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第三讲 微分及导数的应用


第三讲 微分及导数的应用

一、内容提要:本讲主要是讲解函数与极限、连续函数、导数问题。 内容提要

二、重点:本讲的重点是 微分的应用,二个中值定理,导数的应用。 重点

难点:本讲的难点是偏导数及其应用。

三、内容讲解: 内容讲解:

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1、微分及其应用:

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为了对微分有比较直观的了解,我们再来说明微分的几何意义。 如下图所示:

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基本初等函数的微分公式与微分运算法则。 1.2 基本初等函数的微分公式与微分运算法则。

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微分中值定理与导数的应用。 2、 微分中值定理与导数的应用。

2.1 罗尔中值定理:如下图所示,

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如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程 f’(x)=0 的根及 f’(x)不存在的点来划分函数 f(x)的定义区间, 就能保证 f’(x)在各个部分区间保持固定符号, 因而函数 f(x)在每个部分区间上单调。

函数的极值判定:设函数 f(x)在区间(a,b)内有定义,x0 是(a,b)内的一个点,如果存在着点 x0 的 一个邻域,对于这邻域内的任何点 x,除了点 x0 外,f(x)f(x0)均成立,就称 f(x0)是函数 f(x)的一个 极小值。

必要条件:设函数 f(x)在点 x0 处具有导数,且在 x0 处取得极值,那么这函数在 x0 处的导数 f’(x)=0。 使导数为 0 的点叫做函数 f(x)的驻点。

第一种充分条件:设函数 f(x)在点 x0 的一个邻域内可导且 f’(x)=0 如果当 x 取 x0 左侧邻近的值时, f’(x)恒为正,当 x 取 x0 右侧邻近的值时,f’(x)恒为负,那么 f(x)在 x0 处取得极大值;如果当 x 取 x0 左侧邻近的值时,f’(x)恒为负,当 x 取 x0 右侧邻近的值时,f’(x)恒为正,那么 f(x)在 x0 处取 得极小值;如果当 x 取 x0 左右两侧邻近的值时,f’(x)恒为正或恒为负,那么函数 f(x)在 x0 处没有极 值。

第二种充分条件: 设函数 f(x)在点 x0 处具有二阶导数且 f’(x0)=0, f’(x0)≠0, (1) f’’(x0)<0 那么 当 时,函数 f(x) 在 x0 处取得极大值;(2)f’’(x0)>0 时,函数 f(x) 在 x0 处取得极小值。

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例 14、求函数 f(x)=(x -1) +1 的极值。
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解:f’(x)=6x(x -1) 令 f’(x)=0,求得驻点 x1=-1,x2=0,x3=1,f’’(x)=6(x -1)(5x -1),因 f’’(0)=6>0,f(x)在 x=0 处取得极小值,极小值为 0;因 f’’(-1)= f’’(+1)=0,用定理无法判别, 只能看导数 f’(x)在驻点 x1=-1, x3=1 左右邻近的符号。当 x 取-1 左侧邻近的值时,f’(x)<0,当 x 取-1 右侧邻近的值时,f’(x)<0,所以在 x=-1 处没有极值。

函数的最大值和最小值的判定:设 f(x)在(a,b)内的驻点为 x1,x2,…xn 则比较 f(a)、f(x1)、 f(x2)…f(xn),f(b)的大小,其中最大的便是 f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是 f(x)在[a,b]上的最 小值。 例 15、求函数 y=2x +3x -12x+14 在[-3,4]上的最大值与最小值。
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解:f(x)= 2x +3x -12x+14,f’(x)=6x +6x-12=0,解得 x1=-2,x2=1。,求得 f(-3)、f(-2)、f(1)、f(4) 可得在 x=4 处取得它在[-3,4]上的最大值,在 x=1 取得它在该区间上的最小值。 曲线的凹凸性与拐点的判定:设 f(x)在(a,b)内 2,内如果对(a,b)内任意两点 x1,x2,恒有

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多元函数的微分法及其应用。 3 多元函数的微分法及其应用。

偏导数及全微分: 3.1 偏导数及全微分:

多元函数的概念:设 D 是平面上的一个点集,如果对于每个点 P(x,y)∈D 变量 z 按照一定的法

则总有确定的值和它对

应, 则称 z 是变量 x,y 的二元函数, 记为 z=f(x,y)点集 D 称为该函数的定义域, 称为自变量, x,y z 称为因变量。

偏导数的定义:设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻戴内有定义,当 y 固定在 y0 3.2 偏导数的定义

上面的结果,就得到结果。

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高阶偏导数:若函数 z=f(x,y)的偏导数 fx(x,y)及 fy(x,y)存在,则称它们为 f(x,y)的二阶 3.3 高阶偏导数 偏导数,二阶及二阶以

上的偏导数称为高阶偏导数。

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多元函数的极值:(必要条件)设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,在点(x0,y0) 3.7.3 多元函数的极值 处有极值,则它

在该点的偏导数为零,即 fx(x0,y0)=0

fy(x0,y0)=0

(充分条件)设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又 fx (x0,y0)=0 fy

(x0,y0)=0,记 A= fxx(x0,y0)B= fxy(x0,y0)C= fyy(x0,y0)则当

AC-B >0 时,具有极值 f(x0,y0)且当 A<0 时,f(x0,y0)为极大值,当 A>0 时,f(x0,y0)为极 小值。 AC-B <0 时,没有极值。 AC-B =0 时,可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论。 具有二阶连续偏导数的函数 z=f(x,y)极值的求法叙述如下: 第一步:解方程组,fx(x,y)=0 f(x,y) =0 求得一切实数解,即可求得一切驻点。
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第二步:对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值 A、B、C。 第三步:定出 AC-B 的符号,按上述定理的结论判定 f(x,y)时否有极值,是极大值还是极小值。 例 21、求曲线 x=t,y=t ,z=t 在占点(1,1,1)处的切线及法平面方程。
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