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北京市西城区2012—2013年 高一第二学期数学期末测试



北京市西城区(北区)2012 — 2013 学年度第二学期学业测试

高一数学
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

2013.7

三 题号 分数 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1.在数列 {an } 中, an?

1 ? an ? 2 ,且 a1 ? 1 ,则 a4 等于 ( A. 8 B. 6 C. 9 ) D. 7 一 二 17 18 19 20 21 22 本卷总分

2 .将一根长为 3 米的绳子在任意位置剪断,则剪得两段的长度都不小于 1 米的概率是 ( A. )

1 4
2

B.
2

1 3
2

C.

1 2
)

D.

2 3

3.在 ?ABC 中,若 a ? b ? c ,则 ?ABC 的形状是( A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 ) C.

D. 不能确定

4.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是( A. a ? b
3 3

B. a ? b

1 1 ? a b
)

D.

1 1 ? a b

? x ? y ? 1 ? 0, ? 5.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值是( ? x ? 0, ?
A. ?

? 2

B. 0

C. 1

D. ?1

2013,7 北京西城区高一数学试卷

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6.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( A. 2



开始

1 B. ? 2 C. 3 2 D. 3

i ? 0, s ? 3
s?
i?4
否 是

s ?1 s

i ? i ?1

输出 s 结束

7.已知在 100 件产品有 5 件次品,从中任意取出 3 件产品,设 A 表示事件“3 件产品全 不是次品” ,B 表示事件 “3 件产品全是次品” ,C 表示事件 “3 件产品中至少有 1 件次品” , 则下列结论正确的是( A. B 与 C 互斥 C. 任意两个事件均互斥 ) B. A 与 C 互斥 D. 任意两个事件均不互斥

8.口袋中装有三个编号分别为 1,2,3 的小球. 现从袋中随机取球,每次取一个球,确定 编号后放回,连续取球两次. 则“两次取球中有 3 号球”的概率为( A. )

5 9

B.

4 9

C.

2 5

D.

1 2


B 是 x 正半轴上一点, 9. 设 O 为坐标原点, 点 A(4,3) , 则 ?OAB 中
A.

4 3

B.

5 3

C.

5 4

OB 的最大值为 ( AB 4 D. 5

10. 对于项数为 m 的数列 {an } 和 {bn } ,记 bk 为 a1 , a2 , 给出下列判断: ①若数列 {bn } 的前 5 项是 5,5,3,3,1 ,则 a4 ? 3 ;

, ak (k ? 1, 2,

, m) 中的最小值.

②若数列 {bn } 是递减数列,则数列 {an } 也一定是递减数列; ③数列 {bn } 可能是先减后增数列; ④若 bk +am?k ?1 =C(k ? 1, 2, 其中,正确判断的序号是( A. ①③ C. ②③ 10.略解:关于④. 由已知 bk ? bk +1 ,所以 C ? am?k ?1 ? C ? am?k , am?k ?1 ? am?k , 即 {an } 为不严格减数列, 所以 ai ? bi (i ? 1, 2,

, m) , C 为常数,则 ai ? bi (i ? 1, 2,
) B. ②④ D. ②

, m) .

, m) .
2013,7 北京西城区高一数学试卷 第 2 页 共 10 页

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上. 11. 不等式 2 x ? x ? 0 的解集为_______.
2

12. 在 ?ABC 中, b ? 2, c ? 3, A ? 150 ,则 a ? _______. 13. 某校高一年级三个班共有学生 120 名,这三个班的男、女生人数如右表所示. 已知在全年级学生中随机抽取 1 名,抽到二班 女生的概率是 0.2 .则 x ? _______;现用分层抽 样的方法在全年级抽取 30 名学生,则应在三班 抽取的学生人数为_______. 14. 甲、乙两人各参加了 5 次测试,将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图. 已知甲、乙二人得分的平均数相同,则 m ? _______;乙得分 的方差等于_______. 15. 已知 {an } 是等差数列, Sn 为其前 n 项的和. 甲 8 6 4 2 0 乙 7 m 2 2 3 女生人数 男生人数 一班 20 20 二班 x 20 三班 y z

7 8

且 a5 ? ?3 , S3 ? ?27 ,则 a1 ? _______;当 Sn 取得最小值时, n ? _______.
2 2 16. 当 x ? [1,9] 时,不等式 x ? 3 x ? x ? 32 ? kx 恒成立,则 k 的取值范围是_______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 13 分) 在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? a2 ? 6 , a2 ? a3 ? 12 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是等差数列,且 b2 ? a2 , b4 ? a4 , 求数列 {bn } 的公差,并计算 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ?

