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江苏2018高三数学一轮复习 三角函数与解三角形


第1讲

弧度制与任意角的三角函数

考试要求 1.任意角的概念,弧度制的概念,弧度与角度的互化,A 级要求;2. 任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,B 级要求.

知 识 梳 理 1.角的概念的推广 (1)正角、 负角和零角: 一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角;如果射线没有作任何旋转,那么也把它 看成一个角,叫作零角. (2)象限角:以角的顶点为坐标原点,角的始边为 x 轴的正半轴,建立平面直角 坐标系,这样,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角.终边落 在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限. (3)终边相同的角:与角 α 的终边相同的角的集合为{β|β=k· 360° +α,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧度记作 rad. (2)公式 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换 算 弧长公式 扇形面积公式 l |α|=r(弧长用 l 表示) π ?180? ①1° =180 rad;②1 rad=? π ?° ? ? 弧长 l=|α|r 1 1 S=2lr=2|α|r2

3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切

设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 定义 x 叫做 α 的余 y 叫做 α 的正切, y 叫做 α 的正弦,记作 sin α 弦,记作 cos x 记作 tan α α

续表 Ⅰ 各象限 符号 Ⅱ Ⅲ Ⅳ + + - - + - - + + - + -

三角函 数线 有向线段 MP 为正 弦线 有向线段 OM 为余 有向线段 AT 为正 弦线 切线

诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于 90° 的角是锐角.( ) ) )

(2)锐角是第一象限角,反之亦然.(

(3)将表的分针拨快 5 分钟,则分针转过的角度是 30° .( π? ? (4)若 α∈?0,2?,则 tan α>α>sin α.( ? ? )

(5)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.( π? ? 解析 (1)锐角的取值范围是?0,2?. ? ? (2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (5)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×

)

8π α 2. 若角 α 与角 5 的终边相同, 则在[0,2π]内终边与角4终边相同的角是________. 解析 8π α kπ 2π α 由题意知,α=2kπ+ 5 ,k∈Z,∴4 = 2 + 5 ,k∈Z,又4 ∈[0,2π],∴k

2π 9π 7π 19π =0,α= 5 ;k=1,α=10;k=2,α= 5 ;k=3,α= 10 . 答案 2π 9π 7π 19π 5 ,10, 5 , 10

3.(必修 4P15 习题 6 改编)若 tan α>0,sin α<0,则 α 在第________象限. 解析 由 tan α>0,得 α 在第一或第三象限,又 sin α<0,得 α 在第三或第四象限 或终边在 y 轴的负半轴上,故 α 在第三象限. 答案 三 4.已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α=________. 解析 ∵角 α 的终边经过点(-4,3), ∴x=-4,y=3,r=5. x 4 ∴cos α= r =-5. 4 答案 -5 5.(必修 4P10 习题 8 改编)一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为 ________弧度. π 答案 3

考点一 角的概念及其集合表示 α 【例 1】 (1)若角 α 是第二象限角,则2是第________象限角. (2)终边在直线 y= 3x 上,且在[-2π,2π)内的角 α 的集合为________. 解析 (1)∵α 是第二象限角, π ∴2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, π α π ∴4+kπ<2<2+kπ,k∈Z.

α 当 k 为偶数时,2是第一象限角; α 当 k 为奇数时,2是第三象限角. (2)如图,

π 在坐标系中画出直线 y= 3x,可以发现它与 x 轴的夹角是3,在[0,2π)内,终边 π 4 2 在直线 y= 3x 上的角有两个:3,3π;在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-3
? 5 2 π 4 ? 5 π,-3π,故满足条件的角 α 构成的集合为?-3π,-3π,3,3π?. ? ?

答案 (1)一或三 规律方法

? 5 2 π 4 ? (2)?-3π,-3π,3,3π? ? ?

(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写

出与这个角的终边相同的所有角的集合, 然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得 所需的角. α (2)确定 kα, k (k∈N*)的终边位置的方法 α 先用终边相同角的形式表示出角 α 的范围,再写出 kα 或 k 的范围,然后根据 k α 的可能取值讨论确定 kα 或 k 的终边所在位置.
? ? ? k 180° +45° ,k∈Z? ,N= 【训练 1】 (1)设集合 M=?x?x=2· ? ? ? ? ? ? k ?x?x= · 180° +45° ,k∈Z? 4 ? ? ?

,则下列结论:

①M=N;②M?N;③N?M;④M∩N=?. 其中正确的是________(填序号).
? ? ? π π (2) 集 合 ?α?kπ+4≤α≤kπ+2,k∈Z? 中 的 角 所 表 示 的 范 围 ( 阴 影 部 分 ) 是 ? ? ?

________(填序号).

解析 (1)法一 225° ,?},

? ? ? k 180° +45° ,k∈Z? ={?, 由于 M=?x?x=2· -45° , 45° , 135° , ? ? ?

? ? ? k 180° +45° ,k∈Z? ={?, N=?x?x=4· -45° , 0° , 45° , 90° , 135° , 180° , 225° , ?}, ? ? ?

显然有 M?N. k 法二 由于 M 中,x=2· 180° +45° =k· 90° +45° =(2k+1)· 45° ,2k+1 是奇数; k 而 N 中,x=4· 180° +45° =k· 45° +45° =(k+1)· 45° ,k+1 是整数,因此必有 M? N. π π π π (2)当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+4≤α≤2nπ+2,此时 α 表示的范围与4≤α≤2表示的 范围一样; 5π 3π 5π 3π 当 k=2n+1(n∈Z)时, 2nπ+ 4 ≤α≤2nπ+ 2 , 此时 α 表示的范围与 4 ≤α≤ 2 表 示的范围一样. 答案 (1)② (2)③

考点二 弧度制及其应用 【例 2】 已知一扇形的圆心角为 α,半径为 R,弧长为 l. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长 l; (2)已知扇形的周长为 10 cm,面积是 4 cm2,求扇形的圆心角; (3)若扇形周长为 20 cm, 当扇形的圆心角 α 为多少弧度时, 这个扇形的面积最大? π π 10π 解 (1)α=60° =3 rad,∴l=α· R=3×10= 3 (cm). 2R+Rα=10, ? ? (2)由题意得?1 2 α· R =4, ? ?2 1 故扇形圆心角为2. (3)由已知得,l+2R=20. R=4, ? ? ?R=1, 解得? (舍去),? 1 α=2. ?α=8 ? ?

1 1 所以 S=2lR=2(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25, 所以当 R=5 时, S 取得最 大值 25, 此时 l=10,α=2. 规律方法 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使 问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练 2】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=90° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积? 解 (1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则 π π α=90° =2,R=10,l=2×10=5π(cm), 1 1 S 弓=S 扇-S△=2×5π×10-2×102=25π-50(cm2). (2)扇形周长 C=2R+l=2R+αR, ∴R= C , 2+α

1 2 1 ? C ?2 ?2+α? ∴S 扇=2α· R =2α· ? ? C2 α 1 C2 1 C2 = 2 · = · 4≤16. 4+4α+α2 2 4+α+α C2 当且仅当 α2=4,即 α=2 时,扇形面积有最大值16. 考点三 三角函数的概念 【例 3】 (1)(2017· 扬州一中月考)已知角 α 的终边与单位圆 x2+y2=1 交于点 ?1 ? P?2,y0?,则 cos 2α=________. ? ? 4 (2)(2017· 泰州模拟)已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cos α=-5, 则 m 的值为________.

cos α (3)若 sin α· tan α<0,且 tan α <0,则角 α 是第________象限角. 1 1 1 解析 (1)根据题意可知,cos α=2,∴cos 2α=2cos2α-1=2×4-1=-2. (2)∵r= 64m2+9, ∴cos α= ∴m>0,∴ 1 即 m=2. cos α (3)由 sin α· tan α<0 可知 sin α, tan α 异号, 从而 α 为第二或第三象限的角, 由 tan α <0,可知 cos α,tan α 异号,从而 α 为第三或第四象限角.综上,α 为第三象限 角. 1 答案 (1)-2 规律方法 1 (2)2 (3)三 -8m 4 =-5, 2 64m +9 4m2 1 =25, 2 64m +9

(1)利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:

角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x,纵坐标 y,该点到原点的距离 r. (2)根据三角函数定义中 x,y 的符号来确定各象限内三角函数的符号,理解并记 忆:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”. (3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍,结合三角函数的周期 性正确写出角的范围. ? 1 ? 【训练 3】 (1)(2017· 无锡期末)已知角 α 的终边与单位圆的交点 P?-2,y?,则 ? ? sin α· tan α=________. 1 (2)满足 cos α≤-2的角 α 的集合为________. 1 解析 (1)由|OP|2=4+y2=1, 3 3 得 y2=4,y=± 2 . 3 3 当 y= 2 时,sin α= 2 ,tan α=- 3,

3 此时,sin α· tan α=-2. 3 3 当 y=- 2 时,sin α=- 2 ,tan α= 3, 3 此时,sin α· tan α=-2. 1 (2)作直线 x=-2交单位圆于 C,D 两点,

连接 OC,OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 终边的范围,
? ? ? 2 4 故满足条件的角 α 的集合为?α?2kπ+3π≤α≤2kπ+3π,k∈Z? . ? ? ?

3 答案 (1)-2

? ? 2 4 (2)?α2kπ+3π≤α≤2kπ+3π,k∈Z? ? ?

[思想方法] 1.在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位 圆的交点.|OP|=r 一定是正值. 2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助口诀:一全正,二 正弦,三正切,四余弦. 3.在解决简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. [易错防范] 1.注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角.第 一类是象限角,第二、第三类是区间角. 2.角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量 制度必须一致,不可混用. 3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

基础巩固题组 (建议用时:30 分钟) 1.给出下列四个命题: 3π 4π ①- 4 是第二象限角;② 3 是第三象限角;③- 400° 是第四象限角;④-315° 是第一象限角. 其中正确的命题的个数为________. 3π 4π π 4π 解析 - 4 是第三象限角, 故①错误. 3 =π+3, 从而 3 是第三象限角, ②正确. -400° =-360° -40° ,从而③正确.-315° =-360° +45° ,从而④正确. 答案 3 2.已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在第________象限. 解析 由题意知 tan α<0,cos α<0,∴α 是第二象限角. 答案 二 3 3. (2017· 苏州期末)已知角 θ 的终边经过点 P(4, m), 且 sin θ=5, 则 m=________. 解析 sin θ= 答案 3 4.已知角 α 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角 α 用集合可 表示为________. m 3 2=5,解得 m=3. 16+m

?π 5 ? 解析 在[0,2π)内,终边落在阴影部分角的集合为?4,6π?, ? ? π 5 ? ? 所以,所求角的集合为?2kπ+4,2kπ+6π?(k∈Z). ? ? π 5 ? ? 答案 ?2kπ+4,2kπ+6π?(k∈Z) ? ? 5.设 P 是角 α 终边上一点,且|OP|=1,若点 P 关于原点的对称点为 Q,则 Q 点的坐标是________.

解析 由已知 P(cos α,sin α),则 Q(-cos α,-sin α). 答案 (-cos α,-sin α) π π 6.已知扇形的圆心角为6,面积为3,则扇形的弧长等于________. l π ? ?r=6, 设扇形半径为 r,弧长为 l,则? 1 π ? ?2lr=3, π ? ?l= , 解得? 3 ? ?r=2.

解析

π 答案 3 2π 7.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动 3 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标 为________. 2π 1 2π 解析 由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x,y)满足 x=cos 3 =-2,y=sin 3 = 3 2. ? 1 3? 答案 ?- , ? 2 2 ? ? θ? θ θ ? 8.设 θ 是第三象限角,且?cos 2?=-cos 2,则2是第________象限角. ? ? θ 解析 由 θ 是第三象限角,知2为第二或第四象限角, ? ∵?cos ? θ? θ θ θ ? =- cos ,∴ cos ≤ 0 ,综上知 2? 2 2 2为第二象限角.

答案 二 9.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角 α∈(0,π)的弧 度数为________. 解析 设圆半径为 r,则其内接正三角形的边长为 3r,所以 3r=α· r,∴α= 3. 答案 3

10.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ=________. 解析 由题意知,tan θ=2,即 sin θ=2cos θ,将其代入 sin2θ+cos2θ=1 中可得 1 3 cos2θ=5,故 cos 2θ=2cos2θ-1=-5.

3 答案 -5 11.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;④ 若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同;⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的 角. 其中正确命题的个数是________. 解析 举反例:第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° ,故①错;当三角形的 内角为 90° 时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由 π 5π π 5π 于 sin6=sin 6 ,但6与 6 的终边不相同,故④错;当 cos θ=-1,θ=π 时既不是 第二象限角,也不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 1 12.(2017· 苏北四市期末)已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0,则实数 a 的取值范围是________. 解析 ∵cos α≤0,sin α>0,∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上.∴ ?3a-9≤0, ? ∴-2<a≤3. ?a+2>0, 答案 (-2,3] 能力提升题组 (建议用时:15 分钟) π 13. 已知圆 O: x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 M, 点 M 沿圆 O 顺时针运动2弧 长到达点 N,以 ON 为终边的角记为 α,则 tan α=________. 解析 π π 圆的半径为 2 , 2 的弧长对应的圆心角为 4 ,故以 ON 为终边的角为 ,k∈Z?,故 tan α=1.
? ? ? ?

? ? ? π ?α?α=2kπ+ 4 ? ? ?

答案 1 1 14. (2017· 泰州模拟)设 α 是第二象限角, P(x,4)为其终边上的一点, 且 cos α=5x,

则 tan α=________. 解析 因为 α 是第二象限角, 1 所以 cos α=5x<0,即 x<0. 1 又 cos α=5x= x , x +16
2

4 4 解得 x=-3,所以 tan α= x=-3. 4 答案 -3 15.函数 y= 2sin x-1的定义域为________.

解析 ∵2sin x-1≥0, 1 ∴sin x≥2. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示). π 5π? ? ∴x∈?2kπ+6,2kπ+ 6 ?(k∈Z). ? ? π 5π? ? 答案 ?2kπ+6,2kπ+ 6 ?(k∈Z) ? ? 16.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时 圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1) → 的坐标为________. 时,OP

解析 如图,作 CQ∥x 轴,PQ⊥CQ, Q 为垂足.根据题意得劣弧 π 故∠DCP=2,则在△PCQ 中,∠PCQ=2-2, π? π? ? ? |CQ|=cos?2-2?=sin 2,|PQ|=sin?2-2?=-cos 2, ? ? ? ?

=2,

所以 P 点的横坐标为 2-|CQ|=2-sin 2,P 点的纵坐标为 1+|PQ|=1-cos 2,所 → =(2-sin 2,1-cos 2). 以 P 点的坐标为(2-sin 2,1-cos 2),故OP 答案 (2-sin 2,1-cos 2)

第2讲

同角三角函数基本关系式及诱导公式

sin α 考试要求 1.同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,cos α=tan α,B 级 π 要求;2.2± α,π±α,-α 的正弦、余弦的诱导公式,B 级要求.

知 识 梳 理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系:cos α=tan α. 2.三角函数的诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π+α -sin_α -cos_α tan_α 三 -α -sin_α cos_α -tan_α 四 π-α sin_α -cos_α -tan_α 函数名改变,符号 看象限 五 π 2-α cos_α sin_α 六 π 2+α cos_α -sin_α

函数名不变,符号看象限

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π+α)=-sin α 成立的条件是 α 为锐角.( (2)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角.( ) )

π (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指2的 奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( 1 1 (4)若 sin(kπ-α)=3(k∈Z),则 sin α=3.( ) )

解析 (1)对于 α∈R,sin(π+α)=-sin α 都成立. 1 (4)当 k 为奇数时,sin α=3, 1 当 k 为偶数时,sin α=-3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2.sin 600° 的值为________. 3 解析 sin 600° =sin(360° +240° )=sin 240° =sin(180° +60° )=-sin 60° =- 2 . 答案 - 3 2

?5π ? 1 3.(2017· 苏北四市摸底)已知 sin? 2 +α?=5,那么 cos α=________. ? ? 1 ?5π ? ?π ? 解析 ∵sin? 2 +α?=sin?2+α?=cos α,∴cos α=5. ? ? ? ? 1 答案 5 π? 4 ? 4.(2017· 南通调研)已知 sin θ+cos θ=3,θ∈?0,4?,则 sin θ-cos θ=________. ? ? 4 7 解析 ∵sin θ+cos θ=3,∴sin θcos θ=18. 2 又∵(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=9, 2 2 ∴sin θ-cos θ= 3 或- 3 . π? 2 ? 又∵θ∈?0,4?,∴sin θ-cos θ=- 3 . ? ?

