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2012高考二轮复习综合检测专题七 不等式、推理与证明、算法与复数综合检测 新人教A版



年高考数学二轮复习综合检测:专题七不等式 推理与证明、 不等式、 2022 年高考数学二轮复习综合检测:专题七不等式、推理与证明、算 法与复数
时间:220 分钟 满分:250 分 一、选择题(本大题共 22 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 2.(文)若复数(a -3a+2)+(a-2)i 是纯虚数,则实数 a

的值为( A.2 C.2 或 2 [答案] B [解析] ∵(a -3a+2)+(a-2)i 是纯虚数,
?a -3a+2=0 ? ∴? ?a≠2 ?
2 2 2

)

B.2 D.-2

,∴a=2.故选 B. )

(理)(2022·福建理,2)i 是虚数单位,若集合 S={-2,0,2},则( A.i∈S C.i ∈S [答案] B [解析] i =-2∈S,故选 B.
2 3

B.i ∈S 2 D. ∈S i

2

2.(文)(2022·福建文,6)若关于 x 的方程 x +mx+2=0 有两个不相等的实数根,则实 数 m 的取值范围是( A.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) [答案] C [解析] “方程 x +mx+2=0 有两个不相等实数根”?m -4>0,解得 m>2 或 m<-2. (理)(2022·陕西文,3)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( A.a<b< ab< )
2 2

2

) B.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

a+ b
2

B.a< ab< D. ab<a<

a+ b
2 2

<b

C.a< ab<b< [答案] B

a+ b
2

a+ b

<b

[解析] 取 a=2,b=2,易排除 A、C、D. 3.下列命题中正确的是( )
2 2

A.若 a,b,c∈R,且 a>b,则 ac >bc R
用心

爱心

专心

-1-

B.若 a,b∈R,且 a·b≠0,则 + ≥2 R C.若 a,b∈R,且 a>|b|,则 a >b (n∈N ) R N D.若 a>b,c>d,则 > [答案] C [解析] 当 c=0 时,A 不成立;当 ab<0 时, + ≤-2,B 不成立;若 dc=0, > 不成 立,D 不成立,故选 C. 4.(2022·湖北理,8)已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b,若 x,y 满足不 等式|x|+|y|≤2,则 z 的取值范围为( A.[-2,2] C.[-3,2] [答案] D [解析] ∵a⊥b,∴a·b=0,即(x+z,3)·(2,y-z)=0, ∴z=2x+3y 不等式|x|+|y|≤2 表示如图所示平面区域. 作直线 l0:2x+3y=0,平移 l0 过点 A(0,2)时 z 取最大值 3. 平移 l0 过点 C(0,-2)时,z 取最小值-3, ∴z∈[-3,3]. 5.(2022·西安模拟)观察下列数表规律: 022345678920222223242526 则从数 2022 到 2022 的箭头方向是( A.2022 C.2022 [答案] D [解析] 由图可以看出,每隔 4 个数,箭头方向相同,可认为 T=4,又 2022=502×4+ 3,所以 2022 处的箭头方向同数字 3 处的箭头方向,故选 D. 2 4 6.(2022·重庆理,7)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是( ) B.2022 D.2022 ) B.[-2,3] D.[-3,3]
n n
*

a b b a

a b d c

a b b a

a b d c

a b

)

A. C.

7 2 9 2

B.4 D.5

[答案] C

用心

爱心

专心

-2-

[解析] ∵a+b=2,∴ + =2, 2 2 2 4 ?2 4??a b? 5 2a b ∴ y= + = ? + ? ? + ? = + + , a b ?a b??2 2? 2 b 2a 2a b ∵a>0,b>0,∴ + ≥2 b 2a 2a 2a b · =2,当且仅当 b 2a

a b

b



b
2a

2 4 ,且 a+b=2,即 a= ,b= 时取得等号, 3 3

9 ∴y 的最小值是 ,选 C. 2 7.(文)(2022·北京文,6)执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输出的 P 值 为( )

A.2 C.4 [答案] C

B.3 D.5

2 3 3 2 22 22 2 [解析] P=2,S=2― P=2,S=2+ = ― P=3,S= + = ― P=4,S= + = → → → 2 2 2 3 6 6 4 25 >2,所以输出 P=4. 22 (理)(2022·北京理,4)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( )

