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函数的奇偶性和周期



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新课标版 ·高三数学(理)

第 4 课时 函数的奇偶性和周期性

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2014?考纲下载


1.了解奇函数、偶函数的定义,并能运用奇偶性的定义判 断一些简单函数的奇偶性. 2.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系,并熟练地利用对称 性解决函数的综合问题.

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请注意!

函数的奇偶性在高考中占有重要的地位,在命题时主要是与 函 数 的 概 念 、 图 像 、 性 质 综 合 在 一 起 考 查 . 而 近 几 年 的 高 考 中 加 大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、 周期性的考查 力度.

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1.奇 函 数 、 偶 函 数 、 奇 偶 性 对 于 函 数 f(x), 其 定 义 域 关 于 原 点 对 称 : x, 都 有

1 () 如 果 对 于 函 数 定 义 域 内 任 意 一 个 那 么 函 数 f(x)就 是 奇 函 数 ;

f(-x)=-f(x) ,

2 () 如 果 对 于 函 数 定 义 域 内 任 意 一 个 么 函 数 f(x)就 是 偶 函 数 ; 3 () 如 果 一 个 函 数 是 奇 函 数 定 义 域 内 具 有 奇 偶 性 .
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x, 都 有 f(-x)=f(x) ,那

(或 偶 函 数

), 那 么 称 这 个 函 数 在 其

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2.证 明 函 数 奇 偶 性 的 方 法 步 骤 1 () 确 定 函 数 定 义 域 关 于

原点 对 称 ;
(偶)

2 () 判 定 f(-x)= - f(x)(或 f(-x)=f(x)), 从 而 证 得 函 数 是 奇 函 数 .

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3.奇 偶 函 数 的 性 质 1 () 奇 函 数 图 像 关 于 2 () 若 奇 函 数

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原点 对 称 , 偶 函 数 图 像 关 于

y轴 对 称 ;

f(x)在 x=0 处 有 意 义 , 则

f0 () = 0 ;

3 () 若 奇 函 数 在 关 于 原 点 对 称 的 两 个 区 间 上 分 别 单 调 , 则 其 单 调 性 一致 ; 若 偶 函 数 在 关 于 原 点 对 称 的 两 个 区 间 上 分 别 单 调 , 则 其 单 调 性 相反 . 4 () 若 函 数 f(x)为 偶 函 数 , 则 f(x)=f(|x|), 反 之 也 成 立 .

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4.一 些 重 要 类 型 的 奇 偶 函 数
- 1 () 函 数 f(x)=ax+a x 为 偶 函 数 , 函 数

f(x)=ax-a x 为 奇 函


数 ; ax-a-x a2x-1 2 () 函 数 f(x)= x -x= 2x (a>0 且 a≠1 ) 为奇 函 数 ; a +a a +1 1-x 3 () 函 数 f(x)=o lg a 为奇 函 数 ; 1+x 4 () 函 数 f(x)=o lg
2 ( x + x +1)为 奇 函 数 . a

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5.周 期 函 数 若 f ( x) 对 于 定 义 域 中 任 意 的 常 数 ), 则 f ( x) 为 周 期 函 数 . 6.函 数 的 对 称 性 若 f ( x) 对 于 定 义 域 中 任 意 =f(a-x), 则 函 数 x, 均 有 f(x)=f(2a-x), 或 f(a+x) 对 称 . x均 有 f(x+T)=f(x) (T 为 不 等 于 0

f(x)关 于 x=a

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1.2 (0 1 3 · +1,y=2 n s i A.4 C.2
答案 解析 C

广东)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2 x 中,奇函数的个数是( B.3 D.1 )

由奇函数的概念可知,y=x3,y=2 n s i

x 是奇函数.

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1 2. 函 数 f(x)= x-x 的 图 像 关 于 A.y 轴 C. 坐 标 原 点
答案 解析 C

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(

)对 称 .

B.直 线 y= -x D.直 线 y=x

判断 f(x)为 奇 函 数 , 图 像 关 于 原 点 对 称 , 故 选

C.