2 答案 - 3 5.(必修 4P23 习题 11 改编)已知 tan α=2,则 解析 原式= 答案 3 tan α+1 2+1 = =3. tan α-1 2-1 sin α+cos α 的值为________. sin α-cos α

考点一 同角三角函数基本关系式及其应用 5 【例 1】 (1)(2015· 福建卷改编)若 sin α=-13,且 α 为第四象限角,则 tan α 的 值等于________. 1 5π 3π (2)(2017· 盐城模拟)已知 sin αcos α=8,且 4 <α< 2 ,则 cos α-sin α 的值为 ________. 3 (3)(2016· 全国Ⅲ卷改编)若 tan α=4,则 cos2α+2sin 2α=________. 5 12 解析 (1)∵sin α=-13,且 α 为第四象限角,∴cos α= 1-sin2α=13,∴tan α sin α 5 =cos α=-12. 5π 3π (2)∵ 4 <α< 2 , ∴cos α<0,sin α<0 且 cos α>sin α, ∴cos α-sin α>0. 1 3 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×8=4, 3 ∴cos α-sin α= 2 . cos2α+2sin 2α 1+4tan α 64 3 2 (3)tan α=4,则 cos α+2sin 2α= = = . cos2α+sin2α 1+tan2α 25 5 答案 (1)-12 3 (2) 2 64 (3)25

sin α 规律方法 (1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、 余弦的互化, 利用cos α

=tan α 可以实现角 α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用: 1=sin2α+cos2α, sin2α=1-cos2α, cos2α=1-sin2α. 【训练 1】 (1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=________. (2)(2017· 盐城调研)若 3sin α+cos α=0,则 ?sin α-cos α= 2, 解析 (1)由? 2 2 ?sin α+cos α=1, 得:2cos2α+2 2cos α+1=0, 2 即( 2cos α+1)2=0,∴cos α=- 2 . 3π 3π 又 α∈(0,π),∴α= 4 ,∴tan α=tan 4 =-1. 1 1 (2)3sin α + cos α = 0 ? cos α≠0 ? tan α = - 3 , = 2 cos α+2sin αcos α cos2α+sin2α 1+tan2α = cos2α+2sin αcos α 1+2tan α ? 1? 1+?-3?2 ? ? 10 = 2 =3. 1-3 答案 (1)-1 10 (2) 3 1 =________. cos α+2sin αcos α
2

考点二 诱导公式的应用 【例 2】 (1)化简:sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° ); (2)求值: 设 f(α)= 2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? ? 23π? ?- 6 ?的值. (1 + 2sin α ≠ 0) ,求 f ? ? ?3π ? ? 2 2?π 1+sin α+cos? 2 +α?-sin ?2+α? ? ? ? ?

解 (1)原式=-sin 1 200° cos 1 290° -cos 1 020° sin 1 050° =- sin(3×360° + 120° )cos(3×360° + 210° ) - cos(2×360° + 300° )sin(2×360° + 330° ) =-sin 120° cos 210° -cos 300° sin 330°

=-sin(180° -60° )cos(180° +30° )-cos(360° -60° )· sin(360° -30° )=sin 60° cos 30° 3 3 1 1 +cos 60° sin 30° = 2 × 2 +2×2=1. (2)∵f(α)= ?-2sin α??-cos α?+cos α 1+sin2α+sin α-cos2α

2sin αcos α+cos α cos α?1+2sin α? 1 = = =tan α, 2 2sin α+sin α sin α?1+2sin α? ? 23π? ∴f?- 6 ?= ? ? 1 1 = = π= 3. 23 π π ? ? ? ? tan?- 6 ? tan?-4π+6? tan6 ? ? ? ? 1

规律方法 (1)诱导公式的两个应用 ①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. ②化简:统一角,统一名,同角名少为终了. (2)含 2π 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有 2π 的整数倍的三角函数式中可直接将 2π 的整数倍去掉后再进行运算,如 cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α. 【训练 2】 (1)已知 A= ________. 3π? ? tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ? (2)化简: =______. cos?-α-π?sin?-π-α? sin α cos α 解析 (1)当 k 为偶数时,A=sin α+cos α=2; -sin α cos α k 为奇数时,A= sin α -cos α=-2. (2)原式= -tan α· cos α· ?-cos α? cos?π+α?· [-sin?π+α?] sin?kπ+α? cos?kπ+α? sin α + cos α (k∈Z),则 A 的值构成的集合是

sin α cos α cos α· tan α· cos α· cos α = = =-1. -cos α· sin α -sin α 答案 (1){2,-2} (2)-1

考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用 3 ?π ? ?5 ? 【例 3】 (1)已知 tan?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________. ? ? ? ?

π ?5π ? 1 ?π ? (2)(2017· 南京、盐城模拟)已知 cos?12+α?=3,且-π<α<-2,则 cos?12-α?= ? ? ? ? ________. ?5π ? ?π ? 解析 (1)∵? 6 +α?+?6-α?=π, ? ? ? ? ?5π ? ? ?π ?? ∴tan? 6 +α?=tan?π-?6-α?? ? ? ? ? ?? 3 ?π ? =-tan?6-α?=- 3 . ? ? ?5 ? ?π ? π (2)因为?12π+α?+?12-α?=2, ? ? ? ? 5π ?π ? π ?? ?π ? ? -α??=sin? ?12+α?. 所以 cos?12-α?=sin?2-? ?12 ?? ? ? ? ? ? π 7π 5π π 因为-π<α<-2,所以-12<α+12<-12. π 5π π ?5π ? 1 又 cos?12+α?=3>0,所以-2<α+12<-12, ? ? ?5π ? 所以 sin?12+α?=- ? ? =- ?5π ? 1-cos2?12+α? ? ?

2 2 ?1? 1-?3?2=- 3 . ? ? 2 2 (2)- 3

3 答案 (1)- 3

π π π π π π 规律方法 (1)常见的互余的角:3-α 与6+α;3+α 与6-α;4+α 与4-α 等. π 2π π 3π (2)常见的互补的角:3+θ 与 3 -θ;4+θ 与 4 -θ 等. ?π ? 1 ?π ? 【训练 3】 (1)已知 sin?3-α?=2,则 cos?6+α?=________. ? ? ? ? ?23π? (2)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin x,当 0≤x<π 时, f(x)=0,则 f? 6 ?= ? ? ________. ?π ? ?π ? π 解析 (1)∵?3-α?+?6+α?=2, ? ? ? ? ?π ?π ?? ?π ? ?π ? 1 - α ? - α ? ? ?= . ∴cos?6+α?=cos?2-? = sin ?3 ?? ? ? ?3 ? 2 ? (2)由 f(x+π)=f(x)+sin x,得 f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)

=f(x)+sin x-sin x=f(x), ?23 ? ?11 ? 所以 f? 6 π?=f? 6 π+2π? ? ? ? ? 5 ? ?5 ? 5 ?11 ? ? =f? 6 π?=f?π+6π?=f?6π?+sin6π. ? ? ? ? ? ? 因为当 0≤x<π 时,f(x)=0. 1 1 ?23 ? 所以 f? 6 π?=0+2=2. ? ? 1 答案 (1)2 1 (2)2

[思想方法] 1.同角三角函数基本关系可用于统一函数;诱导公式主要用于统一角,其主要 作用是进行三角函数的求值、化简和证明,已知一个角的某一三角函数值,求这 个角的其它三角函数值时,要特别注意平方关系的使用. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切 互化法: 主要利用公式 tan x= asin x+bcos x sin x 进行切化弦或弦化切, 如 , asin2x cos x csin x+dcos x

+bsin xcos x+ccos2x 等类型可进行弦化切.(2)和积转换法:如利用(sin θ± cos θ)2 =1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ= 1 ? π ? cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ?1+tan2θ?=tan 4=?. ? ? [易错防范] 1.利用诱导公式进行化简求值时,可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角 函数,其步骤:去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

基础巩固题组 (建议用时:30 分钟)

1.(2016· 四川卷)sin 750° =________. 1 解析 sin 750° =sin(720° +30° )=sin 30° =2. 1 答案 2 12 2.(2017· 镇江期末)已知 α 是第四象限角,sin α=-13,则 tan α=________. 12 解析 因为 α 是第四象限角,sin α=-13, 5 所以 cos α= 1-sin2α=13, sin α 12 故 tan α=cos α=- 5 . 12 答案 - 5 3π? 1 ? 3.已知 tan α=2,且 α∈?π, 2 ?,则 sin α=________. ? ? 3π? 1 ? 解析 ∵tan α=2>0,且 α∈?π, 2 ?,∴sin α<0, ? ? ∴sin2α= sin α tan α 1 = = =5, sin2α+cos2α tan2α+1 1 4+1
2 2

1 4

5 ∴sin α=- 5 . 5 答案 - 5 4. 1-2sin?π+2?cos?π-2?=________. 解析 1-2sin?π+2?cos?π-2?= 1-2sin 2cos 2

= ?sin 2-cos 2?2=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2. 答案 sin 2-cos 2 ? π? 3 ? π? 5 . (2016· 全国Ⅰ卷 ) 已知 θ 是第四象限角,且 sin ?θ+4? = 5 ,则 tan ?θ-4? = ? ? ? ? ________. ? π? 4 ? π? 3 解析 由题意,得 cos?θ+4?=5,∴tan?θ+4?=4. ? ? ? ?

? π? ? π π? ∴tan?θ-4?=tan?θ+4-2?=- ? ? ? ? 4 答案 -3

4 =- 3. ? π? tan?θ+4? ? ?

1

?1 ? ?π ? 6. (2017· 扬州中学质检)向量 a=?3,tan α?, b=(cos α, 1), 且 a∥b, 则 cos?2+α? ? ? ? ? =________. 1 ?1 ? 解析 ∵a=?3,tan α?,b=(cos α,1),且 a∥b,∴3×1-tan αcos α=0,∴sin α ? ? 1 =3, 1 ?π ? ∴cos?2+α?=-sin α=-3. ? ? 1 答案 -3 ?π ? 1 ?5π ? 7.(2017· 广州二测改编)cos?12-θ?=3,则 sin?12+θ?=________. ? ? ? ? ?π ? π ?? ?5π ? ?π ? 1 - θ ? - θ ? ? ?= . 解析 sin?12+θ?=sin?2-? = cos ?12 ?? ? ? ?12 ? 3 ? 1 答案 3 8.(2017· 泰州模拟)已知 tan α=3,则 1+2sin αcos α 的值是________. sin2α-cos2α

sin2α+cos2α+2sin αcos α 解析 原式= sin2α-cos2α ?sin α+cos α?2 sin α+cos α tan α+1 3+1 = = = = =2. ?sin α+cos α??sin α-cos α? sin α-cos α tan α-1 3-1 答案 2 ?π ? 3 ?π ? 9.已知 α 为钝角,sin?4+α?=4,则 sin?4-α?=________. ? ? ? ? 7 ?π ?π ?? ?π ? ?π ? -α??= 解析 因为 α 为钝角, 所以 cos?4+α?=- 4 , 所以 sin?4-α?=cos?2-? 4 ? ?? ? ? ? ? ? 7 ?π ? cos?4+α?=- 4 . ? ? 7 答案 - 4

5 10.已知 sin α= 5 ,则 sin4α-cos4α 的值为________. 2 3 解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=2sin2α-1=5-1=-5. 3 答案 -5 11.化简: sin2?α+π?· cos?π+α?· cos?-α-2π? =________. ? 3?π tan?π+α?· sin ?2+α?· sin?-α-2π? ? ?

sin2α· ?-cos α?· cos α sin2αcos2α 解析 原式= = 2 2 =1. tan α· cos3α· ?-sin α? sin αcos α 答案 1 12.(2017· 西安模拟)已知函数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且 f(4)=3,则 f(2 017)的值为________. 解析 ∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β) =asin α+bcos β=3, ∴f(2 017)=asin(2 017π+α)+bcos(2 017π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-asin α-bcos β =-3. 答案 -3 能力提升题组 (建议用时:15 分钟) π 13.已知 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|<2,则 θ=________. 解析 ∵sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), ∴-sin θ=- 3cos θ, π π ∴tan θ= 3,∵|θ|<2,∴θ=3. π 答案 3 14.若 sin θ,cos θ 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根,则 m 的值为________. m m 解析 由题意知 sin θ+cos θ=- 2 ,sin θ· cos θ= 4 .

又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, m2 m ∴ 4 =1+ 2 ,解得 m=1± 5. 又 Δ=4m2-16m≥0,∴m≤0 或 m≥4,∴m=1- 5. 答案 1- 5 ? π? 1 ? 5π? ?π ? 15. (2017· 苏州调研)已知 sin?x+6?=3, 则 sin?x- 6 ?+sin2?3-x?的值为________. ? ? ? ? ? ? 解析 π? ?π ? π?? ? 5π? ?π ? ?? π? ? x+6?? =- sin? ?x+6? + sin?x- 6 ?+ sin2?3-x? =sin??x+6?-π?+sin2?2-? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

? π? cos2?x+6? ? ? ? π? ? π? 5 =-sin?x+6?+1-sin2?x+6?=9. ? ? ? ? 5 答案 9 ?π ? ?5π ? ?2π ? 16.已知 cos?6-θ?=a,则 cos? 6 +θ?+sin? 3 -θ?=________. ? ? ? ? ? ? ?5π ? ? ?π ?? 解析 ∵cos? 6 +θ?=cos?π-?6-θ?? ? ? ? ? ?? ?π ? =-cos?6-θ?=-a. ? ? ?π ?π ?? ?2π ? ?π ? - θ ? ? ?6-θ?=a, sin? 3 -θ?=sin?2+? = cos ?6 ?? ? ? ? ? ? ?5π ? ? 2π ? ∴cos? 6 +θ?+sin? 3 -θ?=0. ? ? ? ? 答案 0 第3讲 三角函数的图象和性质

考试要求 1.y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象及周期性,A 级要求;2 正弦函 数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最值及与 x 轴的交点等),B 级要 ? π π? 求;3.正切函数在区间?-2,2?内的单调性,B 级要求. ? ?

知 识 梳 理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

?π ? (1)正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),?2,1?,(π, ? ? ?3π ? 0),? 2 ,-1?,(2π,0). ? ? ?π ? (2)余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),?2,0?, ? ? ?3π ? (π,-1),? 2 ,0?,(2π,1). ? ? 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z) 函数 图象 y=sin x y=cos x y=tan x

{x|x∈R,且x≠
定义域 R R π? kπ+2?
?

值域 周期性 奇偶性 单调增区间 单调减区间 对称中心 对称轴方程

[-1,1] 2π 奇函数 π π? ? ?2kπ-2,2kπ+2? ? ? π 3π? ? ?2kπ+2,2kπ+ 2 ? ? ? (kπ,0) π x=kπ+2

[-1,1] 2π 偶函数 [2kπ-π,2kπ] [2kπ,2kπ+π] π ? ? ?kπ+2,0? ? ? x=kπ

R π 奇函数 π π? ? ?kπ-2,kπ+2? ? ? 无 ?kπ ? ? 2 ,0? ? ? 无

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) π 2π ?π 2π? (1)由 sin?6+ 3 ?=sin 6知, 3 是正弦函数 y=sin x(x∈R)的一个周期.( ? ? (2)余弦函数 y=cos x 的对称轴是 y 轴.( (3)正切函数 y=tan x 在定义域内是增函数.( ) ) )

(4)已知 y=ksin x+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1.( (5)y=sin|x|是偶函数.( )

)

解析 (1)函数 y=sin x 的周期是 2kπ(k∈Z). (2)余弦函数 y=cos x 的对称轴有无穷多条,y 轴只是其中的一条. π π? ? (3)正切函数 y=tan x 在每一个区间?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)上都是增函数,但在定 ? ? 义域内不是单调函数,故不是增函数. (4)当 k>0 时,ymax=k+1;当 k<0 时,ymax=-k+1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√

? π? 2.(必修 4P33 例 4 改编)函数 y=2tan?x-3?的定义域为________. ? ? π π 5π 解析 ∵x-3≠kπ+2,k∈Z,∴x≠kπ+ 6 ,k∈Z,
? ? ? ? ? 5π 即函数的定义域为?x?x∈R,且x≠kπ+ 6 ,k∈Z ?. ? ? ? ? ?

答案

? ? ? 5π ?x?x∈R,且x≠kπ+ ,k∈Z 6 ? ? ?

? ? ? ? ?

3.(2017· 苏州一模)若函数 f(x)=sin

x+φ (φ∈[0,2π])是偶函数,则 φ=________. 3

x+φ φ π 3π 解析 由已知 f(x)=sin 3 是偶函数,可得3=kπ+2,即 φ=3kπ+ 2 (k∈Z),又 3π φ∈[0,2π],所以 φ= 2 . 答案 3π 2

π? π? ? ? 4.函数 f(x)=sin?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为________. ? ? ? ? π? π? ? π ? π 3π? 2 ? ? ? 解析 由已知 x∈?0,2?,得 2x-4∈?-4, 4 ?,所以 sin?2x-4?∈?- ,1?, ? ? ? ? ? ? ? 2 ? π? π? 2 ? ? 故函数 f(x)=sin?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为- 2 . ? ? ? ? 2 答案 - 2 2π? ? 5. (2017· 南通调研)若函数 y=2cos ωx 在区间?0, 3 ?上单调递减, 且有最小值 1, ? ?