? b100 的值.

2013,7 北京西城区高一数学试卷

第 3 页 共 10 页

18.(本小题满分 13 分) 某市某年一个月中 30 天对空气质量指数的监测数据如下: 61 76 70 56 81 91 55 91 75 81 88 67 101 103 57 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 (Ⅰ)完成右面的频率分布表; (Ⅱ) 完成右面的频率分布直方图, 并写出频 率分布直方图中 a 的值; (Ⅲ)在本月空气质量指数大于等于 91 的这 些天中随机选取两天, 求这两天中至少有一天空气 质量指数在区间 [101,111) 内的概率. 分组 频数 频率

[41,51) [51, 61)

2

3
4

[61, 71)
[71,81) [81,91) [91,101) [101,111)

6

2 30 3 30 4 30 6 30

2

2 30

频率/组距

a

分数 0 41 51 61 71 81 91 101 111

2013,7 北京西城区高一数学试卷

第 4 页 共 10 页

19.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,已知 c ? 3 , C ? (Ⅰ)若 sin B ? 2sin A ,求 a , b 的值; (Ⅱ)求 a ? b 的最大值.
2 2

? . 3

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? 1)( x ? 1) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在区间 [?1, 2] 上的值域; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 [?1, ??) 上是减函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 . 21.(本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? 2 ? ( ) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项; (Ⅱ)设数列 bn ? (2n ?15)an , (ⅰ)求数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ; (ⅱ)求 bn 的最大值. 22.(本小题满分 13 分) 对于数列 A : a1 , a2 , a3 ( a ,定义 “ T 变换 ” : T 将数列 A 变换成数列 i ? N , i? 1, 2, 3) 其中 bi ? | ai ? ai ?1 | (i ? 1, 2) , 且 b3 ? | a3 ? a1 | . 这种“ T 变换”记作 B ? T ( A) , B:b 1, b 2,b 3, 继续对数列 B 进行“ T 变换”, 得到数列 C : c1 , c2 , c3 , 依此类推, 当得到的数列各项均为 0 时 变换结束. (Ⅰ)写出数列 A : 2, 6, 4 经过 5 次“ T 变换”后得到的数列; (Ⅱ)若 a1 , a2 , a3 不全相等,试问数列 A : a1 , a2 , a3 经过不断的“ T 变换”是否会结束, 并说明理由; (Ⅲ)设数列 A : 400, 2, 403 经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的最小 值.

1 2

n ?1

,n?N .
*

2013,7 北京西城区高一数学试卷

第 5 页 共 10 页

北京市西城区(北区)2012 — 2013 学年度第二学期学业测试

高一数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8. A 9. B

2013.7

10. B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11. 14.

1 {x 0 ? x ? } 2
6 , 8.4

12.

13

13. 24 , 9 16. (??,13]

15. ?11 , 6

注:一题两空的试题,第一空 2 分,第二空 3 分; 三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 17. 解: (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q , 由已知 a1 ? a1q ? 6 , a1q ? a1q2 ? 12 , 两式相除,得 q ? 2 . 所以 a1 ? 2 , 所以数列 {an } 的通项公式 an ? 2n . (Ⅱ)设等差数列 {bn } 的公差为 d , 则 b1 ? d ? 4 , b1 ? 3d ? 16 , 解得 b1 ? ?2 , d ? 6 , ???????9 分 ???????11 分 ???????2 分 ???????4 分 ???????6 分 ???????7 分

b1 ? b2 ? b3 ? b4 ?

? b100 ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ?
? ?50d ? ?300 .

? (b99 ? b100 ) ??????12 分
???????13 分 ????????4 分 ????????6 分

18. 解: (Ⅰ)如下图所示. (Ⅱ)如下图所示. 由已知,空气质量指数在区间 [71,81) 的频率为 分组 ? 频数 ? 频率 ?

6 ,所以 a ? 0.02 .??????8 分 30

1 频率/组距 30
a

[81,91)

10

10 30

1
2013,7 北京西城区高一数学试卷 100 0 41 51 61 第 6 页 共 10 页 分数 71 81 91 101 111

[91,101)
?

