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【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习:10-1(含答案)



第十章 10.1 第 1 课时
高考数学(理)黄金配套练习
一、选择题 1.从集合{1,2,3,?,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列, 这样的等比数列的个数为( ) A.5 B.4 C.6 D.8 答案 D 解析 分类考虑,当公比为 2 时,等比数列可为:1,2,4;2,4,8,当公比为 3 3 时,可为:1,3,9,当公比为2时,可为 4,

6,9,将以上各数列颠倒顺序时,也是符合 题意的,因此,共有 4×2=8 个. 2.按 ABO 血型系统学说,每个人的血型为 A、B、O、AB 型四种之一,依血 型遗传学,当父母的血型中没有 AB 型时,子女的血型有可能是 O 型,若某人的 血型是 O 型,则其父母血型的所有可能情况有( ) A.6 种 B.9 种 C.10 种 D.12 种 答案 B 解析 找出其父母血型的所有情况分二步完成,第一步找父亲的血型,依题 意有 3 种;第二步找母亲的血型也有 3 种,由分步乘法计数原理得:其父母血型 的所有可能情况有 3×3=9 种. 3.已知 a,b∈{0,1,2,?,9},若满足|a-b|≤1,则称 a,b“心有灵犀” .则 a,b“心有灵犀”的情形共有( ) A.9 种 B.16 种 C.20 种 D.28 种 答案 D 解析 当 a 为 0 时,b 只能取 0,1 两个数;当 a 为 9 时,b 只能取 8,9 两个数, 当 a 为其他数时,b 都可以取 3 个数.故共有 28 种情形. 4.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了 2 个新节 目.如要将这 2 个节目插入原节目单中,那么不同插法的种类为( ) A.42 B.30 C.20 D.12 答案 A 解析 将新增的 2 个节目分别插入原定的 5 个节目中,插入第一个有 6 种插 法,插入第 2 个时有 7 个空,共 7 种插法,所以共 6×7=42(种). 5.若从集合 P 到集合 Q={a,b,c}所有的不同映射共有 81 个,则从集合 Q 到集合 P 所有的不同映射共有( ) A.32 个 B.27 个 C.81 个 D.64 个 答案 D 解析 可设 P 集合中元素的个数为 x,由映射的定义以及分步乘法计数原理, 可得 P→Q 的映射种数为 3x=81,可得 x=4.反过来,可得 Q→P 的映射种数为 43

=64. 6.有 A、B 两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙 都会操作两种车床,丙只会操作 A 种车床,先从三名工人中选 2 名分别去操作以 上车床,则不同的选派方法有( ) A.6 种 B.5 种 C.4 种 D.3 种 答案 C 解析 若选甲、乙 2 人,则包括甲操作 A 车床,乙操作 B 车床或甲操作 B 车 床,乙操作 A 车床,共有 2 种选派方法;若选甲、丙 2 人,则只有甲操作 B 车床, 丙操作 A 车床这 1 种选派方法;若选乙、丙 2 人,则只有乙 B 车床,丙操作 A 车 床这 1 种选派方法. ∴共有 2+1+1=4(种)不同的选派方法. 7.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门.若 要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( ) A.30 种 B.35 种 C.42 种 D.48 种 答案 A 解析 分两类,A 类选修课 1 门,B 类选修课 2 门,或者 A 类选修课 2 门,B 1 2 类选修课 1 门,因此,共有 C2 C1 C4=30 种选法,故选 A. 3· 4+C3· 二、填空题 8 .从正方体的 6 个表面中取 3 个面,使其中两个面没有公共点,则共有 ________种不同的取法. 答案 12 解析 分两步完成这件事,第一步取两个平行平面,有 3 种取法;第二步再 取另外一个平面,有 4 种取法,由分步计数原理共有 3×4=12 种取法. 9.在一宝宝“抓周”的仪式上,他面前摆着 2 件学习用品,2 件生活用品,1 件娱乐用品,若他可抓其中的二件物品,则他抓的结果有________种. 答案 10 解析 设学习用品为 a1,a2;生活用品为 b1,b2,娱乐用品为 c,则结果有: (a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c),(a2,b1)(a2,b2),(a2,c),(b1,b2),(b1, c)(b2,c),共 10 种. 10.由 1 到 200 的自然数中,各数位上都不含 8 的有________个. 答案 162 个 解析 一位数 8 个,两位数 8×9=72 个. 3 位数 1 × × 有 9×9=81 个, 另外 2 × × 1 个(即 200), 共有 8+72+81+1=162 个. 11.有一名同学在填报高考志愿时,某批次的志愿需从 A、B、C 三所大学中 选择两所大学作为第一志愿和第二志愿,剩余的一所大学和其他三所大学中再选 择三所作为平行志愿,则该同学在这个批次填报志愿的方式有________.