则 ω 的值为________. π? ? π ? ? 解析 因为 y=cos x 在?-2,0?上单调递增, 在?0,2?上单调递减, 所以必有 ω>0, ? ? ? ? 2π π 3 2π 2ω 2ω 1 且3· ω≤2.所以 0<ω≤4.当 x= 3 时,2cos 3 π=1,cos 3 π=2. 1 所以 ω=2. 1 答案 2

考点一 三角函数的定义域及简单的三角不等式 π? ? 【例 1】 (1)函数 f(x)=-2tan?2x+6?的定义域是________. ? ? (2)不等式 3+2cos x≥0 的解集是________. (3)函数 f(x)= 64-x2+log2(2sin x-1)的定义域是________. π π 解析 (1)由正切函数的定义域,得 2x+6≠kπ+2, kπ π 即 x≠ 2 +6(k∈Z). (2)

由 3+2cos x≥0, 3 得 cos x≥- 2 , 由余弦函数的图象,得在一个周期[ - π, π]上,不等式 cos x≥ -
? 5π 5 ? ?x- ≤x≤ π?, 6 6 ? ? ? ? 5 5 故原不等式的解集为?x-6π+2kπ≤x≤6π+2kπ,k∈Z?. ? ?
2 ?64-x ≥0,① (3)由题意,得? ?2sin x-1>0,②

3 的解集为 2

1 π 5 由①得-8≤x≤8,由②得 sin x>2,由正弦曲线得6+2kπ<x<6π+2kπ(k∈Z). 7 ? ?π 5 ? ?13π ? ? 11 所以不等式组的解集为?- 6 π,-6π?∪?6,6π?∪? 6 ,8?. ? ? ? ? ? ?
? ? kπ π 答案 (1)?xx≠ 2 +6,k∈Z? ? ? ? ? 5 5 (2)?x-6π+2kπ≤x≤6π+2kπ,k∈Z? ? ?

7 ? ?π 5 ? ?13π ? ? 11 (3)?- 6 π,-6π?∪?6,6π?∪? 6 ,8? ? ? ? ? ? ? 规律方法 (1)三角函数定义域的求法 ①以正切函数为例,应用正切函数 y=tan x 的定义域求函数 y=Atan(ωx+φ)的定 义域. ②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数线求解. ②利用三角函数的图象求解. 【训练 1】 (1)函数 y=tan 2x 的定义域为________. (2)函数 y= sin x-cos x的定义域为________. π kπ π 解析 (1)由 2x≠kπ+2,k∈Z,得 x≠ 2 +4,k∈Z,
? ? kπ π ∴y=tan 2x 的定义域为?xx≠ 2 +4,k∈Z?. ? ?

(2)法一

要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π] 上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示. π 5π 在[0,2π]内, 满足 sin x=cos x 的 x 为4,4 , 再结合正弦、 余弦函数的周期是 2π, 所以原函数的定义域为
? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ 4 4 ? ? ?

,k∈Z?.
? ?

? ?

法二 利用三角函数线,

画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). 所以定义域为
? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z 4 4 ? ? ? ? ? ?. ? ?

π ? π? 法三 sin x-cos x= 2sin?x-4?≥0, 将 x-4视为一个整体, 由正弦函数 y=sin x ? ? π 的图象和性质可知 2kπ≤x-4≤π+2kπ(k∈Z), π 5π 解得 2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z).
? ? ? ? ? π 5π 所以定义域为?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z ?. ? ? ? ? ? ? ? kπ π 答案 (1)?xx≠ 2 +4,k∈Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π 5π (2)?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z ? ? ?

考点二 三角函数的值域 13 ? ?7 【例 2】 (1)函数 y=-2sin x-1,x∈?6π, 6 π?的值域是________. ? ? ?π ? (2)(2016· 全国Ⅱ卷改编)函数 f(x)=cos 2x+6cos?2-x?的最大值为________. ? ? (3)函数 y=sin x-cos x+sin xcos x 的值域为________. 13 ? 1 ?7 解析 (1)由正弦曲线知 y=sin x 在?6π, 6 π?上,-1≤sin x<2,所以函数 y= ? ? ?7π 13 ? -2sin x-1,x∈? 6 , 6 π?的值域是(-2,1]. ? ? 3? 11 ?π ? ? (2)由 f(x)=cos 2x+6cos?2-x?=1-2sin2x+6sin x=-2?sin x-2?2+ 2 ,所以当 ? ? ? ? sin x=1 时函数的最大值为 5. (3)设 t=sin x-cos x, 则 t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,

1-t2 sin xcos x= 2 ,且- 2≤t≤ 2. t2 1 1 ∴y=- 2 +t+2=-2(t-1)2+1. 当 t=1 时,ymax=1; 1 当 t=- 2时,ymin=-2- 2. ? 1 ? ∴函数的值域为?-2- 2,1?. ? ? 答案 (1)(-2,1] (2)5 ? 1 ? (3)?-2- 2,1? ? ?

规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型: (1)形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+c 的形式, 再求值 域(最值); (2)形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函 数求值域(最值); (3)形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± cos x,化 为关于 t 的二次函数求值域(最值). ?π π? 【训练 2】 (1)(2017· 泰州模拟)函数 y=2sin?6x-3? ? ? (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________. ?1 π? (2)函数 y=-2cos?2x-3?+1 的最大值是________, 此时 x 的取值集合为________. ? ? π π π 7π 解析 (1)因为 0≤x≤9,所以-3≤6x-3≤ 6 , 3 ? ?π π? ? 所以 sin?6x-3?∈?- ,1?. ? ? ? 2 ? 所以 y∈[- 3,2],所以 ymax+ymin=2- 3. (2)ymax=-2×(-1)+1=3, 1 π 8π 此时,2x-3=2kπ+π,即 x=4kπ+ 3 (k∈Z). 答案 (1)2- 3 (2)3
? ? 8π ?xx=4kπ+ ,k∈Z? 3 ? ?

考点三 三角函数的性质(多维探究)

命题角度一 三角函数的奇偶性与周期性 ? π? 【例 3-1】(1)(2017· 常州期末)函数 y=2cos2?x-4?-1 的最小正周期为________ ? ? 的________函数(填“奇”或“偶”). ?1 ? ?1 ?? π? (2)(2017· 衡水中学金卷)设函数 f(x)=sin?2x+θ?- 3cos?2x+θ??|θ|<2?的图象关于 ? ? ? ?? ? y 轴对称,则 θ=________. ? π? 解析 (1)y=2cos2?x-4?-1 ? ? π? ? π? ? =cos2?x-4?=cos?2x-2? ? ? ? ? ?π ? =cos?2-2x?=sin 2x, ? ? 则函数为最小正周期为 π 的奇函数. ?1 ? ?1 ? (2)f(x)=sin?2x+θ?- 3cos?2x+θ?= ? ? ? ? π? π ?1 ? π? ? π? 2sin?2x+θ-3?,由题意可得 f(0)=2sin?θ-3?=± 2,即 sin?θ-3?=± 1,∴θ-3= ? ? ? ? ? ? π 5π π π + k π( k ∈ Z ) ,∴ θ = + k π( k ∈ Z ) ,∵ | θ |< ,∴ k =- 1 时, θ =- 2 6 2 6. 答案 (1)π 奇 π (2)-6

规律方法 (1)若 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 π ①f(x)为偶函数的充要条件是 φ=2+kπ(k∈Z); ②f(x)为奇函数的充要条件是 φ=kπ(k∈Z). 2π (2)函数 y=Asin(ωx+φ)与 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期 T=|ω|,y=Atan(ωx+φ) π 的最小正周期 T=|ω|. 命题角度二 三角函数的单调性 π? ? 【例 3-2】 (1)函数 f(x)=sin?-2x+3?的单调递减区间为________. ? ? ? π 2π? (2)若 f(x)=2sin ωx+1(ω>0)在区间?-2, 3 ?上是增函数,则 ω 的取值范围是 ? ? ________.

π? ? 解析 (1)由已知可得函数为 y=-sin?2x-3?,欲求函数的单调减区间,只需求 y ? ? π? ? =sin?2x-3?的单调增区间. ? ? π π π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z, π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. π 5π? ? 故所求函数的单调递减区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ? (2)法一 π π 由 2kπ-2≤ωx≤2kπ+2,k∈Z,

?2kπ π 2kπ π ? 得 f(x)的增区间是? ω -2ω, ω +2ω?(k∈Z). ? ? ? π 2π? 因为 f(x)在?-2, 3 ?上是增函数, ? ? π? ? π 2π? ? π 所以?-2, 3 ???-2ω,2ω?. ? ? ? ? 3? π π 2π π ? 所以-2≥-2ω且 3 ≤2ω,所以 ω∈?0,4?. ? ? ? π 2π? 法二 因为 x∈?-2, 3 ?,ω>0. ? ? ? ωπ 2πω? 所以 ωx∈?- 2 , 3 ?, ? ? ? π 2π? 又 f(x)在区间?-2, 3 ?上是增函数, ? ? ? ωπ 2πω? ? π π? 所以?- 2 , 3 ???-2,2?, ? ? ? ? ωπ π - ≥- ? ? 2 2, 则? 2πω π ? ? 3 ≤2, 3 得 0<ω≤4. π 2π T ? π 2π? 法三 因为 f(x)在区间?-2, 3 ?上是增函数,故原点到-2, 3 的距离不超过 4, ? ?

又 ω>0,

π T ? ?2≤4, 即? 2π T ? ? 3 ≤4 ,

8π 2π 8π 3 得 T≥ 3 ,即 ω ≥ 3 ,又 ω>0,得 0<ω≤4. 3? ? (2)?0,4? ? ?

π 5π? ? 答案 (1)?kπ-12,kπ+12?(k∈Z) ? ?

规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时, 首先化简成 y=Asin(ωx+φ) 形式,再求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把 ωx+φ 看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间内即可, 注意要先把 ω 化为正数. (2)对于已知函数的单调区间 的某一部分确定参数 ω 的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的 单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系 可求解. 命题角度三 三角函数的对称轴或对称中心 【例 3-3】 (1)(2017· 苏、锡、常、镇四市调研)若函数 f(x)=2sin(4x+φ)(φ<0)的 π 图象关于直线 x=24对称,则 φ 的最大值为________. π? π ? (2)(2016· 全国Ⅰ卷改编)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|≤2?,x=-4为 f(x) ? ? π ? π 5π? 的零点,x=4为 y=f(x)图象的对称轴,且 f(x)在?18,36?上单调,则 ω 的最大值 ? ? 为________. π π π 解析 (1)由题可得, 4×24+φ=2+kπ, k∈Z, ∴φ=3+kπ, k∈Z, ∵φ<0, ∴φmax 2π =- 3 . π π π ? π? T (2)因为 x=-4为 f(x)的零点, x=4为 f(x)的图象的对称轴, 所以4-?-4?= 4 +kT, ? ? 4k+1 2π π 4k+1 ? π 5π? * ?18,36?上单调, 即2= 4 T= 4 · , 所以 ω = 4 k + 1( k ∈ N ) , 又因为 f ( x ) 在 ω ? ? 5π π π T 2π 所以36-18=12≤ 2 =2ω,即 ω≤12,由此得 ω 的最大值为 9. 2π 答案 (1)- 3 (2)9 规律方法 (1)对于可化为 f(x)=Asin(ωx+φ)形式的函数,如果求 f(x)的对称轴,

π 只需令 ωx+φ=2+kπ(k∈Z),求 x 即可;如果求 f(x)的对称中心的横坐标,只需 令 ωx+φ=kπ(k∈Z),求 x 即可. (2)对于可化为 f(x)=Acos(ωx+φ)形式的函数,如果求 f(x)的对称轴,只需令 ωx π +φ=kπ(k∈Z), 求 x 即可; 如果求 f(x)的对称中心的横坐标, 只需令 ωx+φ=2+ kπ(k∈Z),求 x 即可. 5π? ? 【训练 3】 (1)(2017· 无锡期末)若函数 f(x)=cos?2x+ 2 ?的图象关于点(x0,0)成中 ? ? π? ? 心对称,x0∈?0,2?,则 x0=______. ? ? π? ?π ? ? (2)已知 ω>0,函数 f(x)=cos?ωx+4?在?2,π?上单调递增,则 ω 的取值范围是 ? ? ? ? ________. 5π? ? ?π ? 解析 (1)因为 f(x)=cos?2x+ 2 ?=cos?2+2x?=-sin 2x,f(-x)=-sin(-2x)= ? ? ? ? sin 2x=-f(x),所以 f(x)=-sin 2x 是奇函数,所以 f(x)的图象关于原点对称. (2)函数 y=cos x 的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z, ωπ π ? ? 2 +4≥-π+2kπ, 则? π ? ?ωπ+4≤2kπ

(k∈Z),

5 1 解得 4k-2≤ω≤2k-4,k∈Z, 1? 5 ? 1 又由 4k-2-?2k-4?≤0,k∈Z 且 2k-4>0,k∈Z, ? ? ?3 7? 得 k=1,所以 ω∈?2,4?. ? ? 答案 (1)0 ?3 7? (2)?2,4? ? ?

[思想方法] 1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式.

2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的 方法令 t=ωx+φ,将其转化为研究 y=sin t 的性质. 3.数形结合是本讲的重要数学思想. [易错防范] 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性;含参数的最 值问题,要讨论参数对最值的影响. 2.要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 A 和 ω 的符号,尽量化成 ω>0 时情况,避免出现增减区间的混淆.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 π? π? ? ? 1.在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+6?,④y=tan?2x-4?中,最 ? ? ? ? 小正周期为 π 的函数有________(填序号). 解析 ①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为 π; ②由图象知 y=|cos x|的最小正周期为 π; π? 2π ? ③y=cos?2x+6?的最小正周期 T= 2 =π; ? ? π? π ? ④y=tan?2x-4?的最小正周期 T=2. ? ? 答案 ①②③ π? ? 2.(2017· 南京模拟)函数 f(x)=tan?2x-3?的单调递增区间是________. ? ? π? π π π kπ ? 解析 当 kπ-2<2x-3<kπ+2(k∈Z)时, 函数 y=tan?2x-3?单调递增, 解得 2 - ? ? π? π kπ 5π ? ?2x-3? 的 单 调 递 增 区 间 是 12 < x < 2 + 12 (k ∈ Z) , 所 以 函 数 y = tan ? ? ?kπ π kπ 5π? ? 2 -12, 2 +12?(k∈Z). ? ? ?kπ π kπ 5π? 答案 ? 2 -12, 2 +12?(k∈Z) ? ? π? ? 3.(2017· 南通、扬州、泰州、淮安调研)设函数 y=sin?ωx+3?(0<x<π),当且仅当 ? ?

π x=12时,y 取得最大值,则正数 ω 的值为________. π π π 2π 解析 由题意可得12ω+3=2+2kπ,k∈Z 且 π≤ ω ,解得 ω=2. 答案 2 4.(2017· 徐州检测)函数 y=cos2x-2sin x 的最大值与最小值分别为________. 解析 y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x =-sin2x-2sin x+1, 令 t=sin x,则 t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2, 所以 ymax=2,ymin=-2. 答案 2,-2 π?? 1 3 ? ? 5.(2017· 苏北四市联考)函数 y= sin x+ cos x?x∈?0,2??的单调递增区间是 2 2 ? ? ?? ________. 1 3 ? π? 解析 ∵y=2sin x+ 2 cos x=sin?x+3?, ? ? π π π 由 2kπ-2≤x+3≤2kπ+2(k∈Z), 5π π 解得 2kπ- 6 ≤x≤2kπ+6(k∈Z). 5π π? ? ∴函数的单调递增区间为?2kπ- 6 ,2kπ+6?(k∈Z), ? ? π? π? ? ? 又 x∈?0,2?,∴单调递增区间为?0,6?. ? ? ? ? π? ? 答案 ?0,6? ? ? π? ? 6. (2017· 盐城调研)若函数 f(x)=cos?2x+φ-3?(0<φ<π)是奇函数, 则 φ=________. ? ? π π 5π 解析 因为 f(x)为奇函数, 所以 φ-3=2+kπ, φ= 6 +kπ,k∈Z.又因为 0<φ<π, 5π 故 φ= 6 . 答案 5π 6

3π? ? 7.(2017· 银川模拟)已知函数 f(x)=sin?2x+ 2 ?(x∈R),给出以下结论: ? ?