3
?

3 30
?

(Ⅲ)设 A 表示事件“在本月空气质量指数大于等于 91 的这些天中随机选取两天,这两天 中至少有一天空气质量指数在区间 [101,111) 内” , 由已知,质量指数在区间 [91,101) 内的有 3 天, 记这三天分别为 a, b, c , 质量指数在区间 [101,111) 内的有 2 天, 记这两天分别为 d , e , 则选取的所有可能结果为:

(a, b),(a, c),(a, d ),(a, e),(b, c),(b, d ),(b, e), (c, d ),(c, e),(d , e) .
基本事件数为 10 . ???????10 分 事件“至少有一天空气质量指数在区间 [101,111) 内”的可能结果为:

(a, d ),(a, e),(b, d ),(b, e), (c, d ),(c, e),(d , e) .
基本事件数为 7 , ???????12 分 ???????13 分 ???????3 分 ???????5 分 ???????7 分 ???????8 分 ???????9 分
2 2

7 ? 0.7 . 所以 P ( A) ? 10
19. 解: (Ⅰ)因为 sin B ? 2sin A ,由正弦定理可得 b ? 2a , 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C ,
2 2 2

得 9 ? a ? 4a ? 2a ,
2 2 2

解得 a ? 3 ,
2

所以 a ? 3 ,b ? 2a ? 2 3 .
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C ,得 ab ? a ? b ? 9 , ???????10 分 又 a ? b ? 2ab ,
2 2

???????11 分 ???????12 分 ???????13 分

2 2 所以 a ? b ? 18 ,当且仅当 a ? b 时,等号成立.

所以 a ? b 的最大值为 18 .
2 2

20. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x2 ?1 , 函数 f ( x ) 在区间 (??, 0] 上单调递减,在区间 [0, ??) 上单调递增, 所以, f ( x ) 在区间 [?1, 2] 上的最小值为 f (0) ? ?1 , 又 f (2) ? f (?1) , 所以 f ( x ) 在区间 [?1, 2] 上的最大值为 f (2) ? 3 . ???????3 分 ???????4 分 ???????2 分

f ( x) 在区间 [?1, 2] 上的值域为 [?1,3] .

(Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 1 ,在区间 [?1, ??) 上是减函数,符合题意. ????5 分 当 a ? 0 时,若函数 f ( x ) 在区间 [?1, ??) 上是减函数,

2013,7 北京西城区高一数学试卷

第 7 页 共 10 页

1 ? ?1 , a 所以 ?1 ? a ? 0 ,
则 a ? 0 ,且 所以 a 的取值范围是 [?1, 0] . (Ⅲ)由已知,解不等式 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 . 当 a ? 0 时,x ? ?1 . 当 a ? 0 时, ( x ? )( x ? 1) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 当 a ? 0 时, ( x ? )( x ? 1) ? 0 , 若

???????7 分 ???????9 分

???????10 分

1 a

1 . a

???????11 分

1 a

1 ? ?1 ,即 a ? ?1 时, x ? ?1 ; a 1 1 ? ?1 ,即 a ? ?1 时, x ? ?1 或 x ? ; a a 1 1 ? ?1 ,即 ?1 ? a ? 0 时, x ? 或 x ? ?1 . a a

???????12 分



???????13 分



???????14 分

综上,当 a ? 0 时,不等式的解集为 {x ?1 ? x ? } ; 当 a ? 0 时,不等式的解集为 {x x ? ?1} ; 当 ?1 ? a ? 0 时,不等式的解集为 {x x ?

1 a

1 ,或 x ? ?1} ; a

当 a ? ?1 时,不等式的解集为 {x x ? ?1} ; 当 a ? ?1 时,不等式的解集为 {x x ? ?1, 或 x ? } . 21. 解: (Ⅰ)由已知,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ???????1 分 ???????2 分 ???????3 分 ???????4 分

1 a

1 1 1 ? 2 ? ( ) n ?1 ? [2 ? ( ) n ? 2 ] ? ( ) n ?1 , 2 2 2
,n?N .
*

综上, an ? ( )

1 2

n ?1

(Ⅱ) (ⅰ) bn ? (2n ? 15)( )