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?x+1??x+a? 3.设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. x
答案 -1

4. 已 知 定 义 在 的值为________.
答案 0

R上 的 奇 函 数

f(x)满足 f(x+2)=-f(x), 则 f6 ()

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5.2 (0 1 4 ·

杭 州 质 检

)设 f(x)是 周 期 为

2的 奇 函 数 , 当

0≤x≤1

5 时,f(x)=2x(1-x),则 f(-2)=________.

1 答案 -2
解析 5 5 5 1 依题意,得 f( -2) =-f(2) =-f(2-2) =-f(2) =-

1 1 1 2×2×(1-2)=-2.

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例1 判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性 , 并 证 明 1 () f(x)=x3+x; 2 () f(x)=x3+x+1; 3 () f(x)=x2-|x|+1 x∈[-1 4 ,] ;



4 () f(x)=|x+1 | -|x-1|; 1- x 2 (5)f(x)= ; |x+2|-2 (6)f(x)=(x-1) 1+x x∈(-1,1). 1-x
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【解析】 3 () 由于 f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不 是关于原点对称的区间,因此,f(x)是非奇非偶函数. 4 () 函 数 的 定 义 域 x∈(-∞,+∞),关于原点对称.

∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x -1 )| =-f(x), ∴f(x)=|x+1|-|x-1|是 奇 函 数 .

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5 () 去 掉 绝 对 值 符 号 , 根 据 定 义 判 断 .
2 ? ?1-x ≥0, 由? ? ?|x+2|-2≠0,

? ?-1≤x≤1, 得? ? . ?x≠0且x≠-4

故 f ( x) 的 定 义 域 为

[-1 0 ,)

∪(0 1 ,]

, 关 于 原 点 对 称 , 且 有

x+2

1-x2 1-x2 >0 .从 而 有 f ( x) = = x , 这 时 有 x+2-2 1-x2 - x = - f(x), 故 f ( x) 为 奇 函 数 .

1-?-x?2 f(-x)= = -x

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6 () 已 知 f(x)的 定 义 域 为 其 定 义 域 关 于 原 点 对 称 . ∵f(x)=(x-1 ) 1+x = - 1-x ( -1 ,) ,

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?1-x??1+x?,

∴f(-x)=- ?1+x??1-x?=f(x). 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是 偶 函 数 . 请 学 生 思 考 , 本 题 中 若 将 条 件 吗 ? (答 : 不 是 )
3 () 非 奇 非 偶 4 ()

x∈(-1 ,)

去 掉 还 是 偶 函 数

【答案】 1 () 奇函数 2 () 非 奇 非 偶 函 数 奇函数 5 () 奇函数 6 () 偶函数
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探究 1 判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法: 1 () 定 义 法 : 若 函 数 的 定 义 域 不 是 关 于 原 点 对 称 的 区 间 , 则 立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数; 若函数的定义域 是关于原点对称的区间,再判断 f(-x)是 否 等 于 2 () 图 像 法 : 奇 轴)对称. (偶)函 数 的 充 要 条 件 是 它 的 图 像 关 于 原 ± f(x). 点(或 y

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3 () 性 质 法 : 偶 函 数 的 和 、 差 、 积 、 商 数 ; 奇 函 数 的 和 、 差 仍 为 奇 函 数 ; 奇 母 不 为 零

(分母不为零)仍为偶函 ( 偶) 数 个 奇 函 数 的 积 、 商 (分

)为奇(偶)函 数 ; 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 的 积 为 奇 函

数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)

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思考题 1

判断下列函数的奇偶性.

2-x 1 () f(x)=ln ; 2+x 1 1 2 () f(x)= x +2 (a>0,且 a≠1); a -1 3 ()
2 ? x ? -2x f(x)=? 2 ? ?x +2x

?x≥0?, ?x<0?.

