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8.1 椭圆



8.1

椭圆

基础自测 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于 A.
1 3

(

)

B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2

答案 D 2.已知椭圆
x2 y 2 ? 3 ? ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转 后,所得 5 2 a 2 b2
16 ,则原来椭圆的方程是 3

椭圆的一条准线方程是 y= A. C.
x2 y2 ? ?1 129 48 x2 y2 ? ?1 25 16





B. D.

x2 y2 ? ?1 50 32 x2 y2 ? ?1 16 9

答案 C 3.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 边上,则△ABC 的周长是 A. 2 3 答案 C
x2 y2 ? ? 1 ,表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围为 | m | ?1 2 ? m
3 2

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 3

( C. 4 3 D.12



B.6

4.已知方程


3 ) 2



A.(-∞, ) 答案 D

B.(1,2)

C.(-∞,0)∪(1,2)

D.(-∞,-1)∪(1,

5.(2008· 天津文,7)设椭圆 椭圆的方程为 A. C.
x2 y2 ? ?1 12 16

1 x2 y2 2 ? ? 1 (m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y =8x 的焦点相同,离心率为 ,则此 2 m2 n 2

( B. D.
x2 y2 ? ?1 16 12



x2 y2 ? ?1 48 64

x2 y2 ? ?1 64 48

答案

B

例 1 一动圆与已知圆 O1: (x+3)2+y2=1 外切,与圆 O2:(x-3)2+y2=81 内切,试求动圆圆心的轨迹方程. 解 两定圆的圆心和半径分别为 O1(-3,0) 1=1; ,r O2(3,0) 2=9.设动圆圆心为 M(x,y) ,r ,半径为 R, 则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R.

∴|MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知:M 在以 O1、O2 为焦点的椭圆上,且 a=5,c=3. ∴b2=a2-c2=25-9=16, 故动圆圆心的轨迹方程为
x2 y2 ? ?1. 25 16

例 2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且过点 P(3,0) ,求椭圆的方程; (2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( 6 ,1) 2(- 3 ,- 2 ) 、P ,求椭圆 的方程. 解 (1)若焦点在 x 轴上,设方程为 ∵椭圆过 P(3,0) ,∴
32 0 2 =1. ? a2 b2 x2 +y2=1. 9

x2 y2 =1(a>b>0). ? a2 b2

又 2a=3× 2b,∴a=3,b=1,方程为 若焦点在 y 轴上,设方程为 ∵椭圆过点 P(3,0) ,∴ 又 2a=3× 2b,∴a=9,b=3. ∴方程为
y2 x2 =1. ? 81 9

y2 x2 =1(a>b>0). ? a2 b2

0 2 32 =1 ? a2 b2

∴所求椭圆的方程为

x2 y2 x2 +y2=1 或 ? =1. 9 81 9

(2)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n). ∵椭圆经过 P1、P2 点,∴P1、P2 点坐标适合椭圆方程, 则?
?6m ? n ? 1, ?2m ? 2n ? 1, ① ②

1 ? ?m ? 9 , ? ①、②两式联立,解得 ? ?n ? 1 , ? 3 ?

∴所求椭圆方程为

x2 y 2 ? =1. 9 3

例 3 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=60° . (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. (1)解 设椭圆方程为
x2 y2 ? =1(a>b>0), a2 b2

|PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos60° . ∵m+n=2a, ∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, ∴4c2=4a2-3mn.即 3mn=4a2-4c2.

又 mn≤ ? ?

m?n? 2 ? =a (当且仅当 m=n 时取等号), 2 ? ?
1 c2 1 ≥ ,即 e≥ .又 0<e<1, a2 4 2

2

∴4a2-4c2≤3a2,∴

∴e 的取值范围是 ? ,1? . ? ?
1 ?2 ?