答案 24 种 解析 第一志愿和第二志愿的填报方式有 A2 平行志愿的填报方式有 C3 3种, 4种, 2 3 所以该生在这个批次填报志愿的方式有 A3×C4=24 种. 12.

如图所示,有五种不同颜色分别给 A、B、C、D 四个区域涂色,相邻区域必 须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有________. 答案 180 种 解析 按区域分四步:第一步 A 区域有 5 种颜色可选; 第二步 B 区域有 4 种颜色可选; 第三步 C 区域有 3 种颜色可选; 第四步由于重复使用区域 A 中已有过的颜色,故也有 3 种颜色可选用.由分 步计数原理,共有 5×4×3×3=180(种) 13.春回大地,大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行,喜羊羊、懒 羊羊、沸羊羊、暖羊羊 4 只小羊要争夺 5 项比赛的冠军,则有________种不同的 夺冠情况. 答案 45 三、解答题 14.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O 型血的共有 28 人,A 型血 的共有 7 个,B 型血的共有 9 个,AB 型血的有 3 个. (1)从中任选 1 人去献血,有多少种不同的选法? (2)从四种血型的人中各选 1 个去献血,有多少种不同的选法? 解析 从 O 型血的人中选 1 个有 28 种不同的选法,从 A 型血的人中选 1 人 有 7 种不同的选法,从 B 型血的人中选 1 人有 9 种不同的选法,从 AB 型血的人 中选 1 个人有 3 种不同的选法. (1)任选 1 人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,这件“任选 1 人去献血” 的事情已完成,所以由分类计数原理,共有 28+7+9+3=47 种不同的选法. (2)要从四种血型的人中各选 1 人,即要在每种血型的人中依次选出 1 人后, 这件“各选 1 人去献血”的事情才完成,所以用分步计数原理,共有 28×7×9×3 =5292 种不同的选法. 15.标号为 A、B、C 的三个口袋,A 袋中有 1 个红色小球,B 袋中有 2 个不 同的白色小球,C 袋中有 3 个不同的黄色小球,现从中取出 2 个小球. ①若取出的两个球颜色不同,有多少种取法? ②若取出的两个球颜色相同,有多少种取法? 解析 ①若两个球颜色不同,则应在 A、B 袋中各取一个或 A、C 袋中各取一 个,或 B、C 袋中各取一个. ∴应有 1×2+1×3+2×3=11 种. ②若两个球颜色相同,则应在 B 或 C 袋中取出 2 个.∴应有 1+3=4 种. 16.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元的单片软 件和 70 元的盒装磁盘.根据需要,软件至少买 3 张,磁盘至少买 2 盒.则不同的 选购方式共有多少种? 答案 7

解析 可设购买 60 元的单片软件和 70 元的盒装磁盘分别为 x 片、y 盒,依照 所用资金不超过 500 元,来建立数学模型,从而解决问题. 设购买单片软件 x 片,盒装磁盘 y 盒 ,则依题意有 60x+70y≤500,(x,y∈ * N ,有 x≥3,y≥2)按购买 x 片分类; x=3,则 y=2,3,4,共 3 种方法; x=4,则 y=2,3,共 2 种方法; x=5,则 y=2,共 1 种方法; x=6,则 y=2,共 1 种方法. 依分类计数原理不同的选购方式有 N=3+2+1+1=7(种). 答:不同的选购方式有 7 种. 探究 本题主要考查分类计数原理的灵活运用,在解题中要特别注意知识的 联想和应用.

