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【数学】1.2.2《组合(二)》课件(新人教A版选修2-3)2013.5.7



复习巩固:
1、组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成 一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2、组合数: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个 数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
m n! An n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) m m Cn ? Cn ? m ? Am m! m !(n ? m)!

我们规定:Cn ? 1.
0

定理 1:

C ?C
m n

n?m n

例1:一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以 前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则,比赛时 一个足球队的上场队员是11人。问: (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案? (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守 门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?

?1?由于上场学员没有角色差异, 所以可以形成 的学员上场方案有 C11 ? 12 376 ?种?. 17


例1:一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以 前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则,比赛时 一个足球队的上场队员是11人。问: (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守 门员,那么教练员有多少种方式做这件事情? ?2?教练员可以分两步完成 这件事情 :

第1步, 从17 名学员中选出11名组成上场小组,共有 C11 种选法; 17 第 2 步, 从选出的11人中选出 名守门员,共有C1 种 1 11 选法.
所以教练员做这件事情 的方法数有 C11 ? C1 ? 136 136 ?种? 17 11
探究 对于本题的 ?2?, 你还能想到别的解决方 法吗?

例2.(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线 段共有多少条? (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向 线段共有多少条?

解 ?1?以平面内 个点中每 2 个点为端点的线 10 线的条数, 就是从10个不同的元素中取出2 个元 素的组合数, 即线段共有 10 ? 9 2 C10 ? ? 45?条?. 2

例2.(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线 段共有多少条? (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向 线段共有多少条? ?2?由于有向线段两端点中一个是起点,另 一个是终点,以平面内 个点中每两个点 10

为端点的有向线段的条数, 就是从10 个不 同元素中取出 2 个元素 的排列数 , 即有向
2 线段共有A 10 ? 10 ? 9 ? 90?条?.

在例3中,第?1 ?小题不考虑线段两个端 点的 顺序, 是组合问题第?2?小题要考虑线段两 ; 个端点的顺序是排列问题 , .

例4:在100件产品中有98件合格品,2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种?

说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类 法或间接法求解。

例 4 在100 件产品中 有 98 件合格品2 件次品.从这 , , 100件产品中任意抽出 件. 3 ?1?有多少种不同的抽法 ? ?2?抽出的3件中恰好有 件是次品的抽法有多少 ? 1 种 ?3?抽出的3件中至少有 件是次品的抽法有多少 ? 1 种 解 ?1?所求的不同抽法的种数, 就是从100 件产品中取 出3 件的组合数, 所以共有 100 ? 99 ? 98 3 C100 ? ? 161 700 ?种? 3 ? 2 ?1 ?2?从2件次品中抽出1件次品的抽法有C1 , 从98件合格 2
2 品中抽出2件合格品的抽法有C98 种,因此抽出的3件中 2 恰好有1件次品的抽法有C1 ? C98 ? 9506 ?种?. 2

从100 件产品抽出3 件中至少有1 件是次品, 包括有1 件次品和有2 件次品两种 情况.在第?2?小题中已求得其中 件次品的抽 1
2 法有C1 ? C98 种,因此根据分类加法计数原理, 2 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有

?3 ?解法1

2 C1 ? C98 ? C 2 ? C1 ? 9 604 ?种?. 2 2 98 解法2 抽出的3 件产品中至少有 件是次品 1 的抽法的种数, 也就是从100 件中抽出3 件的 抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种 数, 即

C

3 100

?C

3 98

? 161 700 ? 152 096 ? 9 604 ?种?.

