9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

第三章函数的应用复习课



一、本章知识框架
方程的根与函数的零点

函数与方程
二分法求方程近似解 几类不同增长的函数模型 函数模型 用已知函数模型解决问题

及其应用

构建函数模型解决问题

二.知识点复习
一、本章基本知识扫描

1.函数与方程的紧密联系,体现在函数y

=f(x) 的零点与相应方程f(x)=0的实数根的联系上.本章从 二次函数与一元二次方程之间的联系展开讨论.通过 对具体问题的分析我们还讨论了零点存在的条件:闭 区间上连续不断的函数,若端点处的函数值异号,则 在相应的开区间内函数必有零点.注意:这里的条件 (端点处的函数值异号)仅是闭区间上连续不断的函 数在所处的区间内有零点的充分条件,端点处的函数 值不异号或者同号也可能存在零点.

2.请回顾二分法求方程近似解的一般步骤.

给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点 近似值的步骤如下: 1.确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0, 给定精确度ε; 2.求区间(a,b)的中点c; 3.计算f(c);

4.判断: (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时 零点x0∈(a,c)); (3)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时 零点x0∈(c,b)). 5.判断:区间长度是否达到精确度ε? 即若|a-b|<ε,则得到零点近似值; 否则重复2——5.

3.不同函数模型能够刻画现实 世界不同的变化规律.例如,指数 函数、对数函数以及幂函数就是 常用的描述现实世界中不同增长 规律的函数模型.请你说说这三种 函数模型的增长差异.

在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0) 都是增函数,但它们的增长速度不同, 而且不在同一个‘档次’上,随着x的增 大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会 超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度, 而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越 慢.因此,总会存在一个x0,当x>x0时, 就有logax<xn<ax.

x 对于函数,y=a (0<a<1),

y=loga 在区间(0,+∞)上都是减函 数,存在一个x0,当x>x0时, n x x >logax>a (n<0,0<a<1).

n x(0<a<1)y=x (n<0)

指数函数、对数函数、幂函数、一次函数 这四种函数模型的增长差异。
答:指数(底数大于1)爆炸增长 幂函数(幂指数大于1)快速增长 直线(一次项系数为正)匀速增长 对数(底数大于1)缓慢增长

函数模型解决问题的基本过程即一般 步骤是: (1)分析问题,作假设.为简化问题 一般要对有关陈述作假设,使问题明确, 分析问题包括变量设置、单位的选用等; (2)建立函数模型或者确定已知函 数模型; (3)求解函数模型(包括画图、列 表、证明、制作软件); (4)讨论验证和修正模型.

建立确定性函数模型解决问题的程序 选取模型 解出模型

验证模型 使用模型

建立拟合函数模型解决实际问题的程序 收集数据

画散点图
选择模型
不 符 合

求解模型
检验模型

使用模型

★要点解读

1.求函数的零点
例1.求下列函数的零点.
(1) y ? ? x 2 ? x ? 20; ( 2) y ? ( x ? 2)( x ? 3 x ? 2);
2 2

( 3) f ( x ) ? lg(x ? 1) ? 8;
2

( 4) f ( x ) ? e

x ?1

? 4.

★要点解读

1.求函数的零点
变式1:求下列函数的零点:
(1) f ( x ) ? ? x 2 ? 2 x ? 3; ( 2 ) f ( x ) ? x ? 1.
4

★要点解读

2.判断函数零点所在的大致区间
2 例2.函数 f ( x ) ? ln x ? x

的零点所在的

大致区间是(

)

A.(1,2) 1 C .(1, )和(3,4) e

B.(2,3) D.(e , ??)

★要点解读

2.判断函数零点所在的大致区间
2 例2.函数 f ( x ) ? ln x ? x 大致区间是( B )

的零点所在的

A.(1,2) 1 C .(1, )和(3,4) e

B.(2,3) D.(e , ??)

★要点解读

2.判断函数零点所在的大致区间
变式2:函数f(x)=2x+2x-6 的零点的 区间为)______________(取整数值).

★要点解读

2.判断函数零点所在的大致区间
变式2:函数f(x)=2x+2x-6 的零点的 区间为)______________ (取整数值). (2,3)

★要点解读

3.判断函数零点的个数 例3.求函数f(x)=x2-5x+3的零点个数.

★要点解读

3.判断函数零点的个数 例3.求函数f(x)=x2-5x+3的零点个数. 例4.求函数f(x)=x3+x-1 的零点个数.

★要点解读

3.判断函数零点的个数 变式3:求下列函数的零点个数.
(1) f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 6; ( 2) f ( x ) ? log1 x ? 2 x ? 3.
2

★要点解读

4.二分法的适用条件 例5.下列函数图象与x轴均有交点,其中 不能用二分法求图中函数零点的是( )
y x1 O x2 x3 x y O x0 x y O x y O x0 x

A.