【解析】 1 () f(x)的 定 义 域 为

(-2,2),

2+x 2-x f(-x)=ln =-ln =-f(x), 2-x 2+x ∴函数 f(x)为奇函数.
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2 () ∵f(x)的 定 义 域 为

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{x|x∈R, 且 x≠0 },

其 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 并 且 有 1 1 1 1 f(-x)= -x +2= 1 +2 a -1 ax-1 ?1-ax?-1 1 1 ax = + = - +2 1-ax 2 1-ax 1 1 = - 1+ + 1-ax 2 1 1 = - ( x +2)=-f(x). a -1 即 f(-x)=-f(x),∴f(x)为 奇 函 数 .
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3 () 方 法 一 : f ( x) 的 定 义 域 为 R,

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当 x>0 时 , - x<0, f(-x)=(-x)2+2 ( -x)=x2-2x=f(x). 当 x=0 时 , f(0 ) =0=f(-0 ). 当 x<0 时 , - x>0, f(-x)=(-x)2-2 ( -x)=x2+2x=f(x). ∴对 于 x∈R 总 有 f(-x)=f(x). ∴f ( x) 为 偶 函 数 .

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方 法 二 : 当

x≥0 时 , f(x)=x2-2x=x2-2 | x|.

当 x<0 时 , f(x)=x2+2x=x2-2 | x|. ∴f(x)=x2-2 | x|. ∴f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x). ∴f ( x) 为 偶 函 数 .
【答案】 1 () 奇 2 () 奇 3 () 偶

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例2 1 () 已 知 函 数 =x+1,f(x)的 解 析 式 为 2 () f(x)是 定 义 在 数 , 则 不 等 式

f(x)为 奇 函 数 且 定 义 域 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ x∈0 [ 1 ,) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

R, x>0 时 , f ( x) . 时 f(x)为 增 函 .

(-1 ,)

上 的 奇 函 数 , 且

1 f(x)+f(x-2)<0 的 解 集 为

3 () 函 数 f(x+1 )为 偶 函 数 , 则 函 数 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

f ( x) 的 图 像 的 对 称 轴 方 程 为

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【 解 析 】

1 () ∵f(x)为 奇 函 数 ,

∴f(-x)=-f(x). ∴f0 () =0 .

当 x=0 时 , 有 f(-0 )= - f0 ( , ) 当 x<0 时 , - x>0 .

f ( x) = - f(-x)= - (-x+1 ) =x-1 . ?x+1, ? ∴f(x)=?0, ?x-1, ? x>0, x = 0, x<0 .

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2 () ∵f(x)为 奇 函 数 , 且 在

0 [ 1 ,)

上为增函数,

∴f(x)在[-1,0)上也是增函数. ∴f(x)在(-1,1)上为增函数. 1 f(x)+f(x-2)<0?

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1 1 f(x)<-f(x-2)=f(2-x)? ?-1<x<1, ? ?-1<1-x<1, 2 ? ? 1 ?x< -x ? 2

1 1 ?-2<x<4.

1 1 1 ∴不等式 f(x)+f(x-2)<0 的解集为{x|-2<x<4}.

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3 () ∵f(x+1 )为 偶 函 数 , ∴函 数 g(x)=f(x+1 )的 图 像 关 于 直 线 又 函 数 个 单 位 而 得 到 , ∴函 数 f(x)的 图 像 关 于 直 线 x=1 对 称 . f(x)的 图 像 是 由 函 数 x =0 对 称 .

g(x)=f(x+1 )的 图 像 向 右 平 移 一

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?x+1, ? 【答案】 1 () f(x)=?0, ?x-1, ? 2 ( { ) 1 1 x|-2<x<4} 3 () x=1

x>0, x=0, x <0

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探 究 2

奇 偶 函 数 的 性 质 主 要 体 现 在 : f(-x)=-f(x); f(-x)=f(x).

1 () 若 f(x)为 奇 函 数 , 则 若 f ( x) 为 偶 函 数 , 则 2 () 奇 偶 函 数 的 对 称 性 .

3 () 奇 偶 函 数 在 关 于 原 点 对 称 的 区 间 上 的 单 调 性 .

