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2016山东高考文科数学解析版



2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

文科数学
第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 设集合 U A.

? {1, 2,3, 4,5, 6} , A ? {1,3,5} , B

? {3, 4,5} 则
B.

U

A B=
D.

{2, 6}

{3, 6}

C.

{1,3, 4,5}

{1, 2, 4, 6}

【答案】A 【解析】

A ? B ? {1, 3, 4, 5} , Cu(A ? B) ? {2, 6}

2. 若复数 z A. 1+i 【答案】B 【解析】 z

?

2 其中 i 为虚数单位,则 z 1? i
B. 1-i

= C.-1+i D. -1-i

?

2 2(1 ? i ) 2 ? 2i 2 ? 2i 2 ? ? ,因为 i =-1,所以 z= ? 1 ? i ,得到 z 2 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 1 ? i 2

=1-i

3. 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是 [17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30]。根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间 不少于 22.5 小时的人数是

A. 56 【答案】D

B. 60

C.120

D. 140

【解析】由频率分布直方图可得,自习时间不少于 22.5 小时出现的概率 P ? ? 0.16 ? 0.08 ? 0.04 ? ? 2.5 ? 0.7 ,所以要求的人 数为 0.7 ? 200 ? 140 .

1

?x ? y ? 2, ? 2 2 4. 若变量 x,y 满足 ?2x ? 3y ? 9,则 x + y 的最大值是 ?x ? 0, ?
A. 4 【答案】C 【解析】由条件可得可行域如图所示,目标函数表示可行域内的点到原点距离最大值的平方,所以点 A 使得距离最大,且
A 点坐标满足 ?

B. 9

C.10

D. 12

?x ? y ? 2 2 2 ,即 A ? 3, ?1? ,所以 x + y 的最大值 10. 2 x ? 3 y ? 9 ?

5. 一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示。则该几何体的体积为

1

1 主视图

1 侧视图

俯视图

A.

1 2 ? ? 3 3

B.

1 2 ? ? 3 3

C.

1 2 ? ? 3 6

D.

1?

2 ? 6

【答案】C 【解析】由三视图可得原图形是下为四棱锥,上为半球的组合体;由正视图和侧视图可得四棱锥的高为 1,由俯视图可得四 棱锥的底部是边长为 1 的正方形,所以四棱锥体积 V1 = S底 h ?
3

1 3

1 2 1 2 ?1 ?1 ? ;由俯视图可得球的半径为 R ? ,所以半球 3 3 2

1 2 1 4 1 4 ? 2? 2 V ? V1 +V2 = ? π. V2 = ? πR 3 ? ? π ? ? ? ? 6 π ,所以 3 6 2 3 2 3 ? 2 ? ?

2

6.已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 ?,? 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 ? 和平面 ? 相交”的 A. 充分不必要条件 【答案】A 【解析】若直线相交,一定存在交点,平面一定存在一条交线,所以是充分条件;两平面相交,平面内两条直线关系任意. 7.已知圆 M: x
2

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

y2

2ay

0(a

0) 截直线 x

y

0 所得线段的长度是 2 2 ,则圆 M 与圆 N:

2 (x-1) ( y 1)2

1 的位置关系是
C 外切 D 相离

A 内切 【答案】B 【解析】圆 M: x
2

B 相交

? y 2 ? 2ay ? 0 ,即 x 2 ? ( y ? a ) 2 ? a 2 ,圆心(0,a),半径 r=a,圆心到直线 x+y=0 的距离是
2 ,一半就是 2 ,
2a 2


2a 2
交。

,圆 M 截得直线的长度是 2

2 ,半径 a,三者的距离构成一个直角三角形,满足勾

股定理,求得 a=2,所以圆 M:

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,圆 N 解析式已知,R+r=2+1=3,两圆心的距离 d=1,1<4,所以是相
2b2 (1 sin A) ,则 A=

