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2014届高考数学一轮复习 第二章函数2.3函数的奇偶性与周期性教学案 理 新人教A版



2.3

函数的奇偶性与周期性

考纲要求 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数

奇函数

定义 如果对于函数 f(x)的定义

域 内任意一个 x, 都有________, 那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域 内任意一个 x, 都有________, 那么函数 f(x)是奇函数

图象特点 关于____对称

关于______对称

2.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任 何值时,都有 f(x+T)=______,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周 期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中____________的正数,那么这个 ____正数就叫做 f(x)的最小正周期. 3.对称性 若函数 f(x) 满足 f(a - x) = f(a + x) 或 f(x) = f(2a - x) ,则函数 f(x) 关于直线 __________对称. 1 1.函数 f(x)= -x 的图象关于( ).

x

A.y 轴对称 C.坐标原点对称 2.若函数 f(x)=

B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称

x x+ x-a

为奇函数,则 a=(

).

1 2 3 A. B. C. D.1 2 3 4 3.(2013 山东师大附中高三模拟)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+1)= -f(x),若 f(x)在[-1,0]上是增函数,那么 f(x)在[1,3]上是( ). A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 4. 若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数, 且满足 f(1)=1, f(2)=2, 则 f(3)-f(4)=( ). A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.若偶函数 f(x)是以 4 为周期的函数,f(x)在区间[-6,-4]上是减函数,则 f(x) 在[0,2]上的单调性是__________.

一、函数奇偶性的判定 【例 1】判断下列函数的奇偶性. 2 2 (1)f(x)= 3-x + x -3; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x

1

4-x (3)f(x)= . |x+3|-3 方法提炼 判定函 数奇偶性的常用方法及思路: 1.定义法

2

2.图象法

3.性质法:(1)“奇+奇”是奇, “奇-奇”是奇,“奇·奇”是偶, “奇÷奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶·偶”是偶,“偶÷偶”是偶; (3)“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇. 提醒:(1)分段函数奇偶性的判断,要注意定 义域内 x 取值的任意性,应分段讨论,讨 论时可依据 x 的范围取相应地化简解析式,判断 f(x)与 f(-x)的关系,得出结论,也可以 利用图象作判断. (2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. (3)性质法在选择题和填空题中可直接运用,但在解答题中应给出性质推导的过程. 请做演练巩固提升 1 二、函数奇偶性的应用 3 【例 2-1】设偶函数 f(x)满足 f(x)=x -8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ). A.{x|x<-2,或 x>0} B.{x|x<0,或 x>4} C.{x|x<0,或 x>6} D.{x|x<-2,或 x>2} 1+ax 【例 2-2】设 a,b∈R,且 a≠2,若定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)=lg 是奇 1+2x 函数,则 a+b 的取值范围为__________. 3 2 【例 2-3】设函数 f(x)=x +bx +cx(x∈R),已知 g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数. (1)求 b,c 的值; (2)求 g(x)的单调区间与极值. 方法提炼 函数奇偶性的应用: 1.已知函数的奇偶性求函数的解析式 ,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的 解析式,或充分利用奇偶性产生关于 f(x)的方程,从而可得 f(x)的解析式. 2.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数,常常采用待定系数法:利用 f(x)±f(-x)=0 产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值. 3.奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 4.若 f(x)为奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0.这一结论在解决问题中十分便 2 捷,但若 f(x)是偶函数且在 x=0 处有定义,就不一定有 f(0)=0,如 f(x)=x +1 是偶函 数,而 f(0)=1. 请做演练巩固提升 3,4 三、函数的周期性及其应用
2

? 3? 且 f(1)=3, 【例 3-1】 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f?x+ ?, 则 f(2 014) ? 2? =__________. 1+f x 【例 3-2】已知函数 f(x)满足 f(x+1)= ,若 f(1)=2 014,则 f(103)= 1-f x __________. 方法提炼 抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出,常见的有以下几种情形: (1)若函数满足 f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知 T 是函数的一个周期; (2)若满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以 2a 是函数的一个周期; 1 1 (3)若满足 f(x+a)= ,则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]= =f(x),所以 2a 是 f(x) f(x+a) 函数的一个周期; 1 (4)若函数满足 f(x+a)=- ,同理可得 2a 是函数的一个周期; f(x) (5)如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则①kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周期,即 f(x +kT)=f(x); ②若已知区间[m, n](m<n)的图象, 则可画出区间[m+kT, n+kT](k∈Z 且 k≠0) 上的图象. 请做演练巩固提升 5
没有等价变形而致误 【典例】函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1·x2)= f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的 取值范围. 错解:(1)令 x1=x2=1,有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,证明如下: 令 x1=x2=-1,有 f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3, 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 得 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, 7 ∴(3x+1)(2x-6)≤64.∴- ≤x≤5. 3 分析:(1)从 f(1)联想自变量 的值为 1,进而想到赋值 x1=x2=1.(2)判断 f(x)的奇偶 性,就是研究 f(x),f(-x)的关系,从而想到赋值 x1=-1,x2=x.即 f(-x)=f(-1)+ f(x).(3)就是要出现 f(M)<f(N)的形式,再结合单调性转化为 M<N 或 M>N 的形式求解. 正解:(1)令 x1=x2=1, 有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,证明如下: 令 x1=x2=-1, 有 f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1), 解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x),
3

∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3. 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0. 7 1 1 解得- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5. 3 3 3 ∴x 的取值范围是 ? ? 7 ? 1 1 ?x?- ≤x<- ,或- <x<3,或3<x≤5? . 3 3 3 ? ? ?

答题指导:
等价转化要做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“M”等价于“N”、“M”变形为“N”. (2)要写明转化的条件. 如本例中: ∵f(x)为偶函数, ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x -6)|]≤f(64). (3)转化的结果要等价.如本例:由于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64)? |(3x+1)(2x- 6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0.若漏掉(3x+1)(2x-6)≠0,则这个转化就不等价了.

1.下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是( ). |x| 2 A.y=2 B.y=lg(x+ x +1) 1 x -x C.y=2 +2 D.y=lg x+1 2.已知函数 f(x)对一切 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),则 f(x)为( ). A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 3.函数 f(x)的定义域为 R,且满足:f(x)是偶函数,f( x-1)是奇函数,若 f(0.5)=9, 则 f(8.5)等于( ). A.-9 B.9 C.-3 D.0 4.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2 x-4(x≥0),则不等式 f(x-2)>0 的解集为( ). A.{x|x<-2,或 x>4} B.{x|x<0,或 x>4} C.{x|x<0,或 x>6} D.{x|x<-2,或 x>2} 5.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,f(-1)=1,则 f(2 008) +f(2 009)+f(2 010)+ f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)=__________.

4

参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1.f(-x)=f(x) y 轴 f(-x)=-f(x) 原点 2.(1)f(x) (2)存在一个最小 最小 3.x=a 基础自测 1.C 解析:判断 f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故选 C. 2.A 解析:∵f(x)为奇函数, ∴f(x)=-f(-x),

x x 1 即: = 恒成立,整理 得:a= .故选 A. (2x+1)(x-a) (-2x+1)(-x-a) 2 3.C 解析:由 f(x+1)=-f(x),得 f(x+2)=f(x),即函数 f(x)的周期为 2,因为 f(x)是偶函数,且在[-1,0]上是增函数,所以在[0,1]上是减函数,所以 f(x)在[1,2]上递 增,在[2,3]上递减,选 C. x x x ? ? ?2 ,2 ≤1, ?2 ,x≤0, 1 x x 4.A 解析:f(x)= [(1+2 )-|1-2 |]=? 即 f(x)=? 选 x 2 ?1,2 >1, ?1,x>0, ? ?
A. 5.单调递增 解析:∵T=4,且在[-6,-4]上单调递减, ∴函数在[-2,0]上也单调递减.又 f(x)为偶函数,故 f(x)的图象关于 y 轴对称, 由对称性知 f(x)在[0,2]上单调递增. 考点探究突破 2 ? ?3-x ≥0, 【例 1】解:(1)由? 2 ?x -3≥0, ? 得 x=- 3或 x= 3. ∴函数 f(x)的定义域为{- 3, 3}. ∵对任意的 x∈{- 3, 3},-x∈{- 3, 3},且 f(-x)=-f(x)=f(x)=0, ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数. 1-x (2)要使 f(x)有意义,则 ≥0, 1+x 解得-1<x≤1,显然 f(x)的定义域不关于原点对称, ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 2 ? ?4-x ≥0, ? (3)∵ ?|x+3|≠3, ? ∴-2≤x≤2 且 x≠0. ∴函数 f(x)的定义域关于原点对称. 2 2 4-x 4-x 又 f(x)= = , x+3-3 x 4-(-x) 4-x =- , -x x ∴f(-x)=-f(x),即函数 f(x)是奇函数. 【例 2-1】B 解析:当 x<0 时,-x>0, 3 3 ∴f(-x)=(-x) -8=-x -8. 又 f(x)是偶函数, 3 ∴f(x)=f(-x)=-x -8. 3 ?x -8,x≥0, ? ∴f(x)=? 3 ? ?-x -8,x<0.
2 2

f(-x)=

5

?(x-2) -8,x≥2, ? ∴f(x-2)=? 3 ?-(x-2) -8,x<2. ?

