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学大教育高考数学函数的单调性专题过关



学大教育上海高三数学备课组教案

函数的单调性专题过关
本节目标:理解函数单调性的定义 理解函数单调性的定义,会用函数单调性解决一些问题. 本节重点:函数单调性的判断和函数单调性的应用 函数单调性的判断和函数单调性的应用. (一)

主要知识:

1. 函数单调性的定义: 如果函数 f ( x ) 对区间 D 内的任意 x1 , x 2 , x1 < x 2 时都有 f ( x1 ) < f ( x 2 ) , f ( x ) 在 D 内是增函数; 当 则 当 x1 < x 2 时都有 f ( x1 ) > f (x 2 ) , f ( x ) 在 D 内时减函数. ,则 2. 单调性的定义的等价形式: f (x1 ) f ( x 2 ) > 0 f ( x ) 在 [ a, b] 是增函数; 设 x1 , x 2 ∈ [a, b] ,那么 x1 x 2 f (x1 ) f ( x 2 ) < 0 f ( x ) 在 [ a, b] 是减函数; x1 x 2

( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) < 0

f ( x ) 在 [ a, b] 是减函数.

3. 复合函数单调性的判断. 同增异减) (同增异减 4. 函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题 利用定义都是充要性命题. 即若 f ( x ) 在区间 D 上递增(递减 递减)且 f ( x1 ) < f ( x2 ) x1 < x2 ( x1 , x2 ∈ D ); ; 若 f ( x ) 在区间 D 上递递减且 f ( x1 ) < f ( x2 ) x1 > x2 .( x1 , x2 ∈ D ).
①比较函数值的大小②可用来解不等式 可用来解不等式.③求函数的值域或最值等

(二)主要方法:
1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行 因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区 函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域 2. 判断函数的单调性的方法有: 1) 用定义; 2 ) 用已知函数的单调性; 3) 如果 f ( x ) 在区间 D 上是增 (减) ( ( ( 函数,那么 f ( x ) 在 D 的任一非空子区间上也是增 的任一非空子区间上也是增(减)函数; ( 4 ) 图象法; "同增异减 ( 5) 复合函数的单调性结论: 同增异减" . 单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性 ( 6) 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性 偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
间是定义域的子集;

(7)

互为反函数的两个函数具有相同的单调性. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性

( 8) 在公共定义域内,增函数 f (x) + 增函数 g ( x ) 是增函数;减函数 f ( x) + 减函数 g ( x ) 是减函数;增函
数 f (x ) 减函数 g (x ) 是增函数;减函数 f ( x ) 增函数 g ( x ) 是减函数. 减函数

(9) 函数 y = ax +
单调递减.

b b b b b 在 ( a > 0, b > 0) 在 ∞, 或 , +∞ 上单调递增; , 0 或 0, 上是 x a a a a

3. 证明函数单调性的方法:利用单调性定义 利用单调性定义.

习题精选
1,已知函数 f ( x ) =

ax + 1 在区间 (2,+∞ ) 上是增函数,试求 a 的取值范围. x+2
函数单调性 | 1

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2,求下列函数的单调区间:

(1)

y = log 0.7 ( x 2 3 x + 2)

( 2)

y = 8 + 2 x x2

3, (1) 若函数 y =

单调递增,且 f ( m 2 ) > f ( m) ,则实数 m 的取值范围是 的取值范围是( ) f ( x ) 在 R 单调递增

A. ( ∞, 1)

B. ( 0, +∞ )

C . ( 1, 0 )

D. ( ∞, 1) U ( 0, +∞ )

( 2) 若 f (x ) =

1 1 x ,则不等式 + lg x+2 1+ x

1 1 f x x < 的解集为 2 2

(提示:注意审题,分析 分析,观察;若直接带入求解会很麻烦 若直接带入求解会很麻烦,可试着先求 定义域再分析单调性,利用单调性求解 ) 利用单调性求解!

