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广东省中山市2010届高三第一学期期末统一考试数学试卷(文科)


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中山市高三级 2009—2010 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页.第Ⅱ卷 3 至 8 页.共 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1,答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名,统考考号,座位号,考试科目用铅笔涂写在 答题卡上. 2,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上. 3,不可以使用计算器. 4,考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交.

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一,选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知 f ( x3 ) = lg x, 则f (2) = A. lg 2 B. lg 8 C. lg

1 8

D. lg 2

1 3

2.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2a9=9,则 log 3 a1 + log 3 a2 + + log 3 a10 = A.12 C.8 B.10 D. 2 + log 3 5

3.公差不为 0 的等差数列的第 2,3,6 项成等比数列,则公比为 A.3 B.1 C.3 或 1 D.不确定 4.下面各函数中,值域为[-2,2]的是 A. f ( x) = 2 x 1 C. f ( x ) = B. f ( x) = log 0.5 ( x + 11) D. f ( x ) = x 2 (4 x 2 )

4x x +1
2

5.已知两直线 m,n,两平面 α,β,且 m ⊥ α , n β .下面有四个命题: 1)若 α // β , 则有m ⊥ n ; 3) 若m // n, 则有α ⊥ β ; 其中正确命题的个数是: 2) 若m ⊥ n, 则有α // β ; 4) 若α ⊥ β , 则有m // n .

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A.0

B.1

C.2

D.3

6.函数 y=sinx 的图象按向量 a 平移后与函数 y=2-cosx 的图象重合,则 a 是 A. (

3π , 2) 2

B. (

3π , 2) 2

C. (

π
2

, 2)

D. (

π
2

, 2)

7.如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长 为 4,且垂直于底面,该三棱锥的正视图是 3 4 4 A 3 B 4 4 5 4 x C D y 4 3 4 O z

8.对变量 x, y 有观测数据( xi , y i ) (i=1,2,…,10) ,得散点图 1;对变量 u ,v 有观 测数据( u i , vi ) (i=1,2,…,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断 y 30 25 20 15 10 5 O 1 2 3 4 5 6 图1 与y 与y 与y 与y 正相关,u 正相关,u 负相关,u 负相关,u v 60 50 40 30 20 10 O

x 正相关 负相关 正相关 负相关







1 2 3 4 5 6 图2

u

A.变量 x B.变量 x C.变量 x D.变量 x 9.在区间 [ A.

与v 与v 与v 与v

π π

1 3

1 , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2 2 2 1 2 B. C. D. π 2 3

10.已知函数 f ( x) = 2 x 2 + (4 m) x + 4 m , g ( x ) = mx ,若对于任一实数 x , f ( x ) 与

g ( x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是
A. [ 4, 4] B. ( 4, 4) C. ( ∞, 4) D. ( ∞, 4)

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第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二,填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上.) 11.若复数 z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位),则其共轭复数 z =____________ 12.命题" x ∈ R , cos x ≤ 1 "的否定是 13. 平面内满足不等式组 1≤x+y≤3, —1≤x—y≤1, x≥0, 的所有点中, y≥0 使目标函数 z=5x+4y 取得最大值的点的坐标是 _ 14.某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间(单位: 小时) ,随机选择了 50 位老人进行调查.下表是这 50 位老 人日睡眠时间的频率分布表. 序号 (i) 1 2 3 4 5 分组 组中值 (睡眠时间) ( Gi ) [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 频数 (人数) 6 10 20 10 4 频率 ( Fi ) 0.12 0.20 0.40 0.20 0.08
第 14 题 5

在上述统计数据的分析中,右边是一部分计算算法流 程图,则输出的 S 的值是 .