用心

爱心

专心

-3-

A.-3 C. 2 3

2 B.- 2 D.2

[答案] D 2 2 [解析] 由框图知得:i:0→2→2→3→4,则 s:2→ →- →-3→2.选 D. 3 2 2+i 的共轭复数是( 8.(2022·新课标理,2)复数 2-2i 3 A.- i 5 C.-i [答案] C 2+i 2i-2 2 [解析] 依题意: = =- =i,∴其共轭复数为-i,选 C. 2-2i 22-2i2·i i 9.(文)(2022·天津文,3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为-4, 则输出 y 的值为( ) 3 B. i 5 D.i )

A.0.5 C.2

B.2 D.4

用心

爱心

专心

-4-

[答案] C [解析] 第 2 次循环:x=-4,x=|-4-3|=7 第 2 次循环:x=7,x=|7-3|=4 第 3 次循环:x=4,x<|4-3|=2,

y=22=2.输出 y.
(理)(2022·天津理,3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( )

A.3 C.5 [答案] B [解析] 第一次运行结束:i=2,a=2 第二次运行结束:i=2,a=5 第三次运行结束:i=3,a=26

B.4 D.6

第四次运行结束:i=4,a=65,故输出 i=4,选 B. 20.(2022·福建理,8)已知 O 是坐标原点,点 A(-2,2),若点 M(x ,y)为平面区域

?x+y≥2, ? ?x≤2, ?y≤2 ?
A.[-2,0] C.[0,2] [答案] C

→ → 上的一个动点,则OA·OM的取值范围是(

)

B.[0,2] D.[-2,2]

?x+y≥2 ? → → [解析] OA·OM=(-2,2)·(x, )=y-x, y 画出线性约束条件?x≤2 ?y≤2 ?
区域如图所示.
用心 爱心 专心

表示的平面

-5-

→ → 可以看出当 z=y-x 过点 D(2,2)时有最小值 0,过点 C(0,2)时有最大值 2,则OA·OM的 取值范围是[0,2],故选 C. 22.(2022·四川理,9)某运输公司有 22 名驾驶员和 29 名工人,有 8 辆载重量为 20 吨 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车,某天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆 车需载满且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派 用的每辆乙型卡车需配 2 名工人;运送一次可得利润 350 元,该公司合理计划当天派用两类 卡车的车辆数,可得最大利润 z=( A.4650 元 C.4900 元 [答案] C [解析] 设派用甲车数 x 辆,乙车数 y 辆,由题意:约束条件: ) B.4700 元 D.5000 元

?2x+y≤29 ? ?20x+6y≥72 ?x≤8 ?y≤7

x+y≤22

,目标函数:z=450x+350y

经平移 9x+7y=0 得过 A(7,5)利润最大

z=450×7+350×5=4900 元,故选 C.
22.(文)(2022·陕西二检)设 O(0,0),A(2,0),B(0,2),点 P 是线段 AB 上的一个动点, →

AP=λAB,若OP·AB≥PA·PB,则实数 λ 的取值范围是(
用心 爱心 专心





→ →



)
-6-

2 A. ≤λ≤2 2 2 2 C. ≤λ≤2+ 2 2 [答案] B → → [解析] 设 P(x,y),则由AP=λAB得, (x-2,y)=λ(-2,2),∴? → → → → 若OP·AB≥PA·PB,则
? ?x-2=-λ ? ?y=λ

B.2-

2 ≤λ≤2 2 2 2 ≤λ≤2+ 2 2

D.2-

,解得?

? ?x=2-λ ? ?y=λ

.