B.

C.

D.

★要点解读

4.二分法的适用条件 例5.下列函数图象与x轴均有交点,其中 不能用二分法求图中函数零点的是( B )
y x1 O x2 x3 x y O x0 x y O x y O x0 x

A.

B.

C.

D.

★要点解读

4.二分法的适用条件 变式4:下列函数图象与x轴均有交点,其中 不能用二分法求图中函数零点的是( )
y O 1 2 x y
3

y
1

y x
-1

O 1 234 x

O

O

1

x

A.

B.

C.

D.

★要点解读

4.二分法的适用条件 变式4:下列函数图象与x轴均有交点,其中 不能用二分法求图中函数零点的是( C )
y O 1 2 x y
3

y
1

y x
-1

O 1 234 x

O

O

1

x

A.

B.

C.

D.

★要点解读

5.用二分法求方程的近似解 例6. (1)若函数f(x)=x3+x2-2x-2一个 正数零点附近的函数值用二分法计算,参 考数据如下:
f (1) ? ?2
f (1.5) ? 0.625
f (1.25) ? ?0.984
) ? ?0.054 ) ? 0.162 f (1.40625 f (1.375) ? ?0.260 f (1.4375

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根 (精确到0.1)为( ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5

★要点解读

5.用二分法求方程的近似解 例6. (1)若函数f(x)=x3+x2-2x-2一个 正数零点附近的函数值用二分法计算,参 考数据如下:
f (1) ? ?2
f (1.5) ? 0.625
f (1.25) ? ?0.984
) ? ?0.054 ) ? 0.162 f (1.40625 f (1.375) ? ?0.260 f (1.4375

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根 (精确到0.1)为( C ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5

★要点解读

2.指对数函数性质的应用

(2)用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零 点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0 可得其中一个零点x0∈______________, 第二次应计算______________,以上横线 上应填的内容为( )
A.(0,0.5),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) B.(0,1),f(0.25) D.(0,0.5),f(0.125)

★要点解读

2.指对数函数性质的应用

(2)用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零 点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0 可得其中一个零点x0∈______________, 第二次应计算______________,以上横线 上应填的内容为( A )
A.(0,0.5),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) B.(0,1),f(0.25) D.(0,0.5),f(0.125)

三.应用举例
例1. 某种放射性元素的原子数N随 时间t的变化规律是N=N0e-λt,其中N0, λ是正的常数. (1)说明函数是增函数还是减函数; (2)把t表示为原子数N的函数; (3)当 时,求t的值.
N0 N? 2

? 1? 解:由已知可得 N ? N 0 ? ? ? . ?e ?

t

因为λ是正常数,e>1,所以eλ>1, 1 即 0? ? 1,

e?

? 1? 又N0是正常数,所以 N ? N 0 ? e ? ? .是关于t的减函数. ? ?

t

( 2) N ? N 0e

? ?t

, 因 为e

? ?t

N ? ,所以 N0

N ? ?t ? ln , N0


N t ? ? ln . ? N0 1

N0 ( 3)当N ? 时, 2
N0 1 N 1 1 1 1 2 t ? ? ln ? ? ln ? ? l n ? l n 2. ? N0 ? N0 ? 2 ?

例2. 某工厂今年1月、2月、3月生产某 种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3 万件,为了估测以后每个月的产量,以这 三个月的产品数量为依据,用一个函数模 拟该产品的月产量y与月份x的关系,模拟 函数可以选用二次函数或函数y=abx+c(其 中a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量 为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模 拟函数较好,并说明理由.

例3. 某厂生产一种机器的固定成本(即固 定投入)为0.5万元,但每生产100台,需 要增加可变成本(即另增加投入)0.25万 元.市场对此产品的年需求量为 500台,销 2 x ) 售的收入函数为 R( x ) ? 5 x ? 2 (0 ? x ? 5 (单位: 万元),其中x是产品售出的数量(单位: 百台). (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大? (3)年产量是多少时,工厂才不亏本?