①函数 f(x)的最小正周期为 π; ②函数 f(x)是偶函数; π ③函数 f(x)的图象关于直线 x=4对称; π? ? ④函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数. ? ? 其中正确的是________(填序号). 3π? ? 解析 f(x)=sin?2x+ 2 ?=-cos 2x,故其最小正周期为 π,故①正确;易知函数 ? ? f(x)是偶函数,②正确;由函数 f(x)=-cos 2x 的图象可知,函数 f(x)的图象不关 π? π ? 于直线 x=4对称,③错误;由函数 f(x)的图象易知,函数 f(x)在?0,2?上是增函 ? ? 数,④正确. 答案 ①②④ π? ? ?π π? 8.(2017· 承德模拟)若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在?0,3?上单调递增,在区间?3,2? ? ? ? ? 上单调递减,则 ω=________. 解析 法一 由于函数 f(x)=sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点,由已知并结合正

π 1 2π 4π 3 弦函数的图象可知,3为函数 f(x)的4周期,故 ω = 3 ,解得 ω=2. π ?π? 法二 由题意,得 f(x)max=f?3?=sin3ω=1. ? ? π π 3 由已知并结合正弦函数图象可知,3ω=2,解得 ω=2. 3 答案 2 二、解答题 9.(2015· 安徽卷)已知函数 f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期; π? ? (2)求 f(x)在区间?0,2?上的最大值和最小值. ? ? 解 (1)因为 f(x)= sin2x+ cos2x+2sin xcos x+cos 2x= 1 +sin 2x+ cos 2x= 2

π? ? sin?2x+4?+1, ? ?

2π 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= 2 =π. π? ? (2)由(1)的计算结果知,f(x)= 2sin?2x+4?+1. ? ? π? π ?π 5π? ? 当 x∈?0,2?时,2x+4∈?4, 4 ?, ? ? ? ? ?π 5π? 由正弦函数 y=sin x 在?4, 4 ?上的图象知, ? ? π π π 当 2x+4=2,即 x=8时,f(x)取最大值 2+1; π 5π π 当 2x+4= 4 ,即 x=2时,f(x)取最小值 0. π? ? 综上,f(x)在?0,2?上的最大值为 2+1,最小值为 0. ? ? ?π ? ? π? 10.(2016· 天津卷)已知函数 f(x)=4tan xsin?2-x?· cos?x-3?- 3. ? ? ? ? (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; ? π π? (2)讨论 f(x)在区间?-4,4?上的单调性. ? ?
? ? π 解 (1)f(x)的定义域为?xx≠2+kπ,k∈Z?. ? ?

? π? f(x)=4tan xcos xcos?x-3?- 3 ? ? ? π? =4sin xcos?x-3?- 3 ? ? ?1 ? 3 =4sin x? cos x+ sin x?- 3 2 2 ? ? =2sin xcos x+2 3sin2x- 3 =sin 2x+ 3(1-cos 2x)- 3 π? ? =sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x-3?. ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π π (2)由-2+2kπ≤2x-3≤2+2kπ, π 5π 得-12+kπ≤x≤12+kπ,k∈Z.

π π 3π 由2+2kπ≤2x-3≤ 2 +2kπ, 5π 11π 得12+kπ≤x≤ 12 +kπ,k∈Z. π? ? π π? ? π π? ? π 所以当 x∈?-4,4?时,f(x)在区间?-12,4?上单调递增,在区间?-4,-12?上 ? ? ? ? ? ? 单调递减. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2016· 江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin 2x 的图象与 y=cos x 的图象 的交点个数是________. 解析 在区间[0,3π]上分别作出 y=sin 2x 和 y=cos x 的简图如下:

由图象可得两图象有 7 个交点. 答案 7 π 12. 若函数 f(x)=4sin 5ax-4 3cos 5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为3, 则实数 a 的值为________. π? T π 2π 2π ? 解析 因为 f(x)=8sin?5ax-3?,依题意有, 2 =3,所以 T= 3 .又因为 T=5|a|, ? ? 2π 2π 3 所以5|a|= 3 ,解得 a=± 5. 3 答案 ± 5 π? ? ?π? ?π? ?π π? 13.已知函数 f(x)=sin?ωx+3?(ω>0),若 f?6?=f?3?,且 f(x)在区间?6,3?上有最 ? ? ? ? ? ? ? ? 小值,无最大值.则 ω 的值为________. ?π π? ?π π? 解析 f(x)在区间?6,3?上有最小值,无最大值,则:①说明?6,3?中有最低点. ? ? ? ? ?π π? ?6+3? ? ? π ?π? ?π? ∵f?6?=f?3?,∴最低点必为 x= 2 =4. ? ? ? ?

-10 πω π π 代入 4 +3=-2+2kπ,得 ω= 3 +8k,k 为整数. T π π π ?π π? ②说明?6,3?中无最高点,故 2 >3-6=6, ? ? 2π π ∴T= ω >3,∴0<ω<6. 14 由①和②得 ω= 3 . 答案 14 3

x ? ? 14.(2017· 南通调研)已知函数 f(x)=a?2cos22+sin x?+b. ? ? (1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若 x∈[0,π]时,函数 f(x)的值域是[5,8],求 a,b 的值. ? π? 解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b= 2asin?x+4?+a+b. ? ? ? π? (1)当 a=-1 时,f(x)=- 2sin?x+4?+b-1, ? ? π π 3π 由 2kπ+2≤x+4≤2kπ+ 2 (k∈Z), π 5π 得 2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z), π 5π? ? ∴f(x)的单调增区间为?2kπ+4,2kπ+ 4 ?(k∈Z). ? ? π π 5π (2)∵0≤x≤π,∴4≤x+4≤ 4 , 2 ? π? ∴- 2 ≤sin?x+4?≤1,依题意知 a≠0. ? ? ? 2a+a+b=8, (ⅰ)当 a>0 时,? ∴a=3 2-3,b=5. ?b=5, ?b=8, (ⅱ)当 a<0 时,? ∴a=3-3 2,b=8. ? 2a+a+b=5, 综上所述,a=3 2-3,b=5 或 a=3-3 2,b=8.

第4讲

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

考试要求 1.函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义,图象的画法,参数 A,ω,φ 对函 数图象变化的影响,A 级要求;2.利用三角函数解决一些简单实际问题,A 级要 求.

知 识 梳 理 1.“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、 最低点及与 x 轴相交的三个点, 作图时的一般步骤为: (1)定点:如下表所示. x φ -ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

(2)作图: 在坐标系中描出这五个关键点, 用平滑的曲线顺次连接得到 y=Asin(ωx +φ)在一个周期内的图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得 y=Asin(ωx+φ)在 R 上的图象. 2.函数 y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示简谐振动时,几个相关 的概念如下表: 简谐振动 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω> 0),x∈[0,+∞) 振幅 A 周期 2π T= ω 频率 1 f=T 相位 ωx+φ 初相 φ

3.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径

诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) π (1) 将函数 y = 3sin 2x 的图象左移 4 个单位长度后所得图象的解析式是 y = π? ? 3sin?2x+4?.( ? ? )

(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长 度一致.( )

(3)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T, 那么函数图象的两个相邻对称中心之 T 间的距离为2.( )

(4)由图象求解析式时,振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低 点的值确定的.( )

π 解析 (1)将函数 y=3sin 2x 的图象向左平移4个单位长度后所得图象的解析式是 y=3cos 2x. (2)“先平移,后伸缩”的平移单位长度为|φ|,而“先伸缩,后平移”的平移单 |φ| 位长度为 ω .故当 ω≠1 时平移的长度不相等. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

π? ? 2.(必修 4P40 练习 5 改编)y=2sin?2x-4?的振幅、频率和初相分别为________. ? ? 1 π 答案 2,π,-4 π? 1 ? 3.(2016· 全国Ⅰ卷改编)若将函数 y=2sin?2x+6?的图象向右平移4个周期后,所 ? ? 得图象对应的函数为________.

π? π? 1 ? ? 解析 函数 y=2sin?2x+6?的周期为 π, 将函数 y=2sin?2x+6?的图象向右平移4个 ? ? ? ? π? π ? ? π? π? x-4?+ ?=2sin? 2x-3?. ? 周期即4个单位,所得函数为 y=2sin?2? ? 6? ? ? ? ? π? ? 答案 y=2sin?2x-3? ? ? π? ? 4.(2017· 南京、盐城模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的最小正周期 ? ? ? π ? 为 π,且它的图象过点?-12,- 2?,则 φ 的值为________. ? ? 2π ? π? 解析 由题意可得 T= ω =π,解得 ω=2,则 f(x)=2sin(2x+φ).又 f?-12?= ? ? π? π ? π ? ? 2sin?-6+φ?=- 2?|φ|<2?,解得 φ=-12. ? ? ? ? π 答案 -12 5.如图,某地一天,从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ) +b(A>0,ω>0,0<φ<π),则这段曲线的函数解析式为________.

1 解析 从图中可以看出, 从 6~14 时是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期, 又2 2π × ω =14-6, π 1 所以 ω=8.由图可得 A=2(30-10)=10, 1 π 3π b=2(30+10)=20.又8×10+φ=2π,解得 φ= 4 , ?π 3π? ∴y=10sin?8x+ 4 ?+20,x∈[6,14]. ? ? ?π 3π? 答案 y=10sin?8x+ 4 ?+20,x∈[6,14] ? ?

考点一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (2)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 解 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx π? ?1 ? 3 ? =2? sin ωx+ cos ωx?=2sin?ωx+3?, ? ? 2 ?2 ? π? 2π ? 又∵T=π,∴ ω =π,即 ω=2,∴f(x)=2sin?2x+3?. ? ? π? π ? (1)令 z=2x+ ,则 y=2sin?2x+3?=2sin z. 3 ? ? 列表,并描点画出图象: x z y=sin z π? ? y=2sin?2x+3? ? ? π -6 0 0 0 π 12 π 2 1 2 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -2 5π 6 2π 0 0

(2)法一

π ? π? 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移3个单位, 得到 y=sin?x+3?的图 ? ?

1 ? π? 象;再把 y=sin?x+3?的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得 ? ? π? π? ? ? 到 y=sin?2x+3?的图象; 最后把 y=sin?2x+3?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 ? ? ? ? π? ? 倍(横坐标不变),即可得到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ? 1 法二 将 y=sin x 的图象上每一点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变), 得到 π ? π? y=sin 2x 的图象; 再将 y=sin 2x 的图象向左平移6个单位, 得到 y=sin 2?x+6?= ? ?

π? π? ? ? sin?2x+3?的图象;再将 y=sin?2x+3?的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的 2 ? ? ? ? π? ? 倍(横坐标不变),得到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ? 规律方法 作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象常用如下两种方法: (1)五点法作图,用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换, π 3 设 z=ωx+φ,由 z 取 0,2,π,2π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五 点坐标,描点后得出图象; (2)图象的变换法, 由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象有 两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. π ? ? ?π? 【训练 1】设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 π, 且 f?4? ? ? ? ? 3 =2.

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象. 2π 解 (1)∵T= ω =π,ω=2, π 3 3 ?π? ? ? 又 f?4?=cos?2×4+φ?= 2 ,∴sin φ=- 2 , ? ? ? ? π π 又-2<φ<0,∴φ=-3. π? ? (2)由(1)得 f(x)=cos?2x-3?,列表: ? ? π 2x-3 x f(x) π -3 0 1 2 0 π 6 1 π 2 5 12π 0 π 2 3π -1 3 2π 11 12π 0 5 3π π 1 2

描点画出图象(如图).

考点二 由图象求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 π? ? π 【例 2】 (1)将函数 f(x)=sin(2x+θ)?-2<θ<2?的图象向右平移 φ(0<φ<π)个单位 ? ? ? 3? 长度后,得到函数 g(x)的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P?0, ?,则 φ 的 2? ? 值为________. (2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数 f(x) 的解析式为________.

π? ? π 解析 (1)将函数 f(x)=sin(2x+θ)?-2<θ<2?的图象向右平移 φ(0<φ<π)个单位长度 ? ? 后,得到函数 g(x)=sin[2(x-φ)+θ]=sin(2x-2φ+θ)的图象,若 f(x),g(x)的图象 ? 3? 都经过点 P?0, ?, 2 ? ? 3 3 所以 sin θ= 2 ,sin(-2φ+θ)= 2 , π 3 5π π π π ?π ? 所以 θ=3,sin?3-2φ?= 2 .又 0<φ<π,所以- 3 <3-2φ<3,所以3-2φ=- ? ? 4π 3. 5π 即 φ= 6 . (2)由题图可知 A= 2, 法一 T 7π π π 4=12-3=4,

所以 T=π,故 ω=2, 因此 f(x)= 2sin(2x+φ), ?π ? 又?3,0?对应五点法作图中的第三个点, ? ? π? π π ? 因此 2×3+φ=π,所以 φ=3,故 f(x)= 2sin?2x+3?. ? ? ?π ? ?7π ? 法二 以?3,0?为第二个“零点”,?12,- 2?为最小值点, ? ? ? ? π ω · ? ? 3+φ=π, 列方程组? 7π 3π ? ?ω· 12+φ= 2 , π? ? 故 f(x)= 2sin?2x+3?. ? ? π? 5π ? 答案 (1) 6 (2)f(x)= 2sin?2x+3? ? ? 规律方法 已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比 较容易看图得出,困难的是求待定系数 ω 和 φ,常用如下两种方法: (1)五点法,由 ω= 2π 即可求出 ω;确定 φ 时,若能求出离原点最近的右侧图象 T ω=2, ? ? 解得? π φ=3, ? ?

上升(或下降)的“零点”横坐标 x0, 则令 ωx0+φ=0(或 ωx0+φ=π), 即可求出 φ; (2)代入法,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结 合图形解出 ω 和 φ,若对 A,ω 的符号或对 φ 的范围有要求,则可用诱导公式变 换使其符合要求. 【训练 2】(2016· 全国Ⅱ卷改编)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 函数 f(x)的解析式为________.

π ?π ? π?? -6??=π,所以 ω=2,由五点作图法可知 2× + 解析 由题图可知,T=2?3-? ? ? 3 ? ? π? π π ? φ=2,所以 φ=-6,所以函数的解析式为 f(x)=2sin?2x-6?. ? ?

π? ? 答案 f(x)=2sin?2x-6? ? ? 考点三 三角函数模型及其应用 【例 3】 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数 π π 关系:f(t)=10- 3cos12t-sin12t,t∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? ? 3 π 1 π ? 解 (1)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t? 12 2 12 ? ?2 π? ?π =10-2sin?12t+3?, ? ? π π π 7π 又 0≤t<24,所以3≤12t+3< 3 , π? ?π 当 t=2 时,sin?12t+3?=1; ? ? π? ?π 当 t=14 时,sin?12t+3?=-1. ? ? 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12 ℃,取得最小值 8 ℃. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温, π? ?π 由(1)得 f(t)=10-2sin?12t+3?, ? ? π? ?π 故有 10-2sin?12t+3?>11, ? ? π? 1 ?π 即 sin?12t+3?<-2. ? ? 又 0≤t<24,因此 7π π π 11π < t+ < ,即 10<t<18. 6 12 3 6

在 10 时至 18 时实验室需要降温. 规律方法 三角函数模型的应用体现在两方面: 一是已知函数模型求解数学问题, 二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知 识解决问题. 【训练 3】 如图,某大风车的半径为 2 m,每 12 s 旋转一周,它的最低点 O 离

地面 0.5 m. 风车圆周上一点 A 从最低点 O 开始, 运动 t(s)后与地面的距离为 h(m).

(1)求函数 h=f(t)的关系式; (2)画出函数 h=f(t)(0≤t≤12)的大致图象. 解 (1)如图,以 O 为原点,过点 O 的圆的切线为 x 轴,建立直角坐标系.

设点 A 的坐标为(x,y),则 h=y+0.5. 设∠OO1A=θ,则 cos θ= y=-2cos θ+2. 2π 又 θ=12×t, π 即 θ=6t, π 所以 y=-2cos6t+2, π h=f(t)=-2cos6t+2.5. π (2)函数 h=-2cos6t+2.5(0≤t≤12)的大致图象如下. 2-y , 2

[思想方法] 1.五点法作图及图象变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点,注意曲线凸凹方向; (2)图象变换时的伸缩、 平移总是针对自变量 x 而言, 而不是看角 ωx+φ 的变化. 2.由图象确定函数解析式 解决由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A,ω,φ 的问题时,常常以“五点法” 中的五个点作为突破口, 要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零 点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. [易错防范] 1.由函数 y=sin x 的图象经过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象,如先伸缩再平 移时,要把 x 前面的系数提取出来. 2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的 单调区间的确定,基本思想是把 ωx+φ 看做一个整体.若 ω<0,要先根据诱导 公式进行转化. 3.求函数 y=Asin(ωx+φ)在 x∈[m,n]上的最值,可先求 t=ωx+φ 的范围,再 结合图象得出 y=Asin t 的值域.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 π 1.(2016· 全国Ⅱ卷改编)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移12个单位长度,则 平移后图象的对称轴为________. π 解析 由题意将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移12个单位长度后得到函数的解析 π? π π kπ π ? 式为 y=2sin?2x+6?,由 2x+6=kπ+2得函数的对称轴为 x= 2 +6(k∈Z). ? ? kπ π 答案 x= 2 +6(k∈Z)

π ? π ? 2.(2017· 衡水中学金卷)若函数 y=sin(ωx-φ)(ω>0,|φ|<2)在区间?-2,π?上的图 ? ? 象如图所示,则 ω,φ 的值分别是________.

