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2.1.1指数与指数幂的运算(1)



2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算

问题 :当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会 按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原 来的一半 , 这个时间称为“半衰期” . 根据此规 律,人们获得了生物体内含量P与死亡年数t之间 的关系,这个关系式应该怎样表示呢 我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物体死

亡了5730, 5730×2, 5730×3,… 年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1, 2
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( 1 )2 , 2

( 1 )3 , 2

.

2.1.1指数与指数幂的运算 (2) 当生物体死亡了 6000 年 ,10000 年 ,100000 年 后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
(1) 2
6000 5730

,

(1) 2

10000 5730

,

(1) 2

100000 5730

,

.

(3)由以上的实例来推断关系式应该是什么?
P ? (1) 2
t 5730

.

考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年 后,体内碳14的含量P的值.
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2.1.1指数与指数幂的运算 (4)那么这些数 ( 1 ) 5730 ,( 1 ) 5730 ,( 1 ) 5730 的意义究竟 2 2 2
6000 10000 30000

是什么呢 ?它和我们初中所学的指数有什么区
别?

这里的指数是分数的形式.
指数可以取分数吗 ? 除了分数还可以取 其它的数吗 ? 我们对于数的认识规律是怎样 的? 自然数→整数→分数(有理数)→实数.
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2.1.1指数与指数幂的运算 (5) 指数能否取分数 ( 有理数 ) 、无理数呢 ? 如 果能,那么在脱离开上面这个具体问题以后,
) 关系式 P ? ( 1 2
t 5730

就会成为我们后面将要相继

研究的一类基本初等函数 —“指数函数”的 一个具体模型. 为了能更好地研究指数函数 , 我们有必 要认识一下指数概念的扩充和完善过程 , 这 就是下面三节课将要研究的内容: 从今天开始,我们学习指数与指数幂的运 算.
2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算 回顾初中知识,根式是如何定义的?有 那些规定? ①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a 的平方根. 正实数的平方根有两个,
它们互为相反数

22=4 (-2)2=4

2,-2叫4的平方根.

②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 一个数的立方 23=8 2叫8的立方根. 根只有一个 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根. 2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算 24=16 2,-2叫16的4次方根; 4 (-2) =16 25=32 2叫32的5次方根;

………………………………………… 通过类比方法,可得n次方根的定义.
n 2 =

a

2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.

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xn =a

2.1.1指数与指数幂的运算 1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根(n th root), 其中n>1,且n∈N*. 即 如果一个数的n次方等于a (n>1,且 n∈N*),那么这个数叫做 a 的n次方根.
数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

24=16 (-2)4=16 (-2)5=-32
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16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2.

27=128

2是128的7次方根.

2.1.1指数与指数幂的运算

【1】试根据n次方根的定义分别求出下 列各数的n次方根. ±5 (1)25的平方根是_______; 3 (2)27的三次方根是_____; (3)-32的五次方根是____; -2 (4)16的四次方根是_____; ±2 a2 (5)a6的三次方根是_____; 0 (6)0的七次方根是______. 点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
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2.1.1指数与指数幂的运算

23=8
(-2)3=-8

8的3次方根是2.

3 记作: 8 ? 2.

3 ?8 ? ?2. -8的3次方根是-2. 记作: 5 ?32 ? ?2. -32的5次方根是-2.记作:
7 128 ? 2. 128的7次方根是2. 记作:

(-2)5=-32
27=128

1.正数的奇次方根是一个正数, 奇次方根 2.负数的奇次方根是一个负数.

a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
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一个数的奇次方根只有一个

2.1.1指数与指数幂的运算 72=49 49的2次方根是7,-7. 2 (-7) =49 记作: ? 49 ? ? 7 34=81 81的4次方根是3,-3. 4 (-3) =81 4 记作: ? 81 ? ?3 6 2 =64 64的6次方根是2,-2. 6 (-2) =64 记作: ? 6 64 ? ?2.

想一想: 哪个数的平方为负数?哪个数的偶次
方为负数? 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义
n 正数 a 的 n 次方根用符号 ? a 表示(n为偶数) 2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算 (1) 奇次方根有以下性质: 正数的奇次方根是正数. n a 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质: 正数的偶次方根有两个且是相反数, ?n a 负数没有偶次方根, 零的偶次方根是零.
如果x ? a, 那么
n
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? n ? a , n ? 2 k ? 1, k ? N , ? x?? ? n ? a , a ? 0, n ? 2 k , k ? N . ? ?

