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山东省临沂市临沭县第一中学2016届高三上学期第一次月考数学(文)试题



2013 级高三第一次模拟考试试题

数学(文史类)
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分, 共 5 页. 第 I 卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 6 页.满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 注意事项: l.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡 规定的位置上. 2. 第 I 卷每小题选出答案后

, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上.

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。
2 1.已知集合 M ? ?0,1, 2,3? , N ? x x ? 3 x ? 0 ,则 M ? N ? (

?

?

)

A. ?0?

B. x x ? 0

?

?

C.

? x ? ? x ? 3?
C. 无解

D. ?1, 2? )

2.在△ABC 中, 已知 b=40, c=20, C=60°, 则此三角形的解为 ( A. 有一解 B. 有两解

D. 有解但解的个数不确定 )

3.已知向量 a,b,且|a|=1,|b|=2,则|2b-a|的取值范围是( (A)[1,3] (B) [3,5] ) (C) [2,4]

(D)[4,6]

4.下面命题中,假命题是(
a b

(A)“若 a≤b,则 2 ≤2 -1”的否命题 (B)“? a∈(0,+∞),函数 y=a 在定义域内单调递增”的否定 (C)“π 是函数 y=sin x 的一个周期”或“2π 是函数 y=sin 2x 的一个周期” (D)“x +y =0”是“xy=0”的必要条件 5、若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 ,A=60°,则 BC 边的长是( A. 5 B.6 C.7 D.8 ) )
2 2 x

6.等差数列{an}的公差为 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( A.n(n+1) C. B.n(n-1) D.

n( n ? 1) 2

n( n ? 1) 2

7.若函数 f(x)满足 xf′(x)>-f(x),则下列关系一定正确的是 A.2f(1)>f(2) C.f(1)>f(2) B.2f(2)>f(1) D.f(1)<f(2)

(

)[Zx

8.已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数,数列{bn}满足 bn ? lg an , b3 =18,

b6 =12,则数列{bn}的前 n 项和的最大值等于 (
A.126 B.130 C.132

)

D.134

? 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 9.已知数列{an}: , + , + + , + + + ,?,那么数列{bn}= ? 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 aa ?
n

? ? 的前 n 项 n ?1 ?

和为(

)

A.4?1- C.1-

? ?

n+1? ?

1 ?

1 ? ?1 B.4? - ? ?2 n+1? 1 1 D. - 2 n+1

1 n+1

10.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,对于任意 x∈R 都 f(x+6)=f(x)+f(3) 成立;当 x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,都有 >0.给出下列四个命题:

①f(3)=0; ②直线 x=﹣6 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为增函数; ④函数 y=f(x)在[0,2014]上有 335 个零点. 其中正确命题的个数为( A. 1 ) C. 3 D. 4

B. 2

第 II 卷

非选择题,共 100 分

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.在△ABC 中,若 b = 1, c = 3 , C ?

?
3

,则 a =

.

12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? _______. 13.向量 a=(3,4)在向量 b=(1,-1)方向上的投影为________. 14. 数列{an}满足:a1+3a2+5a3+?+(2n-1)· an=(n-1)· 3n 1+3(n∈N*),则数列{an}的通项 公式________.


15.已知函数 f(x)= ?

?10-x-2, x≤0 ?2ax-1, x>0

(a 是常数且 a>0) .给出下列命题:

①函数 f(x)的最小值是-1; ②函数 f(x)在 R 上是单调函数; ③函数 f(x)在(-∞,0)上的零点是 x= lg ④若 f(x)>0 在[

1 ; 2

1 ,+∞)上恒成立,则 a 的取值范围是[1,+∞) 2

⑤对任意的 x1,x2<0 且 x1≠x2,恒有 其中正确命题的序号是_________. (写出所有正确命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; sin B 的值. (II)若 c ? 1 ,求 a、

u r uuu r A 2 5 uu ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

17. (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中,已知 a1 ?

1 an?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3log 1 an ? n ? N ? ? . 4 an 4 4

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (III)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分 12 分)如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60° 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/时的 速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从处 B 出发沿 北偏东 ? 的方向追赶渔船乙, 刚好用 2 小时追上, 此时到达 C 处. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值.

