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2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析



高一数学竞赛训练试题(3)
一.填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分)

1 的最小值是 . x ?1 2.已知函数 f ( x) ? e x .若 f (a ? b) ? 2 ,则 f (3a) ? f (3b) 的值是
1.若 x ≥ 2 ,则函数 f ( x ) ? x ?


<

br />3 .已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为前 n 项和,且满足

an 2 ? S2n?1 , n ? N* ,则数列 ?an ? 的通项 an ?



2 ? ?2 x ? 3x, x ≥ 0, 4.若函数 f ( x) ? ? 是奇函数,则实数 a 的值是 . 2 ? ??2 x ? ax, x ? 0 10 5.已知函数 f ( x) ? lg | x ? | .若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 5 f ( x) ? 6 ? 0 的实根之和为 3 . m ,则 f ( m) 的值是

6.设 ? 、 ? 都是锐角,且 cos ? ?

7.设 n≤2000,n∈N,且 ? θ∈R 满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ,那么这样的 n 有_______ 个 8.若满足 ?ABC ?

3 5 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? 等于 5 5



?
3

, AC ? 3 , BC ? m 的 △ ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围

是 . 9.设集合 S ? ?1, 2,?,8? , A , B 是 S 的两个非空子集,且 A 中的最大数小于 B 中的 最小数,则这样的集合对 ( A, B) 的个数是 . 10. 如果正整数 m 可以表示为 x 2 ? 4 y 2 ( x ,y ? Z ), 那么称 m 为 “好数” . 问 1, 2, 3, ?, 2014 中“好数”的个数为 . 二.解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知 a , b , c 为正实数, a ? b ? c ,
x y z

1 1 1 ? ? ? 0 ,求 abc 的值. x y z

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12.已知不等式 2(2a ? 3) cos(? ? ) ?

?

4

6 ? ? 2sin 2? [ ? 3a ? 6 对于 ? ? [0, ] 恒 sin ? ? cos ? 2

成立.求 a 的取值范围.

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13.如图,已知 ?ABC 是锐角三角形,以 AB 为直径的圆交边 AC 于点 D ,交边 AB 上 的高 CH 于点 E .以 AC 为直径的半圆交 BD 的延长线于点 G .求证: AG ? AE .

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14. (1)正六边形被 3 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 4 个三角形.将每个 三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.怎样 分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大? (2)凸 2016 边形被 2013 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个三 角形.将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜 色不同.在上述分割并涂色的所有情形中,红色三角形个数与蓝色三角形个数之差 的最大值是多少?证明你的结论.

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a+b 解: 设 x2-4y2=m=ab( , b>a) , 则有 (x+2y)(x-2y)=ab. 所以 x+2y=b、 x-2y=a。 解得: x= , 2 b-a y= 。可见,b-a 是 4 的倍数即可。分别对 a 为奇数、单偶数、双偶数的情况讨论。 4 (1) a 为奇数 2p+1 时(p≥0), m=ab=(2p+1)[(2p+1)+4q]=4(p2+p+2pq+q)+1, 即m是 (4k+1) 型(k≥0)。由 2013=1+4(n-1),解得 n=504; (2) a 为单偶数 4p+2 时(p≥0), m=ab=(4p+2)[(4p+2)+4q]=8(2p2+2p+2pq+q)+4, m是 (8k+4) 型,(k≥0)。由 2012=4+8(n-1),解得 n=252; (3)a 为双偶数 4p 时(p≥0),m=ab=4p(4p+4q)=16p(p+q),m 是 16k 型,(k≥1)。 由 2000=16+16(n-1),解得 n=125; 1 到 2014 内可表示为 x2-4y2 的自然数 m 的个数为 504+252+125=881。

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7.设 n≤2000,n∈N,且 ? θ∈R 满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ,那么这样的 n 有_______ 个 [解] 由题设得

[cos(

?
2

? ? ) ? i sin(

?
2

? ? )] n ? cos n(

?
2

? ? ) ? i sin(

?
2

? ? ) ? cos(

?
2

? n? ) ? i sin(

?
2

? n? )

,所以 n=4k+1.又因为 0≤n≤2000,所以 1≤k≤500,所以这样的 n 有 500 个。 12.已知不等式 2(2a ? 3) cos(? ? ) ?

?

4

6 ? ? 2sin 2? [ ? 3a ? 6 对于 ? ? [0, ] 恒 sin ? ? cos ? 2

成立.求 a 的取值范围. 分析 所给不等式中有两个变量,给出其中一个的范围,求另一个的范围,常采用

? 2 分离变量的方法.注意到与角 θ 有关的几个三角函数式, cos(? ? ) ? (sin ? ? cos? ) , 4 2 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ,因此考虑令 sin ? ? cos ? ? x 进行变量代换,以化简所给不等式,再寻 求解题思路.


? ? 2 设 sin ? ? cos ? ? x ,则 cos(? ? ) ? x, sin 2? ? x2 ? 1 ,当 ? ? [0, ] 时, 2 4 2

? .从而原不等式可化为: x?? ?1, 2 ?
6 6 (2a ? 3) x ? ? 2( x2 ? 1) ? 3a ? 6 ,即 2 x2 ? 2ax ? 3x ? ? 3a ? 4 ? 0 , x x

2 2 2 ? ? 2 x( x ? ? a) ? 3( x ? ? a) ? 0 , (2 x ? 3) ? x ? ? a ? ? 0 x x x ? ?

? [来源:学科网] ?x?? ?1, 2 ? ? (1)

∴原不等式等价于不等式(1) ,

? ? x?? ?1, 2 ? , ? 2 x ? 3 ? 0

2 ? 恒成立. (1)不等式恒成立等价于 x ? ? a ? 0 x ? ? ?1, 2 ? x

?

?

从 而 只 要 a?( ? x
?(x ? 2 ) a? x x 3? ? ( m ? x

2 ) m x

a

x

? ? (x ?

? , .2 又) f ( x) ? x ? 2 在 ?1, 2 ? 上 递 减 , 1 ? ? ? x

? 1,所以 ?3. ? , 2 a)

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