8. △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b
3π 4 π 3 π 4 π 6

c, a 2

A

B

C

D

【答案】C 【解析】 a

? b 2 ? c 2 ? 2ab cos A ,因为 b=c,所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cos A = 2b 2 ? 2b 2 cos A ? 2b 2 (1 ? cos A) ,因为题中 a 2 ? 2b 2 (1 ? sin A) ,得到 sinA=cosA,在三角形中, A ? (0, ? ) ,
2

得到 A=

?
4

9. 已知函数 f ( x) 的定义域为 R,当 x ? 0 时,

f ( x) ? x3 ? 1; 当 ?1 ? x ? 1 时, f (? x) ? ? f (x); 当 x ? 1 时,
2

1 1 f ( x ? ) ? f ( x ? ) ,则 f (6) =( ) 2 2
(A)

?2

(B) ?1

(C) 0

( D) 2

【答案】D 【解析】当 x 当 x ? 0 时,

?

1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) ,则 f ( x ) ? f ( x ? 1) ,周期为 1, f (6) ? f (1) 。 2 2 2

f ( x) ? x3 ? 1 ,且 ?1 ? x ? 1, f (? x) ? ? f ( x) ,? f (6) ? f (1) ? ? f (?1) ? 2 .
3

10. 若函数 y ? f ( x) 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y ? f ( x) 具有 T 性质。下列 函数中具有 T 性质的是( ) (A)

y ? sin x

(B)

y ? ln x

(C)

y ? ex

( D) y

? x3

【答案】A 【解析】T 性质是在函数的图象上存在两点切线垂直,既存在两点导数值相乘为 ?1 ; B 选项中

y ? ln x 的导数是 y? ?

1 恒大于 0 ,斜率乘积不可能为 ?1 ; x

C 选项中 D 选项中

y ? e x 的导函数 y? ? e x 恒大于 0 ,斜率乘积不可能为 ?1 ; y ? x 3 的导函数 y? ? 3x 2 恒大于等于 0 ,斜率乘积不可能为 ?1 .
第Ⅱ卷 (共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11. 执行右边的程序框图,若输入的 n 的值为 3,则输出的 S 的值 为________. 【答案】1 【解析】由于 n=3,则需要 i=3 满足条件才能输出 s,故 i=1 时,s=√2 ? 1,1=2 时,s=√3 ? 1,i=3 时,s=1 12. 观察下列等式:

π 2π 4 (sin )?2 ? (sin )?2 ? ?1? 2 ; 3 3 3 π 2π 3π 4π 4 (sin )?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? ? 2 ? 3 ; 5 5 5 5 3 π 2π 3π 6π 4 (sin )?2 ? (sin )?2 ? (sin )?2 ? ??? ? (sin ) ?2 ? ? 3 ? 4 ; 7 7 7 7 3 π 2π 3π 8π 4 (sin )?2 ? (sin )?2 ? (sin )?2 ? ??? ? (sin ) ?2 ? ? 4 ? 5 ; 9 9 9 9 3
……

4

照此规律, (sin

π ?2 2π ?2 3π ?2 2nπ ?2 ) ? (sin ) ? (sin ) ? ??? ? (sin ) ? _________. 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

【答案】

4n( n ? 1) 3
4

【解析】根据以上的等式可观察出,等式右边的3.不变,正弦的中角度的分母为奇数 2n+1,且等式右边的第二个数恰好是等式 左边的项数 n,故第 n 项为3 × × ( + 1) (13)已知向量 a=(1,–1),b=(6,–4).若 a⊥(ta+b),则实数 t 的值为________.
4

【答案】-5 【解析】向量a = (1, ?1), b = (6, ?4),则(ta + b) = (6 + t, ?4 ? t),向量 a 与向量(ta+b)垂直,则数量积为零,得方程 7+t+4+t=0,解得 t=-5 (14)已知双曲线 E:

x2 y2 – =1(a>0,b>0).矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个 a 2 b2

焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是______.

