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河北省武邑中学2016届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案



数学试题(理科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.平行直线 l1 : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 与 l2 : 6 x ? 8 y ? 15 ? 0 之间的距离为( A. )

3 10

B.

2.已知集合 A ? 1,3, m , B ? ?1, m? , A ? B ? A ,则 m ? ( ) A.0 或 3 B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3

?

9 10

C.

?

3 5

D.

9 5

3.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是( ) A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b
2 2

D. a ? b
3

3

4.直线 l 过抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( )

A.

4 3

B.2

C.

8 3

D.

16 2 3

cos3 ? ? sin ? 5 ?? ? 5.已知 ? 是第二象限角,且 sin ? ? ? ? ? ? ,则 =( ) ?? 5 ? ?2 ? cos ? ? ? ? 4? ?
A. ?

11 2 15

B. ?

9 2 5

C.

9 2 5

D.

11 2 15

6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积 为( )

-1-

A.100

B.92

C.84

D.76

7.在平行四边形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, ?DAB ? 60? , E 是 BC 的中点,则 AE ? DB ? ( ) A.1 B.2 C.3 ) D.4

??? ? ??? ?

8.执行下面的程序框图,则输出的 n 的值为(

A.10

B.11

C.1024

D.4028

9.在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥平面 ABC ,?BAC ? 60? , AB ? AC ? 2 3, PA ? 2 ,则三 棱锥 P ? ABC 的外接球的表面积为( A. 20 p B. 24 p ) D. 32 p

C. 28 p

?x ? y ? 1 ? 0 ? 10.已知实数 x , y 满足 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,若 z ? kx ? y 的最小值为 ? 5 ,则实数 k 的值为( ?x ? 1 ?
A. ? 3 B.3 或 ? 5 C. ? 3 或 ? 5 D. ? 3



?x ? y ? 2 ? 0 ? 11.设 x , y 满足条件 ?3 x ? y ? 6 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 12, ? x ? 0, y ? 0 ?
3 2 ? 的最小值为( ) a b 25 8 A. B. 3 6


C.

11 3

D. 4

12.若函数 f ? x ? 满足:在定义域 D 内存在实数 x0 ,使得 f ? x0 ? 1? ? f ? x0 ? ? f ?1? 成立, 则称函数 f ? x ? 为“1 的饱和函数” ,给出下列四个函数:① f ? x ? ?

1 x ;② f ? x ? ? 2 ;③ x

f ? x ? ? lg ? x 2 ? 2 ? ;④ f ?x ? ? c o s ?? x ? ,其中是“1 的饱和函数”的所有函数的序号为( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④

第Ⅱ卷(共 90 分)

-2-

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.

?1 ? 2 x ??1 ? x ?

5

的展开式中 x 的系数是

2

. .

14.若椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上,则此椭圆的内接正方形的边长为 15.已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项和 Sn ,若 S1 ? 2,3Sn2 ? 2an?1Sn ? an?12 ,则

an ?

.
2

16.若函数 f ? x ? ? x 2 ? x ? 2? ? a x ? 1 ? a 有 4 个零点,则 a 的取值范围为

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? log2 an ,求数列 ?an bn ? 的前 n 项和为 Tn . 18.(本小题满分 12 分)心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验 证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20) ,给所有同学几何 题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:

(1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和能力与性别有关? (2)经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在 5 至 7 分钟,女生乙每次解答 一道几何题所用的时间在 6 至 8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概 率. (3)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙 两女生被抽到的人数为 X ,求 X 得分布列及数学期望 E ? X ? . 附: K ?
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001

n ? ad ? bc ?

2

P ? k 2 ? k0 ?

-3-

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,

AD / / BC, ?ADC ? 90? ,平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的
点, PA ? PD ? AD ? 2, BC ? 1, CD ? (1)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (2)若二面角 M ? BQ ? C 为 30°,设 PM ? t ? MC ,试确定 t 的值.

3.

