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《电动力学》知识点归纳及典型试题分析



《电动力学》知识点归纳及典型试题分析
二、知识点归纳
? ? ? ?B ? ?? E ?? ? ?t ? ? ?D ? ? ? J ; (此为麦克斯 知识点 1:一般情况下,电磁场的基本方程为: ?? ? H ? ? t ? ? ? ?; ? ??D ? ? ? ? B ? 0. ?
? 韦方程组) ;在没有电荷和电流分布( ? ? 0, J ? 0

的情形 )的自由空间(或均匀

? ? ? ?B ?? ? E ? ? ? ?t ? ? ? D ? ; (齐次的麦克斯韦方程组) 介质)的电磁场方程为: ?? ? H ? ? t ? ? ? 0; ? ??D ? ? ? ? B ? 0. ?

知识点 2:位移电流及与传导电流的区别。 答:我们知道恒定电流是闭合的:

? ? ? J ? 0.?恒 定 电 流
在交变情况下,电流分布由电荷守恒定律制约,它一般不再闭合。一般说来,在 非恒定情况下,由电荷守恒定律有 ?? ?? J ? ? ? 0. ?t 现 在 我 们 考 虑 电 流 激 发 磁 场 的 规 律 : ? ? B ? ? 0 J .?@ ? 取 两 边 散 度 , 由 于
? ? ? ? B ? 0 ,因此上式只有当 ? ? J ? 0 时才能成立。在非恒定情形下,一般有

? ? J ? 0 ,因而 ?@? 式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普
遍规律,故应修改 ?@? 式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。 把 ?@? 式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量 J D ,它和电流

J 合起来构成闭合的量

? ? ?J ? J D ? ? 0, ?*? 并假设位移电流 J D 与电流 J 一样产
? ? B ? ? 0 ?J ? J D ? 。此式两边的散度都等于零,因
1

生磁效应,即把 ?@? 修改为

而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律
?? J ? ?? ? 0. 电荷密度 ? 与电场散度有关系式 ?t
??E ?

? . 两式合起来 ?0

?E ? ? 得: ? ? ? J ? ? 0 ? ? 0. 与 ?*? 式比较可得 J D 的一个可能表示式 ?t ? ?

?E . ?t 位移电流与传导电流有何区别: 位移电流本质上并不是电荷的流动,而是电场的变化。它说明,与磁场的变 化会感应产生电场一样, 电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是 电荷的流动而产生的。 JD ? ?0

知识点 3:电荷守恒定律的积分式和微分式,及恒定电流的连续性方程。

答:电荷守恒定律的积分式和微分式分别为: S

? J ? ds ? ?? ?t dV
V

?

??

? ?? ??J ? ?0 ?t

恒定电流的连续性方程为: ? ? J ? 0 知识点 4:在有介质存在的电磁场中,极化强度矢量 p 和磁化强度矢量 M 各的 定义方法;P 与 ? P ;M 与 j;E、D 与 p 以及 B、H 与 M 的关系。 答:极化强度矢量 p:由于存在两类电介质:一类介质分子的正电中心和负 电中心不重和,没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和,有分子电 偶极矩,但是由于分子热运动的无规性,在物理小体积内的平均电偶极矩为零, 因而也没有宏观电偶极矩分布。 在外场的作用下,前一类分子的正负电中心被拉 开, 后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性,因此都出现宏观电偶极矩分 布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量 P 描述,它等于物理小体积 ?V 内的
? 总电偶极矩与 ?V 之比, P ?

?p
?V

i

. p i 为第 i 个分子的电偶极矩,求和符号表示

对 ?V 内所有分子求和。 磁化强度矢量 M: 介质分子内的电子运动构成微观分子电流,由于分子电流取向的无规性,没有外 场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下,分子电流出现有规则取向,形成 宏观磁化电流密度 J M 。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电 流 i 的小线圈,线圈面积为 a,则与分子电流相应的磁矩为: m ? ia. 介质磁化后,出现宏观磁偶极矩分布,用磁化强度 M 表示,它定义为物理小体 积 ?V 内的总磁偶极矩与 ?V 之比,
2

M ?

?m
?V

i

.

? ? ? ? ? ? ? ? ? B ? P ? ? ? P, j M ? ? ? M , D ? ? 0 E ? P, H ? ?M

?0

知识点 5:导体表面的边界条件。 答:理想导体表面的边界条件为:
n ? E ? 0, ? n ? D ? ? , ? ? ? ? 。它们可以形象地 n ? H ? ?. ? ? n ? B ? 0. ?

表述为:在导体表面上,电场线与界面正交,磁感应线与界面相切。 知识点 6:在球坐标系中,若电势 ? 不依赖于方位角 ? ,这种情形下拉氏方程的 通解。 答 : 拉 氏 方 程 在 球 坐 标 中 的 一 般 解 为 :

? ?R,? , ? ? ? ? ? a nm R n ?
n,m

? ?

bnm ? m d nm ? m ? ?Pn ?cos? ? cos m? ? ? ? c nm R n ? n ?Pn ?cos? ?sin m? n ?1 R ? R ?1 ? n,m ?

Pnm ?cos? ? 式中 a nm , bnm , cnm和d nm 为任意的常数, 在具体的问题中由边界条件定出。

为缔合勒让德函数。若该问题中具有对称轴,取此轴为极轴,则电势 ? 不依赖于 方位角 ? ,这球形下通解为:

?=? ? a n R n ?
n

? ?

bn ? s ?, Pn ?c o ? s ? 为勒让德函数, an 和bn 是任意常数,由 ?Pn ?c o ? R n ?1 ?

边界条件确定。 知识点 7:研究磁场时引入矢势 A 的根据;矢势 A 的意义。 答:引入矢势 A 的根据是:磁场的无源性。矢势 A 的意义为:它沿任一闭 合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有 A 的环量才有 物理意义,而每点上的 A(x)值没有直接的物理意义。 知识点 8: 平面时谐电磁波的定义及其性质; 一般坐标系下平面电磁波的表达式。 答: 平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。它是传播方向 一定的电磁波, 它的波阵面是垂直于传播方向的平面,也就是说在垂直于波的传 播方向的平面上,相位等于常数。 平面时谐电磁波的性质: (1)电磁波为横波,E 和 B 都与传播方向垂直; (2)E 和 B 同相,振幅比为 v; (3 E 和 B 互相垂直,E×B 沿波矢 k 方向。

3

知识点 9:电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区别;电磁波在导体中的透 射深度依赖的因素。 答:区别:(1)在真空和理想绝缘介质内部没有能量的损耗,电磁波可以无 衰减地传播(在真空和理想绝缘介质内部) ; (2)电磁波在导体中传播,由于导 体内有自由电子,在电磁波电场作用下,自由电子运动形成传导电流,由电流产 生的焦耳热使电磁波能量不断损耗。 因此, 在导体内部的电磁波是一种衰减波 (在 导体中) 。在传播的过程中,电磁能量转化为热量。 电磁波在导体中的透射深度依赖于:电导率和频率。 知识点 10:电磁场用矢势和标势表示的关系式。

? ? B ? ?? A ?A 答:电磁场用矢势和标势表示的关系式为: ? E ? ??? ? ? ?t ?

知识点 11:推迟势及达朗贝尔方程。

答:推迟势为:

? ? x, t ? ? ?

?? x' ,t ? ?
4?? 0 r dv '

? ?

r? c?

r? ? J ? x' ,t ? ? ? c? ' A? x, t ? ? 0 ? ? dv 4? r

? 2 1 ?2 A ? A ? ? ?? 0 J ? c 2 ?t 2 ? 1 ? 2? ? ? 2 达朗贝尔方程为: ? ? ? ? 2 2 ? ? ?0 c ?t ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? A ? c 2 ?t ? 0 ? ? ? ?

知识点 12:爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理(或基本假设)是及其内容。 答: (1)相对性原理:所有的惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯 性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象,还是电磁现象,或 其他现象,都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动” 。相对性原理是被大量 实验事实所精确检验过的物理学基本原理。 (2)光速不变原理:真空中的光速相 对于任何惯性系沿任一方向恒为 c,并与光源运动无关。

知识点 13:相对论时空坐标变换公式(洛伦兹变换式)和速度变换公式。

4

x' ?

x ? vt 1? v2 c2

x?

x ' ? vt ' 1? v2 c2

y' ? y 答: 坐标变换公式 (洛伦兹变换式) :z ' ? z v x 2 ' c t ? v2 1? 2 c t?

y ? y' 洛伦兹反变换式:z ? z ' t' ? t? v ' x c2 v2 1? 2 c

? ? ' ux ? v ? ux ? vu ? 1 ? 2x ? c ? v2 ? uy 1? 2 ? ' c 速度变换公式: ?u y ? vu ? 1 ? 2x ? c ? v2 ? uz 1? 2 c ?u ' ? ? z vu 1 ? 2x ? c ?

知识点 14:导出洛仑兹变换时,应用的基本原理及其附加假设;洛仑兹变换同 伽利略变换二者的关系。 答:应用的基本原理为:变换的线性和间隔不变性。 基本假设为:光速不变原理(狭义相对论把一切惯性系中的光速都是 c 作为 基本假设,这就是光速不变原理) 、空间是均匀的并各向同性,时间是均匀的、 运动的相对性。 洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系:伽利略变换是存在于经典 力学中的一种变换关系, 所涉及的速率都远小于光速。洛仑兹变换是存在于相对 论力学中的一种变换关系,并假定涉及的速率等于光速。当惯性系 S ' (即物体) 运动的速度 V ?? c 时,洛伦兹变换就转化为伽利略变换,也就是说,若两个惯性 系间的相对速率远小于光速,则它以伽利略变换为近似。 知识点 15:四维力学矢量及其形式。 答:四维力学矢量为: ( 1 )能量-动量四维矢量(或简称四维动量) :
dx? dx? ? i ? p ? ? ? p, W ?(2)速度矢量:U ? ? ?? (3)动量矢量: p ? ? m0U ? (4) d? dt ? c ?

四维电流密度矢量:J ? ? ? 0U ? , J ? ? ?J , ic? ?(5) 四维空间矢量:x ? ? ?x, ict ?(6)

5

?A? ?A ? i ? 四维势矢量: A? ? ? A, ? ? (7)反对称电磁场四维张量: F?? ? ? ? (8) ?x ? ?x? ? c ?

w? ? 四维波矢量: k ? ? ? k , i ? c? ?

知识点 16:事件的间隔: 答:以第一事件 P 为空时原点(0,0,0,0);第二事件 Q 的空时坐标为: (x,y,z,t) ,这两事件的间隔为:

s 2 ? c 2t 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? c 2t 2 ? r 2 式中的 r= x 2 ? y 2 ? z 2 为两事件的空间距离。
两事件的间隔可以取任何数值。在此区别三种情况: (1)若两事件可以用光波联系,有 r=ct,因而 s 2 ? 0 (类光间隔) ; (2)若两事件可用低于光速的作用来联系,有 r ? ct ,因而有 s 2 ? 0 (类时间 隔) ; (a)绝对未来; (b)绝对过去。 (3)若两事件的空间距离超过光波在时间 t 所能传播的距离,有 r ? ct ,因而 有 s 2 ? 0 (类空间隔) 。 知识点 17:导体的静电平衡条件及导体静电平衡时导体表面的边界条件。 答:导体的静电平衡条件: (1)导体内部不带电,电荷只能分布在于导体表面上; (2)导体内部电场为零; (3)导体表面上电场必沿法线方向,因此导体表面为等势面。整个导体 的电势相等。 导体静电平衡时导体表面的边界条件: ? ? ?=常量; ?? ?? ? ?? . ? ? ?n 知识点 18:势方程的简化。 答:采用两种应用最广的规范条件: (1) 库仑规范: ? 辅助条件为 ? ? A ? 0. (2) 洛伦兹规范:
? 1 ?? ? 0. 辅助条件为: ? ? A ? 2 c ?t

6

? 2 ? ? 1 ?? 1 ? A ?2 A ? 2 ? ? ( ? ? A ? 2 ) ? ?? 0 J c ?t 2 c ?t 例如:对于方程组: (适用于一 ? ? ? 2 ? ? ? ?? A?? ?t ?0

般规范的方程组) 。
? ? 2 ? 1 ?2 A 1 ? ? 2 ?? ? ? ? 0 J ?? A ? 2 2 c ? t c ?t ? ? ? 若采用库仑规范,可得: ? ; ? 3? ? ? ? 0 ? ? ? (? ? A ? 0) ? ?
? 2 1 ?2 A ? A ? ? ?? 0 J ? c 2 ?t 2 ? 1 ? 2? ? ? 2 若采用洛伦兹规范,可得: ? ? ? ? 2 2 ? ? (此为达朗贝尔方程) 。 ?0 c ?t ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? A ? c 2 ?t ? 0 ? ? ? ?

知识点 19:引入磁标势的条件。 答:条件为:该区域内的任何回路都不被电流所环绕,或者说,该区域是没 ? ? j ?0 ? ? ? 有传导电流分布的单连通区域,用数学式表示为: ? H ? dL ? 0 ? ? ?L 知识点 20:动钟变慢:
S ' 系中同地异时的两事件的时间间隔,即 S ' 系中同一地点 x 2 ? x1 ,先后
' '

( t 2 ? t1 )发生的两事件的时间间隔 t 2 ? t1 在 S 系的观测:
(t 2 ? t1 ) ?
' '

'

'

'

'

? t 2 ? t1 ?

v ' ' x 2 ? x1 2 c v2 1? 2 c

?

?

? x 2 ? x1

'

'

? t 2 ? t1 ?

t 2 ? t1 1?

'

'

v2 v2 1 ? c2 c2 ?? 称为固有时,它是最短的时间间隔, ?t ? ?? .

?

??

