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高二数学第一次月考试题



高二数学第一次月考试题,周三晚(10-10)考试
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1.Δ ABC 中, a = 1, b = 3 , ∠A=30°,则∠B 等于 ( ) A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° D.120° 2.已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC 的面积为( A.9 B.18 C.9

3 D.18 3 ) D. (a ? b)c 2 ? 0

)

3.若 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是( A. a ? c ? b ? c B. ac ? bc C.
c2 ?0 a ?b

4.已知{an}是等比数列,且公比 q ? 2, 若a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 240, 则 a4 ? a8 ? a12 ? ? ? a100 ? ( A.15 B.128 ) C.30 D.60
b 的 a

5.在锐角三角形中,a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边,设 B=2A,则 取值范围是( A. (-2,2) ) B. ( 2, 3) C . (

2



2



D. (0,2) 6.在△ ABC 中,若 3 a = 2bsinA , 则 B 为( ) ? ? ? 5? ? 2? A. B. C. 或 D. 或 6 3 3 6 6 3 7 . 在 -1 和 8 之 间 插 入 两 个 数 a,b , 使 这 四 个 数 成 等 差 数 列 , 则 ( ) A. a=2,b=5 B. a=-2,b=5 C. a=2,b=-5 D. a=-2,b=-5 8.某人朝正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3km,结果他离 出发点恰 好 3 km,那么 x 的值为( ) A. 3 B. 2 3 C. 2 3 或 3 D. 3 9.在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 S16—S5=165,则 a8 ? a9 ? a16 的值是 ( ) A. 90 B. ? 90 C.45 D. ? 45

1 a ?a 10. 各项为正数的等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , 且 a2 , a 则 3 4 3 ,1a 成等差数列, 2 a4 ? a5

的值是





A.

5 ?1 2 B.

5 ?1 2

1? 5 2 C.

D.

5 ?1 5 ?1 2 或 2

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 20 分). 11. 一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? , 行驶4h 后 , 船 到 达 C 处 ,看 到 这 个 灯 塔 在 北 偏东 15? , 这 时 船 与 灯 塔 的距 离 为 km. 12. 13、已知不等式 x2-ax-b<0 的解集为(2,3),则不等式 bx2-ax-1>0 的解集 为 13.已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2n ,则数列 ?an ?的通项公式为 14.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 + a4 + a7 =39, a2 + a5 + a8 =33,则 a3 + a6 + a9 = 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 80 分). 15. (12 分)已知在△ABC 中,∠A=45°,a=2,c= 6 ,解此三角形.

16、 (14 分)根据所给条件,判断△ABC 的形状. (1)acos A=bcos B; (2)
c a b = = . cos C cos A cos B

18、 (14 分)已知数列 ?a n ?满足a n ? 2a n ?1 ? 2 n ? 1(n ? 2), a1 ? 5, bn ? 证明: ?bn ? 为等差数列;

an ? 1 . 2n

) , 17.(14 分)已知数列 {an } 的各项为正数, 其前 n 项和 S n 满足S n ? ( 2 设 bn ? 10 ? an (n ? N ) (1)求证: 数列 {an } 是等差数列,并求 {an } 的通项公式;
2

an ? 1

(2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的最大值。

19、 (14 分)设 a1 ? 2, a2 ? 4, 数列 {bn } 满足: bn ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ? 2 , (1) 求证:数列 {bn ? 2} 是等比数列 (要指出首项与公比 ) ( 2 )求数列 {an } 的通项公 式. (3)求数列 ?nan ? 2n 2 ? 的前 n 项和.

20. (12 分)某观测站在城 A 南偏西 20°方向的 C 处,由城 A 出发的一条公路, 走向是南偏东 40°,在 C 处测得公路距 C 31 千米的 B 处有一人正沿公路向城 A 走去,走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米,问这 人还要走多少千米可到达城 A?

1-5、BCDBB 二、填空题 11、 30 2 27

6-10、DACCB

12、450

13、 a n ? ?

?5, (n ? 1)
n ?1 ?2 , (n ? 2)

14、

15.解析:解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小.
由正弦定理得 sin C= ∵csin A= 6 ×
2 3 6 6 sin 45°= · = . 2 2 2 2

2 = 3 ,a=2,c= 6 , 3 <2< 6 , 2

∴本题有二解,即∠C=60°或∠C=120°, ∠B=180°-60°-45°=75°或∠B=180°-120°-45°=15°. 故 b=

a sin B,所以 b= 3 +1 或 b= 3 -1, sin A

∴b= 3 +1,∠C=60°,∠B=75°或 b= 3 -1,∠C=120°,∠B=15°.