(2)证明 由(1)知 mn= b2, ∴S△ F1F2 = mnsin60° =
1 2

4 3

3 2 b, 3

即△PF1F2 的面积只与短轴长有关. 例 4 (12 分)如图所示,已知 A、B、C 是椭圆 E:
x2 y2 =1(a>b>0)上的三点,其中点 A 的坐标为 ? a2 b2

(2 3 ,0) ,BC 过椭圆的中心 O,且 AC⊥BC,|BC|=2|AC|. (1)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程; (2)若椭圆 E 上存在两点 P、Q,使得∠PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴,试判断向量 PQ 与 AB 是否共线, 并给出证明. 解 (1)∵|BC|=2|AC|,且 BC 经过 O(0,0), ∴|OC|=|AC|.又 A(2 3 ,0) ,∠ACB=90° , ∴C( 3 , 3 ), ∵a=2 3 ,将 a=2 3 及 C 点坐标代入椭圆方程得
3 3 ? =1,∴b2=4, 12 b 2

2分

∴椭圆 E 的方程为:

x2 y2 ? =1. 12 4

5分

(2)对于椭圆上两点 P、Q,∵∠PCQ 的平分线总垂直于 x 轴,∴PC 与 CQ 所在直线关于直线 x= 3 对 称,设直线 PC 的斜率为 k,则直线 CQ 的斜率为-k, ∴直线 PC 的方程为 y- 3 =k(x- 3 ), 即 y=k(x- 3 )+ 3 . 直线 CQ 的方程为 y=-k(x- 3 )+ 3 , 将①代入
x2 y2 ? =1, 12 4

① ② 7分

得(1+3k2)x2+6 3 k(1-k)x+9k2-18k-3=0, ∵C( 3 , 3 )在椭圆上,∴x= 3 是方程③的一个根.



∴xp· 3 = ∴xp=

9k 2 ? 18k ? 3 , 1 ? 3k 2

9k 2 ? 18k ? 3 3 (1 ? 3k 2 )

, ,

同理可得,xQ=
yQ ? y P xQ ? x P

9k 2 ? 18k ? 3 3 (1 ? 3k 2 )
?

∴kPQ=

? k ( xQ ? x P ) ? 2 3k xQ ? xP

?

1 . 3

10 分

∵C( 3 , 3 ) ,∴B(- 3 ,- 3 ) ,又 A(2 3 ,0) , ∴kAB=
3 3 3 ? 1 , 3

11 分 12 分

∴kAB=kPQ,∴向量 PQ 与向量 AB 共线.

1.已知椭圆

x2 y2 =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,M 是椭圆上一点,N 是 MF1 的中点,若|ON|=1,则|MF1| ? 16 12

的长等于( ) A.2 B.4 答案 C 2.根据下列条件求椭圆的标准方程:

C.6

D.5

(1)已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 线恰好过椭圆的一个焦点;
1 (2)经过两点 A(0,2)和 B ? , 3 ? . ? ? ?2 ?

4 2 5和 5 ,过 P 作长轴的垂 3 3



(1)设椭圆的标准方程是

y2 x2 x y2 ? 2 =1 或 2 ? 2 =1 (a>b>0), 2 a b a b
2

则由题意知 2a=|PF1|+|PF2|=2 5 ,∴a= 5 . 在方程 在方程
b2 x2 y2 ? 2 =1 中令 x=± c,得|y|= ; 2 a b a y2 x2 b2 ? 2 =1 中令 y=± c,得|x|= . a2 b a b2 2 = 5. a 3

依题意并结合图形知 ∴b2=
10 . 3

即椭圆的标准方程为

y 2 3x 2 x2 3y 2 ? =1 或 ? =1. 5 10 5 10

(2)设经过两点 A(0,2) ? , 3 ? 的椭圆标准方程为 mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n),代入 A、B 得 ,B ? ?
1 ?2 ?

?4 n ? 1 ?m ? 1 ? ? ?? ?1 1, ? 4 m ? 3n ? 1 ?n ? 4 ? ?

∴所求椭圆方程为 x2+

y2 =1. 4

3.(2008· 江苏,12)在平面直角坐标系中,椭圆 圆,过点 ? ? 答案

x2 y2 =1(a>b>0)的焦距为 2,以 O 为圆心,a 为半径作 ? a2 b2

? a2 ? ,0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e= ? ? c ?