(?? ? t 2 ? t1 )
' '

知识点 21:长度收缩(动尺缩短)
7

尺相对于 S ' 系静止,在 S ' 系中观测 l ' ? x 2 ? x1 在 S 系中观测 t 2 ? t1 即两端位 置同时测定 ? x 2 ? x1 ?
' '

'

'

'

x 2 ? x1 1? v2 c2

l ? l0 1 ?

v2 ' ' ( x 2 ? x1 ? l 0 , x 2 ? x1 ? l ) 2 c

l 0 称为固有长度,固有长度最长,即 l 0 ? l 。

知识点 22: 电磁场边值关系(也称边界上的场方程) ? ? n ? ( E 2 ? E1 ) ? 0, ? ? n ? (H 2 ? H1 ) ? ? , ? ? n ? ( D2 ? D1 ) ? ? , ? ? n ? ( B2 ? B1 ) ? 0. 知识点 26:相对论的实验基础: ①横向多普勒(Doppler)效应实验(证实相对论的运动时钟延缓效应) ; ②高速运动粒子寿命的测定(证实时钟延缓效应) ; ③携带原子钟的环球飞行实验 (证实狭义相对论和广义相对论的时钟延缓总效 应) ; ④相对论质能关系和运动学的实验检验(对狭义相对论的实验验证) .
? P ??E ? ; q 0 (此为微分表达式) 知识点 27:静电场是有源无旋场: ? ? ? E ? 0. ? ? ? B ? 0; 稳恒磁场是无源有旋场: ? ? (此为微分表达式) ? ? B ? ? 0 j.

? ? 2 ? uy 1? v 2 ' ? ' dy c ?u y ? dt ' ? 1 ? vu c 2 ; x ? ux ? v dx ' ? ' 知识点 28:相对论速度变换式: ? u x ? ' ? 其反变换式根据此式 vu x dt ? 1? 2 ? c ? v2 ? u 1 ? z ' c2 ? u ' ? dz ? . ? z dt ' 1 ? vu x c 2 ?
?u x ? 求 ?u y 。 ?u ? z
8

知识点 39:麦克斯韦方程组积分式和微分式,及建立此方程组依据的试验定律。 ? ? ? ? ?B E ? dl ? ? ? ? ds ? ?t L S ? ? ? ?? ?E ? ? B ? dl ? ? 0 ? ? j ? ? 0 ? ? ds ? ? t ? ? L S 答:麦克斯韦方程组积分式为: ? ? 1 E ? ds ? ? ? ?dV ?0 V S ? ? B ? ? ds ? 0
S

? ? ?B ?? E ? ? ?t ? ? ? ?E ? ? B ? ? 0 j ? ? 0? 0 麦克斯韦方程组微分式为: ?t ? ? ??E ? ? ??B ? 0 依据的试验定律为:静电场的高斯定理、静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中 的安培环路定理、磁场的高斯定理。

?0

三、典型试题分析
1、 证明题:
? 1、试由毕奥-沙伐尔定律证明 ? ? B ? 0

证 明 : 由 式 :

? B? 0 4?

J x ' ? r ' ?0 1 ' ' ? r 3 dv ? 4? ? J x ? ? r dv

? ?

? ?

又 知 :

1? ? 1 ? ? ? ? ?J x' ? ? ?? ? ? J x' , 因 此 r? ? r ? ?

? ?

? ?

B?

?0 J ?x ' ? ' ??? dv ? ? ? A 式中 4? r ? J ?x ' ?dv ' A? 0 ? 4? r



? ? B ? ? ? ?? ? A? ? 0 所以原式得证。

? ? ?A 2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式 E ? ??? ? . ?t

证:在一般的变化情况中,电场 E 的特性与静电场不同。电场 E]一方面受到电
9

荷的激发,另一方面也受到变化磁场的激发,后者所激发的电场是有旋的。因此 在一般情况下,电场是有源和有旋的场,它不可能单独用一个标势来描述。在变 化情况下电场与磁场发生直接联系,因而电场的表示式必然包含矢势 A 在内。
B ? ? ? A式代入? ? E ? ?
?A ? ?B ?A ? 得:? ? ? E ? 该式表示矢量 E ? 是无旋 ? ? 0, ?t ? ?t ?t ?

场,因此它可以用标势 ? 描述, E ?
? ? ?A 示式为: E ? ??? ? . 。即得证。 ?t

?A ? ??? 。因此,在一般情况下电场的表 ?t

3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式 l ? l 0 1 ?

v2 。 c2

答:用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示,设物
‘ 体沿 x 轴方向运动,以固定于物体上的参考系为 ? 。若物体后端经过 P1 点(第

一事件)与前端经过 P2 点(第二事件)相对于 ? 同时,则 P1 P2 定义为 ? 上测得的
' ‘ 物体长度。物体两端在 ? 上的坐标设为 x1' 和x2 。在 ? 上 P1 点的坐标为 x1 , P2 点

的坐标为 x 2 , 两端分别经过 P1 和 P2 的时刻为 t1 ? t 2 。 对这两事件分别应用洛伦兹 变换式得
x1' ? x1 ? vt1 v2 1? 2 c
' , x2 ?

x 2 ? vt 2 v2 1? 2 c

, 两 式 相 减 , 计 及 t1 ? t 2 , 有

' x2 ? x1' ?

x 2 ? x1 v2 1? 2 c

?*?. 式中 x2 ? x1 为 ? 上测得的物体长度 l(因为坐标 x1和x2 是在 ?

' ‘ ‘ ? x1' 为 ? 上同时测得的) , x2 上测得的物体静止长度 l 0 。由于物体对 ? 静止,

' 所以对测量时刻 t1' 和t 2 没有任何限制。由 ?*? 式得 l ? l 0 1 ?

v2 。 c2

? 4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系 E ? ???.

答:由于静电场的无旋性,得: ? E ? dl ? 0 设 C1 和C 2 为由 P1点到P2点 的两条不 同路径。 C1与-C2 合成闭合回路,因此
C1

? E ? dl ? ? E ? dl ? 0
C2

10


P 1点移至P 2点

C1

? E ? dl ? ? E ? dl
C2

















场 与 对 路 它 而只和两端点有关。把单位正电 径 所无 作关 的, 功
P2

荷由 P1点移至P2 , 电场 E 对它所作的功为:

P1

? E ? dl, 这功定义为 P 点和P 点 的电
1 2
P2

势差。若电场对电荷作了正功,则电势 ? 下降。由此,? ?P2 ? ? ? ?P1 ? ? ? ? E ? dl 由
P 1

这定义, 只有两点的电势差才有物理意义,一点上的电势的绝对数值是没有物理 意义的。 相 距 为
d? ?

dl

的 两 点 的 电 势 差 为

d? ? ? E ? dl. 由 于

?? ?? ?? dx ? dy ? dz ? ?? ? dl, 因此,电场强度 E 等于电势 ? 的负梯度 ?x ?y ?z

E ? ???.
? ? 试由恒定磁场方程证明矢势 A 的微分方程 ? 2 A ? ? ?j 。

5、

1 )( 在 均 匀 线 性 介 质 内 ) 答 : 已 知 恒 定 磁 场 方 程 ? ? B ? ? 0 J( ,把

B ? ? ? A(2)代入( 1 ) 得矢势 A 的微分方程 ? ? ?? ? A? ? ?J . 由矢量分析公式
? ? ?? ? A? ? ??? ? A? ? ? 2 A. 若取 A 满足规范条件 ? ? A ? 0 , 得矢势 A 的微分方



? 2 A ? ? ?J .

?? ? A ? 0?

6、试由电场的边值关系证明势的边值关系 ? 2
? n? 证:电场的边值关系为: ? n?

?? 2 ?? ? ? 1 1 ? ?? . ??1 ?n

?E ? ?D
?

2 2

? ? E1 ? 0, ?$ ? , ?*? 式可写为 D2 n ? D1n ? ? ?@? ? ? D1 ? ? .?*?

? ?

? ? ? 式中 n 为由介质 1 指向介质 2 的法线。 利用 D ? ?E及E ? ??? ,可用标势将 ?@?

表为:

?2

?? 2 ?? ? ? 1 1 ? ?? . ??1 ?n

11

势的边值关系即得证。 7、试由静电场方程证明泊松方程 ? 2? ? ?

? 。 ?

? ? ? E ? 0, (1) 答:已知静电场方程为: ? 并知道 E ? ???.(3) 在均匀各向同性线 ?? ? D ? ? .( 2)

性介质中, D ? ?E ,将(3)式代入(2)得 ? 2? ? ? 于是得到静电势满足的基本微分方程,即泊松方程。

? , ? 为自由电荷密度。 ?

8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。 ? ( x) ? ? ? E ( x) ? ? ?0 ? ? B?x ? ? ? ? E ( x ) ? ? 答:麦克斯韦方程组 ? 表明,变化的磁场可以激发 ?t ? ? ? B?x ? ? 0 ? ?E ? x ? ?? ? B ? x ? ? ? 0 j ? x ? ? ? 0 ? 0 ?t ? 电场, 而变化的电场又可以激发磁场, 因此, 自然可以推论电磁场可以互相激发, 形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到,在真空的无源区域,电荷 密度和电流密度均为零, 在这样的情形下,对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度 ??? ? B?x ?? 并利用第一个方程,得到 -? 2 E ( x) ? ? ,再把第四个方程对时间求 ?t 导,得到
??? ? B?x ?? ? 2 E ?x ? ??? ? B?x ?? ? ? 0 ?0 ,从上面两个方程消去 ,得到 2 ?t ?t ?t

? 2 E ?x ? ? E ?x ? ? ? 0 ? 0 ? 0 。这就是标准的波动方程。对应的波的速度是 ?t 2
2

1

? 0 ?0
9、

? c.

试 由 麦 克 斯 韦 方 程 组 证 明 电 磁 场 的 边 界 条 件 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? E 2 ? E1 ? 0; n ? D2 ? D1 ? ? ; n ? B2 ? B1 ? 0. ? ? ? ? D ? ds ? ? ?dV

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? 解: 即:?Sn ? D2 ? ?Sn ? D1 ? ??S . ? ? ? ? n ? D2 ? D1 ? ? f

S

V

?

?

D2 n ? D1n ? ?
12

? ? 对于磁场 B, 把 ? B ? ds ? 0 应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上, 重复以
S

? ? ? 上推导可得: B2 n ? B1n即:n ? B2 ? B1 ? 0

?

?

作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路,矩形回路所在平面与界面 垂直,矩形长边边长为 ?l ,短边边长为 ?l ' 。因为 ? E ? dl ? 0 ,作沿狭长矩形的 E 的路径积分。由于 ?l ' 比 ?l 小得多,当 ?l ' ? 0 时,E 沿 ?l ' 积分为二级小量,忽 略 沿 ?l ' 的 路 径 积 分 , 沿 界 面 切 线 方 向 积 分 为 : E 2t ?l ? E1t ?l ? 0
? ? ? E 2t ? E1t ? 0, ?*? 。 ?*? 可以用矢量形式表示为: E2 ? E1 ? t ? 0?@?

即:

?

?

式中 t 为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。 令矩形面法线方向单位矢量为 t ' ,它与界面相切,显然有 t ? n ? t ' ?#? 将 ?#?式代入?@?式 , 则

?E
?

2

? ? ? ? E1 ? n ? t ' ? 0, ?$? , 利 用 混 合 积 公 式

??

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A ? B ? C ? C ? A ? B ,改写 ?#? 式为:t ' ? E 2 ? E1 ? n ? 0 此式对任意 t ' 都成立,

?

?

?

?

??

? ?

因此

?E
?

2

? ? ? E1 ? n ? 0 ,此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。

?

? ? 10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程 ? 2 E ? k 2 E ? 0

答:从时谐情形下的麦氏方程组 推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下,有
D ? ?E, B ? ?H ,把时谐电磁波的电场和磁场方程:
E ? x, t ? ? E ? x ?e ? iwt , B ? x, t ? ? B ? x ?e ?iwt .

代入麦氏

?B ? ?? ? E ? ? ?t , ? ?D ? , 消去共同因子 e ? iwt 后得 方程组 ? ? ? H ? ? t ? ? ? D ? 0, ? ? ? ? ? B ? 0.

? ? ? E ? iw?H , ?? ? H ? ?iw?E , ? 在此注意一点。 ? ? ? ? E ? 0, ? ? ? ? H ? 0.

在 w ? 0 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度,由于
? ? ?? ? E ? ? 0 ,因而 ? ? H ? 0 ,即得第四式。同样,由第二式可导出第三式。在

此,在一定频率下,只有第一、二式是独立的,其他两式可由以上两式导出。 取 第 一 式 旋 度 并 用 第 二 式 得
? ? ?? ? E ? ? w 2 ??E



13

?? 2 E ? k 2 E ? 0, ? ? ?? ? E ? ? ??? ? E ? ? ? 2 E ? ?? 2 E , 上式变为 ? 此为亥姆霍兹方 ? k ? w ?? .

程。 11、 试用边值关系证明:在绝缘介质与导体的分界面上,在静电的情况下, 导体外的电场线总是垂直于导体表面;在恒定电流的情况下,导体内的电场 线总是平行于导体表面。 ? 证明: ( 1 ) 导 体 在 静 电 条 件 下 达 到 静 电 平 衡 , 所 以 导 体 内 E1 ? 0 , 而 :
? ? ? ? ? ? n ? ( E 2 ? E1 ) ? 0,? n ? E 2 ? 0, 故E 0 垂 直 于 导 体 表 面 。
? ? (2)导体中通过恒定的电流时,导体表面 ? f ? 0. ?导体外E 2 ? 0, 即:D2 ? 0 。
? ? ? ? ? ? ? ? ? 而: n ? ( D2 ? D1 ) ? ? f ? 0, 即:n ? D1 ? n ? ? 0 E1 ? 0 , ? n ? E1 ? 0 。 导体内电场

方向和法线垂直,即平行于导体表面。 ? ? ? 12、 设 A和? 是满足洛伦兹规范的矢势和标势,现引入一矢量函数 Z ?x , t ?(赫
? 1 ?Z ? . 兹矢量) ,若令 ? ? ? ? Z , 证明A ? 2 c ?t
? 证明: A和? 满足洛伦兹规范,故有

? ?? ? ?? ? Z代入洛伦兹规范,有:

? 1 ?? ?? A? 2 ? 0. c ?t

? ? 1 ? ? ? ? 1 ?Z ? ? ?? A? 2 ? ? ? ? Z ? 0, 即? ? A=? ? ? ? c 2 ?t ? ?t c ? ? ? ? 1 ?Z ?A? 2 . c ?t

?