16.解析:本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.
(1)解法 1:由余弦定理得 acos A=bcos B ? a·(

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c 2 )=b·( ) ? a2c2-a4-b2c2+b4=0, 2bc 2ac
∴a2-b2=0 或 c2-a2-b2=0,

∴(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,

∴a=b 或 c2=a2+b2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解法 2:由正弦定理得 sin Acos A=sin Bcos B ? sin 2A=sin 2B ∠A, ∠B∈(0, ?) ? ∠A=∠B 或∠A+∠B= ? 2∠A=2∠B 或 2∠A=?-2∠B, ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. (2)由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C 代入已知等式,得

? , 2

2R sinC sin C 2R sin A 2R sin B sin A sin B = = ,∴ = = , cos A cos A cos B cos C cos C cos B
即 tan A=tan B=tan C. ∵∠A,∠B,∠C∈(0,π),∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC 为等边三角形.

a1 ? 1 2 ) ,?a1 ? 1 2 a ?1 a ?1 2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ( n ) 2 ? ( n ?1 ) 2 ,即: an ? an ?1 ? 2an ? 2an?1 ? 0 2 2

17、解: (1)当 n=1 时, a1 ? S1 ? (

2 2 ?an ? 2an ? 1 ? an ?1 ? 2an?1 ? 1



?(an ?1)2 ? (an?1 ?1)2



?an ?1 ? an?1 ? 1 ? an ? an?1 ? 2 ,所以 {an } 是等差数列, an ? 2n ?1
(2) bn ? 10 ? an ? ?2n ? 11 , b1 ? 9 ,?bn ? bn?1 ? ?2 ,?{bn } 是等差数列
? Tn ? n(b1 ? bn ) ? ? n 2 ? 10n ,当 n=5 时, Tn max ? ?52 ?10 ? 5 ? 25 2 a ? 1 2a ? 2 n ? 2 an ?1 ? 2 n?1 ? 1 18.证明:? bn ? n n ? n?1 n ? 2 2 2 n?1 a ?1 ? n ?1 ? 1 ? bn ?1 ? 1(n ? 2), 2 n ?1 ?bn ? bn?1 ? 1(n ? 2),

??bn ?是公差为 1,首项为 b1 ?

a1 ? 1 ? 2 的等差数列 2

19 解: (1) bn?1 ? 2bn ? 2 ? bn?1 ? 2 ? 2(bn ? 2), ?

bn?1 ? 2 ? 2, 又 b1 ? 2 ? a2 ? a1 ? 4 , bn ? 2

? 数列 {bn ? 2} 是首项为 4,公比为 2 的等比数列.

(2)? bn ? 2 ? 4 ? 2n?1 ? bn ? 2n?1 ? 2 . ? bn?1 ? an ? an?1

?an ? an?1 ? 2n ? 2 .

令 n ? 1,2,?, (n ? 1),叠加得 an ? 2 ? (22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 2(n ? 1) ,
2(2 n ? 1) ? 2n ? 2 ? 2 n?1 ? 2n. ? an ? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2n ? 2 ? 2 ?1
2 3 n

(3)令 cn ? nan ? 2n2 ,则 cn ? n ? 2

n?1

,令前 n 项和为 Sn , ,

? Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? 4 ? 25 ? ?? n ? 2n?1 2Sn ? 1? 23 ? 2 ? 24 ? 3? 25 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n?2

?Sn ? 2Sn ? 22 ? 23 ? 24 ? ?? 2n?1 ? n ? 2n?1 ,??Sn ? 4(2n ?1) ? n ? 2n?1 ? Sn ? n ? 2n?1 ? 2n?2 ? 4
20 解:如图所示,设∠ACD=α ,∠CDB=β .在△CBD 中.由余弦定理得 BD2+CD2-CB2 cosβ= 2BD· CD 202+212-312 1 = =- , 2× 20× 21 7 4 3 ∴sinβ= . 7 而 sinα=sin(β-60° ) =sinβcos60°-sin60°cosβ 4 31 31 5 3 = ·+ ·= . 7 2 2 7 14 21 AD 在△ACD 中, = , sin60° sinα 21×sinα ∴AD= =15(千米). sin60° 所以这人再走 15 千米才可到城 A.



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