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江西省赣州市兴国县将军中学2013届高三数学上学期第二次月考试题 理



江西省赣州市兴国县将军中学 2013 届高三数学上学期第二次月考试题 理 (无答案)北师大版

求四棱锥 P-ABCD 的侧视图的面积( A.3 B.

)

55 10

C.

55 5

D.6

一、选择题(共有 10 个小题,每小题

5 分,共 50 分) 1、设 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i ? i ? ? ? i
2 3 10

8.已知直线 l 过双曲线 2,则其离心率为( A. 2 )
D.{ y | y ? x , x ? 0}
?3

x2 y2 | AB | 的最小值为 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 右焦点,交双曲线于 A , B 两点,若 2 a b 2a
) B. 3 C.2 D.3

?(



A. i

B. ? i

C. 2i

D. ? 2i

2、若集合 P= { y | y ? 0} , P ? Q ? Q ,则集合 Q 不可能是( ...
A.{ y | y ? x , x ?R}
2

9、在等边 ?ABC 中, D 在 AB 上运动, E 在 AC 上运动, DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起,使二面角

A ? DE ? B 的平面角为 600 ,当四棱锥 A ? DBCE 体积最大时, AD : DB 等于(
A.1:1 B. 1: ( 3 ? 1) C. 1: 2 D. 2 : 3



B.{ y | y ? 2 , x ?R}
x

C.{ y | y ?| lg x |, x > 0?

3、命题“若 x ? y ,则 x ? y ”的逆否命题是
2 2

10、直线 bx ? ay ? c ? 0(a ? 0) 是曲线 y ? ln
2 2

1 在 x ? 3 处的切线, f ? x ? ? a ? 2 x ? b ? 3x ,若 f ? x ? 1? ? f ?x ? ,则 x x

A. “若 x ? y ,则 x ? y ”
2 2

B. “若 x ? y ,则 x ? y ” D. “若 x ? y ,则 x ? y ”
2 2

的取值范围是( A. ? ??,1?

) B. ?1, ?? ?
2? ? C. ? ??, ? 3? ? ?2 ? D. ? , ?? ? ?3 ?

C. “若 x ? y ,则 x ? y ”
2 2

1 1 1 1 4、张老师给学生出了一道题,“试写一个程序框图,计算 S=1+ + + + ”.发现 3 5 7 9 同学们有如下几种做法,其中有一个是错误的,这个错误的做法是 ( )

二、填空题(共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、二项式 2 x ? ( 12、计算定积分

1
3

5 )展开式中的第 4 项是______________。

x

?

1

?1

( 1 ? x 2 ? x)dx ? _____________。
??? ???? ?


13、在 ?ABC 中,已知 BC ? 2, AB ? AC =1,则 ?ABC 面积的最大值是

14、 函数 f ( x) 的定义域为 D, 若对于任意 x1 , x2 ? D , x1 ? x2 时, 当 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数。设函数 f ( x) 为定义在[0,1]上的非减函数,且满足以下三个条件:

5、已知等差数列 {a n } 中, a1 ? 120 , 公差d ? ?4, s n为其前n项和,若s n ? an (n ? 2), 则n 的最小值 为( ) B.62 C.70 D.72



f (0) ? 0 ;② f (1 ? x) ? f ( x) ? 1 x ? ? 0,1? ; ③
?5? f ? ?? ?9?

A.60

当 x? ? 0, ? 时, f ? x? ? 2 x 恒成立。则 4

? 1? ? ?

6、若把函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图象向右平移 m ( m >0)个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对 称,则 m 的最小值是( A.
π 3 2 B. π 3

?3? f ? ?? ?7?



) C.
π 6

5 D. π 6

15、已知对于任意非零实数 m,不等式 | 5m ? 3 | ? | 3 ? 4m |?| m | (x ? 是 。

2 ) 恒成立,则实数 x 的取值范围 x

7、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PB⊥平面 ABCD,AB⊥AD,AB∥CD, 且 AB=1, =CD=2, 在线段 PD 上. AD E 若异面直线 BC 与 PD 所成的角为 60°,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1

16. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n 。 (1)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间; (2)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, ?ABC 的面积为 求 a 的值。

19、 (本小题满分 12 分) 如图: 在多面体 ABC ? A1 B1C1 中,AA1 ? 平面ABC ,AA1 //BB1 , B1C1 //

1 BC , 2

AB ? AC ? AA1 ?
3 , 2

2 BC 。 2
(2)求证: AB1 // 平面A1C1C ;

(1)求证: A1 B1 ? 平面AA1C ;

(3)求二面角 C1 ? A1C ? A 的余弦值。

17、 (本小题满分 12 分)第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行, 为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者,调查发现,这 30 名志愿 者的身高如下: (单位:cm ) 男 9 9 8 7 6 5 4 2 8 0 1 1 15 16 17 18 19 女 7 7 8 9 9 1 2 4 5 8 9 2 3 4 5 6 0 1

20、 (本小题满分 13 分) 已知 A、B、C 是椭圆 m :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A 的坐标为 ( 2 3 ,0) ,BC 过椭圆 a2 b2

m 的中心,且 AC ? BC ? 0, | BC |? 2 | AC | . (1)求椭圆 m 的方程; (2)过点 M (0, t ) 的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q, 设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点,且 | DP |?| DQ | ,求实数 t 的取值范围.