1 n ?1 , 2 1 1 2 1 n ?1 所以 Tn ? ?13 ? (?11) ? (?9)( ) ? ? (2n ? 15)( ) , ???????5 分 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? (?13) ? (?11)( )2 ? ? (2n ? 17)( ) n ?1 +(2n ? 15)( ) n , ??6 分 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n ?1 1 n 两式相减,得 Tn ? ?13 ? 2 ? ? 2 ? ( ) ? ? 2 ? ( ) ? (2n ? 15)( ) ??8 分 2 2 2 2 2
2013,7 北京西城区高一数学试卷 第 8 页 共 10 页

1 1 1 1 ? ?13 ? 2[ ? ( ) 2 ? ? ( ) n ?1 ] ? (2n ? 15)( ) n 2 2 2 2 1 n?2 1 n 1 ? ?13 ? 2 ? ( ) ? (2n ? 15)( ) ? (11 ? 2n)( ) n ? 11 . 2 2 2 1 n ?1 所以 Tn ? (11 ? 2n)( ) ? 22 . ???????10 分 2 1 n 1 n ?1 1 n (ⅱ)因为 bn ?1 ? bn ? (2n ? 13)( ) ? (2n ? 15)( ) ? (17 ? 2n)( ) .??????11 分 2 2 2
令 bn?1 ? bn ? 0 ,得 n ? 所以 b1 ? b2 ?

17 . 2
,即 b9 最大,

???????12 分 ???????13 分

? b9 ,且 b9 ? b 10 ? 1 8 3 又 b9 ? 3a9 ? 3 ? ( ) ? . 2 256 3 所以,bn 的最大值为 . 256

???????14 分

22. 解: (Ⅰ)依题意,5 次变换后得到的数列依次为

4, 2, 2 ; 2,0, 2 ; 2, 2,0 ; 0, 2, 2 ; 2,0, 2 ;

???3 分

所以,数列 A : 2, 6, 4 经过 5 次“ T 变换”后得到的数列为 2,0, 2 , ???????4 分 (Ⅱ)数列 A 经过不断的“ T 变换”不可能结束. ???????5 分

设数列 D : d1 , d2 , d3 , E : e1 , e2 , e3 , F : 0, 0, 0 ,且 T ( D) ? E , T ( E ) ? F . 依题意, e1 ? e2 ? 0 , e2 ? e3 ? 0 , e3 ? e1 ? 0 ,所以 e1 ? e2 ? e3 . 即非零常数列才能通过“ T 变换”结束. ????① 设 e1 ? e2 ? e3 ? e ( e 为非零自然数). 为变换得到数列 E 的前两项,数列 D 只有四种可能: ???????6 分

D : d1, d1 ? e, d1 ? 2e ; D : d1, d1 ? e, d1 ; D : d1, d1 ? e, d1 ; D : d1, d1 ? e, d1 ? 2e .
而任何一种可能中,数列 E 的第三项是 0 或 2e . 即不存在数列 D ,使得其经过“ T 变换”成为非零常数列. ????②?????8 分 由①②得,数列 A 经过不断的“ T 变换”不可能结束. (Ⅲ)数列 A 经过一次“ T 变换”后得到数列 B : 398, 401,3 ,其结构为 a, a ? 3,3 .

3, a, a ? 3 ; a ? 3,3, a ? 6 ; a ? 6, a ? 9,3 ; 数列 B 经过 6 次 “ T 变换” 得到的数列分别为:

3, a ? 12, a ? 9 ; a ? 15,3, a ? 12 ; a ? 18, a ? 15,3 .
所以,经过 6 次“ T 变换”后得到的数列也是形如“ a, a ? 3,3 ”的数列,变化的是, 除了 3 之外的两项均减小 18 . ???????10 分 因为 398 ? 18 ? 22 ? 2 ,所以,数列 B 经过 6 ? 22 ? 132 次“ T 变换”后得到的数列为

2, 5, 3 .
接下来经过“ T 变换”后得到的数列分别为: 3, 2,1 ; 1,1, 2 ; 0,1,1 ; 1, 0,1 ; 1,1, 0 ;

0,1,1 ; 1, 0,1 ,??.
2013,7 北京西城区高一数学试卷 第 9 页 共 10 页

至此,数列和的最小值为 2 ,以后数列循环出现,数列各项和不会更小.???12 分 所以经过 1 ? 132 ? 3 ? 136 次“ T 变换”得到的数列各项和达到最小. 即 k 的最小值为 136 . ???????13 分

2013,7 北京西城区高一数学试卷

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