【答案】 2 【解析】图形如下,由条件可得

AB ?

b 2 ? c 2 ? a 2 ,所以 2 ? c 2 ? a 2 ?

2b 2 ? 3 ? 2c ,即 2b 2 ? 3ac ,又因为 a ? 3ac ,等式两侧同时除以 a 2 ,所以 2 e2 ? 1 ? 3e ? e ? 1? ,解得 e ? 2 .
2b 2 a


BC ? 2c ,所以 2 ?

?

?

(15)已知函数 f(x)= ?

? ? x , x ? m,
2 ? ? x ? 2mx ? 4m, x ? m,

其中 m>0.若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同

的根,则 m 的取值范围是_______.

【答案】

+? ? ? 3,

【解析】由

f ? x ? 解析式可得图象可以如下图,则在函数第二段二次函数的对称轴处刚好是分段函数的分界点,又由于存
x 的方程 f ? x ? ? b 有三个不同的实数根,则必须满足在第一象限内: m ? m2 ? 2m2 ? 4m ,即得

在实数 b,使得关于

m ? 3.
5

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分
16. (本小题满分 12 分) 某儿童乐园在”六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需要转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停 止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x, y .奖励规则如下: ① ② ③ 若 xy 若 xy

? 3 ,则奖励玩具一个;
? 8 ,则奖励水杯一个;

其余情况奖励饮料一瓶。

假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动。 (1) (2) 【解析】 记小亮两次转动结束后的结果为(x,y),则转动结束后可能出现的结果如 下: 求小亮获得玩具的概率; 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

(1,1) ,(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2,1),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3,1),(3, 2),(3, 3),(3, 4),(4,1),(4, 2),(4, 3),(4, 4) 共 16 种情况。
(Ⅰ).记小亮获得玩具为事件 A,则事件 A 包含的基本事件有: (1,1) ,(1, 2),(1, 3),(2,1),(3,1) ,共 5 种情况。

由古典概型得:

P( A) ?

5 16 。

(II)记小亮获得水杯为事件 B,则事件 B 包含的基本事件有: (2, 4),(3, 3),(3, 4),(4, 2),(4, 3),(4, 4) ,共 6 种情况。

由古典概型得:

P( B) ?

6 3 ? 16 8 。
P(C ) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 5 16

记小亮获得饮料为事件 C:

∵P( B) ?

6 5 ? P( A) ? 16 16
6

∴小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率。 17. (本小题满分 12 分) 设

f ( x) ? 2 3 sin(? ? x)sin x ? (sin x ? cos x) 2 .
f ( x ) 的单调递增区间; y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图像向左平移
的图像,求 g (

(I)求 (II)把 函数

y ? g ( x)

?
6

? 个单位,得到 3

) 的值.

【解析】

f ( x) ? 2 3 sin(? ? x) sin x ? (sin x ? cos x) 2 ? 2 3 sin 2 x ? (1 ? 2sin x cos x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ? 1 3
(Ⅰ):化简得:

?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ? 1 ,所以求 f (x) 单调增区间,只需: 3

?

令?

? ? ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z 2 3 2

计算得: ?

? 5? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? , k ? Z 6 6

得: ?

? 5? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 12 12
f ( x) 的单调递增区间是 [?