π 2π ?π ? π?? ? -3??=π,所以 ω= =2,又 sin? ?2×6-φ?=0, 解析 由题图可知,T=2?6-? ? ?? T ? ? ? π π π π 所以3-φ=kπ(k∈Z),即 φ=3-kπ(k∈Z),而|φ|<2,所以 φ=3. π 答案 2,3 3.(2017· 苏北四市调研)如图,已知 A,B 分别是函数 f(x)= 3sin ωx(ω>0)在 y π 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点,且∠AOB=2,则该函数的周期 是________.

2 ?T ? ?3T ? →· → =3T 解析 设函数的周期为 T, 由图象可得 A?4, 3?, B? 4 ,- 3?, 则OA OB 16 ? ? ? ?

-3=0,解得 T=4. 答案 4 4. (2017· 南京师大附中、 淮阴中学、 海门中学、 天一中学四校联考)将函数 y=sin(2x π +φ)(0<φ<π)的图象沿 x 轴向左平移8个单位后,得到函数 y=f(x)的图象,若函数 f(x)的图象过原点,则 φ=________. π 解析 将函数 y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象沿 x 轴向左平移8个单位后, 得到函数 π ? ? π? ? ? ? f(x)=sin?2?x+8?+φ?=sin?2x+4+φ?的图象,若函数 f(x)的图象过原点,则 f(0) ? ? ? ? ? ? π π 3π ?π ? =sin?4+φ?=0,4+φ=kπ,k∈Z,φ=kπ-4,k∈Z,又 0<φ<π,则 φ= 4 . ? ?

答案

3π 4

5.(2017· 南京调研)如图,它是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))图 象的一部分,则 f(0)的值为________.

解析

2π π 由函数图象得 A = 3 , ω = 2[3 - ( - 1)] = 8 ,解得 ω = 4 ,所以 f(x) =

π ?π ? ?π ? 3sin?4x+φ?,又因为(3,0)为函数 f(x)=3sin?4x+φ?的一个下降零点,所以4×3+φ ? ? ? ? π π =(2k+1)π(k∈Z),解得 φ=4+2kπ(k∈Z),又因为 φ∈(0,π),所以 φ=4,所以 π 3 2 ?π π? f(x)=3sin?4x+4?,则 f(0)=3sin4= 2 . ? ? 答案 3 2 2

6. (2017· 龙岩模拟)某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用函 ?π ? 数 y=a+Acos?6?x-6??(x=1,2,3,?,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最 ? ? 高为 28 ℃, 12 月份的月平均气温最低为 18 ℃,则 10 月份的平均气温为 ________℃. 解析 因为当 x=6 时,y=a+A=28; 当 x=12 时,y=a-A=18,所以 a=23,A=5, ?π ? 所以 y=f(x)=23+5cos?6?x-6??, ? ? ?π ? 所以当 x=10 时,f(10)=23+5cos?6×4? ? ? 1 =23-5×2=20.5. 答案 20.5 π π? ? 7.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ≤2?的图象上的两个相邻的最高点 ? ?

1? ? 和最低点的距离为 2 2,且过点?2,-2?,则函数 f(x)的解析式为________. ? ? 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 2,可得 ?T?2 ?2 ? +?1+1?2=2 2, ? ?

2π π 解得 T=4,故 ω= T =2, 1? ?πx ? ? 即 f(x)=sin? 2 +φ?.又函数图象过点?2,-2?, ? ? ? ? 1 ?π ? 故 f(2)=sin?2×2+φ?=-sin φ=-2, ? ? π π 又-2≤φ≤2, π ?πx π? 解得 φ=6,故 f(x)=sin? 2 +6?. ? ? ?πx π? 答案 f(x)=sin? 2 +6? ? ? π 1 8.函数 f(x)=3sin2x-log2x 的零点的个数是________. π 2π 1 1 1 解析 函数 y=3sin2x 的周期 T= π =4, 由 log2x=3, 可得 x=8.由 log2x=-3, 2 π 1 可得 x=8.在同一平面直角坐标系中,作出函数 y=3sin2x 和 y=log2x 的图象(如 图所示),易知有 5 个交点,故函数 f(x)有 5 个零点.

答案 5 二、解答题 π? ? 9.已知函数 f(x)=sin ωx+cos?ωx+6?,其中 x∈R,ω>0. ? ? ?π? (1)当 ω=1 时,求 f?3?的值; ? ? π? ? (2)当 f(x)的最小正周期为 π 时,求 f(x)在?0,4?上取得最大值时 x 的值. ? ?

π π ?π? 解 (1)当 ω=1 时,f?3?=sin 3+cos 2 ? ? 3 3 = 2 +0= 2 . π? ? (2)f(x)=sin ωx+cos?ωx+6? ? ? 3 1 =sin ωx+ 2 cos ωx-2sin ωx π? 1 3 ? =2sin ωx+ 2 cos ωx=sin?ωx+3?. ? ? π? 2π ? ∵|ω|=π,且 ω>0,得 ω=2,∴f(x)=sin?2x+3?. ? ? π? π ?π 5π? ? 由 x∈?0,4?,得 2x+3∈?3, 6 ?, ? ? ? ? π π π ∴当 2x+3=2,即 x=12时,f(x)max=1. 10 . (2017·苏 、 锡 、 常 、 镇 四 市 调 研 ) 已 知 函 数 f(x) = 3 sin(ωx +

π π? π ? φ)?ω>0,-2≤φ<2?的图象关于直线 x=3对称,且图象上相邻最高点的距离为 ? ? π. ?π? (1)求 f?4?的值; ? ? π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移12个单位后,得到 y=g(x)的图象,求 g(x)的单 调递减区间. 解 (1)因为 f(x)的图象上相邻最高点的距离为 π,所以 f(x)的最小正周期 T=π, 2π 从而 ω= T =2. π π π π π 又 f(x)的图象关于直线 x=3对称, 所以 2×3+φ=kπ+2(k∈Z), 因为-2≤φ<2, 所以 k=0, π? π 2π π ? 所以 φ=2- 3 =-6,所以 f(x)= 3sin?2x-6?, ? ? π π? π 3 ?π? ? 则 f?4?= 3sin?2×4-6?= 3sin 3=2. ? ? ? ?

π (2)将 f(x)的图象向右平移12个单位后,得到 π? ? f?x-12?的图象, ? ? π ? π? π? ? ? ? x-12?- ? 所以 g(x)=f?x-12?= 3sin?2? ? 6? ? ? ? ? π? ? = 3sin?2x-3?. ? ? π π 3π 当 2kπ+2≤2x-3≤2kπ+ 2 (k∈Z), 5π 11π 即 kπ+12≤x≤kπ+ 12 (k∈Z)时,g(x)单调递减. 5π 11π? ? 因此 g(x)的单调递减区间为?kπ+12,kπ+ 12 ?(k∈Z). ? ? 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) π? ? 11.(2017· 南京模拟)设函数 f(x)=sin?2x+6?,给出下列结论: ? ? π ①f(x)的图象关于直线 x=3对称; ?π ? ②f(x)的图象关于点?6,0?对称; ? ? π? ? ③f(x)的最小正周期为 π,且在?0,12?上为增函数; ? ? π ④把 f(x)的图象向右平移12个单位,得到一个偶函数的图象. 其中正确的是________(填序号). π? π ? 解析 对于函数 f(x)=sin?2x+6?,当 x=3时, ? ? 5π 1 π ?π? f?3?=sin 6 =2,故①错;当 x=6时, ? ? π ?π? ?π ? f?6?=sin 2=1,故?6,0?不是函数的对称点,故②错;函数的最小正周期为 T= ? ? ? ? π? 2π ? ?0, ? 2 =π,当 x∈? 12?时, π ?π π? 2x+6∈?6,3?,此时函数为增函数,故③正确; ? ?

π ? π? π ? ? x-12?+ ?=sin 2x,函数是奇 把 f(x)的图象向右平移12个单位,得到 g(x)=sin?2? ? 6? ? ? 函数,故④错. 答案 ③ ? π π? 12.(2017· 泰州一模)已知函数 f(x)=2sin ωx 在区间?-3,4?上的最小值为-2, ? ? 则 ω 的取值范围是________. π π π π 3 解析 当 ω>0 时,-3ω≤ωx≤4ω,由题意知-3ω≤-2,即 ω≥2;当 ω<0 时, π π ω ≤ ωx ≤ - 4 3 ω, π π 由题意知4ω≤-2,∴ω≤-2. ?3 ? 综上可知,ω 的取值范围是(-∞,-2]∪?2,+∞?. ? ? ?3 ? 答案 (-∞,-2]∪?2,+∞? ? ? 13. (2015· 湖南卷)已知 ω>0, 在函数 y=2sin ωx 与 y=2cos ωx 的图象的交点中, 距离最短的两个交点的距离为 2 3,则 ω=________. ?y=2sin ωx, 解析 由? 得 sin ωx=cos ωx, ?y=2cos ωx π ∴tan ωx=1,ωx=kπ+4 (k∈Z). kπ π ∵ω>0,∴x= ω +4ω (k∈Z). π 5π 设距离最短的两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2),不妨取 x1=4ω,x2=4ω,则|x2 ? 5π π ? π -x1|=?4ω-4ω?= . ? ? ω ? 2? ? 2? 又结合图形知|y2-y1|=?2×?- ?-2× ?=2 2, 2? ? ? 2? 且(x1,y1)与(x2,y2)间的距离为 2 3, ∴(x2-x1)2+(y2-y1)2=(2 3)2, π ?π? ∴?ω?2+(2 2)2=12,∴ω=2. ? ?

π 答案 2 π? ? 14.(2017· 扬州中学质检)如图,函数 y=2cos(ωx+φ)?ω>0,0≤φ≤2?的部分图象 ? ? 与 y 轴交于点(0, 3),最小正周期是 π.

(1)求 ω,φ 的值; ?π ? (2)已知点 A?2,0?,点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)是 PA 的中点,当 y0 ? ? 3 ?π ? = 2 ,x0∈?2,π?时,求 x0 的值. ? ? 解 (1)将点(0, 3)代入 y=2cos(ωx+φ), 3 得 cos φ= 2 , π π ∵0≤φ≤2,∴φ=6. 2π ∵最小正周期 T=π,且 ω>0,∴ω= T =2. π? ? (2)由(1)知 y=2cos?2x+6?. ? ? 3 ?π ? ∵A?2,0?,Q(x0,y0)是 PA 中点,y0= 2 , ? ? π ? ? ∴P?2x0-2, 3?. ? ? π? ? 又∵点 P 在 y=2cos?2x+6?的图象上, ? ? π? π? 3 ? ? ∴2cos?4x0-π+6?= 3,∴cos?4x0+6?=- 2 . ? ? ? ? π π? π ? ?π ? ∵x0∈?2,π?,∴4x0+6∈?2π+6,4π+6?, ? ? ? ? π π π π ∴4x0+6=2π+π-6或 4x0+6=2π+π+6,

2π 3π ∴x0= 3 或 4 .

第5讲

两角和与差的三角函数

考试要求 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系,B 级要求;二 倍角的正弦、余弦、正切公式,B 级要求;2.运用两角和与差的正弦、余弦、正 切公式进行简单的三角恒等变换,C 级要求.

知 识 梳 理 1.两角和与差的三角函数公式 sin(α± β)=sin_αcos_β± cos_αsin_β. cos(α?β)=cos_αcos_β± sin_αsin_β. tan(α± β)= tan α± tan β . 1?tan αtan β

2.二倍角公式 sin 2α=2sin_αcos_α. cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. tan 2α= 2tan α . 1-tan2α

π kπ 注意:①在二倍角的正切公式中,角 α 是有限制条件的,即 α≠kπ+2,且 α≠ 2 π +4(k∈Z). α ②“倍角”的意义是相对的,如 4α 是 2α 的二倍角,α 是2的二倍角. 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan_αtan_β). (2)cos2α= 1+cos 2α 1-cos 2α 2 , sin α = . 2 2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2, ? π? ?. sin α± cos α= 2sin?α± ? 4? 4 .函数 f(α) = asin α+ bcos α(a , b 为常数 ) ,可以化为 f(α) = a2+b2 sin(α +

b? a? ? ? φ)?其中tan φ=a?或 f(α)= a2+b2· cos(α-φ)?其中tan φ=b?. ? ? ? ?

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的.( (2)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立.( (3)公式 tan(α+β)= tan α+tan β 可以变形为 tan α+tan β 1-tan αtan β ) ) )

=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角 α,β 都成立.( (4)存在实数 α,使 tan 2α=2tan α.( )

π 解析 (3)变形可以,但不是对任意的 α,β 都成立,α,β,α+β≠2+kπ,k∈Z. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

1 2.(2016· 全国Ⅲ卷改编)若 tan θ=-3,则 cos 2θ=________. cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 4 解析 cos 2θ=cos θ-sin θ= 2 = = . cos θ+sin2θ 1+tan2θ 5
2 2

4 答案 5 1 3.(2015· 江苏卷)已知 tan α=-2,tan(α+β)=7,则 tan β 的值为________. 解析 ∵tan α=-2,∴tan(α+β)= 解得 tan β=3. 答案 3 1 ?π ? 4.(2017· 广州调研)已知 sin α+cos α=3,则 sin2?4-α?=________. ? ? 解析 1 1 8 由 sin α+cos α=3两边平方得 1+sin 2α=9,解得 sin 2α=-9,所以 tan α+tan β -2+tan β 1 = = , 1-tan αtan β 1+2tan β 7

8 ?π ? ?2-2α? 1-sin 2α 1+9 1 - cos ? ? 17 ?π ? sin2?4-α?= = = = 2 2 2 18. ? ? 17 答案 18

5.(必修 4P109 习题 4 改编)sin 347° cos 148° +sin 77° · cos 58° =________. 解析 sin 347° cos 148° +sin 77° cos 58° =sin(270° +77° )cos(90° +58° )+sin 77° cos 58° =(-cos 77° )· (-sin 58° )+sin 77° cos 58° =sin 58° cos 77° +cos 58° sin 77° 2 =sin(58° +77° )=sin 135° =2. 答案 2 2

考点一 三角函数式的化简 α? ? α ?cos2-sin2? ?1+sin α+cos α?· ? ? 【例 1】化简: (0<α<π)=________. 2+2cos α α α α? ? α α? ? ?2cos22+2sin2cos2?· ?cos2-sin2? ? ?? ? 解析 原式= α 4cos22 α α? α? α cos2?cos22-sin22? cos2cos α ? ? = = . ? α? ? α? ?cos2? ?cos2? ? ? ? ? α π α 因为 0<α<π,所以 0<2<2,所以 cos2>0,所以原式=cos α. 答案 cos α 规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角之间的差别与联系,

把角进行合理的拆分,正确使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公 式,常见的有“切化弦”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分 式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等. 【训练 1】 (1) 2+2cos 8+2 1-sin 8的化简结果是________. 1 2cos4α-2cos2α+2

(2)化简:

=________. ?π ? 2?π ? 2tan?4-α?sin ?4+α? ? ? ? ?