.

2 2
x2 +y2=1 有两个不同的交点 P 2

4.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2 )且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 和 Q. (1)求 k 的取值范围;

(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k,使得向量 OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)由已知条件知直线 l 的方程为 y=kx+ 2 , 代入椭圆方程得
1
x2 ? (kx ? 2 ) 2 =1. 2

整理得 ? ? k 2 ? x 2 ? 2 2 kx+1=0 ? ?
?2 ?



直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ=8k2-4 ? ? k 2 ? =4k2-2>0, ? ?
1 ?2 ?

解得 k<-

2 2 或 k> . 2 2
2 2 )∪( ,+∞). 2 2

即 k 的取值范围为(-∞,-

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 OP + OQ =(x1+x2,y1+y2) , 由方程①得 x1+x2=4 2k 1 ? 2k 2

② ③

又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2 而 A( 2 ,0) ,B(0,1) AB =(- 2 ,1). , 所以 OP + OQ 与 AB 共线等价于 x1+x2=- 2 (y1+y2), 将②③代入上式,解得 k= 由(1)知 k<2 . 2

2 2 或 k> ,故没有符合题意的常数 k. 2 2

一、选择题

1.已知椭圆的长轴长是 8,离心率是 ,则此椭圆的标准方程是 A.
x2 y2 =1 ? 16 9 x2 y2 =1 ? 16 25

3 4





B. D.

x2 y2 x2 y2 ? ?1或 ? ?1 16 7 7 16
x2 y2 x2 y2 ? ?1或 ? ?1 16 25 25 16

C.

答案 B 2.(2009· 河南新郑二中模拟)如图所示,A、B、C 分别为椭圆 ∠ABC=90° ,则该椭圆的离心率为 A.
? 1? 5 2 x2 y2 =1 (a>b>0)的顶点与焦点,若 ? a2 b2

( C. 2 -1 D.
2 2



B.1-

2 2

答案 A 3.若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,5 2 ) ,直线 y=3x-2 与它相交所得的中点横坐标为 ,则这个椭 圆的方程为( A.
x y =1 ? 75 25
2 2

1 2

) B.
x2 y2 =1 ? 25 75

C.

x2 y2 =1 ? 50 75

D.

x2 y2 =1 ? 75 125

答案 B 4.椭圆
x2 y2 =1 的左、右焦点分别为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么|PF1| ? 12 3

是|PF2|的( ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 答案 A 5.设 F1、F2 是椭圆的两个焦点,以 F2 为圆心,且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为 M,若直线 F1M 与 圆 F2 相切,则椭圆离心率是 ( ) A. 3 -1 C.
3 2

B.2- 3 D.
2 2

答案 A 6.已知以 F1(-2,0) 2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3 y+4=0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 ,F ( A.3 2 答案 C 二、填空题 7.经过椭圆 等于 答案 1 3 7 ,若以 A、B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭 18
x2 OB +y2=1 的一个焦点作倾斜角为 45° 的直线 l,交椭圆于 A、 两点, O 为坐标原点, OA · B 设 则 2



B.2 6

C.2 7

D.4 2

.

8.(2008· 全国Ⅰ理,15)在△ABC 中,AB=BC,cosB=圆的离心率 e= .

答案

3 8

三、解答题 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别为(-4,0)和(4,0) ,且椭圆经过点(5,0) ; (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0) ; (3)经过 P(-2 3 ,1) ,Q( 3 ,-2)两点. 解 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 ∴2a= (5 ? 4) 2 ? (5 ? 4) 2 =10, ∴a=5.又 c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆的方程为
x2 y2 =1. ? 25 9

x2 y2 =1(a>b>0). ? a2 b2

(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为
y2 x2 =1(a>b>0). ? a2 b2

由于椭圆经过点(0,2)和(1,0) ,
0 ?4 ? a 2 ? b 2 ? 1, ?a 2 ? 4, ? ? ∴? ?? 2 0 1 ?b ? 1. ? ? ? ?1 ? ? a 2 b2