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思考题 2 1 () 若函数 f(x)是 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 上是减函数,满足 fπ ( < )

[0,+∞)

f(a)的 实 数 a 的取值范围是________.

【解析】 若 a≥0,f(x)在[0,+∞)上是减函数, 且 fπ (< ) f(a),得 a<π,∴0≤a≤π. 则由 f(x)在[0,+∞)上是减函数,

若 a<0,∵fπ () =f(-π , )

得知 f(x)在(-∞,0]上 是 增 函 数 . 由于 f(-π < ) f(a), 得 到 a>-π.即-π<a< 0 . 由上述两种情况知 a∈(-π,π).
【答案】 (-π,π)
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2 () 函数 y=f(x-2)为 奇 函 数 , 则 函 数 心为__________.
【 解 析 】 ∵f(x-2 )为 奇 函 数 , 0 (,) .

y=f(x)的 图 像 的 对 称 中

∴f(x-2 )的 图 像 的 对 称 中 心 为 又∵f(x)的 图 像 可 由 函 数 得 , ∴f ( x) 的 图 像 的 对 称 中 心 为
【答案】 (-2 0 ,)
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f(x-2)的 图 像 向 左 平 移 两 个 单 位 而

(-2 0 ,)



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例3

设 函 数 f(x)在(-∞, +∞)上 满 足 f(2-x)=f(2+x), f(7 0 [ 7 ,] 上 , 只 有 f1 () =f3 () =0 .

-x)=f(7+x), 且 在 闭 区 间 1 () 证 明 : 函 数 2 () 试 求 方 程 并 证 明 你 的 结 论 .
【思路】

f ( x) 为 周 期 函 数 ; f(x)=0 在 闭 区 间 [-2 0 0 5 2 0 ,0 5 ] 上 的 根 的 个 数 ,

用周期函数的定义证明.

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【 解 析 】 1 ()

? ?f?2-x?=f?2+x?, 由? ? ?f?7-x?=f?7+x?

?

? ?f?x?=f?4-x?, ? ? 4 -x? ?f?x?=f?1

?f(4-x)=f1 (4 -x)?

f(x)=f(x+1 0 ) . ∴f ( x) 为 周 期 函 数 , T=1 0 .

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2 () ∵f3 () =f1 () =0 , f1 ( 1 ) 在0 [ 1 ,0 ] 和[-1 0 ,] 从 而 可 知 函 数 在[-2 0 0 5 0 ,] 所 以 函 数

=f1 (3 )

=f(-7 ) =f(-9)=0,故 f(x)

上 均 有 两 个 解 . y=f(x)在0 [ 2 0 ,0 5 ] 上 有 4 0 0 个 解 , 上有 4 0 2 个 解 ,

y=f(x)在[-2 0 0 5 2 0 ,0 5 ]


上 有 8 0 2 个 解 .

【答案】 1 () 略 2 ( 8 )0 2

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探究 3 1 () 证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义. 2 () 若函数 f(x)对任意 x 满足 f(x+a)=f(x+b),则 f(x)为 周 期 函数,若函数 f(x)对 任 意 x 满足 f(x+a)=f(b-x), 则 函 数 图 像 为 轴对称图形.

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思考题 3 1 () f(x)是 定 义 域 为 线 x=1 对称,试判断 f(x)的 周 期 性 .

R 的奇函数,且图像关于直

【 解 析 】

∵f ( x) 为 奇 函 数 ,

∴f(-x)= - f(x).

∵f ( x) 图 像 关 于 直 线

x=1 对 称 , ∴f(x)=f(2-x).

∴f(x+4 ) =f[2-(x+4 ] ) =f[-(x+2 ] ) = - f(x+2 ) = - f[2-(2+x)]= - f(-x)= - [-f(x)]=f(x). ∴T=4 .
【答案】 T=4
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2 () f(x)是 定 义 在

R 上的函数,对任意 x∈R 均满足 f(x)=-

1 ,试判断函数 f(x)的 周 期 性 . f?x+1? 1 1 【解析】 ∵f(x)=- ,∴f(x+1)=- . f ? x? f?x+1?