若身高在 175 cm 以上(包括 175 cm)定义为“高个子” ,身高在 175 cm 以下定义为“非高个子” , 且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐” . (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,则 至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数, 试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ?

a 1 ? ln x x

( a 为实常数) 。

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 (0, 2) 上无极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)已知 n ? N 且 n ? 3 ,求证: ln
?

n+1 1 1 1 1 < + + +?? + . 3 3 4 5 n

18. (本小题满分 12 分) 设数列 ? an ? 的前项和为 S n , S n ? 2 ? 且

1 ,?bn ? 为等差数列, a1 ? b1 , 且 2n?1

a2 (b2 ? b1 ) ? a1 .
(Ⅰ)求数列 ? an ? 和 ?bn ? 通项公式;(Ⅱ)设 cn ?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

2

高三第三次月考数学试题参考答案(理科) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

18、 (1)当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 1. 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (2 ?

1 2
n ?1

) ? (2 ?

1 2
n?2

)?

1 2 n?1

,此式对 n ? 1也成立.

题号 答案

1 A

2 D

3 C

4 A

5 B

6 D

7 C

8 B

9 B

10 A 二、填空题(每小题

? an ?

1 2
n ?1

(n ? N * ) . ,从而 b1 ? a1 ? 1 , b2 ? b1 ?

a1 ?2. a2

5 分,共 25 分) 11、 40 . 12、

? . 13、 2

2

.

14、

1

.

15、__ - ?、1 ? 0、 _. ( - 】 ( 2】 三、解答题

? Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2 n .
19、证明: (Ⅰ)由于 AB ? AC ? AA1 ?

2 BC , 所以 AB2 ? AC 2 ? BC 2 , 2

则 AB ? AC. 又 AA1 ? 平面ABC ,则 AA1 ? AB , 所以 AB ? 平面AA1C. 又 AB ? A1B1 ,则 A1 B1 ? 平面AA1C. (Ⅱ)取 BC 的中点 D ,连结 AD, DC1 , 由条件知 CD?B1C1 , BD?B1C1 , ∴四边形 B1 DCC1 和 BDC1 B1 为平行四边形,

CC ∴ B1 D? 1 , C1 D?BB1 ,∴ C1 D?AA1 ,
因此, ? 的分布列如下: ∴四边形 AA1C1 D 为平行四边形,∴ AD ? A1C1 , ∴平面 AB1 D ? 平面 A1C1C ,则 AB1 ? 平面 A1C1C 。

?
p

0

1

2
12 55

3
1 55

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 AA1 , AB, AC 两两垂直,如图建系, 设 BC ? 2 ,则 A(0,0,0) , A1 (0, 0, 2) ,

28 14 55 55 14 28 12 1 ? E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 55 55 55 55

C (0, ? 2, 0), C1 (?

2 2 ,? , 2) , 2 2

3

????? ???? 2 2 A1C1 ? (? , ? ,0), A1C ? (0, ? 2, ? 2). 2 2

令 g ? x ? ? 0 ,并结合定义域知 x ? ? 0, ? ; 令 g ? x ? ? 0 ,并结合定义域知 x ? ?
' '

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? ; ?2 ?

?? ???? ? ? 2 2 ?? ?m ? A1C1 ? 0 x? y?0 ?? ? 设平面 A1C1C 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , 则由 ? ?? ???? , ? 2 得 , x ? 1, 取 2 ? m ? A1C ? 0 ? ? 2 y ? 2z ? 0 ? ?


故 g ? x ? 在 x ? ? 0, ? 时递增;在 x ? ? (II) f ' ? x ? ?

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? 时递减。 ?2 ?

a 1 a?x ? ? 2 , x2 x x
'

① 当 a ? 0 时, f

? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上递减,无极值;

② 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, a ? 上递增,在 ? a , ?? ? 上递减,故 f ( x) 在 x ? a 处取得极大值. 所以二面角 C1 ? A1C ? A 为钝二面角,故二面角 C1 ? A1C ? A 的余弦值为 ?

3 . 3

要使 f ( x) 在区间 (0, 2) 上无极值,则 a ? 2 . 综上所述, a 的取值范围是 ? ??, 0? ? ? 2, ?? ? . (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ?

∴∠OCA=90°, 即 C ( 3 , 3 )

又∵ a ? 2 3, 设m :

x2 y2 ? ?1 12 12 ? c 2

1 1 ? ln 在 x ? 1 处取得最大值 0 . x x 1 1 1 1? x 即 f ( x) ? 1 ? ? ln ? 0 ? ln ? . x x x x n n ?1 1 1 令x? ,则 ln ? ,即 ln(n ? 1) ? ln n ? , n ?1 n n n n ?1 ? ln ? ln(n ? 1) ? ln 3 3

综上 t∈(-2,4) 21、解:(I)当 a ? 1 时, g ? x ? ? 1 ? 2 x ?
'

1 1 ? ln ,其定义域为 ? 0, ?? ? ; x x

1 1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? ? 2 x ? 1?? x ? 1? g ? x ? ? ?2 ? 2 ? ? ? , x x x2 x2

4



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