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河北省保定2012届高三下学期第一次模拟考试--数学(文)



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河北省保定 2012 届高三下学期第一次模拟考试

数学试题(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上。 3.考试结束后,监考人员将本试卷和答题卡一并收回。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题是 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求) 1.已知集合 A = {x | lg x ≤ 0}, B = {x || x + 1 |> 1}, 则A I B = A. (—2,1) 2.已知 i 是虚数单位,若 A.—1 B. ( ?∞, ?2] U [1, +∞ ) C. (0,1] D. ( ?∞, ?2) U (0,1]

a+i 是实数,则实数 a 等于 1+ i
B.1 C. 2 D.— 2

3.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间 ( A. y = sin 2 x B. y = 2 | cos x |

π
2

, π ) 上为减函数的是
D. y = cos

C. y = ? tan x

x 2

4.已知等比数列 {an }中, 有a3 a11 = 4a7 ,数列 {bn } 是等差数列,且 b7 = a7 , 则b5 + b9 等于 A.2 B.4 C.6 D.8 5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.3 B.—6 C.—15 D.10 6.下列所给的四个图象为某同学离开家的距离 y 与所用时间 t 的 函数关系

给出下列三个事件:

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(1)该同学离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再去上 学; (2)该同学骑着车一路以匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)该同学出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速, 其中事件(1) (3)与所给图象分别吻合最好的 (2) A.④①② B.③①② C.②①④ D.③②① 7.若 | a |= 1,| b |= 2, c = a + b, 且c ⊥ a, 则向量a与b 的夹角为 A.0° B.60° C.120° D.150°

r

r

r

r

r

r

r

r r

8.已知 a > 0且a ≠ 1, b > 0 ,则“ log a b > 0 ”是“ ( a ? 1)(b ? 1) > 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的体积是(单位:m3)

A. 4 + 2 6

B. 4 +

6

C.

2 3

D.

4 3

10.已知向量 a = (cos θ , sin θ )与b = (cos θ , ? sin θ ) 互相垂直,且θ为锐角,则函数

r

r

f ( x) = sin(2 x ? θ ) 的图象的一条对称轴是直线
A. x = π B. x =

7π 8

C. x =

π
4

D. x =

π
2

11.在平面直角坐标系内,若曲线 C : x 2 + y 2 + 2ax ? 4ay + 5a 2 ? 4 = 0 上所有的点均在第二象限 内,则实数 a 的取值范围为 A. (2, +∞ ) B. (1, +∞) C. (?∞, ?1) D. ( ?∞, 2)

12.定义域为 R 的函数 f ( x )满足f (1) = 1, 且f ( x )的导函数f ′( x ) > 的集合为 A. {x | ?1 < x < 1} C. {x | x < ?1或x > 1} B. {x | x < 1} D. {x | x > 1}

1 ,则满足 2 f ( x) < x + 1 的 x 2

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第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把最简答案填在答题卡的相应位置上) 13.设α为△ABC 的内角,且 tanα ?

3 ,则 sin2α的值为 4



14.设互不相同的直线 l、m、n 和平面α、β、γ,给出下列三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l ? α ,m ? β,则α∥β; ②若α∥β,l ? α ,m ? β,则 l∥m; ③若 α I β = l , β I γ = m, γ I α = n, l / /γ , 则m / / n. 其中真命题的个数为 .
2

15.已知实数 m 是 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x +

y2 = 1 的离心率为 m



16. 在区间[—1, 1]上随机取一个数 k, 使直线 y = k ( x + 2)与圆x 2 + y 2 = 1 有公共点的概率为 三、解答题(本大题共 6 小题,70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,S3 =14,S6=126. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn =



1 1 1 + +L + ,试求 Tn 的表达式。 a1 a2 a2 a3 an an +1

18. (本小题满分 12 分) 为了搞好对水电价格的调研工作,管理部门采用了分层抽样的方法,分别从春之曲、凤凰 城、山水人家三个居民区的相关家庭中,抽取若干户家庭进行调研,有关数据见下表(单位: 户)

(1)求 x,y; (2)若从春之曲、山水人家两个片区抽取的家庭中随机选 2 户家庭参加实施办法的听证会,求 这 2 户家庭分别为来自春之曲、山水人家两个居民区的概率。

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19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形,PA=AB=1,直线 PD 与底面 ABCD 所成的角等于 30°,PF=FB,E∈BC,EF∥平面 PAC. (1)试求

BE 的值; EC

(2)求三棱锥 P—ABC 的表面积和体积。

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x 2 ? 2 x, g ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ∈ ( ?∞, 0] 时, g ( x ) + f ( x ) = x 2 . (1)求函数 g ( x ) 在 R 上的解析式; (2)若函数 h( x ) = x[ g ( x ) ? λ f ( x ) + ]在[0, +∞ ) 上是增函数,且 λ ≤ 0, 求λ 的取值范围。

2 3

21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 2 已知椭圆 C : 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的离心率为 , 且过点Q(1, ). 2 2 a b
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,设 P 点在直线 x + y ? 1 = 0 上,且 满足 OA + OB = tOP (O 为坐标原点) ,求实数 t 的最小值。

uuu r

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请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写 请题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使得 CD=AC,连结 AD 交⊙ O 于点 E,连结 BE。 求证: (1)BE=DE; (2)∠D=∠ACE。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ? (1)当 α =

? x = 1 + t cos α (t为参数) ,圆 C2:ρ=1.(极坐标轴与 x 轴非负半轴重合) ? y = t sin α ,
时,求直线 C1 被圆 C2 所截得的弦长;

π
3

(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,当α变化时,求 A 点的轨迹的普通方程。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 f ( x ) = 1n(| x ? 1 | + m | x ? 2 | ?3)( m ∈ R ). (1)当 m = 0 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)当 0 ≤ x ≤ 1 时,是否存在 m 使得 f ( x ) ≤ 0 恒成立,若存在求出实数 m 的取值范围,若不 存在,说明理由。

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