?

2、 计算题:
1、真空中有一半径为 R0 接地导体球,距球心为 a?a ? R0 ? 处有一点电荷 Q,求 空间各点的电势。 解:假设可以用球内一个假想点电荷 Q ' 来代替球面上感应电荷对空间电场的作 用。由对称性,Q ' 应在 OQ 连线上。关键是能否选择 Q ' 的大小和位置使得球面上

?=0 的条件使得满足?

14

考虑到球面上任一点 P。边界条件要求

Q Q' ? ? 0. 式中 r 为 Q 到 P 的距离, r r'
r' Q' ?? ? 常数。( 1 ) 由图可看 r Q

r '为Q '到P的距离。 因此对球面上任一点,应有

出,只要选 Q ' 的位置使 ?OQ ' P ~ ?OPQ, 则
r ' R0 = ? 常数。(2) 设 Q ' 距 球 心 为 b , 两 三 角 形 相 似 的 条 件 为 r a
R R2 R b ? 0 , 或b ? 0 .?3? 由(1)和(2)式求出 Q ' ? ? 0 Q.( 4) (3)和(4)式确 R0 a a a

定假想电荷 Q ' 的位置和大小。 由 Q 和镜象电荷 Q ' 激发的总电场能够满足在导体面上 ?=0 的边界条件,因此 是 空 间 中 电 场 的 正 确 解 答 。 球 外 任 一 点
? 1 ? Q R0 Q ? 1 ? Q ?= ? ? ? ' ? ? 4?? 0 ? r ar ? 4?? 0 ? R 2 ? a 2 ? 2 Ra cos? ? ?

p
R0 Q

的 电 势 是 :

? a ? 式中 r 2 2 R ? b ? 2 Rb cos? ? ? ?

为由 Q 到 P 点的距离, r ' 为由 Q ' 到 P 点的距离,R 为由球心 O 到 P 点的距离,

?为OP与OQ的夹角。
2、两金属小球分别带电荷 ? 和 -? ,它们之间的距离为 l ,求小球的电荷(数值 和符号)同步地作周期变化,这就是赫兹振子,试求赫兹振子的辐射能流,并讨 论其特点。 ? ? 1 ? ? B? P e ikR sin ?e? , 3 4?? 0 c R 解:可知赫兹振子激发的电磁场: (取球坐标原点在 ? ? 1 ? ? ikR E? P e sin ?e? . 4?? 0 c 2 R 电荷分布区内, 并以 P 方向为极轴, 则可知 B 沿纬线上振荡, E 沿径线上振荡。 ) 。 赫 兹 振 子 辐 射 的 平 均 能 流 密 度 为 :
? 1 ? ? ? ? ? p ? ? c c ?2? S ? Re E * ? H ? Re B * ? n ? B ? B n? s 2 2? 0 2? 0 32? 2 ? 0 c 3 R 2

?

?

??

? ?

2

2

? i n. n

?

因子 sin 2 ? 表示赫兹振子辐射的角分布,即辐射的方向性。在 ? ? 90 0 的平面上辐 射最强,而沿电偶极矩轴线方向 ?? ? 0和? ? 没有辐射。

15

3、已知海水的 ? r ? 1, ? ? 1s ? m ?1 试计算频率 v 为 50、 10 6 和 10 9 Hz 的三种电 磁波在海水中的透入深度。 解 : 取 电 磁 波 以 垂 直 于 海 水 表 面 的 方 式 入 射 , 透 射 深 度

?=

1

?

?

2

???

? ?r ? 1 ? ? ? ? 0 ? r ? ? 0 ? 4? ? 10 ?7 ?1 ? v ? 50 Hz时:? 1 ? 2 ? v ? 10 6 Hz时:? 2 ? 3 ? v ? 10 9 Hz时:? 3 ? 2 2 ? 72 m 2? ? 50 ? 4? ? 10 ?7 ? 1 2 ? 0.5m 2? ? 10 ? 4? ? 10 ?7 ? 1
6

???
2

? ? ?

???
2

???

2 ? 16 mm 2? ? 10 ? 4? ? 10 ?7 ? 1
9

4、电荷 Q 均匀分布于半径为 a 的球体内,求各点的电场强度,并由此直接计算 电场的散度。 解:作半径为 r 的球(与电荷球体同心) 。由对称性,在球面上各点的电场强度 有相同的数值 E,并沿径向。当 r ? a时, 球面所围的总电荷为 Q,由高斯定理得

? E ? ds ? 4?r
因而

2

E?

Q

?0
2

, Qr 4?? 0 r 3 .?r ? a ??@ ?

E?

Q 4?? 0 r

, 写成矢量式得

E?

4 3 4 3 Q Qr 3 ? 3 . 若 r ? a, 则球面所围电荷为: ?r ? ? ?r 4 3 3 3 a ?a 3

应用高斯定理得: ? E ? ds ? 4?r 2 E ? 由此得 E ?
Qr .?r ? a ??*? 4?? 0 a 3

Qr 3 . ? 0a3

现在计算电场的散度。当 r ? a时 E 应取 ?@? 式,在这区域 r ? 0 ,由直接计算可 得
?? r ? 0, ?r ? 0? r3
??E ? Q 4?? 0 ?? r ? 0.?r ? a ? r3
16

因而

当 r ? a时 E 应取 ?*? 式, 由直接计算得

??E ?

Q 4?? 0 a
3

??r ?

3Q ? ? .?r ? a ? 3 ?0 4?? 0 a

5、一半径为 R 的均匀带电球体, 电荷体密度为 ? , 球内有一不带电的球形空腔, 其半径为 R1 ,偏心距离为 a, ( a ? R1 ? R )求腔内的电场。 解:这个带电系统可视为带正电 ?? ? ? 的 R 球与带负电的 ?? ? ? 的 R1 球的迭加而 成。因此利用场的迭加原理得球形空腔的一点 M 之电场强度为: ? ? ? ?? ? ? ? ' E? r? r 3? 0 3? 0

? 3? 0 ? ? 3? 0
?

? ? ?r ?r ?
'

? a

6、无穷大的平行板电容器内有两层介质,极板上面电荷密度为 ? ? f 和束缚电荷分布。

求电场

? n ? ?E 2 ? E1 ? ? 0, ?n ? ?H ? H ? ? ? , ? 2 1 解:由对称性可知电场沿垂直于平板的方向,把 ? ?*? 应用于下 ? n ? D ? D 2 1? ? ?, ? ? ? n ? ?B2 ? B1 ? ? 0.
板与介质 1 界面上,因导体内场强为零,故得 D1 ? ? f . 同样把 ?*? 式应用到上板 与介质 2 界面上得 D2 ? ? f . 由这两式得
E1 ?

?f ?f , E2 ? . 束缚电荷分布于 ?1 ?2

介 质 表 面 上 。 在 两 介 质 界 面 处 , ? f ? 0 , 由 ? 0 ?E 2 n ? E1n ? ? ? f ? ? p 得

? p ? ? 0 ?E 2 ? E1 ? ? ? ?
在 介 质 1

? ?0 ??2

?

?0 ? ?? f . ?1 ? ?

与 下 板 分 界 处 , 由 ? 0 ?E 2 n ? E1n ? ? ? f ? ? p 得
? ?

? 'p ? ?? f ? ? 0 E1 ? ?? f ? ?1 ?
在介质 2 与上板分界处,

?0 ? ?, ?1 ? ?

? 'p' ? ? f ? ? 0 E 2 ? ? f ? ?1 ?
?

?

?0 ? ?. ?2 ? ?
17

容易验证, ? p ? ? 'p ? ? 'p' ? 0, 介质整体是电中性的。 7、截面为 S ,长为 l 的细介质棍,沿 X 轴放置,近端到原点的距离为 b ,若极 ? ? 化强度为 kx ,沿 X 轴 P ? k xi 。求:

?

?

(1) 求每端的束缚电荷面密度 ? ; (2)求棒内的束缚电荷体密度 ? 。 (3)总束 缚电荷。 解: (1)求 ?‘ 在棍端 P2 n ? P1n ? ?? ' P2 ? P2 n ? 0,P1n ? ? ',P ? kx
' ?A ? ?P1n ? A ? ? P / x ? b ? ? k b ' ?B ? ?P1n ?B ? P / x ? b ? 1 ? k (b ? l )

(2) 求 ? ' 由

? ' ? ?? ? P,P ? k xi ?' ? ?
dp ? ?k dx

?

?

?

' ' ?S ? ? ' Sl ? ?k ?b ? l ? ? kb?S ? ksl ? 0 ?? A (3) 求 q ' q ' ? ?? B

8、两块接地的导体板间的夹角为 ? ,当板间放一点电荷 q 时,试用镜像法就

?=90 0 、 60 0 的情形分别求其电势。
解:设点电荷 q 处于两导体面间 ?R, 0 ? 一点,两导体面间夹角为 ? ,各象电荷处
? 在以 R 为半径的圆周上,它们的位置可用旋转矢量 R 表示,设 q 及其各个象电
? ? ??, 荷的位置矢为 R0、R1、 则有
R0 ? Re i? ,

? ? ? ? R1 ? R0 e i?2?? ?? ? ? Re i ?2? ?? ? ,R2 ? R0 e ? i?2? ? Re ? i? , ? ? R3 ? R1e ?i?2?2? ?? ? ? Re ?i ?2? ?? ? , ? ? R4 ? R2 e i?2?? ?? ? ? Re i ?2? ?? ? , ? ? R5 ? R3 e i?2?2? ?? ?? ? ? Re i ?4? ?? ? , ? ? R6 ? R4 e ?i?2?2? ?? ? ? Re ?i ?2? ?? ? , ? ? R7 ? R5 e ?i?2?4? ?? ? ? Re ?i ?4? ?? ? , ? ? R8 ? R6 e i?2?2? ?? ?? ? ? Re i ?4? ?? ? .

18

??
1)

?

? ? ? ? ? 2? ? ?? ? ? ?,e i ?? ?? ? ? e ?i ?? ?? ?,
? ? ? R4 ? R3, 象电荷只有 3 个,各象电荷所处在的直角坐标为:

? ? ,R1 ? Re i ?? ?? ? ,R2 ? Re ?i? , 2 ? ? R3 ? Re ?i ?? ?? ? ,R4 ? Re i ?? ?? ? ,

x1 ? ? R cos?,x 2 ? R cos?,x3 ? ? R cos?, y1 ? R sin ?,y 2 ? -R sin ?,y 3 ? ? R sin ? .

??

q ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 4?? 0 ? ? r r1 r2 r3 ?

式中 r ?

?x ? R cos? ?2 ? ? y ? R sin ? ?2 ? z 2 ,

空间任意一点的电势 r1 ?
r2 ? r3 ?

?x ? R cos? ?2 ? ? y ? R sin ? ?2 ? z 2 , ?x ? R cos? ?2 ? ? y ? R sin ? ?2 ? z 2 , ?x ? R cos? ?2 ? ? y ? R sin ? ?2 ? z 2 .

? 2? ? i? ?? ? ? ? ? 3 ? ?= ,R1 ? Re ,R2 ? Re ?i? . 3 ? 2? ? ? 2? ? ?i ? ?? ? ?i ? ?? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? R3 ? Re ,R4 ? Re ,

?

? 4? ? ? 2? ? i? ?? ? ?i ? ?? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ,R6 ? Re . 2) R 5 ? Re ?i ? ? 2? ? 4? ? ?? ?? ? ? ? ? ? 2?,e ? ? 3 ? 3 ? 2? ? ?? ? 3 ?

?e

? 4? ? i? ?? ? ? 3 ?



? ? R6 ? R5, 象电荷只有 5 个。各象电荷所在处的直角坐标为:

19

? 2? ? ?? ? x1 ? R cos? ? ? ? ? ? R cos? ? ? ?, ? 3 ? ?3 ? x 2 ? R cos?, ? 2? ? ?? ? y1 ? R sin? ? ? ? ? R sin? ? ? ?,y 2 ? ? R sin ? , ? 3 ? ?3 ? ? 2? ? ?? ? x3 ? R cos? ? ? ? ? ? R cos? ? ? ?, ? 3 ? ?3 ? ? 2? ? ?? ? x 4 ? R cos? ? ? ? ? ? R cos? ? ? ?, ? 3 ? ?3 ? ? 2? ? ?? ? y 3 ? ? R sin? ? ? ? ? ? R sin? ? ? ?, ? 3 ? ?3 ? ? 2? ? ?? ? y 4 ? R sin? ? ? ? ? R sin? ? ? ?, ? 3 ? ?3 ? ? 4? ? ?? ? x5 ? R cos? ? ? ? ? ? R cos? ? ? ?, ? 3 ? ?3 ? ? 4? ? ?? ? y 5 ? R sin? ? ? ? ? ? R sin? ? ? ?. ? 3 ? ?3 ? q ?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4?? 0 ? ? r r1 r2 r3 r4 r5 ? 各个 r 由相应的象电荷坐标确定。

??