拓展练习·自助餐
1.已知如图的每个开关都有闭合、不闭合两种可能,因此 5 个开关共有 25 种可能,在这 25 种可能中,电路从 P 到 Q 接通的情况有( )

A.30 种 B.10 种 C.16 种 D.24 种 (提示:按有几个开关闭合分类) 答案 C 解析 5 个开关闭合有 1 种接通方式;4 个开关闭合有 5 种接通方式;3 个开 关闭合有 8 种接通方式; 2 个开关闭合有 2 种接通方式, 故共有 1+5+8+2=16(种). 2.已知互不相同的集合 A、B 满足 A∪B={a,b},则符合条件的 A,B 的组 数共有________种. 答案 9 解析 当 A=? 时,集合 B={a,b};当 A 只 1 个元素时,B 可以有 2 种情况, 此时有 2×2=4 种情况;当 A={a,b}时,集合 B=?,{a,},{b}或{a,b},此 时有 4 种情况,综上可知,符合条件的 A、B 共有 1+4+4=9 种. 3.集合 P={x,1},Q={y,1,2},其中 x,y∈{1,2,3,?,9},且 P?Q.把满足 上述条件的一对有序整数对 (x , y) 作为一个点的坐标,则这样的点的个数是 ________. 答案 14 个 解析 当 x=2 时,x≠y,点的个数为 1×7=7(个);当 x≠2 时,x=y,点的 个数为 7×1=7(个).则共有 14 个点. 4.有 1 元、2 元、5 元、10 元、50 元、100 元人民币各一张,则由这 6 张人 民币可组成________种不同的币值. 答案 63 解析 对于每一张人民币来说,都有两种选择,用或不用,而都不用则形不 成币值,由分步计数原理.

可得 N=2×2×2×2×2×2-1=26-1=63(种) 5.为了迎接 2010 年广州亚运会,某大楼安装了 5 个彩灯,它们闪亮的顺序 不固定,每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所 闪亮的颜色各不相同,记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁 中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒.如果 要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( ) A.1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 D.1190 秒 答案 C 解析 共有 A5 5=120 个闪烁,119 个间隔,每个闪烁需用时 5 秒,每个间隔需 用时 5 秒,故共需要至少 120×(5+5)-5=1195 秒.

教师备选题
1.有这样一种数字游戏:在 3×3 的表格中,要求要每个格子中都填上 1,2,3 三个数字中的某一个数字,并且每一行和每一列都不能出现重复的数字.若游戏 开始时表格的第一行第一列已经填上了数字 1(如图①),则此游戏有________种不 同的填法;若游戏开始时表格是空白的(如图②),则此游戏共有________种不同的 填法.

1





答案 4 12 解析 对于图①,第 1 行有 2 种填法,其余空格有 2 种填法,故共有 4 种填 法.对于图②,第 1 行有 6 种填法,其余空格有 2 种填法,故共有 6×2=12(种) 填法. 2.设直线方程为 Ax+By=0,从 1,2,3,4,5 中每次取两个不同的数作为 A、B 的值,则所得不同直线的条数为( ) A.20 B.19 C.18 D.16 答案 C 解析 确定直线只需依次确定系数 A,B 即可.先确定 A,有 5 种取法,再确 定 B 有 4 种取法,由分步乘法计数原理得 5×4=20 种,但是 x+2y=0 与 2x+4y = 0,2x+ y= 0 与 4x+2y= 0 表示相同的直线,所以不同的直线条数为 20 - 2 = 18(条). 3.如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成,我们称这样的图案为 L 型(每次旋转 90° 仍为 L 形图案), 那么在由 4×5 个小方格组成的方格纸上可以画出 不同位置的 L 形图案的个数是( )

A.16 B.32 C.48 D.64 答案 C 解析 每四个小正方形图案,都可画出四个不同的 L 形图案,该图中共有 12 个这样的正方形,故可画出不同位置 L 形图案的个数为 4×12=48 个. 4.从{-3,-2,-1,0,1,2,3}中任取 3 个不同的数作为抛物线方程 y=ax2+bx +c(a≠0)的系数,如果抛物线过原点且顶点在第一象限,则这样的抛物线共有多 少条? b 4ac-b2 解析 由抛物线过原点知 c=0,由(- , )在第一象限得 2a 4a

b ? ?-2a>0 ? b ? ?-4a>0
2

?ab<0, ,?? ?a<0,

∴a<0,b>0,c=0.

由分步乘法计数原理. 得 N=3×3×1=9. 即符合条件的抛物线有 9 条.



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