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高一数学数列试题



数列单元测试题
一、选择题 1.若 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 S n ? n 2 , 则 {an } 是 A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 ( )

2.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过 3 小时,这种细菌 由 1 个可繁殖成 A.511 个 B.512 个 C.1023 个 D.1024 个 ( D.51 ( ) ) ( )

3.等差数列{a n}中,已知 a1 ? A.48 B.49

1 , a 2 ? a5 ? 4, a n ? 33, 则n为 3
C.50

4.已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于 A.5 B.10 C.15 D.20

5.等比数列{an}的首项 a1=1,公比 q≠1,如果 a1,a2,a3 依次是某等差数列的第 1,2, 5 项,则 q 等于 ( ) A.2 B.3 C.-3 D.3 或-3 6.等比数列{an}的前 3 项的和等于首项的 3 倍,则该等比数列的公比为 A.-2
2





B.1
2

C.-2 或 1

D.2 或-1

7.已知方程 ( x ? 2 x ? m)(x ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成的一个首项为

1 的等差数列,则 4
( )

| m ? n |?
A.1 B.

3 4

C.

1 2

D.

3 8


8.数列{an}中,已知 S1 =1, S2=2 ,且 Sn+1-3Sn +2Sn-1 =0(n∈N*),则此数列为( A.等差数列 C.从第二项起为等差数列 B.等比数列 D.从第二项起为等比数列 ( D. 60

9.等比数列前 n 项和为 54,前 2 n 项和为 60,则前 3n 项和为 A.66 B.64 C. 66



2 3

2 3

10.设等差数列{an}的公差为 d,若它的前 n 项和 Sn=-n2,则 A.an=2n-1,d=-2 C.an=-2n+1,d=-2 11. 数列{an}的通项公式是 a n = B.an=2n-1,d=2 D.an=-2n+1,d=2





1 n ? n ?1

(n∈N*), 若前 n 项的和为 10, 则项数为 (



A.11

B.99

C.120

D.121

12.某人于 2000 年 7 月 1 日去银行存款 a 元,存的是一年定期储蓄,计划 2001 年 7 月 1 日 将到期存款的本息一起取出再加 a 元之后还存一年定期储蓄,此后每年的 7 月 1 日他都 按照同样的方法在银行取款和存款.设银行一年定期储蓄的年利率 r 不变,则到 2005 年 7 月 1 日他将所有的存款和本息全部取出时,取出的钱共为 A.a(1+r)4 元 C.a(1+r)6 元 二、填空题: 13 .设{ a n }是公比为 q 的等比数列, S n 是它的前 n 项和,若{ S n }是等差数列, 则 q= . . .
2 14.设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? nan ? 1 , n ? 1,2,3,?, 当 a1 ? 2 时,





B.a(1+r)5 元 D.

a [(1+r)6-(1+r)]元 r

15.数列 ?an ? 的前n项的和 Sn =3n2+ n+1,则此数列的通项公式 a n=__

16. 在等差数列 { a n } 中, 当 a r ? a s ( r ? s ) 时,{ a n } 必定是常数数列. 然而在等比数列 { a n } 中 , 对 某 些 正 整 数 r 、 s ( r ? s ) , 当 ar ? as 时 , 非 常 数 数 列 { an } 的 一 个 例 子 是 ___ ___.

三、解答题: 17.已知:等差数列{ an }中, a4 =14,前 10 项和 S10 ? 185. (1)求 an ; (2)将{ an }中的第 2 项,第 4 项,…,第 2 项按原来的顺序排成一个新数列,求此数 列的前 n 项和 Gn .
n

18.求下面各数列的和:

1 1 1 ? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 1 3 5 2n ? 1 . (2) ? 2 ? 3 ? ? ? 2 2 2 2n
(1) 1 ?

?n



19.数列{an}满足 a1=1,an=

1 an-1+1(n≥2) 2

(1)若 bn=an-2,求证{bn}为等比数列; (2)求{an}的通项公式.

21.已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? an x n ( x ? R).求数列 ?bn ? 前 n 项和的公式.

22.某房地产公司推出的售房有两套方案:一种是分期付款的方案,当年要求买房户首付 3 万元,然后从第二年起连续十年,每年付款 8000 元;另一种方案是一次性付款,优惠 价为 9 万元,若一买房户有现金 9 万元可以用于购房,又考虑到另有一项投资年收益率 为 5% ,他 该采 用哪 种方 案 购房 更合 算? 请说明 理 由. ( 参考 数据 1.059≈1.551 , 1.0510≈1.628)

参考答案

一、选择题:BBCAB CCDDC CD 二、填空题:13. 1.14. an ? n ? 1 (n ? 1) . 15. a ? ? ? n
?5 ?6n ? 2 ? (n ? 1) (n ? 2)

.16、 a , ? a , a , ? a , ? ( a ? 0 ) , r 与 s 同为奇数或偶数.