2.1.1指数与指数幂的运算

a

n ? n 为奇数 , a 的 n 次方根有一个为 a, ? 为正数: ? n ? n 为偶数 , a 的 n 次方根有两个为 ? a. ?

n ? n 为奇数 , a 的 n 次方根只有一个为 a, ? a 为负数: ? ? . ?n为偶数, a的n次方根不存在

零的 n 次方根为零,记为
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n

0 =0.

2.1.1指数与指数幂的运算

根指数

n

a
根式

被开方数

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2.1.1指数与指数幂的运算

(1)

5

25 ? 2,

3

3 (? 2) ? ?2.

结论:an开奇次方根,则有 n a n ? a.

(2) 3 ? 3, (?3) ? ?3, (?3) ? 3.
2 2 2

(3) 2 ? 2, (?2) ? ?2, (? 2) ? 2.
4 4 4 4 4 4

结论:an开偶次方根,则有
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n

a ?| a | .
n

式子

n

a n 对任意a ? R都有意义.

2.1.1指数与指数幂的运算

⑴当n为任意正整数时,( n a )n=a. ⑵当n为奇数时,n a n =a; ? a ( a ? 0) n n 当n为偶数时, a =|a|= ? . ? ? a ( a ? 0)

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2.1.1指数与指数幂的运算 例1.求下列各式的值

( 1) (?8) ;
3 3

(2)

(?10) ;
2

(3)

4

(3 ? ? )4 ;
3 3

(4)

(a ? b)2 (a ? b).

解 : ?1?

?? 8? = -8; 2 ?2? ?? 10? ?| ?10 | =10; 4 4 ?3? ?3 ? ? ? ?| 3 ? ? | ? ? ? 3; 2 ?| a ? b | ? a ? b a ? b . ? ? ?4? ?a ? b?

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2.1.1指数与指数幂的运算 【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①

④ ).

(1) 16 ? ?2 5 5 (2) ( ?3) ? ?3
4

(3) ( ?3) ? ?3
5 5

(4) ( ?3) ? ?3
5 10

(5) ( ?3) ? 3
4 4
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2.1.1指数与指数幂的运算 【2】求下列各式的值.
2 ⑷ 5? 2 6. 4 ⑵ ( ? 3 ) ; ⑶ ( 2 ? 3 ) ; ⑴ ?32;

5

解: ⑴ 5 ?32 ?
4

5

(?2) ? ?2;
5
2 2 2

⑵ (? 3 )? [ (? 3) ] ? 9 ? 9;
2 (3) ( 2 ? 3 ) ?| 2 ? 3 |? 3 ? 2;

(4) 5 ? 2 6 ? ( 2 ? 3 ) ? 3 ? 2.
2

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2.1.1指数与指数幂的运算

例2.填空: 在
6

( ?2) , a , ? a , ( ?3)
2n 5 4 3 4 4

2 n ?1

( ?3) 这四个式子中,没有意义的是________.
4

2 n ?1

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2.1.1指数与指数幂的运算 例3.求值: 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 . 解:原式 ? ( 3 ? 2)2 ? (2 ? 3)2 ? (2 ? 2)2

?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 | ? | 2 ? 2 |
? ( 3 ? 2 ) ? (2 ? 3 ) ? (2 ? 2 )

? 3 ? 2 ? 2? 3 ? 2? 2 ? 2 2.
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2.1.1指数与指数幂的运算

例4.填空:

(1)已知a, b, c为三角形的三边,则

2b ? 2c (a ? b ? c)2 ? b ? a ? c ? ________.

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2.1.1指数与指数幂的运算
2

例4(2).如果 ?2 x ? 5 x ? 2 ? 0, 化简代数式 2 4x ? 4x ? 1 ? 2 | x ? 2 | . 解: ?2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0, ? 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0, 解之,得 1 ? x ? 2. 2
所以
2

2 x ? 1 ? 0, x ? 2 ? 0.

2 ? (2 x ? 1) ? 2| x ?2| ? 4x ? 4x ? 1 ? 2 | x ? 2 |

?| 2 x ? 1 | ?2 | x ? 2 | ? (2 x ? 1) ? 2[?( x ? 2)] ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 4 ? 3.

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2.1.1指数与指数幂的运算

例5.填空:
1 a ≥ 取值范围是______. 3

(1) 若 9a ? 6a ? 1 ? 3a ? 1, 则a 的
2

例( 5 2) .求使等式 ( x ? 2)( x ? 4) ? ( x ? 2) x ? 2
2

成立的x的范围.

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