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平面解析几何中的关于直线对称问题一


平面解析几何中的 关于直线对称问题(上)

一.点关于直线对称(一般通法)
例1.求点P ?? 3, 4?关于直线4 x ? y ? 1 ? 0 对称的点的坐标。
L P M P’

?垂直 对称? 从中点坐标公式 ?平分列方程2

从斜率(若斜率都存在) 列方程1

一.点关于直线对称(特殊情况1)
例2.分别求点P ( x0 , y0 )关于 直线x ? a和y ? b对称的点的坐标。
对称轴与坐标轴垂直的, 点的坐标只需设一个未知元, 故只需一个方程, 由于斜率不存在或斜率为0的特殊性, 可以省掉通法中由斜率得到的方程1, 直接用中点坐标公式列出方程2.

一.点关于直线对称(特殊情况2)
例3.分别求点P ( x0 , y0 )关于直线 (1) x ? y ? 0; ( 2) x ? y ? 1 ? 0; ( 3) x ? y ? 0; (4) x ? y ? 2 ? 0; 对称的点的坐标.
有兴趣的同学联 系第一章函数的 内容思考,此结 论是计算的偶然 还是必然?

对称轴是与象限角平分线平行的直线时, 将对称轴方程中的x,y相互表示, 并将已知点坐标代入即得到对称点坐标。

一.点关于直线对称(研究过程中的思想)

?特殊和一般的思想

数学充满着辩证法
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二.直线关于直线对称(情况1)

分类讨论 的思想

例4.求直线l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0关于直线l : 2 x ? y ? 1 ? 0 对称的直线方程.

对称轴和已知直线平行时,利用平行线间的距离相等。

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二.直线关于直线对称(情况2)
例5.求直线l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0关于直线l : x ? 3 y ? 1 ? 0 对称的直线方程.
l1
思路1.一点和斜率可以确定直线 利用到角公式 思路2.两点可以确定直线 转化为点关于直线对称
思路3.将直线看成点轨迹 还是转化为点关于直线对称

l
O

l2

转化的思想

二.直线关于直线对称(特殊化)
例6.求直线l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0关于直线l : x ? y ? 1 ? 0 对称的直线方程.
这样思考: 既然可以转化为点关于直线对称的问题, 那么点关于直线对称问题中的结论在此处仍然适用。

作业1:思考还有哪些特殊化情况,都可以怎么处理? 作业2:总结这一课中的一些思想方法。 站得更高,所以看得更远 --中央电视台公益广告

三.直线关于点对称

例6.求直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0关于点 P( 1 , 1 )对称的直线方程 .

P

思路1.转化为直线关于直线对称 (情况1)

思路2.转代法

l

三.直线关于点对称


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