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2009年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答



2009 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答
一、填空题(满分 40 分,每小题 8 分,将答案写在下面相应的空格中) 题 号 答 案 1 2
4 3 3

3
4(6 ? π ) 3

4
4

5

π
3

3 1 (

(1,0), (?3,4), , ? ) 2 2

r r r r r u r r r r r 1.已知 a 和 b 都是单位向量,并且向量 c = a + 2b 与 d = 5a ? 4b 互相垂直,则 a 和 b 之间 r r 的角< a, b >= .
答: 解
π
3

r r r r 设 a 和 b 之间的角< a, b >=θ,则根据向量垂直的条件得:

r u r r r r r r 0 = c ? d = (a + 2b)(5a ? 4b) = 5 a

()

2

r r r r r + 10a ? b ? 4a ? b ? 8 b

()

2

=5+6cos θ?8=6cos θ ?3 ,由此 cosθ= 2. 1 1 + 的值是 o cos 290 3 sin 250o

1 π ,所以 θ= . 2 3



答: 解

4 3 . 3 1 1 1 1 3 sin 70o ? cos 70o + = ? = o cos 290o 3 sin 250o cos 70 3 sin 70o 3 sin 70o cos 70o

3 1 sin 70o ? cos 70o sin 70o cos 30o ? cos 70o sin 30o 2 = 2 = 3 3 sin140o sin140o 4 4 = 4sin(70o ? 30o ) 4 3 sin 40o 4 3 = = . 3sin 40o 3 3 sin 40o

3.如图,过⊙O 外一点 M 引圆的切线切圆于点 B,连接

MO 交圆于点 A,已知 MA= 4 厘米,MB= 4 3 厘米.N 为 AB 的 中点.曲边三角形(阴影部分)的面积等于 . 平方厘米. 4(6 ? π ) 答: . 3 解 根据条件, 延长 MO 交圆于 C, 设圆的半径为 r,MC = 4+2r 由切割线定理得 MB2= MA·MC,即 48= 4(4+2r) 解得 r= 4 cm,OC=OA=AM= 4cm 连接 OB,在直角△OBM 中, sin ∠MOB =
1

O A N B M

MB 4 3 3 = = OM 8 2

所以∠MOB=60°, 因此 AB 为 60°, N 为 AB 的中点,AN = 30o , 而 连接 ON, 则∠MON=30°, 1 1 1 所以 S ?MON = ? OM ? ON ? sin 30o = × 8 × 4 × = 8 (cm2). 2 2 2 C 30 4π O 而扇形 AON 的面积 = π 42 × = (cm2), A 360 3 M N 4π 24 ? 4π 4(6 ? π ) 所以阴影图形的面积 = 8 ? = = (cm2). 3 3 3 B
4. 3 20 + 14 2 + 3 20 ? 14 2 的值是



答:4 解 设
3

20 + 14 2 + 3 20 ? 14 2 = x 则

x3= 20 + 14 2 + 3 3 (20 + 14 2)(20 ? 14 2) × ( 3 20 + 14 2 + 3 20 ? 14 2 ) + 20 ? 14 2 = 40+6x



x3 ? 6 x ? 40 = 0

观察之,4 为方程的一个根,所以 ( x ? 4)( x 2 + 4 x + 10) = 0 由 ? = 4 2 ? 4 × 10 = ?24 < 0 ,方程 x 2 + 4 x + 10 = 0 无实根. 所以 方程 x3 ? 6 x ? 40 = 0 只有唯一的实根 x = 4 即得证
3

20 + 14 2 + 3 20 ? 14 2 = x = 4 .

5.在平面直角坐标系中,不论 m 取何值时,抛物线 y=mx2 +(2m+1)x?(3m+2)都不通过的 直线 y=?x+1 上的点的坐标是 .(写出全部符合条件点的坐标) y 4 1 答:(1,0),(?3,4), ( , ? ) D(?3,4) 3 3 2 解 由 y=mx +(2m+1)x?(3m+2)=m(x+3)(x?1)+(x?2) C (1,0) 可知抛物线一定过点 A(1, ?1),B(?3, ?5).过点 A、B 分别作 y 4 1 E( 3 ,? 3 x 轴的平行线交直线 y=?x+1 于点 C(1, 0),D(?3, 4).过 A、B 两点的直 A(1,?1) 3 1 线与直线 y=?x+1 交于点 E ( , ? ) . y=?x+1 2 2 B(?3,?5) 则 C、D、E 三点满足条件.

二、 (满分 15 分)直角△ABC 内切圆的半径为 r ,直角的平分线的长为 t.求证:直角△ABC C 的两条直角边的长 a 和 b 是关于 x 的一元二次方程
(t ? 2 2r ) x 2 + 2 2r 2 x ? 2tr 2 = 0
b r a O 的根. A B c 证明 设直角△ABC 中, C=90°, ∠ 边长 AB=c, AC=b, D CB=a,∠C 的平分线 CD=t,内切圆的圆心为 O,内切圆半径为 r.连接 OA,OB,OC, 1 S△ABC = ab (1 ) 2 1 1 2 又 S△ABC = S△ADC+ S△BDC = btsin45°+ atsin45°= t(a+b) 2 2 4 1 所以, ab= t(a+b) (2 ) 2
2

1 1 S△ABC = S△OBC+ S△OAC+ S△OAB = r(a+b+c)= r(a+b+a+b?2r)= r(a+b?r)= (a+b)r?r2, 2 2 与(1)比较得 ab=2(a+b)r?2r2 (3 ) 联立(2)与(3)解得 a+b,ab 得



2 2r 2 2tr 2 , ab = 2 2r ? t 2 2r ? t 所以根据韦达定理,以 a 和 b 为根的一元二次方程为

a+b =

x2 ?