解析 (1)原式= 4cos24+2 ?sin 4-cos 4?2

=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|, 5 3 因为4π<4<2π,所以 cos 4<0,且 sin 4<cos 4, 所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4. 1 4 2 2?4cos α-4cos α+1? (2)原式= ?π ? 2×sin?4-α? ? ? ?π ? · cos2?4-α? π ? ? ? ? cos?4-α? ? ? ?2cos2α-1?2 cos22α = = ?π ? ?π ? ?π ? 4sin?4-α?cos?4-α? 2sin?2-2α? ? ? ? ? ? ? cos22α 1 =2cos 2α=2cos 2α. 答案 (1)-2sin 4 1 (2)2cos 2α

考点二 三角函数式的求值 【例 2】 (1)[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280=________. sin 2α+2sin2α 7π ?π ? 3 17π (2)已知 cos?4+α?= , <α< ,则 的值为________. 4 ? ? 5 12 1-tan α 1 1 (3)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,则 2α-β 的值为________. ? ? cos 10° + 3sin 10° ?· 解析 (1)原式=?2sin 50° +sin 10° · cos 10° ? ? 1 3 + 2 sin 10° 2cos 10° 2sin 80° =(2sin 50° +2sin 10° · )· cos 10° 2cos 10° =2 2[sin 50° · cos 10° +sin 10° · cos(60° -10° )] 3 =2 2sin(50° +10° )=2 2× 2 = 6. sin 2α+2sin2α 2sin αcos α+2sin2α (2) = sin α 1-tan α 1-cos α 2sin αcos α?cos α+sin α? = cos α-sin α

1+tan α ?π ? =sin 2α =sin 2α· tan?4+α?. ? ? 1-tan α 17π 7π 5π π ?π ? 3 由 12 <α< 4 得 3 <α+4<2π,又 cos?4+α?=5, ? ? 4 4 ?π ? ?π ? 所以 sin?4+α?=-5,tan?4+α?=-3. ? ? ? ? 2 7 2 7 ??π ? π? +α?- ?=- ,sin α=- cos α=cos?? , sin 2 α = 4 ? 4? 10 10 25. ?? sin 2α+2sin2α 28 所以 =-75. 1-tan α tan?α-β?+tan β (3)∵tan α=tan[(α-β)+β]= 1-tan?α-β?tan β 1 1 2-7 1 = 1 1=3>0,又 α∈(0,π), 1+2×7 π 2tan α ∴0<α<2,又∵tan 2α= = 1-tan2α π ∴0<2α<2, 3 1 4+7 tan 2α-tan β ∴tan(2α-β)= = 3 1=1. 1+tan 2αtan β 1-4×7 1 π ∵tan β=-7<0,∴2<β<π,-π<2α-β<0, 3π ∴2α-β=- 4 . 答案 (1) 6 规律方法 28 (2)-75 3π (3)- 4 3 = >0, ?1?2 4 1-?3? ? ? 1 2×3

(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子,再观察已知条件

与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手),最后将已知条件及其变形 代入所求式子,化简求值. (2)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知 正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的

π? ? 范围是?0,2?,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范 ? ? ? π π? 围为?-2,2?,选正弦较好. ? ? 【训练 2】 (1)4cos 50° -tan 40° =________. π? 4 3 π ? (2)已知 sin?α+3?+sin α=- 5 ,-2<α<0,则 cos α 的值为________. ? ? 1 13 π (3)已知 cos α=7,cos(α-β)=14(0<β<α<2),则 tan 2α=________,β=________. 解析 (1)原式=4sin 40° - sin 40° cos 40°

4cos 40° sin 40° -sin 40° = cos 40° 2sin 80° -sin 40° = cos 40° 2sin?120° -40° ?-sin 40° = cos 40° = 3cos 40° +sin 40° -sin 40° cos 40°

3cos 40° = cos 40° = 3. π? π? 4 3 3 3 4 3 4 ? ? (2)由 sin?α+3?+sin α=- 5 ,得2sin α+ 2 cos α=- 5 ,sin?α+6?=-5. ? ? ? ? π π π π 又-2<α<0,所以-3<α+6<6, π? 3 ? 于是 cos?α+6?=5. ? ? π? π? 3 3-4 ?? α+6?- ?= 所以 cos α=cos?? ? ? 6? 10 . ? 1 π (3)∵cos α=7,0<α<2, 4 3 ∴sin α= 7 ,tan α=4 3, ∴tan 2α= 2×4 3 2tan α 8 3 =- 47 . 2 = 1-tan α 1-48

π π ∵0<β<α<2,∴0<α-β<2,

3 3 ∴sin(α-β)= 14 , ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2, π ∴β=3. 答案 (1) 3 3 3-4 (2) 10 8 3 (3)- 47 π 3

考点三 三角变换的简单应用 【例 3】 已知△ABC 为锐角三角形,若向量 p=(2-2sin A,cos A+sin A)与向量 q=(sin A-cos A,1+sin A)是共线向量. (1)求角 A; (2)求函数 y=2sin2B+cos C-3B 2 的最大值.

解 (1)因为 p, q 共线, 所以(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A), 3 则 sin2A=4. 3 π 又 A 为锐角,所以 sin A= 2 ,则 A=3. π ? ? π-3-B?-3B ? C - 3 B ? ? ?π ? 2 ?3-2B?=1- (2)y=2sin2B+cos 2 =2sin2B+cos = 2sin B + cos 2 ? ? π? 1 3 3 1 ? cos 2B+2cos 2B+ 2 sin 2B= 2 sin 2B-2cos 2B+1=sin?2B-6?+1. ? ? π? π ? π 5π? π π ? 因为 B∈?0,2?,所以 2B-6∈?-6, 6 ?,所以当 2B-6=2时,函数 y 取得最大 ? ? ? ? π 值,此时 B=3,ymax=2. 规律方法 解三角函数问题的基本思想是“变换”, 通过适当的变换达到由此及 彼的目的,变换的基本方向有两种,一种是变换函数的名称,一种是变换角的形 式. 变换函数名称可以使用诱导公式、 同角三角函数关系、 二倍角的余弦公式等; 变换角的形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.

1 【训练 3】(2017· 合肥模拟)已知函数 f(x)=(2cos2x-1)· sin 2x+2cos 4x. (1)求 f(x)的最小正周期及单调减区间; π? 2 ?α π? ? (2)若 α∈(0,π),且 f?4-8?= 2 ,求 tan?α+3?的值. ? ? ? ? 1 解 (1)f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+2cos 4x 1 =cos 2xsin 2x+2cos 4x π? 1 2 ? = (sin 4x+cos 4x)= sin?4x+4?, 2 2 ? ? π ∴f(x)的最小正周期 T=2. π π 3 令 2kπ+2≤4x+4≤2kπ+2π,k∈Z, kπ π kπ 5π 得 2 +16≤x≤ 2 +16,k∈Z. ?kπ π kπ 5π? ∴f(x)的单调减区间为? 2 +16, 2 +16?,k∈Z. ? ? π? 2 ?α π? ? (2)∵f?4-8?= 2 ,即 sin?α-4?=1. ? ? ? ? π π 3π 因为 α∈(0,π),-4<α-4< 4 , π π 3π 所以 α-4=2,故 α= 4 . π? ? 因此 tan?α+3?= ? ? -1+ 3 = 3π π 1+ 3 =2- 3. 1-tan 4 tan3 3π π tan 4 +tan3

[思想方法] 1.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”. (1)变角:对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2)变名:尽可能减少函数名 称;(3)变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等. 2.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角、函数名、所求 (或所证明)

问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形. [易错防范] 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要 注意升幂、降幂的灵活运用,要注意“1”的各种变通. 2 2.在(0,π)范围内,sin α= 2 所对应的角 α 不是唯一的. 3.在三角求值时,往往要借助角的范围求值.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.(2015· 全国Ⅰ卷改编)sin 20° cos 10° -cos 160° sin 10° =________. 解析 sin 20° cos 10° -cos 160° sin 10° =sin 20° cos 10° +cos 20° sin 10° =sin 30° = 1 2. 1 答案 2 2.(1+tan 17° )(1+tan 28° )的值是________. 解析 原式=1+tan 17° +tan 28° +tan 17° · tan 28° =1+tan 45° (1-tan 17° · tan 28° )+tan 17° · tan 28° =1+1=2. 答案 2 1 3.(2017· 苏州调研)已知 α 是第二象限角,且 tan α=-3,则 sin 2α=________. 1 10 3 10 解析 因为 α 是第二象限角,且 tan α=-3,所以 sin α= 10 ,cos α=- 10 , 10 ? 3 10? 3 ?=- . 所以 sin 2α=2sin αcos α=2× 10 ×?- 5 10 ? ? 3 答案 -5 1 1 4.(2017· 苏、锡、常、镇四市调研)若 tan α=2,tan(α-β)=-3,则 tan(β-2α) =________.

解析

1 tan(β - α) = - tan(α - β) = 3 , 所 以 tan(β - 2α) = tan[(β - α) - α] =

1 1 - tan?β-α?-tan α 3 2 1 = =-7. 1 1+tan?β-α?tan α 1+6 1 答案 -7 π? 3 ? 5.已知 sin α=5且 α 为第二象限角,则 tan?2α+4?=________. ? ? 4 24 解析 由题意得 cos α=- ,则 sin 2α=- , 5 25 7 cos 2α=2cos2α-1=25. π? 24 ? ∴tan 2α=- 7 ,∴tan?2α+4?= ? ? 17 答案 -31 π? 2 ? ? π? 6.已知 θ∈?0,2?,且 sin?θ-4?= ,则 tan 2θ=________. ? ? ? ? 10 2 1 ? π? 解析 sin?θ-4?= 10 ,得 sin θ-cos θ=5,① ? ? π? 24 7 4 ? θ∈?0,2?,①平方得 2sin θcos θ=25,可求得 sin θ+cos θ=5,∴sin θ=5,cos θ ? ? 3 4 2tan θ 24 =5,∴tan θ=3,tan 2θ= 2 =- . 7 1-tan θ 24 答案 - 7 π? ?π 3π? ? ?π ? 3 ?5 ? 7. (2017· 盐城中学月考)已知 α∈?4, 4 ?, β∈?0,4?, 且 cos?4-α?=5, sin?4π+β? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 =-13,则 cos(α+β)=________. ?π 3π? ?π ? 3 解析 ∵α∈?4, 4 ?,cos?4-α?=5, ? ? ? ? 4 ?π ? ∴sin?4-α?=-5, ? ? 17 =-31. π= 24 ? ? 1-tan 2αtan4 1-?- 7 ?×1 ? ? π tan 2α+tan4 24 - 7 +1

12 ?5 ? ?π ? 12 ∵sin?4π+β?=-13,∴sin?4+β?=13, ? ? ? ? π? ? ?π ? 5 又∵β∈?0,4?,∴cos?4+β?=13, ? ? ? ? 33 ??π ? ?π ?? 3 5 4 12 ∴cos(α+β)=cos??4+β?-?4-α??=5×13-5×13=-65. ?? ? ? ?? 33 答案 -65 π? 1 π ? 8.(2017· 泰州调研)若 cos?α-3?=3,则 sin(2α-6)的值是________. ? ? π? π? π? ? ? ? α-3?+ ?= 解析 sin?2α-6?=sin?2? ? 2? ? ? ? ? π? π? 1 7 ? ? cos 2?α-3?=2cos2?α-3?-1=2×9-1=-9. ? ? ? ? 7 答案 -9 二、解答题 9.(2017· 淮海中学模拟)已知向量 a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1). (1)若 a⊥b,求 sin θ-cos θ 的值; sin θ+cos θ

π? ? ? π? (2)若|a-b|=2,θ∈?0,2?,求 sin?θ+4?的值. ? ? ? ? 解 (1)由 a⊥b 可知,a· b=2cos θ-sin θ=0, 所以 sin θ=2cos θ, sin θ-cos θ 2cos θ-cos θ 1 所以 = = . sin θ+cos θ 2cos θ+cos θ 3 (2)由 a-b=(cos θ-2,sin θ+1)可得, |a-b|= ?cos θ-2?2+?sin θ+1?2= 6-4cos θ+2sin θ=2, 即 1-2cos θ+sin θ=0. π? ? 又 cos2θ+sin2θ=1,且 θ∈?0,2?, ? ? 3 4 所以 sin θ=5,cos θ=5.

2 2?3 4? 7 2 ? π? 所以 sin?θ+4?= 2 (sin θ+cos θ)= 2 ?5+5?= 10 . ? ? ? ? 5 1 3π π 10.设 cos α=- 5 ,tan β=3,π<α< 2 ,0<β<2,求 α-β 的值. 解 法一 5 3π 2 5 1 由 cos α=- 5 ,π<α< 2 ,得 sin α=- 5 ,tan α=2,又 tan β=3, tan α-tan β = 1+tan αtan β 1 2-3

于是 tan(α-β)= 3π 又由 π<α< 2 ,

1=1. 1+2×3

π π π 3π 0<β<2可得-2<-β<0,2<α-β< 2 , 5π 因此,α-β= 4 . 5 3π 2 5 法二 由 cos α=- 5 ,π<α< 2 得 sin α=- 5 . 1 π 1 3 由 tan β=3,0<β<2得 sin β= ,cos β= . 10 10 所以 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= 2 ? 2 5?? 3 ? ? 5?? 1 ? ?- ?? ?-?- ?? ?=- . 2 5 ?? 10? ? 5 ?? 10? ? 3π π 又由 π<α< 2 ,0<β<2可得 π π 3π 5π -2<-β<0,2<α-β< 2 ,因此,α-β= 4 . 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) π 2π ? 23π? 11.(2017· 云南统一检测)cos9· cos 9 · cos?- 9 ?=________. ? ? π 2π ? 23 ? 解析 cos9· cos 9 · cos?- 9 π?=cos 20° · cos 40° · cos 100° =-cos 20° · cos 40° · cos ? ? 80° sin 20° cos 20° cos 40° cos 80° =- sin 20°

1 · cos 40° · cos 80° 2sin 40° =- sin 20° 1 · cos 80° 4sin 80° =- sin 20° 1 1 8sin 160° 8sin 20° 1 =- sin 20° =- sin 20°=-8. 1 答案 -8 12.(2017· 武汉调研)设 α,β∈[0,π],且满足 sin αcos β-cos αsin β=1,则 sin(2α -β)+sin(α-2β)的取值范围为________. 解析 ∵sin αcos β-cos αsin β=1,∴sin(α-β)=1, ∵α,β∈[0,π], 0≤α≤π, ? ? π ∴α-β=2,由? π 0≤β=α-2≤π ? ? π ?2≤α≤π,

π? ? ∴ sin(2α - β) + sin(α - 2β) = sin ?2α-α+2? + sin(α - 2α + π) = cos α + sin α = 2 ? ? π? π? π 3π π 5 ? ? sin?α+4?,∵2≤α≤π,∴ 4 ≤α+4≤4π,∴-1≤ 2sin?α+4?≤1,即所求的取 ? ? ? ? 值范围是[-1,1]. 答案 [-1,1] π? π? 2 ? ? 13.已知 cos4α-sin4α=3,且 α∈?0,2?,则 cos?2α+3?=________. ? ? ? ? π? 2 ? 解析 ∵cos4α-sin4α=(sin2α+cos2α)(cos2α-sin2α)=cos 2α=3,又 α∈?0,2?, ? ? ∴2α∈(0,π), 5 ∴sin 2α= 1-cos22α= 3 , π? 1 3 ? ∴cos?2α+3?=2cos 2α- 2 sin 2α ? ? 1 2 3 5 2- 15 =2×3- 2 × 3 = 6 .

答案

2- 15 6

π 14. (2017· 泰州模拟)如图, 现要在一块半径为 1 m, 圆心角为3的扇形白铁片 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ,使点 P 在弧 AB 上,点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,设∠BOP=θ,平行四边形 MNPQ 的面积为 S.

(1)求 S 关于 θ 的函数关系式; (2)求 S 的最大值及相应的 θ 角. 解 (1)分别过 P,Q 作 PD⊥OB 于 D,QE⊥OB 于 E,则四边形 QEDP 为矩形.

由扇形半径为 1 m,得 PD=sin θ,OD=cos θ.在 Rt△OEQ 中, 3 3 3 OE= 3 QE= 3 PD,MN=QP=DE=OD-OE=cos θ- 3 sin θ,S=MN· PD= π? 3 ? ? 3 ? ?cos θ- sin θ?· sin θ=sin θcos θ- 3 sin2θ,θ∈?0,3?. ? ? 3 ? ? 1 3 (2)由(1)得 S=2sin 2θ- 6 (1-cos 2θ) π? 1 3 3 3 ? 3 =2sin 2θ+ 6 cos 2θ- 6 = 3 sin?2θ+6?- 6 , ? ? π? π ?π 5π? ? 因为 θ∈?0,3?,所以 2θ+ ∈?6, 6 ?, 6 ? ? ? ? π? ?1 ? ? sin?2θ+6?∈?2,1?. ? ? ? ? π 3 当 θ=6时,Smax= 6 (m2).

第6讲

正弦定理、余弦定理及解三角形

考试要求 1.正弦定理、余弦定理,简单的三角形度量问题,B 级要求;2.运用 定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,B 级要求.

知 识 梳 理 1.正、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径, 则 定理 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2- 2bccos_A; 公式 a b c sin A=sin B=sin C=2R b2=c2+a2- 2cacos_B; c2=a2+b2-2abcos_C (1)a=2Rsin A,b=2Rsin_B,c =2Rsin_C; (2)sin A= 常见变形 c =2R; (3)a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶ sin_C; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A
2 2 2 a b ,sin B= ,sin C cos A=b +c -a ; 2R 2R 2bc

cos B=

c2+a2-b2 ; 2ac

a2+b2-c2 cos C= 2ab

1 1 1 abc 1 2. S△ABC=2absin C=2bcsin A=2acsin B= 4R =2(a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的 半径),并可由此计算 R,r. 3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方叫仰 角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1).