9、在一平行板电容器的两板上加 U ? v0 cos wt 的电压,若平板为圆形,半径为 a,板间距离为 d,试求
? (1) 、两板间的位移电流 j D ;

(2) 、电容器内离轴 r 处的磁场强度; (3) 、电容器内的能流密度。 ? ? ? ?v w ?D ?E ?E ? ? U ? ? ?U jD ? ?? , jD ? ? ?? ? ?? ? ? 0 Sinwt ?t ?t ?t ? ? d ? d ?t d 解: (1) ? ?v w ? ? j D ? j D e z ? ? 0 Sinwte z d

20

? ? H ? ? d l ? ?I D 2?rH ? j D ?r 2

?v w jD r ? ? 0 rSinwt 2 2d (2) ? ?v w ? H ? ? 0 rSinwte? 2d r ? a时, ? ?v w ? H a ? ? 0 aSinwte? 2d
H?
2 ? ? ??a 2 v0 w u SinwtCoswt (3) ?? E ? H ? ds ? 2?ad H a ? 2?au H a ? d d s侧

?

?

10、静止长度为 l 0 的车厢,以速度 v 相对于地面 S 运行,车厢的后壁以速度为 U 0 向前推出一个小球,求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 ? ?? 解:S 系的观察者看到长度为 l 0 1 ? ? 2 的车厢以 v ?v ? vi ? 运动,又看到小球以
? ? u ? ui 追 赶 车 厢 。 ? 小 球 从 后 壁 到 前 壁 所 需 的 时 间 为 :
2 vu ? u 0 ? v ? v? ?1 ? 0 2 ? u 0 1 ? v 2 u0 ? v c ? ?? c , ?t ? 。u ? ,u ? v ? vu0 vu0 vu0 u?v 1? 1? 1? c2 c2 c2 vu ? l0 ? ?1 ? 0 2 ? 1 v ' c ? ? ' ? ' ' ' ? ? ?t ? 或t 2 ? t1' ? l 0 u 0 ,t 2 ? t1 ? ? t 2 ? t1 ? 2 x 2 ? x1 ? 2 2 2 2 c ? x2' ? x1' ?l0 u0 1 ? v c 1? v c ?

l0 1 ? v

2

c2

?

?

?

?

?

?

?

? l0 l0 v ? ? 2 l0 ? ? ? v 2 ?u0 c ? u 1 ? v 2 2 0 1? c c2 1

? vu0 ? ?1 ? 2 ? c ? ?

? 11、求无限长理想的螺线管的矢势 A (设螺线管的半径为 a,线圈匝数为 n,通
? ?' ? ? ?0 J x ? ? dV ',J x ' dV ' ? Idl 。 解:分析: A ? ? 4? V r ? ? ? ? ? ? A ? dl ? ? B ? ds ,又对于理想的无限长螺线管来说,它的B为:? 0 nI

电电流为 I)

? ?

? ?

l

s

? ? nI ? B ? ? 0 nI (1)当 r ? a 时,可得: 2?rA ? ?r 2 B ?? ? ?? 2?rA ? ?r 2 ? 0 nI ? A ? 0 re y 2

21

? ? nIa 2 1 ? (2)当 r ? a 时,同理可得: 2?rA ? ?a 2 B ? 2?rA ? ?a 2 ? 0 nI ? A ? 0 ey 2 r

12、在大气中沿+Z 轴方向传播的线偏振平面波,其磁场强度的瞬时值表达式
? ? ? ? ? H ? J 2 ? 10 ?5 cos?10 7 ?t ? ? k 0 z ? A 4 ? ? m

? (1) 求 k 0 。 (2)写出 E 的瞬时值表达式

解: ?1?k 0 ?

w 10 ? ? ; ? ? 8 ? ? v 3 ? 10 30 ? ? ? E ? i 24? ? 10 ? 4 cos?10 7 ?t ? ? k 0 z ? 4 ? ?
7

?2? E

?

? ? ? ? v ? ? H ? 24? ? 10 ? 4 cos?10 7 ?t ? ? k 0 z ? 4 ? ?

13、内外半径分别为 a 和 b 的球形电容器,加上 v ? v0 cos wt 的电压,且 ? 不大, 故 电 场 分 布 和 静 态 情 形 相 同 , 计 算 介 质 中 位 移 电 流 密 度 jD 及 穿 过 半 径 R ?a ? R ? b ? 的球面的总位移电流 J D 。 解:位移电流密度为:
? ? ? ?E jD ? ? 0 , 又E ? ?t ? ? j D ? ?? 0 v cos wt v ? 0 b?a b?a R? R? 2 2

v0 w sin wt b?a R? 2

穿 过 半 径

R

?a ? R ? b?

的 球 面 的 总 位 移 电 流 JD 为 :

? ? 4?R 2 v 0 w? 0 J D ? j D 4?R 2 ? ? sin wt b?a R? 2

14 、 证 明 均 匀 介 质 内部 的 体 极 化 电 荷 密 度 ? p 总 是 等 于 体 自 由 电 荷密 度 的
? ? ? ? ?1 ? 0 ? 倍。 ? ? ? ? ? ? ?f ? ? ? ? ??1 ? 0 ? ? f 证: ? P ? ?? ? P ? ?? ? ?? ? ? 0 ?E ? ??? ? ? 0 ?? ? E ? ??? ? ? 0 ? ? ? ? ?

即证明了均匀介质内部的体极化电荷密度 ? p 总是等于体自由电荷密度。

22

15、一根长为 l 的细金属棒,铅直地竖立在桌上,设所在地点地磁场强度为 H , 方向为南北, 若金属棒自静止状态向东自由倒下,试求两端同时接触桌面的瞬间 棒内的感生电动势,此时棒两端的电势哪端高? 解:金属棒倒下接触桌面时的角速度 w 由下式给出 1 2 l 1 ,g 为重 Iw ? mg 式中为棒的质量,I 为棒绕端点的转动惯量( ml 2 ) 3 2 2 力加速度,代入得
3g 1 2 2 ml w ? m g l ,? w ? l 3

棒接触桌面时的感生电动势为:
? ?

? ? ? E ? dl ? ? v ? B ? dl ? ? wx? 0 Hdx ? w? 0 H ? xdx ?
0 0

?? ?
?

?

l

l

3g l2 3 ?0 H ? gl 3 ? 0 H l 2 2

此时棒的 A 点电动势高。 16、点电荷 q 放在无限大的导体板前,相距为 a,若 q 所在的半空间充满均匀的 电介质,介质常数为 ? ,求介质中的电势、电场和导体面上的感生面电荷密度。 解:设象电荷 q ' 位于 ?? a ' ,0,0?, 尝试解为: ? ? 1) 求 q '与a ' 设在导体板上, ? ?
1 4? ? q q' ? ? ? ?R ? R ' ? ??c ? ? 1 4? ? q q' ? ? ? ?r ? r ' ? ?, x ? 0 ? ?

当R, R ' ? ?, ? ? 0,? c ? 0. q q q' q ? ' ? 0, ' ? ? . ?R R ?R R R ? a2 ? y2 ? z2 , R' ? a' ? y2 ? z2
2

? 2 ?a 2 ? y 2 ? z 2 ?q ' ? a ' ? y 2 ? z 2 q 2
2 2

?

?

此式对任何 y、z 都成立,故等式两边 y、z 的对应项系数应相等, 2 q 即:? 2 q ' ? q 2 ,? q ' ? ? ,

?

2 ? q? 又 ? a q ? a q ,? a ? ? ? ? a' q2 , ? ?? ? a ' ? a. 2 2 '2 '2 2 2 2

2



??

q ?1 1 ? ? ? ? 4?? ? r r ' ?

23

r 2 ? ?x ? a ? ? y 2 ? z 2 , r ' ? ?x ? a ? ? y 2 ? z 2 .
2 2

(2)求 E

Ex ? ? ?

?? q ?? ?x 4??

?? ? ?? ?? ?r

1 ? ?r ? ? 1 ? ?r ' ? ? ?? ? ? r ? ?x ? ?x ' r ' ? ?x ?

(3)求 ?

q ?x?a x?a? ? 3 ? ? 4?? ? r 3 r ?

D2 n ? D1n ? ? , D1n ? 0. ? ? ? D x / x ?0 ? ?E x / x ?0 ? ? qa 2?R 3

17、设有两根互相平行的尺,在各自静止的参考系中的长度为 l 0 ,它们以相同速 率 v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子,求站在一根尺上 测量另一根尺的长度。 解: S ' 系观察到 S '' 的速度

v '' ?

?v?v 1 ? v?? v ?

? c2

? 2v 2 1? v 2 c

? S ' 测得 S '' 的尺子长度是

l ? l0 1 ?

?

4v 2 2 1? v

? c
2

?

l0 c 2 ? v 2 c2 ? v2

?

?

只与相对运动的速度的绝对值 ?运动尺的收缩,

有关,? S '' 测得 S ' 的尺子长度也是

l0 c 2 ? v 2 。 c2 ? v2

?

?

18、两束电子作迎面相对运动,每束电子相对于实验室的速度 v ? 0.9c ,试求: (1)实验室中观察者观察到的两束电子之间的相对速度; (2) 相对于一束电子静止的观察者观察的另一束电子的速度。 解: (1)实验室系统中,电子束相对速度为 0.9c+0.9c=1.8c, (2) 相对于一束电子静止的系统中,相对速度 u ?
2v 代入 v ? 0.9c 得: v2 1? 2 c

u ? 0.994 c
? ? 19、设有一随时间变化的电场 E ? E 0 cos wt ,试求它在电导率为 ? ,介电常数为

? 的导体中,引起的传导电流和位移电流振幅之比,从而讨论在什么情况下,传
导电流起主要作用,什么情况下位移电流其主要作用。 ? ? 解 : 可 知 传 导 电 流 为 : j ? ?i , 位 移 电 流 为 :
? ? ? ?E ? ? jD ? ? ?? E 0 cos wt ? ??w sin wtE 0 .? ?t ?t

?

?

? j ? ? ? 。当 ? ?? ?w 时,传导电流 j D ?w
24

起主要作用;当 ? ?? ?w 时,位移电流起主要作用。 ? ? ? ? ? ? ? 20、 已知矢势 A ? 5( x 2 ? y 2 ? z 2 )i , 求 B , 若 A? ? A ? 5 j ? 6 k

? ? ,A与A?



否对应同一电磁场。 解: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B ? ? ? A ? ( i ? j ? k ) ? 5 x 2 ? y 2 ? z 2 i ? 10 zj ? 10 yk ?x ?y ?z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 2 ? 而? ? A ' ? ? i ? j ? k ? 5 x ? y ? z i ? 5 j ? 6 k ? 10 z j ? 10 y k ? ? ? A . ? ?x ?y ?z ? ? ? ? ? ? 矢势A与A '为同一电磁场。

??

??

??

?

?

21、电荷 -e 固定在球坐标的原点,另一电荷 Z 轴上运动,其方程 Z ? ae?bt ,其 中 a、b 均为常数,试求: (1) 此电荷系统的电矩; (2) 辐射场强; (3) 辐射平均功率 ? ? ? ?=ezk ? eae? bt e z 解: (1) ? (e z 为Z轴正方向的单位矢量)
B ? B? ?

? 0 ? p ???Sin? 4? cr
? r? ?b ? t ? ? c?

? eab2 e ? ? 0 cr (2) 4? ? ?0 H 2
E ? E? ? 1

Sin?

? p ???Sin?
c r
2

4?? 0

?

eab e 4?? 0 c2r

1

2

? r? ?b ? t ? ? ? c?

Sin?

(3)辐射功率 P 为:
t? ? e 2 a 2 b 4 ? 2b? ? c? P ? ?? E 0 H ? ds ? e 24?? 0 c 3 S ? r?

? ? ? ? 22、矢势 A ? ? B0 yi ,A ' ? B0 xj ,其中 B0 为常数,它们对应着同一磁场,因此,
? ? A' ? A ? ?? 求式中的标量函数 ? 。

? ? ? ? ?? ? B0 xy ? f ?z ? 解:? ?? ? A ' ? A ? B0 yi ? B0 xj , ? ? ? ? 23、已知时变电磁场 E ? E 0 cos?kz ? wt ?i , B ? B0 cos?kz ? wt ? j ,试从电磁场方程

求常数 E 0 与B0 之间满足的关系。
25

? ? ?B ??E ?? , ?1? ?t ? ? ?D ? ? J , ?2 ? 解:一般情况下,电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组: ? ? H ? ?t ? ? ? D ? ? , ?3? ? ? ? B ? 0.?4 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?x i ? ?y j ? ?z k ? ? ? E 0 cos?k z ? wt ?i ? ? ?t B0 cos?k z ? wt ? j ? 由(1)式得: ? ? ? w 即:k E0 sin?k z ? wt ? j ? B0 sin?k z ? wt ?wj ? E 0 ? B0 k

?

?

?

?

24 、 有 一 带 电 粒 子 在 原 点 附 近 作 简 谐 振 动 , 且
Z ? Z 0 e ?i?t ?Z 0、w为常数,设Z 0、w ?? c ? 试求电偶极矩和辐射场。

解:实际上此带电粒子在原点附近作简谐振动构成一个简单的振荡电偶极子系 ? ? ? ? ?? 统,这个系统的的电偶极矩为: P ? Q?l ? QZ ? QZ 0 e ?iwt k . 已 知 一 般 的 振 荡 电 偶 极 矩 产 生 的 辐 射
? ? e ikR ? 0 e ikR ? ' ' A? x ? ? 0 J x dV ? P? 4?R ? 4?R ? i? k ? ? ? ? ? 1 而B ? ? ? A ? 0 e ikR n ? P ? ? e ikR P ?? ? n 3 4?R 4?? 0 c R

? ?