1 1 ∴f(x+2)=- =- 1 =f(x). f?x+1? - f ? x? ∴T=2.
【答案】 T=2
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例 4 2 (0 1 4 ·

衡 水 中 学 调 研 卷

)已 知 函 数

f(x)是(-∞,+∞) 时,f(x)

上的奇函数,且 f(x)的 图 像 关 于 =2x-1. 1 () 求证:f(x)是 周 期 函 数 ; 2 () 当 x∈1 [ 2 ,]

x=1 对称,当 x∈0 [ 1 ,]

时,求 f(x)的 解 析 式 ; 的值.

3 () 计算 f0 () +f1 () +f2 () +…+f2 ( 0 1 3 )

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【 解 析 】 的 图 像 关 于

1 () 函 数 f(x)为 奇 函 数 , 则 x=1 对 称 , 则

f(-x)=-f(x), 函 数 f ( x)

f(2+x)=f(-x)= - f(x), 所 以 f(4+x)

=f2 ( [ +x)+2 ]= - f(2+x)=f(x). 所 以 f(x)是以 4 为 周 期 的 周 期 函 数 . 2 () 当 x∈1 [ 2 ,] 时 , 2-x∈0 [ 1 ,] , f(x)=f(2-x)=22-x-1,x

又 f ( x) 的 图 像 关 于 ∈1 [ 2 ,] .

x=1 对 称 , 则

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3 () ∵f0 () =0,f1 () =1,f2 () =0, f3 () =f(-1 )= - f1 () =-1, 又 f ( x) 是 以 4为 周 期 的 周 期 函 数 , ∴f0 () +f1 () +f2 () +…+f2 (0 1 3 ) f1 () =1 .
【答案】 1 () 略 2 () f(x)=22 x-1,x∈1 [ 2 ,]


=f2 (0 1 2 )

+f2 (0 1 3 )

=f0 () +

3 ( 1 )

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思考题 4 ∈0 [ 1 ,]

已知 f(x)为 偶 函 数 , 且

f(-1-x)=f(1-x),当 x 时,f(x)的解析式.

时,f(x)=-x+1,求 x∈5 [ 7 ,]

【 解 析 】

方 法 一 :

∵f(-1-x)=f(1-x), T=2 .

∴f(x)=f(2+x),∴f(x)为 周 期 函 数 , ∵f ( x) 为 偶 函 数 , ∴x∈[-1 0 ,] 时 , - x∈0 [ 1 ,] .

f(x)=f(-x)=x+1 .

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∴x∈5 [ 6 ,]

时 , x-6∈[-1 0 ,]



f(x)=f(x-6)=(x-6 ) +1=x-5 . x∈6 [ 7 ,] 时,x-6∈0 [ 1 ,] .

f(x)=f(x-6)= - (x-6 ) +1= - x+7 . ∴x∈5 [ 7 ,] 时 ,
? ?x-5, f(x)=? ? ?-x+7,

x∈[5,6 ], x∈?6,7 . ]

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方 法 二 : ∵f(1-x)=f(-1-x),

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∴T=2 . 又∵f(x)是 偶 函 数 , ∴f ( x) 在 R 上 的 图 像 如 图 :

? ], ?x-5, x∈[5,6 ∴f(x)=? ? . ] ?-x+7, x∈?6,7

【答案】

? ?x-5, x∈[5,6], f(x)=? ? ?-x+7, x∈?6,7]
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常用结论记心中,快速解题特轻松: 1.1 () 若 f(x)定义域不对称,则 f(x)不 具 有 奇 偶 性 . 2 () 若 f(x)为 奇 函 数 , 且 在 3 () 若 f(x)为 偶 函 数 , 则 x=0 处有定义,则 f0 () =0. f(|x|)=f(x).