故所求椭圆的方程为

y2 +x2=1. 4

(3)设椭圆的标准方程为 mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n), 点 P(-2 3 ,1),Q( 3 ,-2)在椭圆上,
1 ? ?m ? 15 , ?12m ? n ? 1, ? 代入上述方程得 ? 解得 ? ?3m ? 4n ? 1, ?n ? 1 , ? 5 ?



x2 y2 ? =1. 15 5 y2 x2 ? =1 上的一点,F1 和 F2 是焦点,且∠F1PF2=30° ,求△F1PF2 的面积. 5 4

10.如图所示,点 P 是椭圆 解 在椭圆

y2 x2 ? =1 中, 5 4

a= 5 ,b=2.∴c= a 2 ? b 2 =1. 又∵点 P 在椭圆上, ∴|PF1|+|PF2|=2a=2 5 . 由余弦定理知:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· 2|· |PF cos30° 1F2|2=(2c)2=4. =|F ①式两边平方得 |PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· 2|=20, |PF ① ② ③

③-②得(2+ 3 )|PF1|· 2|=16, |PF ∴|PF1|· 2|=16(2- 3 ) |PF , ∴S△ PF1F2 = |PF1|· 2|sin30° |PF =8-4 3 . 11.已知椭圆的中心在原点,离心率为 ,一个焦点是 F(-m,0) (m 是大于 0 的常数). (1)求椭圆的方程; (2)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M,若| MQ |=2| QF |,求直线 l 的斜率. 解 (1)设所求椭圆方程是
x2 y2 =1(a>b>0). ? a2 b2
1 2 1 2

由已知,得 c=m,

c 1 ? ,∴a=2m,b= 3 m. a 2

故所求的椭圆方程是:

x2 y2 =1. ? 4m 2 3m 2

(2)设 Q(xQ,yQ) ,直线 l:y=k(x+m) ,则点 M(0,km). 当 MQ =2 QF 时,由于 F(-m,0) ,M(0,km) , ∴(xQ-0,yQ-km)=2(-m-xQ,0-yQ) ∴xQ=
km ? 0 km 0 ? 2m 2m ?? ? ,yQ= . 1? 2 3 1? 2 3

4m 2 k 2 m2 2m km 又点 Q ? ? , ? 在椭圆上,所以 9 2 ? 9 2 =1. ? ? 4m 3m ? 3 3 ?

解得 k=± 6 . 2 当 MQ =-2 QF 时, xQ =
0 ? (?2) ? (?m) km =-2m,yQ= =-km. 1? 2 1? 2

于是

4m 2 k 2 m 2 ? =1,解得 k=0. 4m 2 3m 2

故直线 l 的斜率是 0 或± 6 . 2 12.已知椭圆
OM =

1 x2 y2 3 ? 2 =1 (a>b>0)的离心率为 ,直线 y= x+1 与椭圆相交于 A、B 两点,点 M 在椭圆上, 2 2 a b 2

1 3 OA ? OB ,求椭圆的方程. 2 2 3 得 a2=4b2,椭圆可化为:x2+4y2=4b2. 2



由 e=
1 2

将 y= x+1 代入上式,消去 y 并整理得: x2+2x+2-2b2=0. ①

∵直线 y= x+1 与椭圆交于 A、B 两点, ∴Δ=4-4(2-2b2)>0,∴b>
2 . 2

1 2

1 ? ? x ? 2 ( x1 ? 3 x2 ) 1 3 ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则由 OM ? OA ? OB 得 ? . 2 2 ?y ? 1 (y ? 3y ) 1 2 ? 2 ?

∵M 在椭圆上,∴ (x1+ 3 x2)2+(y1+ 3 y2)2=4b2, ∴x1x2+4y1y2=0. ∴x1x2+ ? x1 ? 1?? x2 ? 1? · ? ?? ? 4=0,即
1 1 ?2 ?? 2 ?

1 4

x1x2+(x1+x2)+2=0 又由①知 x1+x2=-2,x1·2=2-2b2, x 代入②中得 b2=1,满足 b> ∴椭圆方程为
x2 +y2=1. 4



2 . 2



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