变式练习
按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法? 3 2 (1)甲、乙、丙三人必须当选; C3 C9 ? 36 0 5 (2)甲、乙、丙三人不能当选; C3 C9 ? 126 (3)甲必须当选,乙、丙不能当选;C11C94 ? 126 (4)甲、乙、丙三人只有一人当选; C1C 4 ? 378 3 9 (5)甲、乙、丙三人至多2人当选; (6)甲、乙、丙三人至少1人当选;
3 1 5 (5)方法一:C32C9 ? C3C94 ? C30C9 ? 756

方法二:C ? C C ? 756 1 4 (6)方法一:C C ? C C ? C3C9 ? 666 方法二:C ? C C ? 666
5 12 3 2 3 9 5 12 3 3 2 9 2 3 3 9 0 5 3 9

探究与发现

组合数的两个性质

探究 用计算器计算下列各组 组合数的值 你发现了什 , 么? 你能解释你的发现吗 ?
4 8 3 7 3 C12与C12 ; C18与C15 ; C10与C10 ? ? ? ? ? ? 18

不难发现 各组的两个组合数都相 ,而且两个组合数的上 , 等 标之 和等于下标, 如 4 ? 8 ? 12, 3 ? 15 ? 18,7 ? 3 ? 10 ? ? ? ? ? ? 如何解释上述结果呢 ?
" 等式的两边是对同一问 题的两个等价解释 启发我们 如 " ,
4 果把C12 解释为 从12名学生中选出 人参加某项活动的选 " 4 8 法种数" , 那么C12可以解释为 让12 名学生中留下8人不参 " 加活动的选法种数 ,由于留下8 人后其余4 人就是参加活 " 8 动的 , 所以不参加活动的人员 选法种数 C12 就等于参加活 4 8 动的人员选法种数 12 ,即有C12 ? C12 . C4

一般地, 从n个不同元素中取出 m 个元素后, 必然剩下n ? m 个元素,因此从n个不同元素 中取出 m 个元素的组合, 与剩下的 n ? m 个 元素的组合一一对应.这样, 从n个不同元素 中取出m 个元素的组合数 , 等于从这 n个不 同元素中取出 n ? m 个元素的组合数 .于是 我们有 m n?m 性质1 Cn ? Cn ,
为了使上面的等式在 m ? n时也能成立, 我 0 们规定 Cn ? 1.

在推导性质1时, 我们运 用了证明组合相等 的一个常用而重要的方 ,即通过阐明等号 法 两边的不同表达式实际 上是对同一个组合 问题的两个不同的计数 方案, 从而达到证明 的目的 .

探究 你能根据上述的思想方 , 利用分类 法 计数原理 证明下列组合数的性质 ? , 吗
性质 2

C

m n?1

?C ?C
m n

m?1 n

.

例5、某医院有内科医生12名,外科医生8名,现要 派5人参加支边医疗队,至少要有1名内科医生和1名 外科医生参加,有多少种选法? 例6:(1)平面内有9个点,其中4个点在一条直线 上,此外没有3个点在一条直线上,过这9个点可确 定多少条直线?可以作多少个三角形?

(2)空间12个点,其中5个点共面,此外无任何4个 点共面,这12个点可确定多少个不同的平面?

例7、有翻译人员11名,其中5名仅通英语、4名仅通 法语,还有2名英、法语皆通。现欲从中选出8名,其 中4名译英语,另外4名译法语,一共可列多少张不同 的名单? 例8、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任 意取出4只,试求满足如下条件各有多少种情况: (1)4只鞋子恰有两双; (2) 4只鞋子没有成双的; (3) 4只鞋子只有一双。

课堂练习:
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习,每个车间2人, 若甲必须分到一车间,乙和丙不能分到二车间,则不同的分 9 法有 种。 2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两人中 9 至多有一个人参加,则有不同的选法种数为 。 3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队,如果 其中至少有2名男医生和至少有2名女医生,则不同的选法种数 为( C ) 3 2 3 3 2 3 A.(C8 ? C7 )(C7 ? C82 ) B.(C8 ? C7 ) ? (C7 ? C82 ) 3 2 3 1 C.C8 C7 ? C7 C82 D.C83C72C11 4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员, 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有( D)

A.C A

2 5

3 3

B.2C A

3 5

3 3

C. A

3 5

3 3 D.2C52 A3 ? A5

课堂练习: 5、在如图7x4的方格纸上(每小方格均为正方形) (1)其中有多少个矩形? (2)其中有多少个正方形?



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