??

3? ?? 2

3? ?? 2

sin cos 规律:奇变偶不变,符号看象限 3.基本和差公式 sin(α±β)=sinα cosβ±cosα sinβ;cos(α±β)= 4.和差公式的变式 tanα+tanβ=tan (α+β)(1-tanα tanβ);1-tanα tanβ= 5.常见的角和差的变换: 2 ? =(α+β)+(α-β);α=
(

;tan(α±β)=
tan? ? tan ? tan(? ? ? )

.

? ??
2



? ??
2

;α=(α+β)-β =(α-β)+β;

???
2

=(α-

? ? )-( -β); 2 2

?
4

? x) ? (

?
4

? x) =

? 2

6.基本二倍角公式: sin2α= 7.二倍角公式的变用: 1+cos2α= 【典型例题】 例 1. 已知 f( ? )= (1)化简 f( ? ); (2)若 ? 是第三象限角,且 cos ? ?? ?
? 3? ? 1 ? ? ,求 f( ? )的值. 2 ? 5

;cos2α=





;tan2α=

.

;1-cos2α=
sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ; ? tan(?? ? ? ) sin( ?? ? ? )



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变式训练 1:已知 A= A.{-1, 1, -2, 2}

sin( k? ? ? ) cos(k? ? ? ) ? (k ? Z ) 则 A 构成的集合是 sin ? cos?

( )

B.{1, -1}

C.{2, -2}

D.{-2, -1, 01, 2}

3 ? 例 2.求值:(1) 已知 ? ? ? ? 2? , cos(? ? 7? ) ? ? ,求 cos( ? ? ) 的值. 2 5

(2) 已知

tan ? sin ? ? 3 cos? ;② sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 ? ?1 ,求下列各式的值.① tan ? ? 1 sin ? ? cos?

变式训练 2:化简:① sin(? ? 5? ) ? tan? ?

cos(8? ? ? ) , ② sin( ?? ? 4? )

2 cos2 ? ? 1 . ?? ? ?? ? 2 tan? ? ? ? sin 2 ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

例 3. 已知-

?
2

? x ? 0 ,sin x+cos x=

1 . 5

(1)求 sin x-cos x 的值.

(2)求

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值. 1 ? tan x

sin(? ? ) 15 4 变式训练 3:已知 α 为第二象限角,且 sinα= ,求 的值. sin 2? ? cos 2? ? 1 4

?

例 4.求[2sin50° +sin10° (1+ 3 tan10° )]· 2 sin2 80? 的值.

第 2 页 共 4 页

变式训练 4:(1) sin163° sin223° +sin253° sin313° 等于 ( A.-
1 2



B.

1 2

C.-

3 2

D.

3 2

(2) 求值:

sin 40?(1 ? 2 cos 40?) 2 cos2 40? ? cos 40? ? 1

例 5. 如:已知

sin ? cos ? 2 ? 1, tan?? ? ?? ? ? ,求 tan?? ? 2? ?的值。 1 ? cos 2? 3

变式训练 5:设 cos( ? -

?
2

)=-

1 ? 2 π π ,sin( -β)= ,且 < ? <π,0<β< ,求 cos( ? +β). 9 3 2 2 2

例 6. 若 sinA=

5 10 ,sinB= ,且 A,B 均为钝角,求 A+B 的值. 5 10

第 3 页 共 4 页

变式训练 6:如图所示,D 是直角三角形△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. (1)证明:sinα+cos2β=0; (2)若 AC ? 3DC ,求 β 的值. B D C A

例 7.求证:

1 ? cos? ? cos sin ? ? sin

?
2 =

?
2

sin ? 1 ? cos?

变式训练 7:tan(α+

? ? )+tan(α- )=2tan2α 4 4

例 8.在△ABC 中,若 sinA· cos2 2 +sinC· cos2 2 = 2 sinB,求证:sinA+sinC=2 sinB.

C

A

3

变式训练 8:已知 sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin2β,求证:2cos2α=cos2β.

第 4 页 共 4 页



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