20.已知中心在原点的椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点为 F1 ? 0,3? , M ? x, 4?? x ? 0? 为椭圆 a 2 b2
3 . 2

C 上一点, ?MOF1 的面积为
(1)求椭圆的方程;

(2)是否存在平行于 OM 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,且以线段 AB 为直 径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 21.已知函数 f ? x ? ? a x ? x2 ? x ln a ? a ? 0, a ? 1? . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 单调区间; (Ⅱ)若存在 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? e ? 1( e 是自然对数的底数) ,求实数

a 的取值范围.
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 在直角 ?ABC 中,AB ⊥ BC ,D 为 BC 边上异于 B,C 的一点, 以 AB 为直径作⊙ O , 分别交 AC , AD 于点 E , F . (Ⅰ)证明: C , D, E , F 四点共圆;
-4-

(Ⅱ)若 D 为 BC 中点,且 AF ? 3, FD ? 1 ,求 AE 的长.

23. (本小题 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xoy 中, 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 圆锥曲线 C 的极坐标方程为 ? ?
2

? x ? ?1 ? t 12 ? C l : , 是圆锥曲线 的左焦点, 直线 ( t 为参数). F ? 3 ? sin 2 ? 1 ? ? y ? 3t

(Ⅰ)求圆锥曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆锥曲线 C 交于 M , N 两点,求 F 1M ? F 1N . 24. (本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x , g ? x ? ? ? x ? 4 ? m . (1)解关于 x 的不等式 g ? ? f ? x?? ? ? 3? m ? 0 ; (2)若函数 f ? x ? 的图象恒在函数 g ? 2 x ? 图象的上方,求实数 m 的取值范围.

-5-

答案 1. B 2.B 13. 20 3.A 14. 4.C 5.C 6.A 7.C 15. an ? ? 8.C 9.A 10.D 11.A 12.D

6?3 3 4

? 2, n ? 1 ?2 , n ? 2
n ?1

16. a ? ?

32 或 ?1 ? a ? 0 或 27

a?0
17.(12 分) (1)当 n ? 1 时, 由 S1 ? 2a1 ? 1 , 得 a1 ? 1, n ? 2 时, 由 a1 ? a2 ? 2a2 ? 1, a2 ? 2 , 当 n ? 2 时,

Sn ? 2an ? 1, Sn?1 ? 2an?1 ? 1 ,两式相减,得 an ? 2an ? 2an?1 ,即
首项为 1,公比为 2 的等比数列,则 an ? 2n?1 .??????6 分

an ? 2 ,所以 ?an ? 是 an ?1

?Tn ? 0 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2
1 2

n ?1

? ? n ? 1? ? 2 ?
n

2 ?1 ? 2n?1 ? 1? 2

? ? n ? 1? ? 2n ? ?2 ? 2n?1 ? n ? 2n

,∴ Tn ? n ? 2n ? 2n?1 ? 2 .??????12 分 18.(12 分) 【解析】(1)由表中数据得 K 的观测值 K ?
2

2

50 ? ? 22 ? 12 ? 8 ? 8? 30 ? 20 ? 30 ? 20

2

?

50 ? 5.556 ? 5.024 . 9

所以根据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关. (2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x , y 分钟,则基本事件满足的区域为 ? (如图所示)

?5 ? x ? 7 . ?6 ? y ? 8

设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” ,则满足的区域为 x ? y ,∴由几何概型

-6-

1 ? 1? 1 1 1 P ? A? ? 2 ? ,即乙比甲先解答完的概率为 .????7 分 8 2? 2 8
(3)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 C82 ? 28 种,其中甲、 乙两人没有一个人被抽取到有 C6 2 ? 15 种,恰有一人被抽取到有 C21 ? C61 ? 12 种,两人都被 抽到有 C2 2 ? 1种,∴ X 的可能取值为 0,1,2.

P ? X ? 0? ?

15 12 3 1 , P ? X ? 1? ? ? , P ? X ? 2? ? ,????10 分 28 28 7 28

X 的分布列为: X
0 1 2

15 3 1 7 28 28 15 12 1 1 ? 1? ? 2? ? .??????12 分 ∴ E? X ? ? 0? 28 28 28 2 1 19.【解析】解: (1)证法一:∵ AD / / BC , BC ? AD, Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 2
P
为平行四边形,∴ CD / / BQ ,∵ ?ADC ? 90 ,∴ ?AQB ? 90? ,即 QB ⊥ AD .又∵平面
?