3

由 f(x-2)>0 得:? 或?
? ?x<2, ?-(x-2) -8>0. ?
3

? ?x≥2, ?(x-2) -8>0 ?
3

解得 x>4 或 x<0,故选 B. 3? ? 【例 2-2】?-2,- ? 解析:∵f(x)在(-b,b)上是奇函数, 2? ? 1-ax 1+ax 1+2x ∴f(-x)=lg =- f(x)=-lg =lg , 1-2x 1+2x 1+ax 1+2x 1-ax ∴ = 对 x∈(-b,b)成立,可得 a=-2(a=2 舍去). 1+ax 1-2x 1-2x ∴f(x)=lg . 1+2x 1-2x 1 1 由 >0,得- <x< . 1+2x 2 2 又 f(x)定义区间为(-b,b), 1 3 ∴0<b≤ ,-2<a+ b≤- . 2 2 3 2 【例 2-3】解:(1)∵f(x)=x +bx +cx, 2 ∴f′(x)=3x +2bx+c, ∴g(x)=f(x)-f′(x) 3 2 =x +(b-3)x +(c-2b)x-c. ∵g(x)是一个奇函数, ∴g(0)=0,得 c=0, 由奇函数定义 g(-x)=-g(x)得 b=3. 3 (2)由(1)知 g(x)=x -6x, 2 从而 g′(x)=3x -6, 由此可知,(-∞,- 2)和( 2,+∞)是函数 g(x)的单调递增区间;(- 2, 2)是 函数 g(x)的单调递减区间. g(x)在 x=- 2时,取得极大值,极大值为 4 2; g(x)在 x= 2时,取得极小值,极小值为-4 2. 【例 3-1】3 解析: ∵f(x)= ? 3? -f?x+ ?, ? 2? ?? 3? 3? ∴f(x+3)=f??x+ ?+ ? ?? 2? 2? 3 ? ? =-f?x+ ?=f(x). ? 2? ∴f(x)是以 3 为周期的周期函数. 则 f(2 014)=f(671×3+1)=f(1)=3. 1 1+f(x) 【例 3-2】- 解析:∵f(x+1)= , 2 014 1-f(x) 1+f(x) 1+ 1-f(x) 1+f(x+1) ∴f(x+2)= = 1-f(x+1) 1+f(x) 1- 1-f(x)
6

1 . f(x) ∴f(x+4)=f(x),即函数 f(x)的周期为 4. ∵f(1)=2 014, 1 1 ∴f(103)=f(25×4+3)=f(3)=- =- . f(1) 2 014 演练巩固提升 1 1.D 解析:对于 D,y=lg 的定义域为{x|x>-1},不关于原点对称,是非奇非 x+1 偶函数. 2.B 解析:显然 f(x)的定义域是 R,它关于原点对称. 令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), 又∵f(0)=0,∴f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数,故选 B. 3.B 解析:由题可知,f(x)是偶函数,所以 f(x)=f(-x). 又 f(x-1)是奇函数, 所以 f(-x-1)=-f(x-1). 令 t=x+1,可得 f(t)=-f(t-2 ), 所以 f(t-2)=-f(t-4). 所以可得 f(x)=f(x-4), 所以 f(8.5)=f(4.5)=f(0.5)=9,故选 B. 4.B 解析:当 x≥0 时,令 f(x)=2x-4>0,所以 x>2.又因为函数 f(x)为偶函数, 所以函数 f(x)>0 的解集为{x|x<-2, 或 x>2}. 将函数 y=f(x)的图象向右平移 2 个单位 即得函数 y=f(x-2)的图象,故 f(x-2)>0 的解集为{x|x<0,或 x>4}. 5.-1 解析:由已知得 f(0)=0,f(1)=-1. 又 f(x)关于 x=1 对称, ∴f(x)=f(2-x)且 T=4, ∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(3-4)=f(-1)=1, f(2 008)=f( 0)=0,f(2 009)=f(1)=-1, f(2 010)=f(2)=0,f(2 011)=f(3)=1, f(2 012)=f(0)=0, f(2 013)=f(1)=-1. ∴f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)=-1. =-

7



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