(2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的 方位角为 α(如图 2). (3)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( (2)在△ABC 中,A>B 必有 sin A>sin B.( ) ) )

(3)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝角三角形.( π? ? (4)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为?0,2?.( ? ? )

(5) 方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关 系.( )

解析 (1)三角形中三边之比等于相对的三个内角的正弦值之比. (4)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√

2.(2016· 全国Ⅰ卷改编)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= 2 5,c=2,cos A=3,则 b=________. 1 2 ? ? 解析 由余弦定理,得 5=b2+22-2×b×2×3,解得 b=3?b=-3舍去?. ? ? 答案 3 3.(必修 5P10 习题 4 改编)在△ABC 中,acos A=bcos B,则△ABC 的形状为 ________________. 解析 由正弦定理,得 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B,所以 2A=2B 或 2A=π-2B,

π 即 A=B 或 A+B=2, 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形 4. 一艘海轮从 A 处出发, 以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行, 30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏 东 70° , 在 B 处观察灯塔, 其方向是北偏东 65° , 那么 B, C 两点间的距离是________ 海里. 解析 如图所示, 易知, 在△ABC 中, AB=20 海里, ∠CAB=30° , ∠ACB=45° , BC AB 根据正弦定理得sin 30° =sin 45° ,解得 BC=10 2(海里).

答案 10 2 5.(2017· 淮安质检)已知在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c, π 若 A=3,b=2acos B,c=1,则△ABC 的面积等于________. π 解析 由正弦定理得 sin B=2sin A· cos B,故 tan B=2sin A=2sin3= 3,又 B∈ π π 1 1 (0,π),所以 B=3,又 A=3,所以△ABC 是正三角形,所以 S△ABC=2bcsin A=2 3 3 ×1×1× 2 = 4 . 答案 3 4

考点一 利用正、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)在△ABC 中,已知 a=2,b= 6,A=45° ,则满足条件的三角形有 ________个. (2)在△ABC 中,已知 sin A∶sin B= 2∶1,c2=b2+ 2bc,则三内角 A,B,C 的度数依次是________.

(3)(2015· 广东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 3, 1 π sin B=2,C=6,则 b=________. 2 解析 (1)∵bsin A= 6× 2 = 3,∴bsin A<a<b. ∴满足条件的三角形有 2 个. (2)由题意知 a= 2b,a2=b2+c2-2bccos A, 即 2b2=b2+c2-2bccos A,又 c2=b2+ 2bc, ∴cos A= 2 1 ,∵A∈(0° ,180° ),∴A=45° ,sin B= ,又 B∈(0° ,180° ),b<a, 2 2

∴B=30° ,∴C=105° . 1 π 5π (3)因为 sin B= 且 B∈(0,π),所以 B= 或 B= . 2 6 6 π π 2π 又 C=6,B+C<π,所以 B=6,A=π-B-C= 3 . a b 又 a= 3,由正弦定理得sin A=sin B,即 解得 b=1. 答案 (1)2 (2)45° ,30° ,105° (3)1 3 b = 2π π, sin 3 sin6

规律方法 (1)判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法: 根据大边对大角的性质、 三角形内角和公式、 正弦函数的值域等判断. ②几何图形法:根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦 定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程 根的情况判断解的个数. 【训练 1】 (1)(2017· 扬州中学模拟)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b,c.若 a= 13,b=3,A=60° ,则边 c=________. 4 (2)(2016· 全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A=5, 5 cos C=13,a=1,则 b=________. 解析 (1)a2=c2+b2-2cbcos A?13=c2+9-2c×3×cos 60° ,即 c2-3c-4=0,

解得 c=4 或 c=-1(舍去). 4 5 3 12 (2)在△ABC 中,由 cos A=5,cos C=13,可得 sin A=5,sin C=13,sin B=sin(A 63 asin B 21 +C)=sin Acos C+cos Asin C=65,由正弦定理得 b= sin A =13. 答案 (1)4 21 (2)13

考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移) 【例 2】 (经典母题)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为________. 解析 由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, ∴sin(B+C)=sin2A, 即 sin(π-A)=sin2A,sin A=sin2A. π ∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即 A=2. 答案 直角三角形 【迁移探究 1】 将本例条件变为“若 2sin Acos B=sin C”,那么△ABC 一定是 ________. 解析 法一 由已知得 2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,

即 sin(A-B)=0,因为-π<A-B<π,所以 A=B. a2+c2-b2 法二 由正弦定理得 2acos B=c,再由余弦定理得 2a· 2ac =c?a2=b2?a =b. 答案 等腰三角形 【迁移探究 2】 将本例条件变为“若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C =5∶11∶13”,则△ABC 一定是________. 解析 在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, ∴a∶b∶c=5∶11∶13, 故设 a=5k,b=11k,c=13k(k>0),由余弦定理可得 a2+b2-c2 25k2+121k2-169k2 23 cos C= 2ab = =-110<0, 2 2×5×11k ?π ? 又∵C∈(0,π),∴C∈?2,π?, ? ?

∴△ABC 为钝角三角形. 答案 钝角三角形 【迁移探究 3】 将本例条件变为“若 a2+b2-c2=ab,且 2cos Asin B=sin C”, 试确定△ABC 的形状. 解 法一 利用边的关系来判断:

sin C c 由正弦定理得sin B=b, sin C c 由 2cos Asin B=sin C,有 cos A=2sin B=2b. b2+c2-a2 又由余弦定理得 cos A= 2bc ,
2 2 2 c b +c -a ∴2b= 2bc ,

即 c2=b2+c2-a2,所以 a2=b2,所以 a=b. 又∵a2+b2-c2=ab. ∴2b2-c2=b2,所以 b2=c2, ∴b=c,∴a=b=c. ∴△ABC 为等边三角形. 法二 利用角的关系来判断: ∵A+B+C=180° , ∴sin C=sin(A+B), 又∵2cos Asin B=sin C, ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, ∴sin(A-B)=0, 又∵A 与 B 均为△ABC 的内角,所以 A=B. 又由 a2+b2-c2=ab, a2+b2-c2 ab 1 由余弦定理,得 cos C= 2ab =2ab=2, 又 0° <C<180° ,所以 C=60° , ∴△ABC 为等边三角形. 规律方法 (1)判定三角形形状的途径:①化边为角,通过三角变换找出角之间

的关系;②化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的

桥梁. (2)无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有 漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制. 考点三 和三角形面积有关的问题 【例 3】(2016· 全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求 C; 3 3 (2)若 c= 7,△ABC 的面积为 2 ,求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,2cos Csin(A +B)=sin C, 故 2sin Ccos C=sin C.由 C∈(0,π)知 sin C≠0, 1 π 可得 cos C=2,所以 C=3. 1 3 3 π (2)由已知,2absin C= 2 ,又 C=3,所以 ab=6,由已知及余弦定理得,a2+ b2-2abcos C=7,故 a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以△ABC 的周长为 5+ 7. 规律方法 三角形面积公式的应用原则 1 1 1 (1)对于面积公式 S=2absin C=2acsin B=2bcsin A,一般是已知哪一个角就使用 哪一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练 3】(2017· 南通调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, (a+b-c)(a+b+c)=ab. (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2acosB,b=2,求△ABC 的面积. 解 (1) 在△ ABC 中,由 (a + b - c)(a + b + c) = ab 得 (a + b)2 - c2 = ab ,进而得

a2+b2-c2 1 1 =- ,即 cos C =- 2ab 2 2. 2π 因为 0<C<π,所以 C= 3 . (2)法一 因为 c=2acos B,

由正弦定理得 sin C=2sin Acos B, 因为 A+B+C=π,所以 sin C=sin(A+B),所以 sin(A+B)=2sin Acos B, 即 sin Acos B-cos Asin B=0, 即 sin(A-B)=0, π π 又-3<A-B<3, 所以 A-B=0,即 A=B,所以 a=b=2. 1 1 2π 所以△ABC 的面积为 S△ABC=2absinC=2×2×2×sin 3 = 3. a2+c2-b2 法二 由 c=2acos B 及余弦定理得 c=2a× 2ac , 化简得 a=b=2, 1 1 2π 所以△ABC 的面积为 S△ABC=2absin C=2×2×2×sin 3 = 3. 考点四 正、余弦定理在实际问题中的应用 【例 4】 如图,在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向距 A 为( 3-1)海里的 B 处有 一艘走私船, 在 A 处北偏西 75° 方向, 距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3 海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间(注: 6≈2.449).

解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时, 才能最快截获(在 D 点)走私船, 则有 CD =10 3t(海里),BD=10t(海里). 在△ABC 中,∵AB=( 3-1)海里,AC=2 海里,∠BAC=45° +75° =120° ,根 据余弦定理,可得 BC= ? 3-1?2+22-2×2×? 3-1?cos 120° = 6(海里). 3 2× 2 ACsin 120° 2 根据正弦定理,可得 sin∠ABC= = =2. BC 6 ∴∠ABC=45° ,易知 CB 方向与正北方向垂直,

从而∠CBD=90° +30° =120° . 在△BCD 中,根据正弦定理,可得 sin∠BCD= BDsin∠CBD 10t· sin 120° 1 = =2, CD 10 3t

∴∠BCD=30° ,∠BDC=30° ,∴BD=BC= 6(海里), 6 则有 10t= 6,t= 10 ≈0.245 小时=14.7 分钟. 故缉私船沿北偏东 60° 方向,需 14.7 分钟才能追上走私船. 规律方法 解三角形应用题的两种情形:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与

未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解; (2)实际问题 经抽象概括后, 已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这 些三角形, 先解够条件的三角形, 然后逐步求解其他三角形, 有时需设出未知量, 从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 【训练 4】(2015· 湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测 得此山顶在西偏北 75° 的方向上,仰角为 30° ,则此山的高度 CD=________m.

解析

在△ABC 中,AB=600,∠BAC=30° ,∠ACB=75° -30° =45° ,由正弦定理得 BC AB BC 600 = ,即sin 30° =sin 45° ,所以 BC=300 2.在 Rt△BCD 中, sin∠BAC sin∠ACB ∠CBD=30° ,CD=BCtan∠CBD=300 2· tan 30° =100 6(m). 答案 100 6

[思想方法] A B C π 1.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π, 2 + 2 + 2 =2中互补和互余的 情况,结合诱导公式可以减少角的种数. 2.解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化,一般要化到只含 角或只含边. 3. 利用解三角形解决实际问题时, (1)要理解题意, 整合题目条件, 画出示意图, 建立一个三角形模型;(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念;(3)三角 函数模型中,要确定相应参数和自变量范围,最后还要检验问题的实际意义. 4.在三角形和三角函数的综合问题中,要注意边角关系相互制约,推理题中的 隐含条件. [易错防范] 1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一 解、两解,所以要进行分类讨论(此类类型也可利用余弦定理求解). 2. 利用正、 余弦定理解三角形时, 要注意三角形内角和定理对角的范围的限制. 3.解三角形实际问题时注意各个角的含义,根据这些角把需要的三角形的内角 表示出来. 而容易出现的错误是把角的含义弄错,把这些角与要求解的三角形的 内角之间的关系弄错.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.(2017· 哈尔滨模拟)在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30° ,△ABC 的面积为 3 ,则 C=________. 2 解析 法一 1 3 ∵S△ABC=2· AB· AC· sin A= 2 ,

1 3 即2× 3×1×sin A= 2 ,∴sin A=1,由 A∈(0° ,180° ),∴A=90° ,∴C=60° . sin B sin C 1 sin C 法二 由正弦定理,得 AC = AB ,即2= , 3

3 sin C= 2 ,又 C∈(0° ,180° ),∴C=60° 或 C=120° . 当 C=120° 时,A=30° , 3 3 S△ABC= 4 ≠ 2 (舍去).而当 C=60° 时,A=90° , 3 S△ABC= 2 ,符合条件,故 C=60° . 答案 60° 2π 2 3 2. 在△ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c, 若 A= 3 , a=2, b= 3 , 则 B=________. 2π 2 3 解析 ∵A= 3 ,a=2,b= 3 , a b ∴由正弦定理sin A=sin B可得, 2 3 3 b 3 1 sin B=asin A= 2 × 2 =2. ∵A= 2π π ,∴B= . 3 6

π 答案 6 3.(2017· 海门中学月考)如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离 都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° , 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° , 则灯塔 A 与 B 的距离为________ km.

解析 由题图可知,∠ACB=120° ,由余弦定理, ? 1? ?-2?=3a2,解得 AB= 得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos∠ACB=a2+a2-2· a· a· ? ? 3a(km). 答案 3a

B a+c 4.(2017· 盐城诊断)在△ABC 中,cos2 2 = 2c (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对 边),则△ABC 的形状为________. B a+c 解析 因为 cos2 2 = 2c , a+c B a 所以 2cos2 2 -1= c -1,所以 cos B=c , a2+c2-b2 a 所以 2ac =c ,所以 c2=a2+b2. 所以△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形 5.(2016· 山东卷改编)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b =c,a2=2b2(1-sin A),则 A=________. b2+c2-a2 2b2-a2 2 2 解析 在△ABC 中,由 b=c,得 cos A= 2bc = 2b2 ,又 a =2b (1-sin A),所以 cos A=sin A, π 即 tan A=1,又知 A∈(0,π),所以 A=4. π 答案 4 6.(2017· 南京、盐城模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知 a+ 2c=2b,sin B= 2sin C,则 cos A=________. 解析 由 sin B= 2sin C 结合正弦定理可得 b= 2c,又 a+ 2c=2b,则 a= 2 b2+c2-a2 2c2+c2-2c2 2 c,由余弦定理可得 cos A= 2bc = 2 2c2 = 4 . 答案 2 4

7.(2015· 重庆卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2,cos 1 C=-4,3sin A=2sin B,则 c=________. 解析 由 3sin A=2sin B 及正弦定理,得 3a=2b,又 a=2,所以 b=3,故 c2= ? 1? a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3×?-4?=16,所以 c=4. ? ? 答案 4

2π b 8.(2016· 北京卷)在△ABC 中,A= 3 ,a= 3c,则 c=________. 解析 在△ABC 中,a2=b2+c2-2bc· cos A, 2π 将 A= 3 ,a= 3c 代入, ? 1? ?-2?, 可得( 3c)2=b2+c2-2bc· ? ? 整理得 2c2=b2+bc. ∵c≠0,∴等式两边同时除以 c2, ?b? b 得 2=? c?2+c, ? ? b 可解得c=1. 答案 1 二、解答题 4 π 9.(2016· 江苏卷)在△ABC 中,AC=6,cos B=5,C=4. (1)求 AB 的长; π? ? (2)cos?A-6?的值. ? ? 4 解 (1)由 cos B=5,B∈(0,π), 3 则 sin B= 1-cos2B=5, π AC AB 又∵C=4,AC=6,由正弦定理,得sin B= π, sin 4 6 AB 即3= ?AB=5 2. 2 5 2 3 4 2 (2)由(1)得:sin B=5,cos B=5,sin C=cos C= 2 , 7 2 则 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= 10 , π? 2 ? cos A=-cos(B+C)=-(cos Bcos C-sin Bsin C)=- 10 ,则 cos?A-6?=cos ? ?

π π 7 2- 6 Acos6+sin Asin6= 20 . 10.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B,① 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),∴B=4. 1 2 (2)△ABC 的面积 S=2acsin B= 4 ac. π 由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos 4. 又 a2+c2≥2ac,故 ac≤ 4 ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2

因此△ABC 面积的最大值为 2+1. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 S△ABC=2 3, a+b=6, 解析 ∵ acos B+bcos A =2cos C,则 c=________. c

acos B+bcos A =2cos C,由正弦定理, c

得 sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos C,∴sin(A+B)=sin C=2sin Ccos C,由于 1 π 0<C<π,sin C≠0,∴cos C=2,∴C=3, ?a=2, ?a=4, 2 1 3 ? ∵S△ABC=2 3=2absin C= 4 ab, ∴ab=8, 又 a+b=6, 或? c ?b=4 ?b=2, =a2+b2-2abcos C=4+16-8=12,∴c=2 3. 答案 2 3

12.(2016· 江苏卷)在锐角三角形 ABC 中,若 sin A=2sin Bsin C,则 tan Atan Btan C 的最小值是________. 解析 在△ABC 中,A+B+C=π, sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C), 由已知,sin A=2sin Bsin C, ∴sin(B+C)=2sin Bsin C. ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, A,B,C 全为锐角,两边同时除以 cos Bcos C 得: tan B+tan C=2tan Btan C. 又 tan A=-tan(B+C)=- tan B+tan C tan B+tan C = . 1-tan BtanC tan B tan C-1

∴tan A(tan Btan C-1)=tan B+tan C. 则 tan Atan Btan C-tan A=tan B+tan C, ∴tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C=tan A+ 2tan Btan C≥2 2tan Atan Btan C, ∴ tan Atan Btan C≥2 2, ∴tan Atan Btan C≥8. 答案 8 13.(2017· 呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积,进行了一些测量工作,最 后将所住小区近似地画成如图所示的四边形,测得的数据如图所示,则该图所示 的小区的面积是________km2.

