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简单复合函数求导



简单复合函数的导数
一、基础知识梳理: (一)常用的求导公式

公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x ) ? x n , 则f '( x ) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x ) ? cos

x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? 公式8.若f ( x ) ? ln x, 则f '( x ) ?
(二)复合函数的求导数公式 若 u=u(x),v=v(x)在 x 处可导,则

1 ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a

1 ; x

(u ? v )? ? u ? ? v? (u ? v )? ? u ?v ? uv? (cu)? ? cu ? ( u u ?v ? uv? )? ? v v2

(三)复合函数求导法则 1、二重复合:若 y ? f (u ) , 2、多次复合函数求导法则类推

u ? ? (x) 且 u ? ? (x) 在点 x 处可导。 则 y ? ? f (u)? ? ? ( x)?

二、典型例题分析: 例 1、求下列函数的导数; 1) y ? 2 x3 、 ( ) ?
3

n 1 ( l 2) y ?5 ) x ? 、

1

练习:求下列函数的导数 1) y ? 2 x3 、 ( ) ?
2

2) y ?1 3) x 、 ( ?

3

例 2、求下列函数的导数; 1) y ? 、

1 3x ? 1

2)、 y ? cos(1 ? 2 x)

练习:求导数; 1) y ? ln 、

1 x

2) y ? e 、

2x

3) 、求曲线 y ? sin 2 x 在点 P( ? ,0 )处的切线方程。

例题 3

已知 f (5) ? 5, f '(5) ? 3, g (5) ? 4, g '(5) ? 1

,根据下列条件

求 h(5) 及 h '(5)

gx 1) hx 3 f x 2 ()? 、 () ? ()

2) h( x) ? f ( x) g ( x) ? 1 、

3) h( x) ? 、

f (x 2 ) ? g ( x)

2

巩固练习 1.函数 y=

1 的导数是 (3x ? 1) 2
B.

A.

6 (3 x ? 1) 3

6 (3x ? 1) 2

C.-

6 (3 x ? 1) 3

D.-

6 (3x ? 1) 2

2.已知 y=

1 sin2x+sinx,那么 y′是 2
B.既有最大值,又有最小值的偶函数 D.非奇非偶函数

A.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数

3.函数 y=sin3(3x+

? )的导数为 4 ? ? A.3sin2(3x+ )cos(3x+ ) 4 4 ? C.9sin2(3x+ ) 4

B.9sin2(3x+

? ? )cos(3x+ ) 4 4 ? ? D.-9sin2(3x+ )cos(3x+ ) 4 4

4.函数 y=cos(sinx)的导数为 A.-[sin(sinx)]cosx C.[sin(sinx)]cosx

B.-sin(sinx) D.sin(cosx)

5.函数 y=cos2x+sin x 的导数为

A.-2sin2x+

cos x 2x

B.2sin2x+

cos x 2 x

C.-2sin2x+

sin x 2 x

D.2sin2x-

cos x 2 x

6.过曲线 y=

1 1 上点 P(1, )且与过 P 点的切线夹角最大的直线的方程为 x ?1 2
B.2y+8x+7=0 C.2y+8x-9=0 D.2y-8x+9=0

A.2y-8x+7=0

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 7.函数 y=(1+sin3x)3 是由___________两个函数复合而成.

3

8.曲线 y=sin3x 在点 P(

? ,0)处切线的斜率为___________. 3

9.函数 y=xsin(2x-

? ? )cos(2x+ )的导数是 2 2

.

10.函数 y= cos(2 x ?

?
3

) 的导数为

.

1 11.函数 y=cos x 的导数是___________.
3

复合函数的导数 1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.A

7.y=u3,u=1+sin3x 8.-3

1 9.y′= sin4x+2xcos4x 10. 2

? sin(2 x ? ) 3 cos(2 x ? ) 3

?

?

11.

1 1 1 cos 2 ? sin 2 x x x

4



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