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椭圆及其标准方程第二课时)


2.2.1 椭圆及其标准方程(2) 一、【教学目标】
重 点: 椭圆的定义及椭圆标准方程应用,用待定系数法和定义法求曲线方程. 难 点:求与椭圆有关的轨迹方程. 知识点:椭圆定义及标准方程. 能力点:如何探寻椭圆定义及标准方程的证明思路,数形结合数学思想的运用. 教育点:通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导,培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决 实际问题的能力,培养学生探索数学的兴趣,激发学生的学习热情. 探究点:如何推导椭圆的标准方程. 考试点:椭圆定义及标准方程,利用其解决有关的椭圆问题. 易错点:在用椭圆标准方程时, 学生一般在“焦点的位置”上容易出错. 拓展点:如何利用坐标法探讨其他圆锥曲线的方程.

二、【引入新课】
求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别为 (?4,0) 和 (4, 0) ,且椭圆经过点 (5, 0) . (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点 (0, 2) 和 (1, 0) . 求椭圆的标准方程时,要先判断焦点位置,确定出适合题意的椭圆标准方程形式,最后由条件确定出 a 和b . 【设计意图】通过练习,巩固待定系数法求椭圆方程的方法.

三、【探究新知】
例 1 已知圆 A : ( x ? 3) ? y ? 100 ,圆 A 内一定点 B(3,0) ,
2 2

y

圆 P 过 B 且与圆 A 内切,求圆心 P 的轨迹方程. 分析:设动圆 P 的半径为 r ,则有关系

·P

x
A O

PA ? 10 ? r

PB ? r

B

则 PA ? PB ? 10 ?| AB | 学生完成具体的过程. 由此我们可以得出此轨迹为椭圆.此题是先根据几何知识寻找出满足椭圆定义的条件,然后根据 椭圆的标准方程求出其轨迹方程,这种方法称为定义法求轨迹方程. [设计意图] 通过分布设问,引导学生体会解题思路的形成过程, 培养学生独立分析问题、解决问题的能 力. 例 2 求经过两点 P ( , ) , P2 (0, ? ) 的椭圆的标准方程. 1 分析:法一:由于椭圆焦点位置不确定,可分焦点在 x 轴、 y 轴两种情况设方程求解. 法二:焦点落在两坐标轴有何不同?能否设一个方程来表示两种情况? 可设椭圆方程为 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) ,利用条件求出 m, n .
2 2

1 1 3 3

1 2

学生完成具体的过程.

这种方法称为待定系数法求轨迹方程. [ 设 计 意 图 ] 由 于 椭 圆 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 包 含 焦 点 在 x 轴 (m ? n) 或 焦 点 在 y 轴
2 2

(m ? n) ,两类情况,这种解法避免了分类讨论、达到了强化学生化简变形的能力

四、【理解新知】
确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面, “定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置, 在中心为原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式; “定量”则是指确定 a , b 的具 体的值,常用待定系数法. 用待定系数法求椭圆的标准方程步骤如下: (1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是焦点在 y 轴上,还是两个坐标轴都有可能; (2)设方程:①依据上述判断设方程
2 2

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ; a2 b a b
2 2

②在不能确定焦点位置的情况下页可设为 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) . (3)找关系:依据已知条件,建立关于 a、b、c 或 m n 的方程组; 、 (4)得方程:解方程组,代人所设方程即为所求.

五、【运用新知】
例 3 如图,在圆 x ? y ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为
2 2

垂足, 当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?为什么? 分析:点 P 在圆 x ? y ? 4 上运动,点 P 的运动引起点 M 运动.
2 2

我们可以由 M 为线段 PD 的中点得到点 M 与点 P 坐标之间的关系式, 并由点 P 的坐标满足圆的方程得到点 M 的坐标所满足的方程. 解:设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,则 x ? x0 , y ?
2 2 2 2 因为点 P ? x0 , y0 ? 在圆 x ? y ? 4 上,所以圆 x0 ? y0 ? 4

y0 2

把 x0 ? x, y0 ? 2 y 代入上式方程,得 x ? 4 y ? 4 ,
2 2



x2 ? y2 ? 1 4

所以点 M 的轨迹是一个椭圆.

寻求点 M 的坐标的坐标 x, y 与中间变量 x0 , y0 之间的关系,然后消去 x0 , y0 ,得到 M 的轨迹方程, 这是解析几何中求点的轨迹方程常用的一种方法——相关点法. 例 4 如图,设点 A, B 的坐标分别为 (?5,0),(5,0) .直线 AM , BM 相交于点 M ,

y
y M

4 且它们的斜率之积是 ? ,求点 M 的轨迹方程. 9

B A
O

x
x

解:设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,因为点 A 的坐标为 ? ?5, 0 ? , 所以直线 AM 的斜率 k AM ? 同理,直线 BM 的斜率 kBM

y ( x ? ?5) ; x?5 y ? ( x ? 5). x ?5

由已知有

x2 y2 y y 4 ? 1( x ? ?5) ? ? ? ( x ? ?5) ,化简,得点 M 的轨迹方程为 ? 25 100 x ?5 x ?5 9 9

六、【课堂小结】
1.知识:椭圆的标准方程的求法. 2.思想:曲线与方程的轨迹思想,数形结合的思想、待定系数法,相关的法.

七、【布置作业】
必做题:P42 练习 4. 选做题:1.椭圆 《自主学习丛书》P39 A 组 12. B 组 4,6.

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A, B ,左、右焦点分别是 F1 ,F2 .若 a2 b2

AF1 , F1 F2 , F1 B 成等比数列,则此椭圆的
2.设 F1 ,F2 是椭圆

c 为_______. a

x2 y 2 3a 上 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 2 a b 2

一点, ? F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则椭圆的 3. 椭圆

c 为______. a

x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A, B ,当 ?FAB 的周长最大时,?FAB 的 4 3

面积是____________. 4.已知椭圆中心在原点,两焦点 F1 ,F2 在 x 轴上,且过点 A ? ?4,3? .若 F1 A ? F2 A ,求椭圆的标准方程. 答案:1.

5 5

? 2. ?

3.

3

x2 y 2 ? ?1 4.椭圆的标准方程为 40 15

八、【教后反思】
本教案的亮点是在求椭圆轨迹方程的方法集锦让学生掌握各种方法、说明思路的由来过程,一题多解开阔 思路.既注重了与原问题的联系,又在不知不觉中提高了难度,提高了学生的解题能力.建议学生在基本方法 与思路探寻上下足功夫.

九、【板书设计】
2.2.1 椭圆及其标准方程 一、情景引入?? 二、新课 例 1?? 例 2?? 三、运用新知 例 3?? 例 4??


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