解析 如图,连接 AC,由余弦定理可知 AC= AB2+BC2-2AB· BC· cos B= 3, AC 故∠ACB=90° ,∠CAB=30° ,∠DAC=∠DCA=15° ,∠ADC=150° , sin∠ADC ACsin∠DCA AD = ,即 AD= = sin∠DCA sin∠ADC 3· 6- 2 4 3 2- 6 = , 1 2 2

1 1 ?3 2- 6?2 1 6- 3 2 ?× = 故 S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ADC=2×1× 3+2×? 4 (km ). 2 ? ? 2

答案

6- 3 4

14.(2017· 苏北四市调研)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知 cos(B-C)=1-cos A,且 b,a,c 成等比数列. (1)求 sin B· sin C 的值; (2)求 A; (3)求 tan B+tan C 的值. 解 (1)因为 A+B+C=π, 所以 A=π-(B+C). 由 cos(B-C)=1-cos A, 得 cos(B-C)=1+cos(B+C), 1 整理得 sin B· sin C=2. (2)因为 b,a,c 成等比数列, 所以 a2=bc, 由正弦定理得 sin2A=sin B· sin C, 1 所以 sin2A=2. 2 因为 A∈(0,π),所以 sin A= 2 , π 由 a2=bc 得 a 不是最大边,所以 A=4. 3π (3)因为 B+C=π-A= 4 , 2 所以 cos(B+C)=cos B· cos C-sin B· sin C=- 2 , 所以 cos B· cos C= 1- 2 2 ,

2 2 sin B sin C sin?B+C? sin A 所以 tan B+tan C=cos B+cos C=cos B· cos C=cos B· cos C=1- 2=-2- 2. 2

高考导航 从近几年的高考试题看,试卷交替考查三角函数、解三角形.该部分 解答题是高考得分的基本组成部分,不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点 题型有: 一考查三角函数的图象变换以及单调性、 最值等; 二考查解三角形问题; 三是考查三角函数、 解三角形与平面向量的交汇性问题,在解题过程中抓住平面 向量作为解决问题的工具, 要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性,注意题 目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法,灵活地实现问题的转化.

热点一 三角函数的图象和性质(规范解答) 注意对基本三角函数 y=sin x,y=cos x 的图象与性质的理解与记忆,有关三角 函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶 性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,然后利用 整体代换的方法求解. x 【例 1】(满分 13 分)(2015· 北京卷)已知函数 f(x)=sin x-2 3sin22. (1)求 f(x)的最小正周期; 2π? ? (2)求 f(x)在区间?0, 3 ?上的最小值. ? ? 满分解答 (1)解 2分 ? π? =2sin?x+3?- 3.4 分 ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π.6 分 (2)解 2π 因为 0≤x≤ 3 , 因为 f(x)=sin x+ 3cos x- 3.

π π 所以3≤x+3≤π.8 分 π 2π 当 x+3=π,即 x= 3 时,f(x)取得最小值.11 分 2π? ? ?2π? 所以 f(x)在区间?0, 3 ?上的最小值为 f? 3 ?=- 3.13 分 ? ? ? ?

?将 f(x)化为 asin x+bcos x+c 形式得…………2 分. ?将 f(x)化为 Asin(ωx+φ)+h 形式得………2 分. ?求出最小正周期得…………2 分. ?写出 ωx+φ 的取值范围得…………2 分. ?利用单调性分析最值得…………3 分. ?求出最值得…………2 分. 求函数 y=Asin(ωx+φ)+B 周期与最值的模板 第一步: 三角函数式的化简, 一般化成 y=Asin(ωx+φ)+h 或 y=Acos(ωx+φ)+h 的形式; 2π 第二步:由 T=|ω|求最小正周期; 第三步:确定 f(x)的单调性; 第四步:确定各单调区间端点处的函数值; 第五步:明确规范地表达结论. π? ? 【训练 1】(2017· 苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)已知函数 f(x)=sin?2x+3?- 3 ? ? π? ? sin?2x-6?. ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; ? π π? (2)当 x∈?-6,3?时,试求函数 f(x)的最值,并写出取得最值时自变量 x 的值. ? ? π? π? ? ? 解 (1)由题意知 f(x)=sin?2x+3?+ 3cos?2x+3? ? ? ? ? 2π? ? =2sin?2x+ 3 ?, ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期为 T= 3 =π.

π 2π π 当-2+2kπ≤2x+ 3 ≤2+2kπ(k∈Z)时,f(x)单调递增, π ? 7π ? 解得 x∈?-12+kπ,-12+kπ?(k∈Z), ? ? π ? 7π ? 所以 f(x)的单调递增区间为?-12+kπ,-12+kπ?(k∈Z). ? ? π 2π 4π ? π π? (2)因为 x∈?-6,3?,所以3≤2x+ 3 ≤ 3 , ? ? 2π π π 当 2x+ 3 =2,即 x=-12时,f(x)取得最大值 2; 2π 4π π 当 2x+ 3 = 3 ,即 x=3时,f(x)取得最小值- 3. 热点二 解三角形与三角函数结合 高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可 以从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函 数公式, 一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学 生利用三角函数公式处理问题的能力; (2)从命题角度看,主要是在三角恒等变 换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题. 【例 2】(2017· 成都诊断)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,f(x) ?π ? =2sin(x-A)cos x+sin(B+C)(x∈R),函数 f(x)的图象关于点?6,0?对称. ? ? π? ? (1)当 x∈?0,2?时,求函数 f(x)的值域; ? ? 13 3 (2)若 a=7,且 sin B+sin C= 14 ,求△ABC 的面积. 解 (1)∵f(x)=2sin(x-A)cos x+sin(B+C) =2(sin xcos A-cos xsin A)cos x+sin A =2sin xcos Acos x-2cos2xsin A+sin A =sin 2xcos A-cos 2xsin A=sin(2x-A), ?π ? 又函数 f(x)的图象关于点?6,0?对称, ? ? ?π? ?π ? 则 f?6?=0,即 sin?3-A?=0, ? ? ? ? π 又 A∈(0,π),则 A=3,

π? ? 则 f(x)=sin?2x-3?. ? ? π? ? 由于 x∈?0,2?, ? ? π ? π 2π? 则 2x-3∈?-3, 3 ?, ? ? π? 3 ? 即- 2 <sin?2x-3?≤1, ? ? ? 3 ? 则函数 f(x)的值域为?- ,1?. 2 ? ? a b c 14 (2)由正弦定理,得sin A=sin B=sin C= , 3 3 3 则 sin B= 14 b,sin C= 14 c, 3 13 3 sin B+sin C= 14 (b+c)= 14 ,即 b+c=13. 由余弦定理,得 a2=c2+b2-2bccos A, 即 49=c2+b2-bc=(b+c)2-3bc,即 bc=40. 1 1 3 则△ABC 的面积 S= bcsin A= ×40× =10 3. 2 2 2 探究提高 三角函数和三角形的结合,一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定 三角形的边角,再代入到三角函数中,三角函数和(差)角公式的灵活运用是解决 此类问题的关键. 【训练 2】(2017· 苏州测试)已知函数 f(x)= 3cos2ωx+sin ωxcos ωx(ω>0)的周期 为 π. π? ? (1)当 x∈?0,2?时,求函数 f(x)的值域; ? ? ?A? (2)已知△ABC 的内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,若 f? 2 ?= 3,且 a=4, ? ? b+c=5,求△ABC 的面积. π? 3 1 3 ? 解 (1)f(x)= 2 (1+cos 2ωx)+2sin 2ωx=sin?2ωx+3?+ 2 . ? ? π? 2π 3 ? 因为 f(x)的周期为 π, 且 ω>0, 所以2ω=π, 解得 ω=1.所以 f(x)=sin?2x+3?+ 2 . ? ?

π? π? π π π 4 3 3 3 ? ? 又 0≤x≤2, 得3≤2x+3≤3π, - 2 ≤sin?2x+3?≤1,0≤sin?2x+3?+ 2 ≤ 2 +1, ? ? ? ? π? ? 3 ? ? 即函数 y=f(x)在 x∈?0,2?上的值域为?0, +1?. ? ? 2 ? ? π? 3 π π 4 ?A? ? (2)因为 f? 2 ?= 3,所以 sin?A+3?= 2 .由 A∈(0,π),知3<A+3<3π, ? ? ? ? π 2 π 解得 A+3=3π,所以 A=3. 由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccos A,即 16=b2+c2-bc. 所以 16=(b+c)2-3bc,因为 b+c=5,所以 bc=3. 1 3 3 所以 S△ABC=2bcsin A= 4 . 热点三 三角函数与平面向量结合 三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面: (1)以三角函 数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解 析式;(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、余弦 定理解决问题. 【例 3】(2017· 苏北四市调研)已知△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别是 a, b,c,向量 m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且 m⊥n. (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 3,求 a+c 的范围. 解 (1)∵m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且 m⊥n, ∴(2a+c)cos B+bcos C=0, ∴cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0, ∴2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0. 即 2cos Bsin A=-sin(B+C)=-sin A. 1 ∵A∈(0,π),∴sin A≠0,∴cos B=-2. 2π ∵0<B<π,∴B= 3 . (2)由余弦定理得 2 ?a+c?2 3 ? = (a+c)2, b2=a2+c2-2accos3π=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-? 当 ? 2 ? 4

且仅当 a=c 时取等号. ∴(a+c)2≤4,故 a+c≤2. 又 a+c>b= 3,∴a+c∈( 3,2].即 a+c 的取值范围是( 3,2]. 探究提高 向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运 算或性质转化成三角函数问题. 【训练 3】 已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x)=a· b,且 y=f(x) ?π ? ?2π ? 的图象过点?12, 3?和点? 3 ,-2?. ? ? ? ? (1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y= g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 解 (1)由题意知 f(x)=a· b=msin 2x+ncos 2x. ?π ? ?2π ? 因为 y=f(x)的图象过点?12, 3?和? 3 ,-2?, ? ? ? ? π π ? ? 3=msin6+ncos6, 所以? 4π 4π ?-2=msin 3 +ncos 3 , ? 1 3 ? 3 = m + ? 2 2 n, 即? 3 1 ? ?-2=- 2 m-2n,

?m= 3, 解得? ?n=1.

π? ? (2)由(1)知 f(x)= 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+6?. ? ? π? ? 由题意知 g(x)=f(x+φ)=2sin?2x+2φ+6?. ? ? 设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),
2 由题意知 x0 +1=1,所以 x0=0,

即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). π? ? 将其代入 y=g(x)得 sin?2φ+6?=1, ? ? π 因为 0<φ<π,所以 φ=6,

π? ? 因此 g(x)=2sin?2x+2?=2cos 2x. ? ? π 由 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z 得 kπ-2≤x≤kπ,k∈Z. π ? ? 所以函数 y=g(x)的单调递增区间为?kπ-2,kπ?,k∈Z. ? ?

(建议用时:60 分钟) π? ? 1.(2017· 南通调研)函数 f(x)=3sin?2x+6?的部分图象如图所示. ? ?

(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值; π? ? π (2)求 f(x)在区间?-2,-12?上最大值和最小值. ? ? 解 (1)由题意得,f(x)的最小正周期为 π,y0=3. π? ? 当 y0=3 时,sin?2x0+6?=1, ? ? π π 由题干图象可得,2x0+6=2π+2, 7π 解得 x0= 6 . π? ? π (2)因为 x∈?-2,-12?, ? ? π ? 5π ? 所以 2x+6∈?- 6 ,0?. ? ? π π 于是:当 2x+6=0,即 x=-12时,f(x)取得最大值 0; π π π 当 2x+6=-2,即 x=-3时,f(x)取得最小值-3. 2.(2017· 郑州模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已 知 asin 2B= 3bsin A.

(1)求 B; 1 (2)若 cos A=3,求 sin C 的值. 解 (1)在△ABC 中, a b 由sin A=sin B, 可得 asin B=bsin A, 又由 asin 2B= 3bsin A, 得 2asin Bcos B= 3bsin A= 3asin B, 又 B∈(0,π),所以 sin B≠0, 3 所以 cos B= 2 , π 得 B=6. 1 2 2 (2)由 cos A=3,A∈(0,π),得 sin A= 3 , 则 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B), π? ? 所以 sin C=sin?A+6? ? ? 2 6+1 3 1 = 2 sin A+2cos A= 6 . ωx 3. (2017· 济南名校联考)已知函数 f(x)=sin ωx+2 3cos2 2 +1- 3(ω>0)的周期 为 π. (1)求 f(x)的解析式并求其单调递增区间; (2)将 f(x)的图象先向下平移 1 个单位长度,再向左平移 φ(φ>0)个单位长度得到 函数 h(x)的图象,若 h(x)为奇函数,求 φ 的最小值. ωx 解 (1)f(x)=sin ωx+2 3cos2 2 +1- 3= sin ωx+2 3× 1+cos ωx +1- 3 2

π =sin ωx+ 3cos ωx+1=2sin(ωx+3)+1. 2π 又函数 f(x)的周期为 π,因此 ω =π,∴ω=2.

π? ? 故 f(x)=2sin?2x+3?+1. ? ? π π π 令 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2(k∈Z), 5π π? 5π π ? 得 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z),即函数 f(x)的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?(k ? ? ∈Z). π? ? (2)由题意可知 h(x)=2sin?2?x+φ?+3?, ? ? π kπ π 又 h(x)为奇函数,则 2φ+3=kπ,∴φ= 2 -6(k∈Z).∵φ>0,∴当 k=1 时,φ π 取最小值3. π? ωx ? 4. (2017· 南京、 盐城模拟)设函数 f(x)=sin?ωx+6?+2sin2 2 (ω>0), 已知函数 f(x) ? ? 的图象的相邻两对称轴间的距离为 π. (1)求函数 f(x)的解析式; 3 (2)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c(其中 b<c),且 f(A)=2, △ABC 的面积为 S=6 3,a=2 7,求 b,c 的值. 3 1 解 (1)f(x)= 2 sin ωx+2cos ωx+1-cos ωx π? 3 1 ? = 2 sin ωx-2cos ωx+1=sin?ωx-6?+1. ? ? ∵函数 f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为 π, ∴函数 f(x)的周期为 2π.∴ω=1. ? π? ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin?x-6?+1. ? ? π? 1 3 ? (2)由 f(A)=2,得 sin?A-6?=2. ? ? π 又∵A∈(0,π),∴A=3. 1 1 π ∵S=2bcsin A=6 3,∴2bcsin 3=6 3,bc=24, π 由余弦定理,得 a2=(2 7)2=b2+c2-2bccos 3=b2+c2-24.

∴b2+c2=52,又∵b<c,解得 b=4,c=6. 5.(2017· 苏州调研)已知△ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m B =(2sin B,- 3),n=(cos 2B,2cos2 2 -1),且 m∥n. (1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求 S△ABC 的最大值. 解 (1)∵m∥n, B ? ? ∴2sin B?2cos2 2 -1?=- 3cos 2B, ? ? ∴sin 2B=- 3cos 2B,即 tan 2B=- 3. 2π π 又∵B 为锐角,∴2B∈(0,π),∴2B= 3 ,∴B=3. π (2)∵B=3,b=2, 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 a2+c2-ac-4=0. 又 a2+c2≥2ac,代入上式,得 ac≤4, 当且仅当 a=c=2 时等号成立. 1 3 故 S△ABC=2acsin B= 4 ac≤ 3, 当且仅当 a=c=2 时等号成立, 即 S△ABC 的最大值为 3. 6. (2017· 南昌模拟)已知函数 f(x)=a· b, 其中 a=(2cos x, - 3sin 2x), b=(cos x,1), x∈R. (1)求函数 y=f(x)的单调递减区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,f(A)=-1,a= 7,且 向量 m=(3,sin B)与 n=(2,sin C)共线,求边长 b 和 c 的值. π? ? 解 (1)f(x)=2 cos2x- 3sin 2x=1+cos 2x- 3sin 2x=1+2cos?2x+3?, ? ? π π π 令 2kπ≤2x+3≤2kπ+π(k∈Z),解得 kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z),∴函数 y=f(x)的 π π? ? 单调递减区间为?kπ-6,kπ+3?(k∈Z). ? ?

π? π? π π 7π ? ? (2)∵f(A)=1+2cos?2A+3?=-1,∴cos?2A+3?=-1,又3<2A+3< 3 ,∴2A ? ? ? ? π π +3=π,即 A=3. ∵a= 7,∴由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=7.① ∵向量 m=(3,sin B)与 n=(2,sin C)共线, ∴2sin B=3sin C,由正弦定理得 2b=3c,② 由①②得 b=3,c=2.


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