若取球坐标原点在电荷分布区内, 并以 P 方向为极轴, 则可得, B 沿纬线上振荡。
? 有: B ? ? ikR w 2 Qz 0 ikR ? 1 ? ? P e sin ?e? ? ? e sin ?e? 4?? 0 c 3 R 4?? 0 c 3 R

电动力学练习题
一、选择题 1. √ ? ? ( A ? B) ? ( C )

?

?

A. A ? (? ? B) ? B ? (? ? A) C. B ? (? ? A) ? A ? (? ? B) 2. √下列不是恒等式的为( C A. ? ? ?? ? 0 3. √设 r ?

?

?

?

?

?

?

?

?

B. A ? (? ? B) ? B ? (? ? A) D. (? ? A) ? B ) 。 C. ? ? ?? ? 0 D. ? ? ?? ? ? ?
2

?

?

?

?

?

?

? B. ? ?? ? f ? 0

( x ? x ?) 2 ? ( y ? y ?) 2 ? ( z ? z ?) 2 为源点到场点的距离, r 的方向规定为从源

点指向场点,则( B ) 。 A. ?r ? 0

? r B. ?r ? r

C. ??r ? 0

? r D. ??r ? r
26

? ? ? ? ? ? m ?R m? R ? 4. √ 若 m 为常矢量,矢量 A ? 标量 ,则除 R=0 点外, 与 ? 应满足关系 ? ? A R3 R3
( A ) A. ▽ ? A =▽ ?

?

B. ▽ ? A = ???

?

C. A = ??

?

D. 以上都不对

5. √位移电流是 (D ) A 是真实电流,按传导电流的规律激发磁场 B 与传导电流一样,激发磁场和放出焦耳热 C 与传导电流一起构成闭合环量,其散度恒不为零 D 实质是电场随时间的变化率 ( D ) 6. √从麦克斯韦方程组可知变化磁场是 ( D ) A 有源无旋场 B 有源有旋场 C 无源无旋场 D 无源有旋场 7. √磁化电流体密度等于(A ) A

? ?? M
? ?M ?t

B

? ??M
? ? ? n ? (M 2 ? M1 )

C

D

8. √ 电场强度在介质分界面上(D ) A 法线方向连续,切线方向不连续 B 法线方向不连续,切线方向不连续 C 法战方向连续,切线方间连续 D 法线方向不连续.切线方向连续 9. √ 在稳恒电流或低频交变电流情况下,电磁能是(B ) A 通过导体中电子的走向移动向负载传递的 B 通过电磁场向负载传递的 C 在导线中传播 D 现在理论还不能确定 10. √ 边界上的电势为零,区域内无电荷分布.则该区域内的电势为(B ) A零 B 任一常数 C 不能确定 D

Q 4?? R

11. √ 正方形四个项角上各放一个电量为 Q 的点电荷,则正方形中心处 (D ) A 电势为零,电场为零 B 电势为零电场不为零 C 电势不为零,电场不为零 D 电势不为零,电场为零 12. √设区域 V 内给定自由电荷分布 ? ( x ) ,S 为 V 的边界,欲使 V 的电场唯一确定,则需 要给定( A ) 。 A. ?
S



?? ?n

S

B. Q

S

C. E 的切向分量

?

D. 以上都不对

13. √设区域 V 内给定自由电荷分布 ? ( x ) ,在 V 的边界 S 上给定电势 ? s 或电势的法向导数

?? ,则 V 内的电场( A ) ?n s
27

A. 唯一确定

B. 可以确定但不唯一

C. 不能确定

D. 以上都不对

14. √导体的静电平衡条件归结为以下几条,其中错误的是( C ) A. 导体内部不带电,电荷只能分布于导体表面 C. 导体表面电场线沿切线方向 15. 电象法的理论依据为 (C ) A 电荷守恒 B 库仑定律 C 唯一性定理 D 高斯定理 16. 带电系统的电荷分布ρ (x’)给定,并且电荷分布区域的线度远远小于原点到场点的距离 r, 下面那种方法比较合适? A. 分离变量法 C. 格林函数法 B. 镜像法 D. 电多极矩法 ( D ) B. 导体内部电场为零 D. 整个导体的电势相等

? ? 17. 一个处于 x ? 点上的单位点电荷所激发的电势? ( x ) 满足方程( C ) ? ? 2 2 A. ? ? ( x ) ? 0 B. ? ? ( x ) ? ?1/ ? 0
C. ? ? ( x ) ? ?
2

?

1

?0

? ( x ? x?)
) 。

?

?

D. ? ? ( x ) ? ?
2

?

1

?0

? ( x?)

?

18. 对于均匀带电的球体,有( C

A. 电偶极矩不为零,电四极矩也不为零 C. 电偶极矩为零,电四极矩也为零 19. 对于均匀带电的长形旋转椭球体,有( B ) A. 电偶极矩不为零,电四极矩也不为零 C. 电偶极矩为零,电四极矩也为零 20. 对于均匀带电的立方体,则( C ) A. 电偶极矩不为零,电四极矩为零 C. 电偶极矩为零,电四极矩也为零 零 21. 电四极矩有几个独立分量?( C ) A. 9 个 B. 6 个 C. 5 个

B. 电偶极矩为零,电四极矩不为零 D. 电偶极矩不为零,电四极矩为零 B. 电偶极矩为零,电四极矩不为零 D. 电偶极矩不为零,电四极矩为零 B. 电偶极矩为零,电四极矩不为零 D. 电偶极矩不为零,电四极矩也不为

D. 4 个

22. 矢势 A 的旋度为 (C ) A 任一常矢量 B 有源场 C 无源场 D 无旋场 23. 引入的磁标势的梯度等于 (A ) A ?H C ?B

?

BH D B

?

?

24. 平面电磁波的特性描述如下: ⑴ 电磁波为横波, E 和 B 都与传播方向垂直 ⑵ E 和 B 互相垂直, E ? B 沿波矢 k 方向 ⑶ E 和 B 同相,振幅比为 v
28

?

?

? ?

? ?

?

?

?

以上 3 条描述正确的个数为( D ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 B. 折射波的瞬时能流密度为零 D. 反射波与入射波的平均能流密度相等 25. 关于全反射下列说法正确的是( D ) 。 A. 折射波的平均能流密度为零 C. 反射波与入射波的瞬时能流密度相等

26. 平面电磁波相速度的大小 A 在任何介质中都相同 B 与平面波的频率无关 (D) C 等于真空中的光速 D 述说法均不对 27. 对于变化电磁场能够引人标量势函数的依据是(B)

? A ?? E ? 0
C

? ?? E ? 0

? ? ?A B ?? ( E ? )?0 ? t ? ? ?A )?0 D ? ? (E ? ?t

28. 有关复电容率的表达式为( A ) 。

? ? ? C. ? ? ? ? ? i ?
A. ? ? ? ? ? i 29. 有关复电容率 ? ? ? ? ? i A.

? ? ? D. ? ? ? ? ? i ?
B. ? ? ? i? ?

? 的描述正确的是( D ) 。 ?

? 代表位移电流的贡献,它能引起电磁波功率的耗散 B. ? 代表传导电流的贡献,它能引起电磁波功率的耗散 ? C. 代表位移电流的贡献,它能引起电磁波功率的耗散 ? ? D. 代表传导电流的贡献,它能引起电磁波功率的耗散 ? ? 30. 有关复电容率 ? ? ? ? ? i 的描述正确的是( A ) ?
A. 实数部分代表位移电流的贡献, 它不能引起电磁波功率的耗散; 虚数部分是传导电 流的贡献,它引起能量耗散 B. 实数部分代表传导电流的贡献,它不能引起电磁波功率的耗散;虚数部分是位移电 流的贡献,它引起能量耗散 C. 实数部分代表位移电流的贡献,它引起电磁波功率的耗散;虚数部分是传导电流的 贡献,它不能引起能量耗散 D. 实数部分代表传导电流的贡献, 它引起电磁波功率的耗散; 虚数部分是位移电流的 贡献,它不能引起能量耗散 31. 波矢量 k ? ? ? i? ,有关说法正确的个数是( B ) ⑴ 矢量 ? 和 ? 的方向不常一致 ⑵

?

?

?

?

?

? 为相位常数, ? 为衰减常数
29

?

?

⑶ 只有实部 ? 才有实际意义

?

? ? ? 32. 导体中波矢量 k ? ? ? i? ,下列说法正确的是( B ) 。 ? ? ? A. k 为传播因子 B. ? 为传播因子 C. ? 为传播因子
减因子 33. 良导体条件为( C ) A.

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

D. ? 为衰

?

? ?1 ??

B.

? ??

<<1

C.

? >>1 ??

D.

? ?1 ??

34. 金属内电磁波的能量主要是( B ) A. 电场能量 C. 电场能量和磁场能量各一半 D. 一周期内是电场能量,下一周期内则是磁场能量,如此循环 35. 在电磁波的辐射和传播过程中,引起电磁波运动的根本原因是. ( D ) A. 变化的电荷分布 C. 电荷和电磁场间的相互作用 B. 变化的电流分布 D. 空间中变动着的电场和磁场相互激发和转化 一定的 (A ) B. 速度 C. 方向 D. 相位 B. 有电流穿过该区域 D. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域 B. A 是不可观测量,没有对应的 D. 只有 A 的环量才有物理意义 B. 磁场能量

36. 在研究电磁波的传播时,主要研究的是定态波(又称时谐波) ,定态波是描述 电磁波。 37. A. 频率 38. 在某区域内能够引入磁标势的条件是( D ) A. 磁场具有有旋性 C. 该区域内没有自由电流 39. 关于矢势下列说法错误的是( A ) 。 A. A 与 A? ? A ? ?? 对应于同一个电磁场 物理效应 C. 由磁场 B 并不能唯一地确定矢势 A 40. 已知矢势 A? ? A ? ?? ,则下列说法错误的是( D ) A. A 与 A? 对应于同一个磁场 B B. A 和 A? 是不可观测量,没有对应的物理效应 C. 只有 A 的环量才有物理意义,而每点上的 A 值没有直接物理意义 D. 由磁场 B 能唯一地确定矢势 A 41. 电磁场的规范变换为( A ) 。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?? ?t ? ? ? ?? C. A ? A? ? A ? ?? ,? ? ? ? ? ? ? ?t
A. A ? A? ? A ? ?? ,? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?? ?t ? ? ? ?? D. A ? A? ? A ? ?? ,? ? ? ? ? ? ? ?t
B. A ? A? ? A ? ?? ,? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

42. 在_________规范下,根据电磁场麦克斯韦方程推导出关于矢势和标势的波动方程称为

30

____________. A. 库仑 C. 库仑 亥姆霍兹方程 达朗伯方程 B. 洛仑兹 D. 洛仑兹 ) 。 B. 时间间隔的相对性 D. 空间距离的相对性 ) B. 横向多普勒效应实验 D. 携带原子钟的环球飞行试验 达朗伯方程 亥姆霍兹方程

(B )

43. 下列各项中不符合相对论结论的是( C A. 同时性的相对性 C. 因果律的相对性 A.碳素分析法测定地质年代 C. 高速运动粒子寿命的测定

44. 相对论有着广泛的实验基础,下列实验中不能验证相对论的是(

45. 根据相对论理论下列说法中正确的个数为( C ) ⑴ 时间和空间是运动着的物质存在的形式 ⑵ 离开物质及其运动,就没有绝对的时空概念 ⑶ 时间不可逆地均匀流逝,与空间无关 ⑷ 同时发生的两个事件对于任何惯性系都是同时的 ⑸ 两事件的间隔不因参考系的变换而改变 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

46. 现有两个坐标系 S 和 S’, S’系和 S 系的相应坐标轴平行, 并且 S’系以 v 速度沿 y 轴正方 向运动, 那么下面选项中描述从 S’系到 S 系的洛仑兹变换有 A. x ? (A )

x? ? vt 1? v2 c2
x ? vt 1? v2 c2

B. y ?

y ? ? vt 1? v2 c2
y ? vt 1? v2 c2

C. x? ?

D. y ? ?

47. 从狭义相对论理论可知在不同参考系观测两个事件的(C,D) A 空间间隔不变 B 时间间隔不变 C 空间间隔可变 D 时间间隔可变 -8 48. 设一个粒子的静止寿命为 l0 秒,当它以 0.9c 的速度飞行时寿命约为(A) - - A2.29×10 8 秒 B0.44×10 8 秒 - - C0.47×10 8 秒 D1.35×10 8 秒 ? 49. 一个静止质量为 m0 的物体在以速度 v 动时的动能为(D) A T ? mc CT ?
2

BT ?

1 2 mv 2
2

1 2 mv ? m0 c 2 2
B. 赫兹

D T ? (m ? m0 )c ( C ) C. 麦克斯韦

50. 预言光是电磁波的科学家是 A. 法拉第

D. 爱因斯坦

51. 现有两个坐标系 S 和 S’,S’系和 S 系的相应坐标轴平行,并且 S’系以 v 速度沿 y 轴正 方向运动,那么沿着 y 轴方向将长度为 l0 的物体放在 S’系中,在 S 系中观察物体的长度 l
31

为( C ) A. l ?

l0 1? v2 c2

B. l0 ?

l 1? v2 c2

2 2 C. l ? l0 1 ? v c

2 2 D. l0 ? l 1 ? v c

二. 填空题 1. 经典电动力学的研究对象是宏观电磁现象,包括电磁场的 基本性质和运动规律、以及电 磁场与带电物质之间的相互作用。

2. 对于空间某一区域 V,电荷守恒定律的积分形式为 J ? dS ?
S

?

?

?

? ?dV ? 0 ?t ?V

,其四维形

式为_______

______.

3. √ 能量守恒定律的积分式是- s ? d? =

?

?

?

?