2 2r 2 2tr 2 x+ =0 2 2r ? t 2 2r ? t

即方程

(t ? 2 2r ) x 2 + 2 2r 2 x ? 2tr 2 = 0 .

三、 (满分 15 分)求函数 f :Z+→Z+,使得 ① f (1)=1; ② 对于所有 x, y∈ Z+, f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + xy 都成立. 解 设函数 f :Z+→Z+,满足 ① f (1)=1; ② 对于所有 x, y∈ Z+, f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + xy 对于正整数 n, m ,下列的等式成立
f (2n) = 2 f (n) + n 2 f (3n) = f (n) + f (2n) + 2n 2 , f (4n) = f (n) + f (3n) + 3n 2 ,

…… …… …… ……

f (mn) = f (n) + f ( (m ? 1)n ) + (m ? 1)n 2
将上面的等式相加,得

f (mn) = mf (n) + (1 + 2 + 3 + L + (m ? 1) ) n 2
m(m ? 1) , 2 m(m ? 1) 2 所以 f (mn) = mf (n) + n ,对所有的正整数 m 和 n 都成立. 2 m(m + 1) 特别是,当 n=1 时 f (m) = (*) 2 等式(*)定义了在正整数集合上的函数 f. 1(1 + 1) 因为 f (1) = =1 2 ( x + y )( x + y + 1) ( x 2 + x) + ( y 2 + y ) + 2 xy f ( x + y) = = 2 2 x( x + 1) y ( y + 1) = + + xy = f ( x) + f ( y ) + xy 2 2 m(m + 1) 所以 f (m) = 是问题的唯一解. 2

由于 1 + 2 + 3 + L + (m ? 1) =

3

四、 (满分 15 分)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,∠BAD 的平分线交 BC 于点 M,交 DC 的延长线于点 N,△CMN 的外心为 O,△CMN 的外接圆与△CBD 的外接圆的另一交点 为 K.证明: (1) 点 O 在△CBD 的外接圆上; (2) ∠AKC =90°. 证明 (1)由于平行四边形 ABCD 中,∠BAD 的平分线交 BC 于点 M,交 DC 的延长线于 点 N,所以∠BMA=∠MAD=∠BAM,因此 BA=BM,同理可得 MC=CN.连接 OC,则 OC 平 分∠NCM.连接 OB,OM ,OD,设∠BAD = θ,则 1 θ ∠OCD =∠BCD +∠OCM = θ + (180°?θ) = 90°+ K 2 2 N .O θ ∠BMO =180°?∠OMC =180°?∠OCM=90°+ , 2 B C M 所以 ∠BMO =∠OCD. 因此, △OBM≌△ODC, 所以∠OBC=∠ODC. 于是 B, O, C,D 四点共圆,也就是点 O 在△CBD 的外接圆上.…(8 分) A D (2) 由(1)知 BO=OD,又 KO=OC,因为 B,K,O,C 和 D 都在同一个圆上, K, 关于 BD 的中垂线对称, 则 C BK=CD=AB, 又∠KBD =∠CDB=∠ABD, 所以点 K 与点 A 是关于 BD 的对称点, AK ⊥ BD, KC//BD, 即 而 所以 AK ⊥ KC, 即∠AKC=90°. 五、 (满分 15 分)证明,在任意给出的 7 个实数中,一定能找到两个实数 x,y,使得
0≤

x? y 3 ≤ . 1 + xy 3

? π π? 设任意给出的 7 个实数为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 ,在 ? ? , ? 内存在 7 个实数 ? 2 2? θ1 ,θ 2 ,θ3 ,θ 4 ,θ5 , θ6 ,θ 7 ,使得 tan θi = ai 其中 (i = 1, 2, 3, 4,5, 6, 7) .

证明

π ? π π? 将 ? ? , ? 等分为 6 个长为 的区间: 6 ? 2 2? ? π π ? ? π π ? ? π ? ? π ? ?π π ? ?π π ? ? ? , ? ?,? , ? ? , ? ? , 0 ? , ?0, ? , ? , ? , ? , ? ? 2 3 ? ? 3 6? ? 6 ? ? 6? ? 6 3? ? 3 2 ? ? π 根据抽屉原理,必存在 θ i , θ j 属于同一个长为 的小区间,
不妨设 θi ≥ θ j ,则 0 ≤ θi ? θ j ≤

π
6

6

,因此

0 ≤ tan(θ i ? θ j ) ≤ tan

π
6



0≤

tan θi ? tan θ j 1 + tan θi tan θ j



3 . 3

令 x=ai,y=aj,这样,我们从任意给出的 7 个实数中,找到了两实数 x,y,使得
0≤
x? y 3 ≤ . 1 + xy 3

4



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