(x,y)·(-2,2)≥(2-x,-y)·(-x,2-y), ∴x +y -2y≤0,∴(2-λ) +λ -2λ≤0, ∴2- 2 2 ≤λ≤2+ . 2 2
2 2 2 2

又点 P 是线段 AB 上的一个动点,∴0≤λ≤2, ∴2- 2 ≤λ≤2.故选 B. 2
3 2 2

(理)(2022·山西二模)已知函数 f(x)=-x +px +qx+r,且 p +3q<0,若对 x∈R 都有 R

f(m2-sinx)≥f(m+ 2+cosx)成立,则实数 m 的取值范围为(
A.[0,2] C.[2, 2] [答案] A [解析] 由题知,f′(x)=-3x +2px+q, 其判别式 Δ=4p +22q=4(p +3q)<0,∴f′(x)<0, ∴f(x)在 R 上单调递减. 又 f(m -sinx)≥f(m+ 2+cosx), ∴m -sinx≤m+ 2+cosx,即 m -m- 2≤sinx+cosx. 记 t=sinx+cosx,则问题等价于 m -m- 2≤tmin. 又 t=sinx+cosx= 2sin(x+
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.[2, 5] D.[0, 2]

π ),x∈R,∴tmin=- 2, R 4

所以 m -m- 2≤- 2,解得 0≤m≤2, ∴实数 m 的取值范围是[0,2]. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 26 分,将答案填写在题中横线上.) 2 23.(2022·山东潍坊三模)在各项为正数的数列{an}中,数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an 2
用心 爱心 专心

-7-

2 + ),则 a3=________,猜想数列{an}的通项公式为________.

an

[答案]

3- 2

n- n-2

2 2 [解析] (2)由 Sn= (an+ )可计算出 a2=2,a2= 2-2,a3= 3- 2. an 2 (2)由 a2,a2,a3 可归纳猜想出 an= n- n-2. 24.(文)(2022·浙江理,22)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 k 的值是 ________.

[答案] 5 [解析] 第一次执行循环体时,k=3,a=4 =64,b=3 =82,由于 a<b,所以执行第二 次循环. 第二次执行循环体时,k=4,a=4 =256,b=4 =256,由于 a=b,所以执行第三次循环. 第三次执行循环体时,k=5,a=4 =2024,b=5 =625,由于 a>b,退出循环结构,输出
5 4 4 4 4 4

k=5,应填:5.
(理)(2022·山东理,23)执行下图所示的程序框图,输入 l=2,m=3,n=5,则输出的

y 的值是________.

用心

爱心

专心

-8-

[答案] 68 [解析] 依题意,l=2,m=3,n=5,则 l +m +n ≠0, ∴y=70×2+22×3+25×5=278,又 278>205 ∴y=278-205=273. 又 273>205, ∴y=273-205=68<205. ∴y=68. 2 2 2 2 25.(文)(2022·湖南理,20)设 x, y∈R,且 xy≠0,则(x + 2)( 2 +4y )的最小值为 R
2 2 2

y

x

________. [答案] 9 2 2 2? ? 2 2 ?? 2 2 2 2 2 [解析] ?x + 2?? 2+4y ?=2+4+ 2 2+4x y ≥5+2×2=9,当且仅当 2 2=4x y 时等号 y x

?

??

?

xy

xy

成立. (理)(2022·浙江文,26)若实数 x,y 满足 x +y +xy=2,则 x+y 的最大值是________. [答案] 2 3 3
2 2 2 2 2

[解析] 由 x +y +xy=2 可得,(x+y) =xy+2 而由均值不等式得 xy≤( ∴(x+y) ≤(
2

x+ y
2

)

2

x+ y

3 2 2 ) +2 整理得, (x+y) ≤2 4 2

2 3 2 3 ∴x+y∈[- , ] 3 3 2 3 ∴x+y 的最大值为 . 3 26.(文)(2022·苏锡常镇三调)将全体正整数排成一个三角形数阵: 2 2 4 7 22 … 8 5 3 6 9 20

22 23 24 25 … … … … …

根据以上排列规律,数阵中第 n(n≥3)行从左至右的第 3 个数是________. [答案]

n2 n
2

- +3(n≥3) 2
用心 爱心 专心 -9-

[解析] 该数阵的第 2 行有 2 个数, 2 行有 2 个数, 第 n 行有 n 个数, 第 …, 则第 n-2(n≥3) 2n-2222+n-22 n n n n = - ,则第 n 行的第 3 个数为 - +3(n≥3). 行的最后一个数为 2 2 2 2 2 (理)(2022·福建二检)如图,点 P 在已知三角形 ABC 的内部,定义有序实数对(μ,υ,
2 2