? ? d f ?? dV + ? wdV ,它的物理意义是 dt


4. 在真空情况下,麦克斯韦方程为__________________________, _____________________, ________________________, _______________________________. (微分形式) 5. √理想介质界面的边值条件为 、 。

6. 频率为 ? 的定态电磁波在电导率为 ? 的导体介质表面的穿透深度为 ? ? 1 ?

2

?

???

.

6. 衡量一个带电系统辐射性能的重要参数是_是它的辐射功率和辐射的方向性. 7. 连续分布的电行体系 ? ( x ') 产生的电场强度 E ( x ) ? 8. √稳恒电流情况下电流密度 ? 对时间 t 的偏导数等于 9. √在介质中磁感应强度的散度方程为 11. √磁感应强度的法向分量边值关系式为 12. 连续分布电荷(体密度为 ? ( x ') )产生的电势 ? ( x ) ? 13. 已知失势 A ,则 B 对任一回路 L 为边界的曲面 S 的积分 14. 平面电磁波的电场强度 E ( x , t ) ? 15. 规范交换式 ? ' ? 16. 伽利略变换所反映的时空观的主要特征是 17. 咖利略变换公式为 空间和时间 分离

? ?

? ?

? ?

?

?

?

? ? B ?? ? dS ?
S

? ?

32

18. 爱因斯坦狭义相对论的基本原理是 相对性原理

? ? ? ? 19. B =▽ ? A ,若 B 确定,则 A ?



光速不变性原理.

(填确定或不确定) , A 的物理意义是 。

?

稳恒磁场的矢势 A 的物理意义是 L 为边线的曲面 S 的磁通量.(或

矢量 A 沿任一闭合回路 L 的线积分等于该时刻通过以

?

?

L

? ? ? ? A ? dl ? ?? B ? ds ) .
S

20. 介质 1 与介质 2 的交界面上,麦克斯韦方程满足的边界关系为

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ( E2 ? E1 ) ? 0, n ? ( H 2 ? H1 ) ? ? , n ? ( D2 ? D1 ) ? ? , n ? ( B2 ? B1 ) ? 0 ? ? ? 21. 波矢量 k ? ? ? i? ,其中相位常数是 ,衰减常数是
22. 电容率 ? ? = ? +i



? ,其中实数部分 ? 代表 ?

电流的贡献,它不能引起电磁波 电流的贡献,它引起能量耗散。 。 能量。 。 ;洛伦兹规范辅助条件 ,四维电流密度表示

功率的耗散,而虚数部分是 24. 金属内电磁波只能在 25. 写出推迟势的表达式 26. 库 仑 规 范 辅 助 条 件 为 为 为 28. 四维速度表示为 。 。 27. 相 对 论 中 物 体 的 能 量 公 式 为

23. 金属内电磁波的能量主要是电场能量还是磁场能量?答: 传播,其能量主要是 、

,四维矢势表示为



《电动力学》试题(A)
一. 单选题(每题 3 分,共 24 分) 1.洛伦兹变换是( A ) A. 同一事件在两个惯性系中的时空坐标变换; B. 两个事件在同一惯性系中的时空坐标变换; C. 是一种非线性变换; D. 可以是线性变换也可以是非线性变换. 2.介质内极化电荷体密度( B ) A. 决定于极化强度

? ? ? P 的旋度;B. 决定于极化强度 P 的散度;C. 与极化强度 P



关;D. 由极化强度的散度、旋度和边界条件共同决定. 3.测量物体长度的正确方法是( C ) A. 测量物体两端的坐标之差 ;B, 测量物体长度的方法与物体是否运动无关 ;C. 对运动物 体必须同时测量它两端坐标之差.D. 不管物体是否运动,都必须同时测量它两端坐标之差. 4.带电粒子辐射电磁波的必要条件是( B ) A. 粒子具有速度; B. 粒子具有加速度; C. 粒带正电荷;D. 粒子带负电荷. 5.一架飞机以 v 速度从广州飞向北京,地球(惯性系)上观测,两地的距离为 L0,飞行时间为

?t 0 ,飞机(惯性系)测得分别是 L 和 ?t ,则( D ).
33

A. L>L0 ;

L B. L=L0 ;C. ?t ? 0 ; v
? ?

v L0 1 ? ( ) 2 c D. ?t ? v

6.下列关于平面电磁波的论述中正确的是(A) A. E 与 B 的位相相同;B. E 与 B 的位相相反; C. E 与 B 的方向相同; D. E 与 B 的方向相反 7.若 A? 是四维矢量,则 8.A 四维二阶张量;

?

?

?

?

?

?

? A? ?x ?

是(C) D.不是协变量.

B.四维矢量;C.四维标量;

8.在不同介质分界面处,磁场边值关系的正确表述是 C A. 磁感应强度的切向分量是连续的; B. 磁场强度的切向分量是连续的; C. 磁感应强度的法向分量是连续的; D. 磁场强度的法向分量是连续的; 二. 填空题(每小题 4 分,共 24 分) 1.电磁波入射到导体表面时,透入深度随频率增大而__减少_. 2.用电导率σ 、介电常数ε 和电磁波的频率ω 来区分物质的导电性能,当满足_

? ??1 _条件 ??

时是良导体. 3.当振荡电偶极子的频率变为原来的 2 倍时,辐射功率将变成原来的_16_倍. 4.对不同的惯性系,电荷是守恒量,由此可得出结论,当电荷作高速运动时,其体积_缩小__,电荷 密度___变大__. 5. 真空中平面 z=0 为带电平面,电荷密度为σ ,则在 z=0 处电势应满足边值关系__ ?1 ? ? 2 _ 和_

?? 2 ??1 ? ? ? ? ___. ?z ?z ?0

6.不同频率的电磁波在同一介质中具有不同的传播速度,就表现为__色散__现象. 三.(13 分)利用真空中的麦克斯韦方程组和电磁势的定义推导电磁势 A 满足的达朗贝尔方 程:

?

? ? 1 ?2 A ? ? A ? 2 2 ? ?? 0 j c ?t
2

? ? ? ? ?A 解:把电磁势的定义: B ? ? ? A 和 E ? ??? ? 代入真空中的场方程(4 分) ?t

34

? ? ? ?E ? ? B ? ? 0 J ? ? 0? 0 ?t
得:

? ? ? ? ?A ? ? ? ? A ? ? 0 J ? ? 0? 0 (?? ? ) ?t ?t
注意到: ? ? ?A ? ?(? ? A) ? ? A
2

(2 分)

?

?

?



1

? 0? 0

? c 2 将上式整理后得:

? ? 1 ?2 A ? 1 ?? ? ? A ? 2 2 ? ?(? ? A ? 2 ) ? ?? 0 J c ?t c ?t
2

(4 分)

利用洛伦兹条件: ? ? A ?

?

1 ?? ? 0 ,得: c 2 ?t

? 2 ? ? 1 ? A ? 2 A ? 2 2 ? ?? 0 J c ?t
?
i ( 2? ?10?2 z ? 2? ?106 t )

(3 分)

四.(20 分)设有平面电磁波: E ? 100 e

? e x V/m,求:

1. 圆频率、波长、介质中的波速、电矢量的偏振方向和波的传播方向; 2. 若该介质的磁导率 ? ? 4? ? 10 解:1)圆频率 ? ? 2? ? 10 Hz
6
?7

HM-1,问它的介电常数 ? 是多少? (1 分) (2 分) (2 分)

波长 ? ?

2? 2? ? ? 100 ( M ) k 2? ? 10 ?2

介质中的波速 v ?

?
k

?

2? ? 10 6 ? 10 8 ( M / S ) ?2 2? ? 10

(1 分)

电矢量的偏振方向为 x 方向(1 分),波传播方向是 z 轴正向.(1 分) 2)由 v ?

1

??
1 ?v 2 ?



??

(3 分)

1 4? ? 10
?7

? (10 8 ) 2

35

=

10 ?9 (F/M)≈7.96×10-11F/M 4?

(2 分)

五 ( . 13 分) 真空中有一个半径为 R0 的带电球面,面电荷密度为 ? ? ? 0 cos? (其中σ 0 为常数), 试用分离变量法求空间的电势分布. 解 : 设球内外空间的电势分别为 φ 1 和φ 2 在球内外均有ρ =0, 故φ 1 和φ 2 都满足拉氏方程 . (2 分) 显然本问题是轴对称的 , 以球心为坐标原点 , 以 θ =0 的方向为 z 轴 , 建立球坐标系 . (1 分) 考虑到边界条件: R→0 时, φ1 有限 R→∞时,φ2→0 (2 分) 可令尝试解为:

?1 ? a0 ? a1 RP 1 (cos? ) ;

?2 ?

b0 b1 ? P1 (cos? ) R R2

(2 分)

由边值关系 当 R=R0 时, φ1=φ2 ;

?0

?? 2 ?? ? ? 0 1 ? ?? 0 cos? ?R ?R
b0 b ? 12 P1 (cos? ) R0 R0


(2 分)

得:

a 0 ? a1 R0 P1 (cos? ) ? b0 R0
2

?

?2

b1 R0
3

P1 (cos? ) ? a1 P1 (cos? ) ? ?

?0 P1 (cos? ) ?0

(2 分)

比较方程两边 Pn(cosθ )多项式的系数,可得:

a0 ? b0 ? 0 ;

a1 ?
于是: ?1 ?

?0 ? 3 , b1 ? 0 R0 3? 0 3? 0

(2 分)

?0 R cos? ; 3? 0
? 0 R0 3 cos? 3? 0 R 2

?2 ?

从解题过程中可看出, φ1 与φ2 满足本问题的所有边界条件及边值关系,是本问题唯 一正确的解. (2 分)

36

六.(13 分)静止长度为 L0 的宇宙飞船以 v=c/2 的速度远离地球而去,问: 1. 地球上的观察者观测到飞船的长度是多少? 2. 地球上的观察者观测到飞船尾端发出的光到达飞船头所需的时间是多少? 第六题(13 分) 解:1) l ? l 0 1 ? (v / c) ? l 0 1 ? (1 / 2) ?
2 2

3 l0 2

(5 分)

2)设坐标系 S 与地球固连, 坐标系 S’与飞船固连.考虑以下两个事件: ⑴飞船尾端发光----在 S 系表示为(x1,t1),在 S’系表示为( x1 , t1 ) ; ⑵光到达飞船前端 ----在 S 系表示为(x2,t2),在 S’系表示为 ( x 2 , t 2 ) . 由洛伦兹变换得:
' ' ' '

t 2 ? t1 ?

t 2 ? t1 ?

'

'

v ' ' ( x 2 ? x1 ) 2 c v 1 ? ( )2 c
' '

(4 分)



( x 2 ? x1 ) ? l 0 , (t 2 ? t1 ) ?

'

'

l0 代入得: c
(4 分)

t 2 ? t1 ? 3

l0 ,这就是所求的时间。 c

《电动力学》试题(B)
一.单选题(每题 3 分,共 24 分) 1.关于麦克斯韦方程组正确的说法是( B ) A. 它只适用于迅变电磁场; B. 它也适用于静电场; C. 微分形式的麦克斯韦方程组在两介质的分界面处也适用; D. 对定态电磁场, 麦克斯韦方程组与亥姆霍兹方程等效. 2.带电粒子辐射电磁波的必要条件是( B ) A. 粒子具有速度; B. 粒子具有加速度; C. 粒子带有正电荷; D. 粒子带有负电荷. 3.关于辐射场正确的论述是(

? ? A. E 和 B 都与距离 R2 成正比;
37

D)

B. E 和 B 都与距离 R2 成反比;

?

?

? E C. 如果选用库仑规范, 仍满足库仑定律;
D. 辐射功率 P 与距离无关,能量可以电磁波的形式传播到远处. 4.下列说法中正确的是( D )

A. 在相对论中所有的物理量都是相对的; B. 在相对论中空间距离是不变的; C. 在相对论中时间是不变的; D. 在相对论中时空间隔是不变的. 5.在介质分界面上电磁场发生突变 ( B A. B. C. D.

? D 电位移 的法向分量突变是由总电荷面密度σ 引起的; ? E 电场强度 的法向分量突变是由总电荷面密度σ 引起的; ? 磁场强度 H 的切向分量突变是由磁化面电流密度α m 引起的; ? B 磁感应强度 切向分量突变是由磁化面电流密度α m 引起的.

)

6. 电磁场能量传播的方向( C ) A. 与电场的方向一致; B. 与磁场的方向一致; C. 既垂直于电场又垂直于磁场的方向; D. 总是向无穷远处传播. 7.电磁波能在矩形波导内传播的条件是(C )

? ? 2a ; B. ? ? 2a ; C. ? ? 2a ;
A. D.

? ? 2a

8.通过洛伦兹变换( C ) A. 不能改变两事件的先后次序; B. 一定能改变两事件的先后次序; C. 不能改变无因果关系的两事件的先后次序; D. 不能改变有因果关系的两事件的先后次序; 二.填空题(每小题 4 分,共 24 分) 1.麦克斯韦方程组的微分形式在__两种介质的分界面处_处不适用. 2.在导体中的电磁波是衰减的,导体的电导率愈___大__,衰减得愈快. 3.当振荡电偶极子的振幅变为原来的 2 倍时,辐射功率将变成原来的___4_倍. 4.当满足条件__v<<c__ .? 2 ? ? ?时,洛伦兹变换将回到伽利略变换

?? ? ?2 ? ? 1 1 ? ?? n ? ( D ? D ) ? ? ?n ?n 2 1 5.边界条件 ,可用电势υ 表示为_ _.

38

6.光子的静止质量为零,光子的能量和动量之间的关系是__E=cP__. 三. ( ?13 分)证明 ? ? :当电势作下列规范变换

A ? A' ? A ? ??

,

? ? ?'? ? ?

? ? ? ? ? A ' ? ? ? ( A ? ? ? ) ? ? ? A ? ? ? ?? 解:1) ? ? ? ?? A ? B

?? ?t

时,电磁场保持不变.