PAD ⊥平面 ABCD ,且平面 PAD ∩平面 ABCD ? AD ,∴ BQ ⊥平面 PAD .∵ BQ ? 平
面 PQB ,∴平面 PQB ⊥平面 PAD .??6 分 证法二: AD / / BC , BC ?

1 AD, Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴ 2

CD / / BQ ,∵ ?ADC ? 90? ,∴ ?AQB ? 90? ,即 QB ⊥ AD .∵ PA ? PD ,∴ PQ ⊥ AD .
∵ PQ ? BQ ? Q, PQ、BQ ? 平面 PBQ ,∴ AD ⊥平面 PBQ ,∵ AD ? 平面 PAD ,∴平 面 PQB ⊥平面 PAD .??6 分 (2)法一:∵ PA ? PD , Q 为 AD 的中点,∴ PQ ⊥ AD ,∵平面 PAD ⊥平面 ABCD .且平 面 PAD ∩平面 ABCD ? AD ,∴ PQ ⊥平面 ABCD .如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标 系.

-7-

则平面 BQC 的法向量为 n ? ? 0,0,1? ; Q ? 0, 0, 0 ? , P 0, 0, 3 , B 0, 3, 0 , C ?1, 3, 0 , 设 M ? x, y, z ? ,则 PM ? x, y, z ? 3 , MC ? ?1 ? x, 3 ? y, ? z ,

?

?

? ?

? ?

?

???? ?

?

?

???? ?

?

?

t ? x?? ? 1? t ? x ? t ? ?1 ? x ? ? ? ???? ? ???? ? 3t ? ? ,∵ PM ? t ? MC ,∴在平面 MBQ 中, ?y ? t 3 ? y ? ?y ? 1? t ? ? ? ? 3t ?z ? 3 ? t ??z? ?z ? 1? t ?

?

?

??? ? ???? ? ? ?? t 3t 3 ? QB ? 0, 3, 0 , QM ? ? ? , , m ? 3, 0, t ,∵二 MBQ ,∴平面 法向量为 ? 1? t 1? t 1? t ? ? ? ? ? ?? n?m t 3 ? 面角 M ? BQ ? C 为 30°,∴ cos30 ? ? ?? ? ,得 t ? 3 .?? ? 2 n?m 3 ? 0 ? t2

?

?

?

?

C 的方程为 20.解:(1)因为椭圆 C 的焦点为 F 1 ? 0,3? ,∴ b ? a ? 9 ,则椭圆
2 2

x2 y2 ? ? 1, ∵M ? x, 4 ?? x ? 0 a2 a2 ? 9

? 椭圆 C 上一点,?MOF1 的面积为

3 1 3 , ∴ ? 3? x ? , 2 2 2

∴ x ? 1 ,∴ M ?1, 4? 代入椭圆 C 的方程

1 16 x2 y2 ? 1 ,∴ ? ? 1 ,可得 2 ? 2 2 2 a a ?9 a a ?9

a4 ? 8a2 ? 9 ? 0 ,∴ a 2 ? 9 ,∴椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 18

(2)假设存在符合题意的直线 l 存在,设直线方程为 y ? 4 x ? m ,代入椭圆方程,消去 y ,可

8m m2 ? 18 , x1 x2 ? 得 18x ? 8mx ? m ? 18 ? 0 , 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ? ? . 18 18
2 2

因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点,所以 OA ? OB ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,∴

??? ? ??? ?

-8-

x1 x2 ? 16x1 x2 ? 4m ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ,∴17 ?
2

m2 ? 18 8m ? 4m ? ? m2 ? 0 ,∴ 18 18

m ? ? 102 ,此时 ? ? 64m 2 ? 72 ? m 2 ? 18 ? ? 0 ,∴直线方程为 y ? 4x ? 102 .
x x 21.解:(Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 R, f ? x ? ? a ln a ? 2 x ? ln a ? 2 x ? a ? 1 ln a . x x 2 令 h ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ? a ? 1 ln a, h ' ? x ? ? 2 ? a ln a .当 a ? 0, a ? 1 时, h ' ? x ? ? 0 ,

?

?

?

?