三,解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15,(本小题满分 12 分) 某中学共有学生 2000 人,各年级男,女生人数如下表: 高一年级 女生 男生 373 377 高二年级 x 370 高三年级 y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三年级抽取多少名? (3)已知 y ≥ 245 , z ≥ 245 ,求高三年级中女生比男生多的概率.
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16.(本小题满分 12 分) 已知:函数 f ( x) =

a x, x ≤ 0 f ( x) (a > 0 ) .解不等式: <1. x2 a, x > 0

17.(本小题满分 14 分) 已知向量 OP = (cos x, sin x), OQ = (

3 sin x, sin x) ,定义函数 f ( x) = OP OQ . 3 (1)求 f (x) 的最小正周期和最大值及相应的 x 值;
(2)当 OP ⊥ OQ 时,求 x 的值.

18.(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧 棱的长都是底面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点. (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 PD:SP=1:3,侧棱 SC 上是否存在 一点 E,使得 BE‖平面 PAC.若存在,求 SE:EC 的值;若不存在,试说明理由.

S

P A B C D

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {a n }的首项a1 = 5, 前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*) . (Ⅰ)证明数列 {a n + 1} 是等比数列; (Ⅱ)令 f ( x) = a1 x + a2 x 2 + + an x n , 求 函数f ( x)在点x = 1处的导数f ′(1) .

20,(本小题满分 14 分) 已知 A,B,C 是直线 l 上的不同的三点,O 是直线外一点,向量 OA , OB , OC 满 足 OA

3 2 x + 1 OB [ln (2 + 3 x ) y ] OC = 0 ,记 y = f (x) . 2 (1)求函数 y = f (x ) 的解析式; (2)若关于 x 的方程 f ( x ) = 2 x + b 在 [0,1] 上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取值

范围.

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中山市高三级 2009—2010 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)答案
一,选择题: DBACC BBCDC 第 10 题提示:当 = m 16 < 0 时,显然成立;当 m = 4, f (0) = g (0) = 0 时,显然
2

不 成 立 ; 当 m = 4, f ( x) = 2( x + 2) , g ( x) = 4 x 显 然 成 立 ; 当 m < 4 时
2

x1 + x2 < 0, x1 x2 > 0 ,则 f ( x) = 0 两根为负,结论成立
故 ∞ < m < 4 二,填空题 11,i
.

【解析】设 z=a+bi,则(a+bi )(1+i) =1-i,即 a-b+(a+b)i=1-i,由

a b = 1 , a + b = 1

解得 a=0,b=-1,所以 z=-i, z =i 12, x ∈ R , cos x > 1 13, (2,1) 14, 6.42 三,解答题 15 解: (1)∵

x = 0.19 ,∴ x = 380 2000

(2)高三年级人数为 y + z = 2000 (373 + 377 + 380 + 370 ) = 500 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在高三年级抽取的人数为 (名) . (3)设高三年级女生比男生多的事件为 A,高三年级女生,男生数记为 ( y , z ) ,由
48 × 500 = 12 2000

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(2)知 y + z = 500 ,且 y , z ∈ N ,基本事件空间包含的基本事件有(245,255) , (246,254)(247,253) , ,┅, (255,245)共 11 个.事件 A 包含的基本事件不(251, 249)(252,248)(253,247)(254,246)(255,245)共 5 个. , , , ,

∴ P ( A) =

5 11
ax <1, x2

16 解:1)当 x ≤ 0 时,即解

a+2 2 > 0 ,不等式恒成立,即 x ≤ 0 ; 即 x2 a x ( a + 2) 2)当 x > 0 时,即解 < 0 ,因为 a + 2 > 2 ,所以 2 < x < a + 2 . < 1 ,即 x2 x2 由 1) ,2)得,原不等式解集为 {x | x ≤ 0 , 或 2 < x < a + 2} . x
17 解: (1) f ( x) =

1 3 1 3 3 sin x cos x + sin 2 x = ( sin 2 x + cos 2 x) 3 2 3 2 2

=

1 3 π 5π 2π sin(2 x + ) , ω = 2,T = , k ∈ Z 时, = π .当 x = kπ 2 3 3 12 ω

1 3 f ( x) 取最大值 + . 2 3
(2)当 OP ⊥ OQ 时, f ( x ) = 0 ,即 解得 x = kπ 或kπ +

π
6

1 3 π sin(2 x + ) = 0 , 2 3 3

,k ∈Z .