4, 05 山东模拟)设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且对任意实数 x , y 都有 f ( x + y ) = (
求证: (1) f ( x ) 是奇函数;

f ( x) + f ( y ) .

上是增函数. ( 2) 若当 x > 0 时,有 f ( x) > 0 ,则 f ( x) 在 R 上是增函数

巩固练习:
1. 函数 y = ( x 3) x 的递增区间是 2. 已知 f (x ) 是 R 上的奇函数,且在 (0,+∞ ) 上是增函数,则 f (x ) 在 (∞,0) 上的单调性为 且在
函数单调性 | 2

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3. 已知奇函数 f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 单调递增 单调递增,且 f (3) = 0 ,则不等式 x f ( x ) < 0 的解集是
4. 若函数 f ( x) = x 2 + 2(a 1) x + 2 在区间 ( ∞, 4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 的取值范围是(
)

C. ( ∞,3] D. [3, +∞ ) ( ∞, 3] 4, 7 5. 函数 f ( x ) 在的递增区间是 ( 4,7 ) ,则 y = f ( x 3) 的递增区间是( ) A. ( 2,3) B. ( 1,10 ) C. ( 1, 7 ) D. ( 4,10 ) A. B.

[ 3, +∞ )

课后作业:
1. 利用函数单调性定义证明: f ( x ) = x + 1 在 ( ∞,1] 上是减函数

2. 函数 y = log 1 ( x 2 2mx + 3) 在 ( ∞,1) 上为增函数,则实数 m 的取值范围.
2

3. 下列函数中,在区间 ( ∞,0] 上是增函数的是 上是增函数的是(

)

A. y = x 2 4 x + 8

B. y = log 1 ( x )
2

C. y =

2 x +1

D. y = 1 x
)

4. 已知 y = log a (2 ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是(

A. (0, 1)

B. (1,2)

C. (0,2)
)

D. [ 2,+∞ )

5. f (x ) 为 ( ∞,+∞) 上的减函数, a ∈ R ,则 (

A. f (a ) < f (2a )

B. f (a 2 ) < f (a )

C. f (a 2 + 1) < f (a )

D. f (a 2 + a ) < f (a )
)

6. 如 果 奇 函 数 f ( x ) 在 区 间 [3, 7 ] 上 是 增 函 数 , 且 最 小 值 为 5 , 那 么 在 区 间 [ 7, 3] 上 是 (

A. 增函数且最小值为 5 C. 减函数且最小值为 5

B. 增函数且最大值为 5 D. 减函数且最大值为 5
)

7. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数 上的偶函数,它在 [ 0, +∞ ) 上递减,那么一定有(
3 A. f > f (a 2 a + 1) 4 3 C. f < f (a 2 a + 1) 4 3 B. f ≥ f (a 2 a + 1) 4 3 D. f ≤ f (a 2 a + 1) 4

8. 已知 y = f ( x ) 是偶函数,且在 [ 0, +∞ ) 上是减函数,则 f (1 x 2 ) 是增函数的区间是 是增函数的区间是(

)

A. [0,+∞)

B. (∞,0]

C. [ 1, 0) U (1, +∞)

D. (∞, 1] U (0,1]
函数单调性 | 3

学大教育上海高三数学备课组教案 a 9. 04 湖南文) f ( x) = x 2 + 2ax 与 g ( x ) = x +1 在区间 [1, 2] 上都是减函数, a 的取值范围是 ( 若 , 则 (
A.

)

( 1, 0 ) U ( 0,1)

B. ( 1, 0 ) U ( 0, 1]

C . ( 0, 1)

D. ( 0, 1]

10. (06 上海)若函数 f ( x) = a x b + 2 在 [ 0, +∞] 上为增函数,则实数 a , b 的范围是
1 11. 已知偶函数 f (x ) 在 [0,] 内单调递减 2 内单调递减,若 a = f (1) , b = f (log 1 ) , c = f (lg 0.5) ,则 a , b , c 4 2
之间的大小关系是_____________ _____________

12. 已知奇函数 f (x ) 是定义在 (2,2) 上的减函数,若 f ( m 1) + f ( 2m 1) > 0 , ,求实数 m 的取值范围.