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2.1 () 任 意 一 个 定 义 域 关 于 零 点 对 称 的 函 数 个 奇 函 数 g( x ) 与 一 个 偶 函 数

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f(x)均 可 写 成 一 f?x?-f?-x? g(x)= , 2

h(x)和 的 形 式 , 则

f?x?+f?-x? h(x)= . 2 2 () 若函 数 y=f(x)的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 则 偶 函 数 , f(x)-f(-x)为 奇 函 数 , f(x)· f(-x)为 偶 函 数 . f(x)+f(-x)为

3. 函 数 f(x)关 于 x=a 对 称 ?f(a+x)=f(a-x)?f(2a+x)=f(- x)?f(2a-x)=f(x).

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4.1 () 若 函 数 f ( x) 满 足 f(x+a)= - f ( x) , 则 f(x)周 期 T=2a. 1 2 () 若 函 数 f(x)满 足 f(x+a)= , 则 f(x)周 期 T=2a. f ? x? 5.1 () 若 f(x)关 于 x=a,x=b 都 对 称 , 且 期 函 数 且 T=2 ( b-a). a<b, 则 f(x)是 周 期 函 数 , a<b, 则 f(x)是 周

2 () 若 f(x)关于(a ,0 ), (b ,0 )都 对 称 , 且 且 T=2 ( b-a). 3 () 若 f(x)关于(a ,0 ) 及 x=b 都 对 称 , 且 数 , 且 T=4 ( b-a).

a<b, 则 f ( x) 是 周 期 函

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1 .2 (0 1 2 · 是 增 函 数 的 为 A.y=c o s 2 B.y=o lg

天津)下 列 函 数 中 , 既 是 偶 函 数 , 又 在 区 间 ( ) x,x∈R
2|x|,x∈R


1 ( 2 ,)



且 x≠0

ex-e x C.y= 2 ,x∈R D.y=x3+1,x∈R

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答案

B

解析

由函数是偶函数可以排除 C 和 D, 又 函 数 在 区 间 lg 2|x|=o
2x

1 ( 2 ,) B.

内为增函数,而此时 y=o lg

为 增 函 数 , 所 以 选 择

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2.若函数 y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一 定在函数 y=f(x)图 像 上 的 是 A.(a,-f(a)) C.(-a,-f(-a))
答案 B

(

) B.(-a,-f(a)) D.(a,f(-a))

解析 ∵函数 y=f(x)为 奇 函 数 , ∴f(-a)=-f(a). 即点(-a,-f(a))一 定 在 函 数 y=f(x)的图像上.

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3. 已 知 f(x)为 奇 函 数 , 当 等于( )

x>0,f(x)=x(1+x), 那 么 x<0,f(x)

A.-x(1-x) C.-x(1+x)
答案 B

B.x(1-x) D.x(1+x)

解析

当 x<0 时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).又 f(-

x)=-f(x),∴f(x)=x(1-x).

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4.函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,又是以 2 为周期的周 期 函 数 , 若 f(x)在[-1,0]上 是 减 函 数 , 那 么 B.减函数 D.先 减 后 增 的 函 数 f(x)在2 [ 3 ,] 上是( )

A.增函数 C.先增后减的函数
答案 A

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5 .2 (0 1 3 · fg l o (g 0 ) 21

重庆 ) 已 知 函 数 =5,则 fg l (2 )

f(x) = ax3 + bn s i x + 4(a , b ∈ R) , =( )

A.-5 C.3
答案 C

B.-1 D.4

解 析

因 为 fg l o (g

0 ) 21

1 =fg l ( g l( 2 ) l2 ))=f(-g +fg l (2 )

=5,又 f(x) =3,

+f(-x)=8, 所 以 f(-g l( 2 ) 故 选 C.

=8, 所 以 fg l (2 )

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6.若函数 f(x)=x2-|x+a|为 偶 函 数 , 则 实 数 答案 0

a=________.

解析

由题意知,函数 f(x)=x2-|x+a|为 偶 函 数 , 则

f1 () =

f(-1),∴1-|1+a|=1-|-1+a|,∴a=0.

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