(2 分) (3 分)

? ? ?? ? 0 ? ? ? ? ? A' ? B
? ?? '? ? ?A' ?? ? ? ? ??(? ? ) ? ( A ? ?? ) ?t ?t ?t ?

(3 分)

2)

? ??? ?

? ?E

?A ?t

(2 分)

(3 分)

四. (13 分)真空中的平面电磁波:

? 2.5 i ( 2?z ?6? ?108 t ) ? ? H? e (e x ? e y )

?

A/m,求:

1. 频率、波长、波速和波的传播方向; 2. 相应的磁场 E ; 解:1? )由 H 的表达式知: 6? ? 10 8

?

?

? 3 ? 10 8 2? 2? (Hz) 2? ?? ?1 k ? 2? (m-1), k (m) 8 v ? 3 ? 10 (m/s)

f ?

?

(2 分) (2 分) (1 分) (1 分)

波传播方向为 Z 轴负方向。
? E? i k ? 0? 0 ? ?? B

2)

??

? ?0 ? ( ?e z ) ? H ?0 ? ? i ? ik ? ?0 0H k ? 0? 0

(2 分) (1 分) (2 分) (V/m) (2 分)

2.5 ? i ( 2?z ?6? ?108 t ) ? ? ? e (e y ? e x ) ? ?0

五.(13 分)在无限大导体平面外距导体为 b 处置一个点电荷 Q,试用电像法求空间的电势分 布和点电荷 Q 所受的作用力. 解:建立如图所示的直角坐标系。 因为导体无限大,下半空间(导体中) ? ? 0 。 (2 分)

在上半空间的电势可用电象法解出,即用一个放在(0,0,-b),大小为-q 的点电荷代替导 体表面感应电荷的作用。可写出电势的尝试解为:
39

??

q ? 1 1 ? ? 2 2 2 2 2 4?? 0 ? x ? y ? ( z ? b) x ? y ? ( z ? b) 2 ?
R? 当 R ? 0 时, ? ? 0 ,其中
当 z ? 0 时, ? ? 0

? ? ? ?

(6 分)

显然,上述电势满足所有的边界条件:

x2 ? y2 ? z2



根据静电问题的唯一性定理,它是本问题唯一正确的解。

(2 分)

? 所受的力: ? ? qq' q2 点电荷 Fq ? e ? ? e z 2 2 z 4?? 0 (2b) 16?? 0 b

(3 分)

六.(13 分)两把静止长度为 L0 的尺 A 和 B,分别以速度 u 和 v,沿 x 轴正方向(尺长方向)相 对地面运动.试求: 1. 地面上观测者观测到 B 尺的长度 2. A 尺上观测者观测到 B 尺的长度 解:1)地面上观测到 B 尺的长度为:
L ? L0 1 ? (v / c ) 2

(4 分)

2)B 尺相对 A 的速度: v ?u v?u
v' x ?
x

1?

vxu c2

?

1?

vu c2

v' y ? 0
L' ? L0 1 ? (

(4 分)


v' x 2 ) c

v' z ? 0

(1 分)

A 尺上测得 B 尺的长度为: (2 分)



v' x

代入上式得:
c 2 ? vu

L' ? L0

(c 2 ? v 2 )(c 2 ? u 2 )

(2 分)

《电动力学》期终考试试题(C)
一、单选题(每小题 3 分,共 24 分) 1、关于静电场的边界条件,正确的表述是:B Et 连续, Dn 也连续; B. Et 连续,但 Dn 不连续 Et 不连续, 但 Dn 连续; Et 不连续, Dn 也不连续. 2.在计算辐射场时,下列哪一组公式是正确的?C

? ? ? A( x ) ? 0 4?

? ? J ( x' ) ? ? ? ? ? ? R dV ' A. , B ? ? ? A . E ? cB ? n ; ? ? ? ? ?0 J ( x ' )eikR ? ? ? ? ? A( x ) ? dV ' B ? ? ? A E ? c B ?n; 4? ? R B. , .

40

? ? J ( x ' )eikR ? ? ? ? ? ? ? R dV ' C , B ? ik ? A . E ? cB ? n ; ? ? ? ? ?0 J ( x ' )eikR ? ? A( x ) ? dV ' 4? ? R D. , B ? ? ? A . ? ? ? ?E ? ? ? B ? ?0 J ? ?0? 0 ?t E 由下列方程求得:. ? ? ? A( x ) ? 0 4?
3、狭义相对论中的相对性原理是指 D 电磁学规律在一切惯性系中相同; 力学规律在一切惯性系中相同; 任何物理规律在一切坐标系中相同; 任何物理规律在一切惯性系中相同.
v? 3 c 2

4 、相对地面以速 A. 3/4 3 倍; C.

率运动的基本粒子,地面上观测得它的寿命是静止时的 D

B. 3 倍; D. 2 倍.

2 倍

5、当电磁场随时间变化时.C 电力线一定是闭合曲线; 电场仍是保守力场; 电场强度的环流与所围区域内磁通量的变化率有关; 电场旋度取决于磁场的强度. 6.设有一静电荷 Q 和一运动电荷 q,C A. Q 不受磁力作用,仅受 q 的库仑力作用; q 不受磁力作用,仅受 Q 的库仑力作用; Q 与 q 之间的相互作用力不满足牛顿第三定律; 它们之间的相互作用力必定满足牛顿第三定律。 7、矩形波导中不可能传播 A TEM 型波; TE 型波; TM 型波; TEn0 型波. 8、下列关于平面电磁波的论述中正确的是:B 电场与磁场只有一个是横波; 电磁场能量密度的幅值为:

u 0 ? ?E0

2

;

41

电流密度矢量为 S ? H ? E ; 电场与磁场的相位相反.

?

?

?

二.填空题(每小题 4 分,共 24 分)

? ? ? B ? 0 ,它表示磁力线______________________________. 1.磁场总是无源场,即
2.在均匀介质充满的空间中,某点的电荷体密度等于该点自由电荷密度的__________倍. 3.设在导体中的平面单色电磁波为 E ? E 0 e 度为 v=_______________. 4.对于振动偶极子来说,沿_________________________方向辐射最强,沿_______________方 向没有辐射. 5.两艘宇宙飞船以相对地球以 v=0.9c 的速率相背飞行,则地球上观测两艘飞船的相对速率为 _________________,一艘飞船上观测另一艘飞船的速率为_________________.

?

?

i ( kz ??t )

其中 k ? ? ? i? ,则该平面电磁波的相速

? ? ? E E 6.为了求电场强度 ,通常可以先求出电势 ,然后再利用 和 ? 的关系____________,求出 ? E.
三.证明题(13 分)

? ? e ikR sin ? p ? ?0 ? ? 电偶极子辐射的磁场 B ? e? 为,试证明辐射场的能流密度矢量为 3 4?c R ? 2 2 ? ? 0? 4 p ? 0 sin ? S? cos(k R ? ?t )er 2 5 2 16? c R

四.频率为 15×109Hz 的电磁波在 2cm×2cm 方形波导管中传播,求:

? k 波传播矢量 ;
波导中的波长; 波的相速度.

五(13 分)介电常数为ε 的均匀介质中有电场 电场强度,并说明这电场有什么特点.

? E0

,今在介质中挖一个球形空腔,试求空腔内的

42

六(13 分)在 5000 米高空产生固有寿命τ =2×10-6 秒的μ 子,它们以速率 V=0.998c 飞向地球. 试计算地面上的观测站能否探测到这些 μ 介子(设μ 子飞行过程中不与其它物质相互作用 , 并取

1 ? (0.998 ) 2 ? 0.06

)

《电动力学》试题(C)评分标准及参考解答 第一题(每小题 3 分,共 24 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 D 5 C 6 C 7 A 8 B

第二题(每小题 4 分,,共 4 分) 1) 总是闭合的

?0
2)

?

? 3) 4) 垂直于振动, 平行于振动 5) 1.8c, 0.994c
6)

?

? E ? ???
43

第三题(13 分) 解:电偶极子辐射的电场为:

? ? ? E ? cB ? n
? ? ? ? e ikR sin ? ? ? e ikR sin ? p p ? ? ? ? ?0 e? ? er ? ? e? 2 2 4?c R 4?? c R
注意到

(2 分)

(2 分) (2 分)

? ? ? i? t ? ? ? ?? 2 p p 0 e

,且用实数表示电磁场:

? ? ? 0? 2 p0 sin? ? B?? cos(kR ? ?t )e? 3 4?c R

? ? ? 0? 2 p 0 sin? ? E?? cos(kR ? ?t )e? 2 4?c R
能流密度矢量:

(2 分)

? ? ? 1 ? ? S ? E?H ? E?B

?0
2

(2 分)

? 0? 4 p 0 sin 2 ? ? ? ? cos2 (k R ? ?t )e? ? e? 2 5 2 16? c R
? 0? 2 p 0 sin 2 ? ? ? cos2 (k R ? ?t )er 2 5 2 16? c R
第四题(13 分) 解:1)求波矢量

?

(1 分)

?

2

(2 分)

kx ?

m? ? ? ? 50? ? 1 5 7 a 2 ? 10 ?2 (m) ; n? ?0 b ;

(2 分)

ky ?

(2 分)
2 2

kz ? ( )2 ? kx ? k y c
? (
2)波长:

?

(2 分)

2? ? 15 ? 10 9 2 ) ? (50? ) 2 ? 86.6? ? 271 .9 8 3 ? 10 (m-1)

(1 分)

??

2? kz

(2 分)

44

?

2? ? 0.023 86.6?

(m)

(1 分)

3)波的相速度:

v?

?
kz
(2 分)

?

2? ? 15 ? 10 9 ? 3.45 ? 10 8 86.6?

(m/s )

(1 分)

第五题(13 分) 解:取球心 o 为坐标原点,选极轴沿外场

? E0

方向,建立球坐标系.显然,本问题是轴对称的.

因为球内外均无自由电荷分布,电势均满足拉普拉斯方程:

? 2? ? 0
设球内外的电势分别为 ? 1 和 ? 2 考虑到边界条件:

(2 分)

R ? 0 时, ? 1 有限; R ?? 时, ? 2 ? ? E 0 R cos?
可取尝试解为:

?

(2 分)

?1 ? a0 ? a1 RP1 (cos? ); ? 2 ? ? E0 R cos? ?
边值关系为:

b0 b1 ? P1 (cos? ) R R2

(2 分)

当 R=R0 时 , 即:

? 2 ? ?1 ,

?0

??1 ?? ?? 2 ?R ?R

(2 分)

a 0 ? a1 R0 P1 ( c o? s) ? ? E 0 R0 c o ? s?

b0 b ? 12 P1 ( c o? s) R0 R1

? 0 a1 P1 (cos? ) ? ??E0 P1 (cos? ) ? ?
利用

b0 b ? 2? 13 P1 (cos? ) 2 R0 R0

Pn (cos? )

的正交性定系数解得:

a0 ? 0, b0 ? 0

a1 ? ?

3? 2? ? ? 0

b1 ? ?


? ??0 3 E 0 R0 2? ? ? 0

(2 分)
45

?1 ? ?
空腔内的电势:

3? E0 R cos? 2? ? ? 0 ; ? 3? E0 2? ? ? 0 , 显然是均强电场。

? E ? ???1 ?
空腔内的电场: 第六题(13 分)

(3 分)

解:在与 ? 介子固连的惯性系观测:

飞行距离

v s' ? l 1 ? ( ) 2 c

(4 分) (m) (3 分)

? 5000 ? 0.06 ? 300

?

介子衰变前可通过的距离

s ? vt ? 0.998c ? 2 ? 10 ?6 ? 598 .8 (m)

(3 分) (3 分)

? s ? s' ,故地面上可以探测到 ? 介子。

《电动力学》期终考试试题(D)
姓名______________班_________学号_________成绩______________ 一. 单选题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 在两种介质分界面上电磁场发生突变 A. 电位移 D 法向分量的突变是由总电荷面密度 ? 引起的; B. 电场强度 E 法向分量的突变是由总电荷面密度 ? 引起的;

?

?

? ? ? H C. 磁场强度 切向分量的突变是由磁化面电流密度 m 引起的; ? ? ? B D. 磁感应强度 切向分量的突变是由磁化面电流密度 m 引起的;.
2. 关于运动物体长度缩短的正确理解是 A. 表示物体内部结构改变了; B. 这是一种时空属性; C. 是由时空属性和内部结构变化共同引起的; D. 永远是相对的,故无实际意义.

46

3. 关于同时的相对性,正确的理解是 A. 同时相对性与光的传播速度有限密切相关; B. 同一地点发生的两件事也存在同时的相对性; C. 同相对性会使因果关系颠倒; 4. 在静电场中,公式 ? ? D ? 0 成立的条件是 A. 任何情况下都成立; D. 以上说法都不对. ?

? ? ? E ? 0; B. ? C. ?? ? E ? 0 ; ? ? ? ? E ? 0. D.

5. 下列论述中正确的是: A. 达朗伯方程和麦克斯韦方程组是等效的; B. 达朗伯方程的解一定满足麦克斯韦方程组; C. 达朗伯方程加上洛伦兹条件才与麦克斯韦方程组等效; D. 达朗伯方程就是齐次的波动方程; 6. 导体中的电磁波 :, E ? E0 e 波的相速度为: A. C. ; ;

?

?

i ( k ' z ??t )

k ' ? ? ' ? ? ? ? i?

其中.该电磁

? k ' B. ; v ? ? v? ? v ??
v ??

?

D.

?'?