四.巩固练习
1.若函数y=f(x)唯一的一个零点在区间(0,16),(0,8), (0,4),(0,2)内,那么下列命题正确的是( C ) (A)函数y=f(x) 在区间(0,1)内有零点 (B)函数y=f(x) 在区间(0,1)或(1,2)内有零点 (C)函数y=f(x) 在区间 [2,16] 内无零点 (D)函数y=f(x) 在区间(1,16)内无零点

2.用二分法求方程 2 x ? 4 x ? 3x ? 1 ? 0 的最大的 根(精确度0.01) .
3 2

2.用二分法求方程 2 x ? 4 x ? 3x ? 1 ? 0 的最大的 根(精确度0.01) .
3 2

分析:设f(x)= 2x ? 4x ? 3x ? 1 通过计算得到: x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)符号 - - - + - - +
3 2

可见方程的根分别落在区间(-1,0),(0,1) 和(2,3)内,而最大的根落在区间(2,3)内. 然后利用二分法在区间(2,3)内求出符合精 确度要求的方程近似解x=2.5234375

3.某公司每生产一批产品都能维持一段时间的 市场供应.若该公司本次新产品生产开始x月后, 公司的存货量大致满足模型f(x)=-3x3+12x+8 那么下次生产应在多长时间后开始?
分析: 只要求出比函数f(x) 最小的正零点小的 正数. 解:因为f(0)>0,f(1)>0, f(2)>0, f(3)<0, 所以下次生产应在2个月后开始.

4. 点P从点O出发,按逆时针方向沿 周长为l 的图形运动一周,O,P两点 连线的距离y与点P走过的路程x的 函数关系如图,那么点P所走的图形 o 是 ( C )

y

l 2

l x

P o A o B

P
o C

P o D

P

5. 设计四个杯子的形状,使得在向杯中匀速注水 时,杯中水面的高度h随时间t变化的图象分别与下 列图象相符合.
h h h h

o

图(1)

t o

图(2)

t

o

图(3)

t

o

图(4)

t

h

o 图(4)

t

6.列车从A地出发直达500km以外的B地,途中要 经过离A地200km的C地。假设列车匀速前进,试 画出列车与C地的距离s关于时间t的函数图象。 解:设列车从A地到B地所 用时间为T. s 则当t=0时s=200; 500 当t=0.4T时s=0; 当t=T时s=500. 200 因为列车匀速行驶,所以 T 0 0.4T t 距离s是时间t的一次函数,

?200 ? 100t , (0 ? t ? 2) y?? ?100(t ? 2), (2 ? t ? 5)

B组 2:如图,△OAB是 边长为2的正三角形,记 △OAB位于直线x=t(t>0) 左侧的图形的面积为f(t). 试求函数f(t)的解析式, 并画出函数y=f(t)的图象.

y

B

0 x=t

A x

解: y=f(t)=



3 2 t ,t ? ?0, 1? 2 3 2 ? ?t ? 2? ? 3,t ? ?1, 2? 2 3,t ? ?2,? ??

7. 如图,有一块半径为2的半圆钢板, 计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的 下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在 圆周上,写出这个梯形周长y和腰长x间的 函数解析式,并求出它的定义域.
D C

A

O

B

五.知识检测
一、选择题(每小题只有一个正确选项) 1. 方程x-1=lgx必有一个根的区间是( A (A)(0.1,0.2) (B)(0.2,0.3) (C)(0.3,0.4) (D)(0.4,0.5) )

?1? 2. 函 数y ? ? ? 与 函 数 y ? l g x的 图 象 的 交 点 的 ? 2? 横坐标(精确度 0.1) 约 是 ( D ) ( A)1.3 ( B )1.4 (C )1.5 ( D )1.6

x

3. 如果一个立方体的体积在数值上等于V,表面面 积在数值上等于S,且V=S+1,那么这个立方体的 一个面的边长(精确度0.01)约为( C ) (A)5.01 (B)5.08 (C)6.03 (D)6.05

4. 实数a,b,c是图象连续不断的函数y=f(x)定 义域中的三个数,且满足a<b<c,f(a)·f(b)<0, f(b)·f(c)<0,则函数y=f(x)在区间(a,c)上的零点个 D 数为( ) (A)2 (B)奇数 (C)偶数 (D)至少是2

5. 假设银行1年定期的年利率为2%,某人为观看 2008年的奥运会,从2001年元旦开始在银行存款1万 元,存期1年,第二年元旦再把1万元和前一年的存款 本利和一起作为本金再存1年定期存款,以后每年元 旦都这样存款,则到2007年年底,这个人的银行存款 共有(精确到0.01万元)( B ) (A)7.14万元 (B)7.58万元 (C)7.56万元 (D)7.50万元

6. 若方程ax-x-a=0有两个解,则a的取值范 A 围是( )

( A)(1,??) ( B)(0,1) (C )(0,??) ( D)?

二、填空题 7. 函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0,+∞)上增长 2 y=x 较快的一个是____________________

8. 若方程x3-x+1=0在区间(a,b)(a,b是整数, -3 且b-a=1)上有一根,则a+b=________________

9. 某商品进货单价为30元,按40元一个销售, 能卖40个;若销售单位每涨1元,销售量减少一个, 要获得最大利润时,此商品的售价应改为每个 55 ____________ 元.

