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§3.1.2 导数的概念


§ 3.1.2 导数的概念
学习目标 1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义; 2.会运用瞬时速度的定义,求物体在某一时刻的瞬时速度. 学习过程 一、课前准备 预习教材 P78~ P80,找出疑惑之处) 复习 1:气球的体积 V 与半径 r 之间的关系是 r (V ) ? 3 增加到 1 时,气球的平均膨胀率.
3V ,求当空气容量 V 从 0 4?

复习 2: 高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h 与起跳后的时间 t 的关系为: 2 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 . 求在 1 ? t ? 2 这段时间里,运动员的平均速度.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 瞬时速度 问题 1:在高台跳水运动中,运动员有不同时刻的速度是 新知: 1.瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 探究任务二:导数
?s 当 ?t 趋近于 0 时的 ?t 得 导 数 的 定 义 : 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是

问题 2: 瞬时速度是平均速度

?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ,我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 ? lim ?x ?0 ?x ?x f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) 或 y? |x ? x0 即 f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x
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注意:(1)函数应在点 x 0 的附近有定义,否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中, ?x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0,而 ?y 可以 为0 ?y (3) 是函数 y ? f ( x) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平均变化率, 它的几何意义 ?x 是过曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )及点 ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x) )的割线斜率
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(4)导数 f / ( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x 0 的处瞬时变 ?x

化率,它反映的函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处变化的快慢程度. 小结:由导数定义,高度 h 关于时间 t 的导数就是运动员的瞬时速度,气球半径 关于体积 V 的导数就是气球的瞬时膨胀率. ※ 典型例题 例 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和 加热. 如果在第 xh 时,原油的温度(单位: 0 c )为 f (x) ?x 2 ?7x ?15(0 ? x ? 8) . 计 算第 2h 和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

总结: 函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减;它的绝对值反映函数值变 化的快慢. 例2

?s . ?t ?s (2)当 t=2,Δ t=0.001 时,求 . ?t
(1)当 t=2,Δ t=0.01 时,求

已知质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),

(3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度

小结:

利用导数的定义求导,步骤为: 第一步,求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;
?y f ( x0 ? ?x) ; ? ?x ?x ?y 第三步:取极限得导数 f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

第二步:求平均变化率

※ 动手试试 练 1. 在例 1 中,计算第 3h 和第 5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

练 2. 一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是 s(t ) ? t 2 (位移单位:m,时间单位: s),求小球在 t ? 5 时的瞬时速度
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三、总结提升 ※ 学习小结 这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念,它是用平均速度的极限来定义 的,主要记住公式:瞬时速度 v= lim ※ 知识拓展 导数存在 ? 连续 ? 有极限 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ).
?t ?0

s (t ? ?t ) ? s (t ) ?t

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※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 一直线运动的物体,从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的位移为 ?s ,那么 lim ?s 为
?t ?0

?t

( ) A.从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的平均速度; B.在 t 时刻时该物体的瞬时速度; C.当时间为 ?t 时物体的速度; D.从时间 t 到 t ? ?t 时物体的平均速度 2. y ? x 2 在 x =1 处的导数为( ) A.2 x B.2 C. 2 ? ?x D.1
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3. 在 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 中, ?x 不可能( ?x



A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.大于 0 或小于 0 2 4.如果质点 A 按规律 s ? 3t 运动,则在 t ? 3 时的瞬时速度为 5. 若 f ?( x0 ) ? ?2 ,则 lim k ?0
f [ x0 ? 1 k ] ? f ( x0 ) 2 等于 k

课后作业 1. 高台跳水运动中, h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 (单位: ts 时运动员相对于水面的高度是: m),求运动员在 t ? 1s 时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.

2. 一质量为 3kg 的物体作直线运动,设运动距离 s(单位:cm)与时间(单位:s) 的关系可用函数 s(t ) ? 1 ? t 2 表示,并且物体的动能 U ? mv2 . 求物体开始运动后第 5s 时的动能.
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