13. 已知函数 f ( x) =

1 1+ x ,求函数 f (x ) 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性 并讨论它的奇偶性和单调性. log 2 x 1 x

14. 设 a > 0 , f ( x) =

ex a + 是 R 上的偶函数. (1) 求 a 的值; a ex

( 2) 证明 f ( x) 在 (0, +∞) 上为增函数.

抽象函数中的单调性问题
1,( 05 北京) 函数 f ( x ) 对任意的 a, b ∈ R ,都有 f ( a + b) = f ( a ) + f (b ) 1 ,并且当 x > 0 时 f ( x ) > 1 . 都有 上的增函数; (1) 求证: f ( x) 是 R 上的增函数 ( 2) 若 f (4) = 5 ,解不等式 f (3m 2 m 2) < 3

2, 已知函数 f ( x ) 对任意 x,y ∈ R 有 f ( x ) + f ( y ) = 2 + f ( x + y ) , x > 0 时, f ( x ) > 2 , f ( 3) = 5 , 当
2 求不等式 f ( a 2a 2) < 3 的解集 的解集.

函数单调性 | 4

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高考过关:
1. ( 07 天津)在 R 上定义的函数 f ( x ) 是偶函数,且 f ( x ) = f (2 x ) ,若 f ( x ) 在区间 [1,2] 是减函数,则
函数 f ( x ) ( )

A. 在区间 [ 2,1] 上是增函数,区间 [3,4] 上是增函数 区间 B. 在区间 [ 2,1] 上是增函数,区间 [3,4] 上是减函数 区间 C. 在区间 [ 2,1] 上是减函数,区间 [3,4] 上是增函数 区间 D. 在区间 [ 2,1] 上是减函数,区间 [3,4] 上是减函数 区间
2. ( 07 辽宁文)函数 y = log 1 ( x 2 5 x + 6) 的单调增区间为(
2

)

5 A. , ∞ + 2

B. (3, ∞ ) +

5 C . ∞, 2

D. (∞, 2)

1 3. ( 07 福建)已知函数 f (x ) 为 R 上的减函数 上的减函数,则满足 f < f (1) 的实数 x 的范围是 的范围是( x

)

A. ( 1,1)

B. (0,1)

C. ( 1,0) U (0,1)

D. ( ∞,1) U (1,+∞)

已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在 (8, ∞ ) 上为减函数, 且函数 y = f ( x + 8) 为偶函数, ( ) 则 4, 07 重庆) ( +

A. f (6) > f (7)

B. f (6) > f (9)

C . f (7) > f (9)

D. f (7) > f (10)

5, 05 山东)下列函数既是奇函数 ( 下列函数既是奇函数,又在区间 [ 1,1] 上单调递减的是(

)

A. f ( x ) = sin x

B. f ( x) = x + 1

C. f ( x) =

1 x (a + ax ) 2

D. f ( x) = ln

2 x 2+ x

6, 05 重庆)若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在 (∞,0] 上是减函数,且 f (2) = 0 ,则使得 f ( x ) < 0 ( 的 x 的取值范围是( )

A. ( ∞, 2 ) ;

B. ( 2, +∞ ) ; C . ( ∞, 2 ) U ( 2, +∞ ) ; D. ( 2, 2 )

函数单调性 | 5

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7, 06 北京文)已知 f ( x) = (

(3 a) x 4a, x<1, 是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围是 的取值范围是( ) log a x, x ≥ 1
3 C. ,3 5

A. (1, +∞ )

B. ( ∞,3)

D. (1,3)

上是减函数,问 f ( x ) 在 (∞,0) 上是增函数还是减函数 上是增函数还是减函数,并证明你的 8,已知偶函数 f ( x ) 在 (0, + ∞) 上是减函数 结论.

函数单调性 | 6


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