所以,函数

? 5? ? k? , ? k? ],(k ? Z ) 12 12
3 ?1

(Ⅱ)由题意知, g ( x) ? 2sin x ? 所以: g (

? ? ) ? 2sin + 3 ? 1 ? 3 6 6

18. (本小题满分 12 分)
在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB. (I)已知 AB=BC,AE=EC. 求证:

AC ? FB ;

(II)已知G,H分别为 EC 和 FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC;

7

【解析】 (Ⅰ):在 ?ABC 中, 所以

AB ? BC, D 是 AC 中点,

AC ? BD

连接 DE, 同理得:

AC ? DE

∵BD ? DE ? D

∴AC ? 平面BDE

∵EF / / BD
所以 E,F,B,D 四点共面

∴FB ? 平面BDE

∴AC ? FB
(Ⅱ)取 FC 中点 M,连结 GM,HM 在 ?EFC ,G,M 分别是CE,CF的中点

? GM / / EF EF / / BD ,? GM / / BD
又 GM ? 平面ABC,BD ? 平面ABC ? GM / /平面ABC
同理:? HM

/ /平面ABC

GM ? HM ? M
? 平面GMH / /平面ABC GH ? 平面GMH

? GH / /平面ABC
8

19.(本小题满分 12 分) 已知数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n 2 ? 8n,?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1 .

(I)求数列

?bn ? 的通项公式;
(an ? 1) n ?1 ,求数列 c 的前 n 项和 T 。 ? n? n (bn ? 2) n

(II)令 c

n

?

【解析】

(1) 解:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 11 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

? (3n2 ? 8n) ? [3(n ? 1)2 ? 8(n ? 1)]

? 6n ? 5
当 n ? 1 时, a1 ? 11 符合①式 综上: an ? 6n ? 5

----------①

{bn } 是等差数列 且 an ? bn ? bn?1 ? bn ? bn?1 ? 6n ? 5
当 n ? 1 时, b1 ? b2 ? 11 --------② 当 n ? 2 时, b2 ? b3 ? 17 --------③
③-②得: b3

? b1 ? 2d ? 6

?d ?3
又计算得 b1

?4

? bn ? 3n ? 1
(2)由(1)知, an ? 6n ? 5 , bn ? 3n ? 1

? cn ? (an ? 1)

n ?1

(bn ? 2) n

?

(6n ? 6) n?1 ? (6n ? 6) ? 2n n (3n ? 3)

Tn ? (6 ?1 ? 6) ? 21 ? (6 ? 2 ? 6) ? 22 ? 2Tn ? (6 ?1 ? 6) ? 22 ? (6 ? 2 ? 6) ? 23 ?
④-⑤得: ?Tn

? (6n ? 6) ? 2 n

………………….④

? (6( n ? 1) ? 6) ? 2n ? (6n ? 6) ? 2 n?1 ------⑤ ? 6 ? 2n ? (6n ? 6) ? 2n?1
9

? (6 ?1 ? 6) ? 21 ? 6 ? 22 ?

? 12 ? 6 ? 21 ? 6 ? 22 ?

? 6 ? 2n ? (6n ? 6) ? 2n?1

? 12 ? 6[

2(1 ? 2n ) ] ? (6n ? 6) ? 2n?1 1? 2

? ?3n ? 2n?2

? Tn ? 3n ? 2n? 2
20.(本小题满分 13 分) 已知

f ( x) ? x ln x ? ax 2 ? (2a ? 1) x, a ? R .

(I)令 g ( x) (II)已知 【解析】 (1) g ( x )

? f ?( x) ,求 g ( x) 的单调区间;

f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围。
? f '( x ) ? ln x +1 ? 2ax ? (2a ? 1), x ? ? 0, ?? ?

g '( x ) ?

1 1 ? 2ax ? 2a ? x x

①当 a ? 0时,g ' ? x ? ? 0, g ? x ? 单调递增;

? 1 ? ? 1 ? ②当 a ? 0时,x ? ? 0, ? , g ' ? x ? ? 0, g ? x ? 单调递增;x ? ? , ?? ? , g ' ? x ? ? 0, g ? x ? 单调递减; ? 2a ? ? 2a ?
综上所述, a ? 0时,g ? x ?的单调递增区间 ? 0 ? ? ? ,无单减区间;