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , a,b,c 分 别 是 角 A,B,C 的 对 边 , 且 b cos C ? c cos B ? 2a cos B . I.求角 B 的大小; II.若函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? B? ? sin ? 2x ? B? ? 2cos2 x ?1, x ? R . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)求 函数 f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 4 4? ?

20. (本小题满分 13 分)已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a7 ? 16, S10 ? 100 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an g2
an ?1 2

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 2 ax ? ln x ? 2, a ? R . 2

I.当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线的斜率; II.讨论函数 f ? x ? 的单调性; III.若函数 f ? x ? 有两个零点,求实数 a 的取值范围.

?

?

2013 级高三第一次模拟考试试题
数学(文史类)答案
一. 选择题 DCBDC ABCAB 12.100 2 13 - 2 14 an ? 3n 15.①③⑤

二. 填空题 11.2 三.解答题 16.解: (1) cos A ? 2 ? (

2 5 2 3 ) ?1 ? , 5 5

?? ?? ??2分

而 AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? 又 A ? (0, ? ) ,? sin A ?

??? ? ????

??? ? ????

3 bc ? 3, ? bc ? 5 ?? ?? ??4分 5

4 , 5 1 1 4 ? S ? bc sin A ? ? 5 ? ? 2. 2 2 5

?? ?? ??5分 ?? ?? ??6分 ?? ?? ??8分

(2)? bc ? 5, 而 c ? 1 ,? b ? 5

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 , a ? 2 5.
4 b sin A a b 5 ? 2 5. ? ? 又 ,? sin B ? a 5 sin A sin B 2 5 5?
17.解: (1)?

?? ?? ??10分

?? ?? ??12分

1 1 an ?1 1 ? ,∴数列 {an } 是首项为 ,公比为 的等比数列, 4 4 an 4

1 n 4 (2)? bn ? 3 log 1 an ? 2
4

∴ a n ? ( ) (n ? N *) .?????????????????????????3 分 ????????????????????????4 分

∴ bn ? 3 log 1 ( ) ? 2 ? 3n ? 2 .?????????????????????6 分
n 4

1 4

∴ b1 ? 1 ,公差 d ? 3 ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列. ????????????7 分 (3)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2 , ????????????????????8 分

1 n 4 1 n ∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) , 4

∴ Sn ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n ? [1 ? 4 ? 7 ? ? ? (3n ? 5) ? (3n ? 2)] ? [ ? ( ) ? ( ) ? ? ? ? ? ) ? ( ) ] 4 4 4 4 4
???????????10 分

1 1 [1 ? ( ) n ] n(1 ? 3n ? 2) 4 3n 2 ? n 1 1 1 n 4 ? ? ? ? ? ? ( ) ??????????12 分 1 2 2 3 3 4 1? 4 18.解析 (1)依题意知,∠BAC=120°,AB=12(海里),AC=10×2=20(海里),
∠BCA=α, 在△ABC 中,由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=122+202-2×12×20×cos 120°=784. 解得 BC=28(海里). 所以渔船甲的速度为

BC
2

=14 海里/时.

(2)在△ABC 中,因为 AB=12(海里),∠BAC=120°,BC=28(海里),∠BCA=α , 由正弦定理,得 = . sin α sin 120°

AB

BC

即 sin α =

ABsin 120° = BC

12× 28

3 2



3 3 . 14

19.解:(Ⅰ) ? b cos C ? c cos B ? 2a cos B ,由射影定理,得

1 ? a ? 2a cos B ? cos B ? .? B ? ?????4 分 2 3 或边化角,由? b cos C ? c cos B ? 2a cos B ,变为 sin B cos C ? sin C cos B ? 2 sin A cos B , 1 ? ? cos B ? .? B ? 即 sin A ? 2 sin A cos B 2 3 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 B ? ,所以 3 ? ? f (x)= sin (2 x + )+sin(2 x ? )+2cos 2 x ? 1 3 3 ? ? ? ? = sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? cos 2 x 3 3 3 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ?????7 分 4 2? ?? . (1) f ( x ) 的最小正周期 T ? ?????8 分 2

(2)? x ? [ ? 所以, f ( x) ?