18 证明:Ⅰ) BD, AC 交 BD 于 O, ( 连 设 由题意 SO ⊥ AC . 在正方形 ABCD 中, AC ⊥ BD , 所以 AC ⊥ 平面SBD ,得 AC ⊥ SD . (Ⅱ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 取 SD 中点为 N,因为 PD:SP=1:3,则 PN = PD , 过 N 作 PC 的平行线与 SC 的交点即为 E .连 BN. 在 △ BDN 中知 BN // PO ,又由于 NE // PC ,故 平面 BEN // 平面PAC ,得 BE // 平面PAC , 由于 SN:NP = 2: SE:EC = 2: 1 ,故 1. B A O C E S N P D

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19 解: (Ⅰ)由已知 S n +1 = 2 S n + n + 5, ∴ n ≥ 2时, S n = 2 S n 1 + n + 4, 两式相减,得 S n +1 S n = 2( S n S n 1 ) + 1, 即 a n +1 = 2a n + 1, 从而 a n +1 + 1 = 2( a n + 1). ∴ a1 + a 2 = 2a1 + 6 又 a1 = 5,∴ a 2 = 11,

当 n=1 时,S2=2S1+1+5, 从而 a 2 + 1 = 2(a1 + 1). 又∵ a1 = 5, 从而

故总有 a n +1 + 1 = 2( a n + 1), n ∈ N * .

∴ a n + 1 ≠ 0,

a n +1 + 1 = 2. an + 1

即 {a n + 1}是以a1 + 1 = 6 为首项,2 为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a n = 3 × 2 1.
n

∵ f ( x) = a1 x + a 2 x 2 + + a n x n

∴ f ′( x) = a1 + 2a 2 x + + na n x n 1 .
从而 f ′(1) = a1 + 2a 2 + + na n

= (3 × 2 1) + 2(3 × 2 2 1) + + n(3 × 2 n 1) = 3(2 + 2 × 2 2 + + n × 2 n ) (1 + 2 + + n)

= 3[n × 2 n +1 (2 + + 2 n )]

n(n + 1) 2 n(n + 1) = 3[n × 2 n+1 2 n +1 + 2] 2 n(n + 1) = 3(n 1) 2 n +1 + 6. 2

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20 解: (1) OA =

3 2 x + 1 OB + [ln (2 + 3 x ) y ] OC 2
3 2 x + 1 + ln(2 + 3 x) y = 1 2

∵ A,B,C 三点共线,∴

∴ y=

3 2 x + ln(2 + 3 x) 2
3 2 x 2 x + ln(2 + 3 x) = b 2

(2)方程 f ( x ) = 2 x + b 即 令 ( x) =
/

3 2 x 2 x + ln(2 + 3 x) , 2

3 9 x 2 1 (3 x + 1)(3 x 1) + 3x 2 = = ∴ ( x) = 2 + 3x 2 + 3x 2 + 3x
当 x ∈ 0, 时, / ( x) < 0 , (x) 单调递减,当 x ∈ ,1 时, / ( x) > 0 , (x) 单

1 3

1 3

调递增,∴ (x) 有极小值为 = ln 3 又 (0 ) = ln 2 , (1) = ln 5 = ln

1 3

1 即为最小值. 2

1 1 ,又 ln 5 - ln 2 2 2

5 2 e

=

1 25 1 25 ln > ln >0 2 4e 2 4 × 3

∴ ln 5

1 > ln 2 . 2 1 < b ≤ ln 2 . 2

∴ 要使原方程在[0,1]上恰有两个不同实根,必须使 ln 3

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