10. 已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b) (b-a=0.1)上有唯一的零点,如果用?二分法?求这 个零点(精确度0.0001)的近似值,那么将区间(a,b) 10 等分的次数至少是__________

三、解答题

11.截止到1999年年底,我国人口约13亿.如 果经过30年后,我国人口不超过18亿,那么人口 年平均增长率不应超过多少(精确到0.01)?

解:设人口年平均增长率为r,经过x年后,我国 人口数字为y亿. 1999年年底,我国人口约13亿; 经过1年(即2000年),人口数为 13+13×r=13(1+r)(亿); 经过2年(即2001年),人口数为 13(1+r)+13(1+r)×r=13(1+r)2(亿);

经过3年(即2002年),人口数为 13(1+r)2+13(1+r)2×r=13(1+r)3(亿); …… 所以,经过x年,人口数为 y=13(1+r)x(亿).

当x=30时,若y=18,则有 18=13(1+r)30. 由计算器解得r≈0.01. 所以,当人口年平均增长率超过1%时,经过 30年后,我国人口数字不超过18亿.

12. 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场 调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与 上市时间t(单位:天)的数据如下表:

时间t
种植成本Q

50
150

110
108

250
150

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函 数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系. Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最 低时的上市天数及最低种植成本.

解:(1)由提供的数据知道,描述西红柿种植 成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函 数,从而用Q=at+b, Q=a·bt,Q=a·logbt中的任意一 个进行描述时都应有a≠0,而此时上述三个函数均为 单调函数,这与表格所提供的数据不吻合.所以,只 能选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述.

所以,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变 1 2 3 225 化关系的函数为 Q ? t ? t? .
200 2 2

1 ? ? a ? 200 , 解上述方程组得 ? 3 ? ?b? ? , 2 ? ? c ? 225 . ? 2 ?

以表格所提供的三组数据分别代如Q=at2+bt+c,得到 a ? 50b ? c , ?150 ? 2500 ? a ? 110b ? c, ?108 ? 12100 ?150 ? 62500 a ? 250b ? c . ?

3 ? 2 ( 2)当t ? ? ? 150天 时 , 西 红 柿 种 植 成 最 本低为 ? 1 ? 2? ? ? ? 200?

1 3 225 2 Q? ? 150 ? ? 150? ? 100 ( 元/ 102 kg) . 200 2 2



更多相关文章:
2复习课 第三章 函数应用
复习课:第三章 函数的应用教学目标重 点:利用零点存在定理判断函数零点的个数,利用二分法求方程的近似解;掌握指数函数、对数函 数、幂函数、一次函数这四种函数...
2017年高考数学复习系列:必修一第三章必修一第三章《函数的应用》复习一
必修一第三章函数的应用复习一 一、选择题 1.函数 f(x)=2x2-3x+1 的零点是 ( 2.方程 log3x+x=3 的解所在的区间为 ( 1 3.函数 f(x)=lnx-...
2015秋高中数学 第三章 函数的应用本章复习学案设计 新人教A版必修1
2015秋高中数学 第三章 函数的应用章复习学案设计 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。第三章 函数的应用章复习学习目标 ①了解方程的根与函数零点的...
2015-2016学年高中数学 第三章 函数的应用章末复习提升 新人教A版必修1
【创新设计】2015-2016 学年高中数学 第三章 函数的应用章末复习 提升 新人教 A 版必修 1 1.对于函数 y=f(x),x∈D,使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 ...
2017届高考数学一轮复习 第三章 函数 课时20 函数的应用学案 文
2017届高考数学一轮复习 第三章 函数 课时20 函数的应用学案 文_数学_高中教育_教育专区。课时 20 一、高考考纲要求 函数的应用(课前预习案)班级: 姓名: 1....
高一数学人教A版必修一新导学案:第三章 《函数的应用(复习)》
第三章函数的应用(复习) 》导学案【学习目标】 1.体会函数的零点与方程根之间的联系,掌握零点存在的判定条件,能用二分法求方程的近似解, 初步形成用函数观点...
【步步高】2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时1 导数与函数的单调性 文
【步步高】2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时1 导数与函数的单调性 文_数学_高中教育_教育专区。课时 1 题型一 不含参数的...
函数模型及其应用复习课
第三章 函数的应用复习课 8页 免费 函数模型及其应用[精]_ 44页 5财富值喜欢...函数模型及其应用复习课教学过程一、知识点回顾 1、 三种函数模型的性质: 对于...
【步步高】2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时1 导数与函数的单调性 理
【步步高】2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时1 导数与函数的单调性 理_数学_高中教育_教育专区。课时 1 题型一 不含参数的...
中考数学第一轮复习 第三章 函数
中考数学第一轮复习 第三章 函数_初三数学_数学_初中教育_教育专区。适合第一...取全体实数(实际问题应用题除外,具体问题具体分析) 例 1、 (1)在函数 y ?...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图