7. 关于静电场正确的说法是 A. 电势不变的地方,电场强度必为零; B. 电场强度不变的地方,电势必为零; C. 电势为零的地方,电场强度必为零; D. 电场强度为零的地方,电势必为零; 8. 以下说法中正确的是 A. 三维空间和四维空间中长度都是标量; B. 三维空间和四维空间中长度都不是标量; C. 三维空间中长度不是标量,四维空间中长度是标量; D. 三维空间中长度是标量,四维空间中长度不是标量;

二.填空题(每小题 4 分,共 20 分) 1 . __________ 形式的麦克斯韦方程组在两介质的分界面处不再适用. ? ?? 1 ??
47

2.良导体的条件为,其物理意义为_________________________________.

3.电荷和_____________________ 都可以够激发电场. ?

A' ? _______________________ 和 4. 电 磁 场 的 势 ? , A 有 规 范 变 ?换的 ? 自 ? 由,作变换

?

? ’=___________________,则 ? , A 与 E , B 描述同一电磁场.

5.四维坐标的变换关系是____________________. 6.用电象法解题时 ,象电荷的位置一定要放在求解电场的区域之 _____,否则就改变了原来的 电荷分布.

三 .(15 分 ) 从真空中的场方程及电磁势的定义出发 , 推导洛伦兹规范下标势所满足的方程 :

? 2? ?

1 ? 2? ? ?? 2 c ?t ?0

四.(20 分) 两个相等的点电荷 q 相距为 2d,在它们中间放置一个半径为 R0 的 接地导体球(如图) ,求空间的电势分 布及一个点荷所受的力。

五 ?.设真空中平面电磁波为: ? ?

H ? H 0 e i (?x ??t ) (e y ? e z )
1)电场强度;

,求:

48

2)能流密度矢量 S (t ) .

?

六.(15 分)一个静止长度为 L0 的车厢以速度 v 相对地面运动.现从车厢尾端以相对车厢的速 度 u 向前推出一个小球.求地面上观测至少球从车厢尾端到车厢前端所经历的时间.

《电动力学》试题(D)评分标准参考解答 第一题(每小题 3 分,共 4 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 B 7 A 8 D

第二题(每小题 4 分,共 4 分) 1) 微分 2、通过导体的传导电流比位移电流大得多 3、变化的磁场

?? ? ?? ?t 4、 A ? ?? ,
第三题(13 分) 解将:电磁势的定义:

5、

x' ? ?a ?? x?

6、外

? ? ?A E ? ??? ? ?t
? ? ??E ?
代入真空中的场方程:

(2 分)

? 0 得:

(3 分)
49

? ?A ? ? ? (?? ? ) ? ? ?t ?0
即:

? 2? ?

? ? ? ?? A ? ? ?t ?0

(3 分)

? 1 ? 2? ?? A? 2 2 ? 0 c ?t 用洛伦兹条件: 得
1 ? 2? ? ? ?? 2 ?? ?0 c ?t
2

(4 分)

(2 分)

第四题(13 分) 解:以球心 O 为坐标原点, 选 x 轴通过点电荷 q ,建立坐标系。 本题可用电象法解,球面上的感 应电荷可用两个象电荷 q’1 和 q”2 代替;

q'1 ? q' 2 ? ?

R0 q d

(2 分)

它们分别位于 x ? a 和 x ? ?a 处,其中 球外空间的电势为:

a?

2 R0

d
1

(2 分)

??

q 4?? 0

[

1 (x ? d )2 ? y 2 ? z 2
R0

?

(x ? d )2 ? y 2 ? z 2
]

?

R0 d ( x ? a) 2 ? y 2 ? z 2

?

d ( x ? a) 2 ? y 2 ? z 2

(5 分)

点电荷 q 所受的力

F?

qq1' qq' 2 q2 ? ? 2 2 4?? 0 (2d ) 4?? 0 (d ? a) 4?? 0 (d ? a ) 2
Rd Rd q2 1 [ 2 ? 2 0 2 2 ? 2 0 2 2] 4?? 0 4d ( d ? R0 ) ( d ? R0 )

?

(3 分) (1 分)

力的方向,从球心指向点电荷。 第五题(13 分)

? E?
解:1)

i k ? 0? 0

? ?? B
(3 分)

?

? ic ? ik ? ? 0 H k

50

?

?0 ? ? H 0 e i (?x ??t ) (e y ? e z ) ?0

(4 分)

2)

? 1 ?0 2 ? S ? E0 n 2 ?0

(3 分)

?

? ? 1 ?0 ( 0 H 0 ) 2 ex 2 ?0 ? 0
1 2

=

?0 2 ? H 0 ex ?0

(3 分)

第六题(13 分) 解:设坐标系 S 与地球固连,坐标系 S’与车厢固连,以车厢行走方向为共同的 x 轴方向.

在 S’系上观测:

?t ' ?

l0 u
?t '? v ?x' c2 2 1? v c2

(4 分)

?t ?
用洛伦兹变换: 其中

(5 分)

?x ' ? l 0

,代入得:

l0 v uv ? 2 l0 1? 2 l c ?t ? u c ? 0 2 u 1? v2 1? v 2 c c2

(4 分)

《电动力学》期终考试试题(E)
姓名______________班_________学号_________成绩______________ 一. 单选题(每小题 3 分,共 15 分):

? ? ? E ? 0 ,正确的说法是: 1.关于静电场的旋度方程
A. 在真空中成立,有介质时不成立. B. 在真空中成立,有介质时也成立. C. 在真空不成立,有介质时也不成立. D. 在真空中不成立,有介质时成立. 2.对极化强度矢量 P 有以下说法,正确的是 A. B. C. 极化强度矢量 P 的源头必是正电荷; 极化强度矢量 P 的源头必是负电荷; 极化强度矢量 P 的源头必是正束缚电荷;
51

?

? ? ?

D.

极化强度矢量 P 的源头必是负束缚电荷;

?

3.狭义相对论的光速不变原理是指 A. B. C. D. 光速对任何坐标系不变; 光速在任何介质中不变; 光速在真空中对任何惯性系都是 c; 对静止光源,光在真空中的光速才为 c;

4. 静止长度为 1 米的尺,当它以速率

v? 3

c 2 沿尺长方向运动时,地面上观测得尺的

长度为 A. C.

3

2

米;

B. 3/4 米; D. 2 米.

1/2 米;

5.关于电磁势可以说

? ? ? E ? ??? : B ? ? ? A A. 电磁势的定义为 ? ? ? , B. 电磁势 ? , A 与电磁场 E , B 是一一对应的.
C. 当电磁场作规范变换时,电磁势及其规律都保持不变; D. 电磁势有规范变换的自由,电动力学中常用的有库仑规范和洛伦兹规范. 6. 两种绝缘介质 ? 1 与 ? 2 的分界面不带自由电荷时, 界面两侧电力线与法线的夹角分别 为 ?1 , ? 2 ,则有

tan? 2
A.

tan?1 ctg?1

? ?

?2

?1

cos? 2
; B.

cos?1 sin ?1

? ?

?2

?1

ctg? 2
C.

?2

?1

sin? 2
; D.

?2

?1
?

7.真空中某一磁场的能量能量密度与另一电场的相等,已知磁感应强度 B ,则电场强度的 大小为 A.

E?B

c ;

B.

E?B

c2 ;
2

C. E ? cB ;

D. E ? c B

8. O、 M 和 N 三个观察者位于一条直线上, M 和 N 分别位于 O 的两侧, 并以速率 v=c/2 向 O 运动。 A. N 观察到观察者 O 的速率为 c; B. N、M 观察到观察者 O 的速率都为 0; C. N 观察到观察者 M 的速率为 0.5 c; D. N 观察到观察者 M 的速率为 0.8c .
52

二. 填空题(每小题 4 分,共 20 分) 1. 某一区域内的电场分布总是由该区域内的_____________及______________共同确

? ? ? ? E , B D H 2. 对于各向同性的非铁磁性介质 , 与 与 的关系分别是 ______________ 和
_________________. 3. 定 态 电 磁 波 必 须 满 足 亥 姆 霍 兹 方 程 , 除 此 之 外 , 电 场 和 磁 场 还 必 须 分 别 满 足 ______________和___________________. 4. 对振动电偶极子来说,平均辐射功率 P 与振动频率的___次方成正比,与偶极子振幅的 ____次方成正比. 5. 对不同惯性系,电荷是一个恒量.由此可见,当带电体高速运动时,体积变_______,电荷

定.

? ? ?0e 6. 导体中的电荷密度:
? ? ?? A ? A0 e i ( k ?r ??t )

密度变_________.

? t

? ?

?10 .对于金属导体, ? ? 10 / ?, ? ? 10 F / M ,只要
7

电磁波的周期 T_________,就可以认为 ? ? 0 .
?? ? ? ? ? ? 0 e i ( k ?r ??t ) E , .求电磁场 和 B ,并说明它属什么波型.

三.(13 分)已知:

四.(13 分)频率为 3×1010HZ 的微波在 0.7cm×0.6cm 的矩形波导管中能以什么波型传播?

五(13 分)在接地的导体平面上有一个半径为 a 的半球形凸部(半球的球心在导体平面上,点电 荷 Q 位于系统的对称轴上,并与平面相距为 b(b>a),试用电象法求空间的电势及点电荷 Q 所受 的力.

53

六(13 分)匀速运动的宇宙飞船以速率 v ? 0.8c 飞经地球,此时地球和飞船上的观测者一 致认为此事件发生在中午 12:00.按飞船上时钟的读数,该飞船于 12:30 到达某个相对地球静 止的宇航站(宇航站的钟和地球上的钟已经校准),求此宇航站此时的时钟的读数.

《电动力学》试题(E)评分标准与参考解答
第一题(每小题 3 分,共 24 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 C 5 D 6 A 7 C 8 D

第二题(每小题 4 分,共 24 分) 1) 电荷分布, 边界条件 2) D ? ?E , B ? ?H 3) ? ? E ? 0 , ? ? H ? 0 4) 4 ,2 5) 小,大 6) >>10-17 s 第三题(13 分) 解: B ? ? ? A

?

?

?

?

?

?

?

?

(2 分)
54

? ?? ? ? ? A0 e i ( k ?r ??t )
?? ? ? ?e i ( k ?r ??t ) ? A0

(2 分)

= ik ? A0 e

?

?

?? i ( k ?r ??t )

? ? i ( k??r? ??t ? ? ) 2 ? k ? A0 e
(2 分) (2 分)

? ? ? i ( k??r ??t ? ) 2 ? Be ? ? ?A E ? ??? ? ?t

? ? i ( k??r? ??t ) A0 e ?t ?? ? ? ?? ? ?? 0 ?e i ( k ?r ??t ) ? A0 e i ( k ?r ??t ) ?t ?? ? ? i ( k ?r ??t ) ? i ( k??r? ??t ? ? ) ? i ( k ?r ??t ) 2 ? ?ik ? 0 e ? i?A0 e ? (?A0 ? ? 0 k )e ? ??[? 0 e i ( k ?r ??t ) ] ?
??

(2 分)

? i ( k??r? ??t ? ? ) 2 ? E0 e
由上面的计算可见,电场和磁场都是平面电磁波。 第四题(13 分) 解:由波导管的截止频率: ? cmn ?

(2 分) (1 分)

? ? 0? 0

m n ( ) 2 ? ( ) 2 得: a b
(5 分)
?3

? cmn ?

c m 2 n ( ) ? ( )2 2 a b
?3

已知: a ? 0.7cm ? 7.0 ? 10 m, b ? 0.6cm ? 6.0 ? 10 m 可算出:

? c10 ?
?

c 2a
3 ? 10 8 ? 21.4 ? 10 9 (Hz) ?3 2 ? 7.0 ? 10
(2 分)

? c 01 ?

c 2b
(2 分)

3 ? 10 8 ? ? 25 ? 10 9 (Hz) ?3 2 ? 6.0 ? 10

? c11 ?

c a2 ? b2 2ab

55

?

3 ? 10 8 (7.0 ? 10 ?3 ) 2 ? (6.0 ? 10 ?3 ) 2 ? 33 ? 10 9 (Hz) ?3 ?3 2 ? 7.0 ? 10 ? 6.0 ? 10
(2 分)

已知电磁波的频率为:? ? 3.0 ? 10 Hz ,显然:
10

? ? ? c10 , ? ? ? c 01 , ? ? ? c11
故此在这波导管中只能以 TE10 波及 TE01 波两面种波型传播. 第五题(13 分) 解:以球心为坐标原点,对称轴为 z 轴,建立坐标系. 本题可用电象法解.用三个象电荷 Q1’、Q2’和 Q3’代替导体表面的感应电荷。 (2 分)

a 2 (0,0, a b ) ; Q'1 ? ? Q ,位置为: b a 2 (0,0, ? a b ) ; Q' 2 ? Q , 位置为: b
Q'3 ? ?Q ,位置为: (0,0, b ) ;
上半空间的电势为:

??

Q 4?? 0

[

1 x ? y ? ( z ? b)
2 2 2

?

a b x2 ? y 2 ? (z ? a 1 ]
2

b

)2

?

a
2 b x ? y ? (z ? a )2 b 2 2

?

x 2 ? y 2 ? ( z ? b) 2

显然,在边界(即导体表面及 R ?? 处)上有 ? ? 0 ,满足所有的边界条件,根据静 电唯一性定理,上述电势 ? 是本问题唯一正确的解。 点电荷 Q 受的力: (4 分)

? Q2 F? [ 4?? 0

?a a a ? ? ? ]e 2 2 a 2 a 2 (2b) 2 b(b ? ) b(b ? ) b b

(4 分)

第六题(13 分) 解:设惯性系 S 与地球---宇航站固连,S’系与飞船固连, 则有 ?t ' ? 30 分

(3 分) (5 分)

?t ?

?t ' v2 1? 2 c

56

?

30 0.8c 2 1? ( ) c

? 50 (分)

(3 分)

此时宇航站上的钟读数为: 12:00+50=12:50

(2 分)

57



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