三、解答题:

?a4 ? 14 17.解析:(1)由 ? ? S10 ? 185
由 an



?a1 ? 3d ? 1 4 , ? ? 1 1 0a1 ? ? 1 0 ? ?9 d9? ? ? 2

?a1 ? 5 ? 185 ?,d ? 3

? 5 ? (n ? 1) ? 3,? an ? 3n ? 2

(1)设新数列为{ bn },由已知, bn ? 3 ? 2 n ? 2

?Gn ? 3(21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 2n ? 6(2n ? 1) ? 2n.
?Gn ? 3 ? 2n?1 ? 2n ? 6, (n ? N*)
18.解析:(1)
an ? 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? 2( ? )故Sn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n(n ? 1) n n ?1 2 2 3 n n ?1 n ?1

(本题用到的方法称为“裂项法”,把通项公式化为 an=f(n+1)-f(n)的形式)

2n ? 1 1 ? (2n ? 1) ? ( ) n . 呈“等差×等比”的形式, n 2 2 1 2n ? 1 S n ? 3 ? 2( ) n ?1 ? 2 2n 1 1 19.解析: (1)由 an= an-1+1 得 an-2= (an-1-2) 2 2
(2)通项 a n ? 即

an ? 2 1 ? ,(n≥2) a n ?1 ? 2 2

1 的等比数列 2 1 n-1 1 - (2)bn=(-1)( ) ,即 an-2=-( )n 1 2 2 1 n-1 ∴an=2-( ) 2
∴{bn}为以-1 为首项,公比为 20.解析: (1)由题设知每年费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列,设纯收入与年数的 关系为 f ? n ? ,

∴ f (n) ? 50n ? ? 12 ? 16 ? ? ? (8 ? 4n)? ? 98 ? 40n ? 2n 2 ? 98 , 获利即为 f ? n ? >0, ∴ 40n ? 2n 2 ? 98 ? 0,即n 2 ? 20n ? 49 ? 0 , 解之得: 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51, 即2.2 ? n ? 17.1 , 又 n∈N, ∴n=3,4,…,17, ∴当 n=3 时即第 3 年开始获利; (1)(i)年平均收入= ∵n ?

f ( n) 49 ? 40 ? 2(n ? ) n n

49 49 ≥2 n? ? 14 ,当且仅当 n=7 时取“=”, n n



f (n) ≤40-2× 14=12(万元)即年平均收益,总收益为 12× 7+26=110 万元,此时 n=7. n
2

(ii) f (n) ? ?2(n ? 10) ? 102,∴当 n ? 10, f (n) max ? 102 总收益为 102+8=110 万元,此时 n=10,比较两种方案,总收益均为 110 万元,但第一 种方案需 7 年,第二种方案需 10 年,故选择第一种. 21.解析:设数列 {an } 公差为 d ,则 a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12, 又 a1 ? 2, d ? 2. 所以 an ? 2n. (Ⅱ)解:令 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 则由 bn ? an x n ? 2nxn , 得
S n ? 2x ? 4x 2 ? ?(2n ? 2) x n?1 ? 2nxn , ①

xSn ? 2x 2 ? 4x 3 ? ? ? (2n ? 2) x n ? 2nxn?1 , ②

当 x ? 1 时, ①式减去②式, 得 (1 ? x) S n ? 2( x ? x 2 ? ? x n ) ? 2nx n ?1 ? 所以 S ? 2 x(1 ? x ) ? 2nx . n 2
n n ?1

2 x(1 ? x n ) ? 2nx n ?1 , 1? x

(1 ? x)

1? x

当 x ? 1 时, S n ? 2 ? 4 ? ?? 2n ? n(n ? 1) ,综上可得当 x ? 1 时, S n ? n(n ? 1)

2 x(1 ? x n ) 2nxn?1 当 x ? 1 时, S n ? ? . 1? x (1 ? x) 2
22.解析:如果分期付款,到第十一年付清后看其是否有结余,设首次付款后第 n 年的结余 数为 an, ∵a1=(9-3)× (1+0.5%)-0.8=6× 1.05-0.8 a2=(6× 1.05-0.8)× 1.05-0.8=6× 1.052-0.8× (1+1.05) …… a10=6× 1.0510-0.8(1+1.05+…+1.059)

=6× 1.0510-0.8×

1.0510 ? 1 1.05 ? 1

=6× 1.0510-16× (1.0510-1) 10 =16-10× 1.05 ≈16-16.28=-0.28(万元) 所以一次性付款合算.



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