所以 h ? x ? 在 R 上是增函数,又 h ? 0? ? f ? 0? ? 0 ,所以 f ' ? x ? ? 0 的解集为 ? 0, ?? ? , 故函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? 0, ?? ? , 单调减区间为 ? ??,0? . f ' ? x ? ? 0 的解集为 ? ??,0? , (Ⅱ)因为存在 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? e ? 1 成立,而当 x ? ? ?1,1? 时,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ? max ? f ? x ? min ,所以只要 f ? x ?max ? f ? x ?min ? e ? 1,又因为

x, f ' ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表所示:

x
f '? x? f ? x?

? ??,0?
减函数

0 0 极小值

? 0, ???
+ 增函数

所以 f ? x ? 在 ? -1,0? 上是减函数,在 ? 0,1? 上是增函数,所以当 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? 的最小 值 f ? x ?min ? f ? 0? ? 1 , f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.因为

1 ?1 ? f ?1? ? f ? ?1? ? ? a ? 1 ? ln a ? ? ? ? 1 ? ln a ? ? a ? ? 2ln a ,令 a ?a ?
1 1 2 ? 1? g ? a ? ? a ? ? 2 ln a ? a ? 0 ? ,因为 g ' ? a ? ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ? ? ? 0 . a a ? a? a
所以 g ? a ? ? a ?
2

1 ? 2 ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数,而 g ?1? ? 0 ,故当 a ? 1 时, a

即 f ?1? ? f ? ?1? ; 当 0 ? a ? 1 时,g ? a ? ? 0 , 即 f ?1? ? f ? ?1? ; 所以, 当a ? 1 g ? a? ? 0 , 时, f ?1? ? f ? 0? ? e ? 1 ,即 a ? ln a ? e ? 1 ,而函数 y ? a ? ln a 在 a ? ?1, ?? ? 上是增函 数,解得 a ? e ;当 0 ? a ? 1 时, f ? ?1? ? f ? 0? ? e ? 1 ,即

1 ? ln a ? e ? 1 ,函数 a

-9-

y?

1 1 ? ln a 在 a ? ? 0, 1? 上是减函数,解得 0 ? a ? ,综上可知,所求 a 的取值范围为 a e

? 1? ? 0, ? ? ? e, ?? ? . ? e?
22.(本小题满分 10 分)
? 【解析】(Ⅰ)连结 BF , EF ,则 ?CEF ? ?ABF ,因为 AB 为直径,所以 ?AFB ? 90 ,因

为 AB ⊥ BC , 所以 ?ABF ? ?ADB , 所以 ?ADB ? ?CEF , 所以 C、D、E、F 四点共圆. (Ⅱ)由已知 BD 为⊙ O 的切线,所以 BD2 ? DF ? DA ? 1? ?1 ? 3? ? 4 ,故 BD ? 2 ,所以

AB ? AD2 ? BD2 ? 42 ? 22 ? 2 3 ,因为 D 为 BC 中点,所以
BC ? 4, AC ?

?2 3?

2

? 42 ? 2 7 .因为 C、D、E、F 四点共圆,所以

AE ? AC ? AF ? AD ,所以 AE ?

AF ? AD 3 ? 4 6 7 . ? ? AC 7 2 7

x2 y 2 ? ? 1 ,所以直线 l 的直角坐标方程: 23.【解析】(Ⅰ)圆锥曲线 C 的普通方程为 C : 4 3

3x ? y ? 3 ? 0 .
1 ? x ? ?1 ? t ? 2 ? 2 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数) ,代入椭圆方程得: 5t ? 4t ? 12 ? 0 ,所 ?y ? 3 t ? ? 2
以 t1 ? t2 ? 4 / 5, t1 ? t2 ? 12 / 5 ,所以, F 1M ? F 1 N ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 16 / 5 . 24.【解析】 (Ⅰ) 由g? ? f ? x?? ? ? 3 ? m ? 0 得 x ? 4 ? 3 ,∴ ?3? x? 4? 3 ,∴ 1 ? x ? 7 . 故不等式的解集为 ? ?7, ?1? ? ?1,7 ? . (2)∵函数 f ? x ? 的图象恒在函数 g ? x ? 图象的上方,∴ f ? x ? ? g ? 2x ? 恒成立,即

m ? 2x ? 4 ? x 恒成立,∵ 2x ? 4 ? x ? 2 .∴ m 的取值范围为 m ? 2 .

- 10 -

- 11 -



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