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哈尔滨三中2013-2014学年高三第三次数学试卷(文科)



哈尔滨三中 2013-2014 学年 高三第三次验收考试数学试卷(文科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1. 集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x2 ? 4} ,则 M ? N ? ( A. (1, 2)

B. [1, 2) C. (1, 2] D. [1, 2] )

2. 已知 a ? R ,若复数 z ? A. 13 B. 13

a ? 2i 为纯虚数,则 | 3 ? ai |? ( ) 1? i
C. 10 D. 10 ) D. ? 3 )

3. 已知 ? ? ?0, ? ? , cos(? ? A.

3 3

2 ,则 tan 2? ? ( 3 2 3 3 B. ? 3 或 ? C. ? 3 3 )??

?

4. 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于( A.30 B.45 C.90 D.186 )

? ? ? ? ? ? ? 5. 已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 ,则 a ? ? b 与 ? a ? b 互相垂直的充要条件是( 3 1 1 A. ? ? ?1 或 ? ? 1 B. ? ? ? 或 ? ? 2 2
C. ? ? ?

3 3 或? ? 2 2

D. ? 为任意实数

6.已知某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的表面积等于( A. )

160 3

B.160 D. 88 ? 8 2

C. 64 ? 32 2

7. 已知数列 ?an ? 的首项为 3, 数列 ?bn ? 为等差数列, bn ? an?1 ? an (n ? N ? ),b3 ? ?2,

b10 ? 12 ,则 a8 等于(
A.0

) B.3 C.8 D.11 )

8.下列函数中在区间 (1,?? ) 上为增函数,且其图像为轴对称图形的是(

1

A. y ? ? x 2 ? 2x ? 1

B. y ? cos x

C. y ? lg | x ? 1 |

D. y ? x 3 ? 3x 2 ? 3x

9. 如图, 等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G , 已知 ?A?ED 是△ ADE 绕 DE 旋 转过程中的一个图形,下列命题中,错误的是( A.动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B.恒有平面 A?GF ⊥平面 BCDE C.三棱锥 A? ? EFD 的体积有最大值 D.异面直线 A?E 与 BD 不可能垂直 10. △ ABC 中,角 A,B,C 的对边为 a,b,c ,向量 m ? ( 3,1),n ? (cos A sin A) , ? , 若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 A,B 的大小分别为( A. , ) )

π π 3 6

B.

2π π , 3 6

C. ,

π π 6 3

D. ,

π π 3 3


11.设 a n ? A.25

1 n? sin , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,在 S1 , S 2 ,?, S100 中,正数的个数是( n 25
B.50 C.75 D.100

? 1 ? x ? 1, x ? ?0,2? ? 12.函数 f ( x) ? ? 1 ,则下列说法中正确命题的个数是( ) ? 2 f ( x ? 2), x ? ?2,??? ?
① 函数 y ? f ( x) ? ln(x ? 1) 有 3 个零点; ② 若 x ? 0 时,函数 f ( x) ?

3 k 恒成立,则实数 k 的取值范围是 [ , ? ?) ; 2 x

[来源:Z&xx&k.Com]

③ 函数 f (x) 的极大值中一定存在 最小值; ④ f ( x) ? 2 k f ( x ? 2k ) , ( k ? N ) ,对于一切 x ?[0, ? ?) 恒成立. A.1 B.2 C.3 D.4

第 II 卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.等比数列 ?an ?满足 a1 , a5 是方程 x ? 82 x ? 81 ? 0 的两个根,且 a1 ? a5 ,则 a3 ?
2

___________________. 14.已知数列 ?an ? 为等差数列, 大值是_____________.
2

a11 ? ?1,且它的前 n 项和 S n 有最大值,则使 S n ? 0 的 n 的最 a10

15.已知 ?ABC 的外接圆圆心为 O , AB ? 2 , AC ? 3 ,则 AO? BC =_______________. 16.在从空间中一点 P 出发的三条射线 PA,PB ,PC 上分别取点 M,N,Q, 使 PM=PN=PQ=1,且 ?BPC ? 90? , ?BPA ? ?CPA ? 60? ,则三棱锥 P-MNQ 的外接球 的 体积为 _______________.

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 函数 f

? x? ?

? ? ? ? 3 , a ? ( 3 cos ? x,sin ? x), b ? (cos ? x, ? cos ? x) , 其 中 ? ? 0 , 点 a? b ? 2
?

? x1,0? , ? x2 ,0? 是函 数 f ? x ? 图像上相邻的两个对称中心,且 x1 ? x2
(1)求函数 f ? x ? 的表达式;

?
2

(2)若函数 f ? x ? 图像向右平移 m ? m ? 0? 个单位后所对应的函数图像是偶函数图像, 求 m 的最小值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , AB ? 面 BCC1 B1 , 且 AB ? BC ? BB1 ? 2 ,点 M , N 为 AB, A1C 的中点. (1)求证: MN ∥平面 BCC1 B1 ; (2)求证: MN ? 平面 A1 B1C ; (3)求三棱锥 M ? A1 B1C 的体积. B M C A

[来源:学科网]

N A1 B1
3

C1

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 为等差数列,且满足 a2 ? 3, a4 ? a5 ? a6 ? 18 ,数列 ?bn ? 满足

b1 ? 1, bn?1 ? 2bn ? 1
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ? an ? bn ,试求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 20. (本小题满分 12 分) 在等腰梯形 PDCB 中(如图 1) DC // PB , PB ? 3CD ? 3 , PD ? ,

2 , DA ? PB ,垂足为

A ,将 ?PAD 沿 AD 折起,使得 PA ? AB ,得到四棱锥 P ? ABCD (如图 2) (1)求证:平面 PAD ? 平面 PCD ; (2)点 M 在棱 PB 上,平面 AMC 把四棱锥 P ? ABCD 分成两个几何体,当这两个几何体的
体积之比,即

VPMACD 5 PM ? 时,求 的值; MB VM ? ABC 4
P M

(3)在(2)的条件下,求证: PD // 平面 AMC .

[来源:学科网]

P
[来源:学#科#网]

A

A B

B

D 21. (本小题满分 12 分) 图 1

C

D 图2

C

数列 ?an ?的前 n 和为 Sn ,且满足 a n ? S n ? 1 n ? N ? (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)是否存在实数 ? ,使得数列 ?S n ? ?n ? 在,说明理由; (3)设 bn ?

?

?

? ?

3? ? ? 为等差数列,若存在,求出 ? 的值,若不存 2n ?

1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . 2 (an ? 1)(an?1 ? 1)
n?1

4

22. (本小 题满分 12 分) 函数 f ( x) ? (m ? 1) ln x ? mx2 ? 1 (m ? R) (1)讨论 f (x) 的单调性; (2)若对任意的 x1 ? x2 ? 0 ,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) 恒成立,求实数 m 的取 值范围.

文科 CBCCA 13-16 题 17 题

C BCD A 9 19

DB

5 2
) 1 ? 12

2 ? 3

cos( 2 x ?

?
6

18 题

(3)

4 3

19 题 (1) an ? n ? 1 bn ? 2 ? 1 , ,
n

(2) Tn ? n ? 2 n ?1 ? 20 题

n(n ? 3) 2

(2)

1 2

21 题

1 2n 1 、 ( 2) 3 1 1 (3) ? n ?1 3 2 ?1 (1)
5

22 题
(2) m ? 1? 3 2

提示:令 h( x) ? f ( x) ? 2 x , h( x) ? f ( x) ? 2 x 在 (0,??) 上单调递增

h?( x) ?

m ?1 ? 2mx ? 2 ? 0 恒成立 x

6



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