? 1 ? ? 1 ? a ? 0时,g ? x ?的单调递增区间? 0, ? ,单减区间? , ?? ?; ? 2a ? ? 2a ?
(2)

f '(1) ? ln1+1 ? 2a ? (2a ? 1)=0

当 a ? 0时,g ? x ? 单调递增,f ' ? x ? 单调递增 ,
? x ? ? 0,1? , f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递减; x ? ?1, ?? ? , f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递增

? x ? 1处取极小值,舍去。
? 1 ? ? 1 ? 1)知,函数f ' ? x ? 单增区间? 0, ? , 单减区间? , ?? ?; 当 a ? 0时,由( 2 a 2 a ? ? ? ?
i)当

1 1 ? 1 ? ? 1,即a ? 时, ? x ? ? 0,1? , f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递减; x ? ?1, ? , f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递增 , 2a 2 ? 2a ?

? x ? 1处取极小值,舍去。
ii)当

1 1 =1,即a = 时, ? x ? ? 0,1? , f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递减; x ? ?1, ?? ? , f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递减 ; 2a 2

10

?函数f ? x ? 无极值点,舍去
iii)当

1 1 ? 1 ? ? 1,即a ? 时, ? x ? ? ,1? , f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递增; x ? ?1, ?? ? , f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递减 , 2a 2 ? 2a ?

? x ? 1处取极大值。
?1 ? 综上, a的取值范围 ? , ?? ? ?2 ?
21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: (1)

x2 y2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的长轴长为 4,焦距为 2 a 2 b2

2。

求椭圆 C 的方程;

(2)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的 垂线交 C 于另一点 Q,延长 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM, QM 的斜率分别为 k , k ? ,证明 (ii)求直线 AB 的斜率的最小值.

k? 为定值; k

【解析】

(1)

? 2a ? 4 ?a ? 2 ? ? x2 y2 2 c ? 2 2 ? c ? 2 ? ? ?1 ? ? 4 2 ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? ? ?b ? 2

(2)(i) 设直线AP:y ? kx ? m ? k ? 0 ?,N ? ?

? m ? ,0 ? ? k ?

?m ? M 是PN的中点,M ? 0, m ? ? P ? ,2m ? k ? ?
?2m ? m ?m ? ?Q ? , ?2m ? ,? k ' ? ? ?3k m k ? ? ?0 k



k' ? ?3 k

11

? x2 y2 ?1 ? ? 可得, ? 2k 2 ? 1? x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 4 ? 0 2 (ii) 联立 ? 4 ? y ? kx ? m ?
△=-8m 2 ? 16k 2 ? 8 ? 0

?*?

m 4km ? xA ? ? ? 2 ? 2m 2 ? 4 ? k ? 4k 2 ? k 2k ? 1 2 ? x ? ,且 m ? 代入 ?*? 式成立。 ? A 2 8k 2 +1 2k 2 ? 1? m ? ? x ? m ? 2m ? 4 ? A k 2k 2 ? 1 ?
同理,可求得 x B ? 直线 AB 斜率:

? 2m ?18k

2 2

? 4? k

? 1? m

k AB ? ? ?

? ?3kxB ? m ? ? ? kx A ? m ?
xB ? x A ?3kx B ? kx A xB ? x A ?3k ?

yB ? y A xB ? x A

?

? 2m ? 4 ? k ? ? 2m ? 4 ? k ?18k ? 1? m ? 2k ? 1? m ? 2m ? 4 ? k ? k ? ? 2m ? 4 ? k ?3k ? ?18k ? 1? m ? 2k ? 1? m ? ? 2m ? 4 ? k ? ? 2m ? 4 ? k ?18k ? 1? m ? 2k ? 1? m
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? 2m ?18k

2 2

? 4? k

? 1? m

?k?

? 2m ? 2k

2

2

? 1? m

? 4? k

6k 2 ? 1 4k 3k 1 6 ? ? ? 2 4k 2 3k 1 6 当且仅当 ? ,即k ? 时等号成立 2 4k 6 ?

12



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