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3.1函数的单调性



y -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 引例1 引例2 y 1 y y?x o 1 x -1 1 y ??x x o 函数 f ( x) ? x 的图象是上升的. 函数 f(x)??x 的图象是下降的. 我们就说函数 f ( x ) ? x 在区间 (??, ??) 上是

增加的. 我们就说函数 f(x) ??x 在区间 (??, ??) 上是减少的. 引例2 y y = x2 1· O · 1 x 此函数在区间(-∞, 0 ] 内是减少的,在区 间 [0, +∞ ) 内是增加的。 y 10 8 y ? f ( x) 6 4 2 O 2 4 A 6 8 10 12 14 16 18 20 24 22 24 -2 x y 图象在区间A逐渐上升 区间A内随着x的增大,y也增大 f(x2) f(x1) O N ? 对区间A内 x 1, x 2 , 有f(x1)<f(x2) A M 当x1<x2时, x1 x2 x y y 图象在区间A逐渐上升 区间A内随着x的增大,y也增大 ff((x x22)) N N ? 对区间 x x, 对区间A A内 内 任意 x1 , x2 1, 2, M AM A x 1 x ff((x x11)) O O 1 x 2 x 2 当 x )< x 当x x1 <x x2 时, 都有 有ff (( x )< ff (( x )) 11 22 1< 2时, x x y 10 8 6 4 2 O -2 y ? f ( x) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 22 24 x 函数的单调递增区间有: [4,14] 和 [18,21] 函数的单调递减区间有: [0,4] ,[14,18]和 [21,23] 判断1:函数 f (x)= x2 在 ? ??, ?? ? 是增加的; y 函数的单调性是对定义域的某 个区间而言的,是一个局部概念. o y ? x2 y x 判断2:定义在R上的函数 f (x) 满足f (2)> f(1),则函数 f (x) 在R上是增函数; f(2) f(1) O 1 2 x 概念1 y f(x2) f(x1) 如果 y ? f ( x) 在区间A上是增加的或是减少的, 那么称A为单调区间 y f(x1) f(x2) x1 x2 O x O x1 x2 x 在单调区间上, 如果函数是增加的,那么它的图象是 上升 的。 如果函数是减少的,那么它的图象是 下降 的。 概念2 (1)如果函数 y =f(x)在定义域的某个子集上是增加的 或是减少的,那么就称函数 y =f(x)在这个子集上具有单调性。 (2)如果函数y =f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的, 我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数 例1 画出函数f (x)=3x +2的图像,判断它的单 调性,并加以证明。 解:作出f (x)=3x +2的图像。 由图看出,函数的图像在R 上是上升的,函数是R上的 增函数 y 2 -1 0 x 例1 画出函数f (x)=3x +2的图像,判断它的 单调性,并加以证明。 证明:在R上任意取两个值 x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (3x


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