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2016-2017海淀区高二年级第一学期理科数学期末试卷及答案



海淀区高二年级第一学期期末练习


学校 班级
本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟.

学 (理科)
姓名 成绩

2017.1

三 题号 一 二 15 分数 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.直线 x ? y ? 1 ? 0 的斜率是 A. 1
2 2

16

17

18

( C.



B. ? 1

? 4

D.

3? 4
( )

2.方程 x ? y ? 4 x ? 0 表示的圆的圆心和半径分别为 A. ( ?2, 0) ,2 B. ( ?2, 0) ,4 C. (2, 0) ,2

D. (2, 0) ,4 ) D. ? 1 ( D. (1, 2,3) ) )

3.若两条直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 3 x ? 6 y ? 1 ? 0 垂直,则 a 的值为 ( A. 4 B. ?4 C. 1

4.在空间直角坐标系中,点 P (1, 2, ?3) 关于坐标平面 xOy 的对称点为 A. ( ?1, ?2, 3) B. ( ?1, ?2, ?3) C. ( ?1, 2, ?3)

5.已知三条直线 m, n, l ,三个平面 ? , ? , ? ,下面说法正确的是( A.

? ?? ? ? ? ? / /? ? ?? ?
m / /? ? ? ? l / /? l?m ?

B.

m ? l? ? ? m / /n n?l ? m / /n ? ??m?? n ?? ?
( )

C.

D.

6. “直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ”是“直线 l 经过点 ( 2,0) ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件
1

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.一个三棱锥的三视图如图所示,则三棱锥的体积为(



5 3 20 C. 3
A.

10 3 25 D. 3
B.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 8.实数 x , y 满足 ? x ? 1, ,若 u ? 2 x ? y 的最小值为 ?4 ,则实数 a 等于( ?y ? a ?
A. ? 4 B. ?3 C. ?2 D.6



二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 9.双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的渐近线方程为_________. 4

x2 y2 10.点 P 是椭圆 ? ? 1 上的一点, F1 、 F2 分别是椭圆的左右焦点,则 ? PF1F2 的周 4 3
长是_________. 11.已知命题 p : ?x ? 1 , x ? 2 x ? 1 ? 0 ,则 ?p 是_________.
2

12.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2), B ( 2,1,0), C (0, a,1) ,若 AB ? AC ,则实数 a 的 值为_________. 13.已知点 P 是圆 x ? y ? 1 上的动点, Q 是直线 l : 3 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的动点,则 | PQ | 的最小值为_________. 14.如图,在棱长均为 2 的正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,点 M 是 侧棱 AA1 的中点,点 P 、 Q 分别是侧面 BCC1 B1 、底面 ABC 内 的动点,且 A1 P // 平面 BCM , PQ ? 平面 BCM ,则点 Q 的轨 迹的长度为_________.
2 2

2

三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 10 分) 已知圆 M 过点 A(0, 3) , B (1, 0) , C ( ?3, 0) . (Ⅰ)求圆 M 的方程; (Ⅱ)过点 (0, 2) 的直线 l 与圆 M 相交于 D 、 E 两点,且 DE ? 2 3 ,求直线 l 的方程.

3

16. (本小题满分 10 分) 已知抛物线 C : y ? 4 x ,过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A , B 两点,定点 M (5, 0) .
2

(Ⅰ)若直线 l 的斜率为 1 ,求△ ABM 的面积; (Ⅱ)若 ?AMB 是以 M 为直角顶点的直角三角形,求直线 l 的方程.

4

17. (本小题满分 12 分) 如图,在底面是正三角形的三棱锥 P ? ABC 中, D 为 PC 的中点, PA ? AB ? 1 ,

PB ? PC ? 2 .
(Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求 BD 与平面 ABC 所成角的大小; (Ⅲ)求二面角 D ? AB ? C 的余弦值.

5

18. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A ,上顶 a 2 b2

点为 B ,△ BF1 F2 是边长为 2 的正三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (Ⅱ)是否存在过点 F2 的直线 l ,交椭圆于两点 P 、 Q ,使得 PA / / QF1 ,如果存在,试 求直线 l 的方程,如果不存在,请说明理由.

6

海淀区高二年级第一学期期末练习参考答案 数 学 (理科)
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.

2017.1

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 D 5 D 6 A 7 B 8 C

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 9.

y ? ?2 x

10. 6 12. ?1 14.