? ?
4 4 ,

], ? 2 x ? [ ?

? ?
2 2 ,

],2x ?

?
4

?[ ?

? 3?
4 ,

? 2 ] , sin(2 x ? ) ? [? ,1] 4 4 2
?????10 分 ?????12 分

2 sin(2 x ? ) ? [ ?1, 2] 4

?

故 f ( x)max ? 2, f ( x)min ? ?1. 20.(Ⅰ)? ?

?a2 ? a7 ? 2a1 ? 7d ? 16 ?2a1 ? 7d ? 16 ?a ? 1 ?? ?? 1 ?2a1 ? 9d ? 20 ?d ? 2 ?S10 ? 10a1 ? 45d ? 100

????4 分

? an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1
(Ⅱ)由(1)知, bn ? an ? 2
an -1 2

?????????5 分

? (2n ? 1) ? 2n ?1

?????????7 分

Tn ? 1 ? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ...... ? (2n ? 1) ? 2n ?1
2Tn ? 1 ? 21 ? 3 ? 22 ? ...... ? (2n ? 3) ? 2n ?1 ? (2n ? 1) ? 2n

+2 ? 2n ?1 ? (2n ? 1) 2n ????9 分 ? ?Tn ? 1 ? 2 ? 21 + 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ......
=1 ? 2

2(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1)2n 1? 2
n

=1-4+ (3 ? 2n)2

?????????11 分 ?????????12 分

?Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n .
21.(1)当 a ? 1 时, f ?( x) ? x ?

1 ,x ? 0 x

? k ? f ?(1) ? 0
?????????3 分

所以曲线 y= f (x)在点 (1,f (1)) 处的切线的斜率为 0. (2) f ?( x) ? ax ?

1 ax 2 ? 1 ? ,x ? 0 x x

????????????????4 分

? ?) 上单调递减; ① 当 a ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0,
② 当 a ? 0时,令f ?( x) ? 0, 解得x ?

?????????6 分

a . a

a a 当x ? (0, )时,f ?( x) ? 0;当x ? ( , ? ?)时,f ?( x) ? 0 . a a a a ?函数f ( x)在(0, )内单调递减;在( , ? ?)内单调递增 a a
??????8 分

(3)当 a ? 0时, 由(2)可知 f ? (x ) ? 0,f (x )在 (0, ? ?)上单调递减,函数 f ( x) 不可能 有两个零点; 当 a>0 时,由(2)得,函数f ( x)在(0, ?????????10 分

a a 且当 x )内单调递减,在( , ? ?)内单调递增, a a

趋近于 0 和正无穷大时, f ( x) 都趋近于正无穷大,故若要使函数 f ( x) 有两个零点;

则 f ( x) 的极小值 f (

1 1 a ) ? 0 ,即 ? ln a -2 ? 0 ,解得 0 ? a ? e 3 2 2 a
3

所以 a 的取值范围是 (0,e )

????????????14 分

6.[解析] A 由题意,得 a2,a2+4,a2+12 成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解得 a2 n?n-1? =4,即 a1=2,所以 Sn=2n+ ×2=n(n+1). 2

7.解析 B

令 g(x)=xf(x),则 g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,∴g(x)是增函

数,∴g(2)>g(1),即 2f(2)>f(1).
8. bn+1-bn=lg an+1-lg an=lg an+1 =lg q(常数), an

? ? ?b1+2d=18, ?d=-2, ∴{bn}为等差数列.∴? ∴? ?b1+5d=12, ?b1=22. ? ?

由 bn=-2n+24≥0,得 n≤12,∴{bn}的前 11 项为正,第 12 项为零,从第 13 项起为负, ∴S11、S12 最大且 S11=S12=132. 9.[ 解析 ] 由题意知 an= 1+2+3+?+n n 1 2 3 n 1 + + +?+ = = , bn = = 2 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 anan+1

1 1 1 1 ? 1 1 1 1- ? + 4 ? - ? + ? + 4 ?n- 4 ?n-n+1? , 所 以 b1 + b2 + ? + bn = 4 ? 2 2 3 n + 1? = ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 4?1-2+2-3+?+n-n+1?=4?1-n+1?.

?

?

?

?

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