ω)为点 P 关于△ABC 的面积坐标,其中 μ= ω=

△PBC的面积 △APC的面积 ,υ= , △ABC的面积 △ABC的面积

△ABP的面积 → 2→ 2→ ;若点 Q 满足BQ= BC+ BA,则点 Q 关于△ABC 的面积坐标为________. △ABC的面积 3 2

2 2 2 [答案] ( , , ) 2 6 3 → 2→ 2→ [解析] 由点 Q 满足BQ= BC+ BA可知 Q 到 BC、AC、AB 三边的距离分别是三边相应高的 3 2 2 2 2 2 2 2 , , ,所以 S△QBC= s,S△AQC= s,S△AQB= s(s 为△ABC 的面积).故点 Q 关于△ABC 的面积 2 6 3 2 6 3 2 2 2 坐标为( , , ). 2 6 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 27.(本小题满分 22 分)若函数 f(x)=4 +a·2 +a+2 有零点,求实数 a 的取值范围. [解析] 解法一:令 2 =t,f(x)有零点,即方程 t +at+a+2=0,在(0,+∞)内有解. 2+t 2 变形为 a=- =-[(t+2)+ ]+2≤2-2 2, 2+t t+2 ∴a 的范围是(-∞,2-2 2]. 解法二:t +at+a+2=0 在(0,+∞)内有解,
2 2

x

x

x

2

?Δ=a -42a+22≥0, ? ①有两解,?-a>0, ?a+2>0, ?
2

2

得-2<a≤2-2 2.

②有一解,令 g(t)=t +at+a+2, ,则 g(0)<0 ∴a≤-2.∴a 的范围是(-∞,2-2 2]. 28.(本小题满分 22 分)(2022·上海理,29)已知复数 z2 满足(z2-2)(2+i)=2-i(i 为 虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z2·z2 是实数,求 z2. [解析] (z2-2)(2+i)=2-i?z2=2-i 设 z2=a+2i,a∈R,则 z2z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i, R ∵z2z2∈R,∴4-a=0,即 a=4,∴z2=4+2i. R

用心

爱心

专心

- 10 -

2 2 2 29.(本小题满分 22 分)(2022·安徽理,29)(2)设 x≥2,y≥2,证明 x+y+ ≤ + +

xy x y

xy.
(2)2≤a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 2 2 2 2 [证明] (2)由于 x≥2,y≥2,所以 x+y+ ≤ + +xy?xy(x+y)+2≤y+x+(xy) .

xy x y

将上式中的右式减左式,得 (y+x+(xy) )-(xy(x+y)+2) =((xy) -2)-(xy(x+y)-(x+y)) =(xy+2)(xy-2)-(x+y)(xy-2) =(xy-2)(xy-x-y+2) =(xy-2)(x-2)(y-2). 既然 x≥2,y≥2,所以(xy-2)(x-2)(y-2)≥0,从而所要证明的不等式成立. (2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 2 2 2 logca= ,logba= ,logab= ,logac=xy.于是,
2 2

xy

x

y

2 2 2 所要证明的不等式即为 x+y+ ≤ + +xy,

xy x y

其中 x=logab≥2,y=logbc≥2. 故由(2)立知所要证明的不等式成立. 20.(本小题满分 22 分)写出求满足 2×3×5×7×…×n>50000 的最小正整数 n 的算法并 画出相应的程序框图. [解析] 算法如下: S2 S2 S3 S4 S5 S6

S=2,i=3.
如果 S≤50000,则执行 S3,否则执行 S5.

S=S×i. i=i+2,返回执行 S2. i=i-2.
输出 i.

程序框图如图所示:

用心

爱心

专心

- 11 -

22.(本小题满分 22 分)观察下表: 2, 2,3 4,5,6,7 8,9,20,22,22,23,24,25, …… 问:(2)此表第 n 行的最后一个数是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2022 是第几行的第几个数? (4)是否存在 n∈N ,使得第 n 行起的连续 20 行的所有数之和为 2 -2 -220?若存在, N 求出 n 的值;若不存在,请说明理由. [解析] (2)∵第 n+2 行的第 2 个数是 2 , ∴第 n 行的最后一个数是 2 -2. (2)2 =
n-2 n n
* 27 23

+(2

n-2

+2)+(2

n-2

+2)+…+(2 -2)
2n-3

n

22

n-2

+2 -22·2 2
22

n

n-2

=3·2

-2

n-2

.