2 11. ?x ? 1 , x ? 2 x ? 1 ? 0

13. 1

4 3

三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. 解: (Ⅰ)设圆 M : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则
2 2

?3 ? 3E ? F ? 0 ? D ? 2 ? ? ? 1 ? D ? F ? 0 ? ? E ? 0 ………………………………………………………………(3 ?9 ? 3D ? F ? 0 ? F ? ?3 ? ?
分) 故圆 M : x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 ,即 ( x ? 1) ? y ? 4 ………………………… (4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得, M ( ?1, 0) . 设 N 为 DE 中点, 则 MN ? l , | DN | ? | EN |? 分) 此 时
2 2 2 2

1 (5 ? 2 3 ? 3 ………………… 2

| MN | ? 4 ? ( 3) 2 ? 1 . ……………………………………………………………(6 分)
7

当 l 的斜率不存在时, l : x ? 0 ,此时 | MN | ? 1 ,符合题意 分) 当 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? 2 ,由题意

…………(7

| k (?1) ? 2 | k 2 ?1
(8 分)

?1

……………………………

3 解得:k ? , 4
分) 故直线 l 的方程为 y ? (10 分) 综上直线 l 的方程为 x ? 0 或 3 x ? 4 y ? 8 ? 0

…………………………… (9

3 即 3 x ? 4 y ? 8 ? 0 ……………………………… x?2, 4

16. 解: (Ⅰ)解法 1:由题意 F (1, 0) ,当 AB 的斜率为 1时,l : y ? x ? 1 分)

……………(1

? y2 ? 4x ? y 2 ? 4 y ? 4 ? 0 ……………………………………………………………… ? ? y ? x ?1
(2 分) 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,由 ? ? 4 ? 4 ? (?4) ? 0 故
2

? y1 ? y2 ? 4 ? ? y1 ? y2 ? ?4
(3 分) 有

……………………………………………………………………………………

| y1 ? y2 | ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 4 2
分) 有 S ?AMB ? S ?AMF ? S ?BMF ? (5 分)

………………………………………(4

1 1 ? | y1 | ?4 ? ? | y2 | ?4 ? 2? | y1 ? y2 | ? 8 2 2 2
…………………………

解法 2:由题意 F (1, 0) ,当 AB 的斜率为 1时, l : y ? x ? 1

……………(1 分)

8

? y 2 ? 4x ? x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ……………………………………………………………… ? ? y ? x ?1
(2 分) 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,由 ? ? 4 ? 4 ? (?4) ? 0
2

x1 ? x2 ? 6 AB ? x1 ? x2 ? 2 ? 8
点 ………………………………………………………(3 分) 到 直 线



M

AB







d?

5 ?1 2

? 2 2 ………………………………………………………(4 分)

1 S ?ABM ? ? 8 ? 2 2 ? 8 2 2
分)

……………………………………………………( 5

(Ⅱ)解法 1:易得,直线 l 的斜率不为零,设直线 l 的方程为 x ? my ? 1

? y2 ? 4x ? y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ? ? x ? my ? 1
…………(6 分)

……………………………………………

设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,由 ? ? 16m ? 16 ? 0 ,得

2

? y1 ? y2 ? 4m ……………………………………………………………… ? ? y1 ? y2 ? ?4
……………………(7 分) 由 MA ? MB ? 0 ,得 ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ? y1 y2 ? 0 , (8 分) 即 ( my1 ? 4)( my2 ? 4) ? y1 y2 ? 0 整理得: ( m ? 1) y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 此时有: ( m ? 1) ? ( ?4) ? 4m ? (4m) ? 16 ? 0 ,解得 m ? ? 分) 故 l 的方程为
2 2

???? ????

………………………

15 …………(9 5

9

x?


15 15 y ?1或 x ? ? y ?1 5 5 5 x ? 15 y ? 5 ? 0


5 x ? 15 y ? 5 ? 0 ………………………………………(10 分)
解法 2:易知直线 l ? x 时不符合题意.可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), , ? 2 ? y ? 4x
消去 y ,可得 k x ? ( 2k ? 4) x ? k ? 0 .
2 2 2 2 2

…………………………(6 分)

则 ? ? 16( k ? 1) ? 0 .设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ? 2 ?

4 , x1 x2 ? 1 . …………………………………………(7 分) k2

由 MA ? MB ? 0 ,得 ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ? y1 y2 ? 0 ,………………………(8 分) 即: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 25 ? 4 x1 x2 ? 0 , 即: 1 ? 5( 2 ?

???? ????

15 4 . ) ? 25 ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 2 3 k

…………(9 分)

故 l 的方程为 5 x ? 3 y ? 5 ? 0 或 5 x ? 3 y ? 5 ? 0 . ……………………………………… (10 分) 17.解: (Ⅰ)∵ PA ? AB ? 1 , PB ? ∴

2,
…………………………………………………………

PA ? AB
(1 分) ∵ 底面是正三角形 ∴ AC ? AB ? 1 ∵ PC ? ∴

2
…………………………………………………………

PA ? AC
(2 分) ∵ AB ? AC ? A

AB, AC ? 平面 ABC
10

∴ PA ? 平面 ABC . …………………………………………………………(3 分) (Ⅱ)以 A 为原点, AB 为 x 轴, AP 为 z 轴,平面 ABC 中垂直于 AB 的直线为 y 轴建立 空间直角坐标系,则 A(0, 0, 0) , B (1, 0, 0) , C ( ,

1 3 , 0) , P (0, 0,1) 2 2

……………………………………………………………………………………………… ……………………………(4 分) 所 以

1 3 1 D( , , ) 4 4 2



??? ? 3 3 1 BD ? (? , , ) . ……………………………………………(5 分) 4 4 2
平面 ABC 的法向量为 n1 ? (0, 0,1) , ……………………………………………(6 分) 记 BD 与平面 ABC 所成的角为 ? ,则

??

2 ……………………………………………(7 分)
∴ ?? . 6 ……………………………………………(8 分) (Ⅲ)设平面 ABD 的法向量为 n2 ? ( x , y , z ) , 由

??? ? 1 sin ? ? cos ? n1 , BD ? =

?

?? ?

?? ? ???? n2 ? AD





1 3 1 x? y? z? 0, 4 4 2
由 n2 ? AB 得: x ? 0

……………………………………………(9 分)

?? ?

??? ?

z?? 代入上式得,
(10 分)

3 y. 2

…………………………………

令 y ? 2 ,则 z ? ? 3 ,因而, n2 ? (0, 2, ? 3) . (11 分)

?? ?

…………………………………

11

记二面角 D ? AB ? C 的大小为 ? ,则 cos ? ?| cos ? n1 , n2 ?| ? 分) 18. 解: (Ⅰ) 由题意可得 a ? 2, b ?, 3, c ? 1 所以椭圆 C 的标准方程为 椭圆的离心率 e ?

?? ?? ?

21 .………(12 7

(2 分) ……………………………………

x2 y2 ? ? 1 ,……………………………………(3 分) 4 3

c 1 ? .……………………………………………(4 分) a 2

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得, F1 ( ?1, 0) , F2 (1, 0) , A(2, 0) ,设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 显然直线 l 的斜率不为零,设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,则 分) ……………………………(5

? x2 y2 ?1 ? ? ? 3( my ? 1) 2 ? 4 y 2 ? 12 ……………… ( 6 3 ?4 ? x ? my ? 1 ?
分) 整理得: (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 ,此时 ? ? 144m ? 144 ? 0 ,故
2 2 2

6m ? y1 ? y2 ? ? 2 ? ? 3m ? 4 ………………………………… ? ?y ? y ? ? 9 ? 1 2 3m 2 ? 4 ?
注意到 AP ? ( x1 ? 2, y1 ) ? (my1 ? 1, y1 ) , F1Q ? ( x2 ? 1, y2 ) ? (my2 ? 2, y2 ) …………………………… ………(8 分) 若 PA / / QF1 ,则 ( my1 ? 1) ? y2 ? ( my2 ? 2) ? y1 ,即 y2 ? ?2 y1 分) ……………(9

??? ?

…(7 分)

????

6m ? y ? ? y2 ? ?2 y1 1 ? 72m 2 ? ? 3m 2 ? 4 ? ? y y ? ? 此时由 ? , ? 6m 1 2 2 2 12 m (3 m ? 4) y ? y ? ? 1 2 ? y2 ? ? 2 3m 2 ? 4 ? ? ? 3m ? 4 ?
……………………… (10 分)
12

故? 分)

72m2 9 2 2 ?? 2 , 解得 5m ? 4 , 即m ? ? 2 2 (3m ? 4) 3m ? 4 5
2 2 y ?1或 x ? ? y ? 1, 5 5 5x ? 2 y ? 5 ? 0
………………………………………(12 分)

…………… (11

故 l 的方程为 x ?





5x ? 2 y ? 5 ? 0

解法 2: 由(Ⅰ)得 F1 ( ?1, 0) , F2 (1, 0) , A(2, 0) . 直线 l ? x 时,

PF2 QF2

?1?

AF2 F1 F2

,则 PA / / QF1 不成立,不符合题意. .……………………………………

……(5 分) 可 设 直 线

l









y ? k ( x ? 1) .

.………………………… ………………(6 分)

? y ? k ( x ? 1), ? 2 , ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4
消去 y , 可得 4k ? 3 x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 则 ? ? 144( k ? 1) ? 0 .设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 )
2

?

2

?

2

2

2

……………… (7 分)

8k 2 4k 2 ? 12 则 x1 ? x2 ? ①, x1 x2 ? ② 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 AP ? ( x1 ? 2, y1 ) , F1Q ? ( x2 ? 1, y2 ) .
若 PA / / QF1 ,则 AP // F1Q , 则 k ( x1 ? 2)( x2 ? 1) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ? 0 . 化简得 2 x1 ? x2 ? 3 ? 0 ③. 分) 联立①③可得 x1 ?

.…………………(8 分)

………………………( 9

4k 2 ? 9 4k 2 ? 9 , , ………………………(10 分) x ? 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
13

代入②可以解得 k ? ? 分)

5 . 2

…………………………(11

故 l 的方程为 5 x ? 2 y ? 5 ? 0 或 5 x ? 2 y ? 5 ? 0 . ……………(12 分)

14



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