(3)∵2 =2024,2 =2048,2024<2022<2048, ∴2022 在第 22 行,该行第 2 个数是 2 =2024,由 2022-2024+2=989,知 2022 是第 22 行的第 989 个数. (4)设第 n 行的所有数之和为 an,第 n 行起连续 20 行的所有数之和为 Sn. 则 an=3·2
2n-3 20

20

-2
n

n-2

,an+2=3·2

2n-2

-2

n-2

, , +2
n-2

an+2=3·2

2n+2

-2 ,…,an+9=3·2 +2
2n - 2

2n+25

-2

n+7

∴ Sn = 3(2 2
n-2
20

2n - 3

+…+2

2n + 25

) - (2

n-2

+…+2

n+7

) = 3·

2

2n-3

24 -22 - 4-2

20

22 -22 2n+27 2n-3 n+8 n-2 27 23 27 23 =2 -2 -2 +2 ,n=5 时,S5=2 -228-2 +8=2 -2 -220. 2-2 ∴存在 n=5 使得第 5 行起的连续 20 行的所有数之和为 2 -2 -220. 22.(本小题满分 24 分)(文)(2022·四川文,20)已知{an}是以 a 为首项,q 为公比的等
27 23

用心

爱心

专心

- 12 -

比数列,Sn 为它的前 n 项和. (2)当 S2,S3,S4 成等差数列时,求 q 的值; (2)当 Sm,Sn,Si 成等差数列时,求证:对任意自然数 k,am+k,an+k,ai+k 也成等差数列. [解析] (2)若公比 q=2,则 S2=a,S3=3a,S4=4a,而 2S3=6a≠S2+S4≠5a ∴不满足 S2,S3,S4 成等差数列,∴q≠2

a22-qn2 若 q≠2,由前 n 项和公式知,Sn= , 2-q
∵S2,S3,S4 成等差数列

a22-q 2 2a22-q 2 ∴2S3=S2+S4,即 = a+ 2-q 2-q
即 2a(2-q )=a(2-q)+a(2-q ) ∵a≠0,∴2(2-q)(q +q+2)=(2-q)+(2-q)(2+q)(2+q ) 又∵2-q≠0 ∴2(2+q+q )=2+(2+q )(2+q) 即 q =q+2?q -q-2=0, 2± 5 ∴ q= 2 (2)若公比 q=2,则 am+k=an+k=ai+k=a, ∴am+k,an+k,ai+k 成等差数列 若公比 q≠2,由 Sm,Sn,Si 成等差数列得 Sm+Si=2Sn 即
2 2 2 2 2 2 3 4

3

4

a22-qm2 a22-qi2 2a22-qn2 + = 2-q 2-q 2-q
n m i

∴2q =q +q

又 2an+k=2a·q

n+k-2

而 am+k+ai+k=a·q

m+k-2

+a·q

i+k-2

=a·q

k-2

(q +q )=a·q

m

i

k-2

·2q =2a·q

n

n+k-2

∴am+k+ai+k=2an+k, ∴am+k,an+k,ai+k 也成等差数列. 2 2 * (理)在数列{an}中,a2=2,an+2=2- ,bn= ,其中 n∈N . N 4an 2an-2 (2)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求证:在数列{an}中对于任意的 n∈N ,都有 an+2<an; N (3)设 cn=( 2)bn,试问数列{cn}中是否存在三项,它们可以构成等差数列?如果存在, 求出这三项;如果不存在,请说明理由. [解析] (2)证明:因为 bn+2-bn= 2 - 2an+2-2 2an-2 2
*

用心

爱心

专心

- 13 -



2 2 4an 2 - = - 2 2an-2 2an-2 2an-2 222- 2-2 4an
*

=2(n∈N ). N 所以数列{bn}是等差数列. (2)证明:要证 an+2<an,只要证 an+2-an<0. 2 =2, 因为 a2=2,所以 b2= 2a2-2 所以 bn=2+(n-2)×2=2n. 由 b n= 2 2 2 * ,得 2an-2= = (n∈N ), N bn n 2an-2

所以 an=

n+2 , 2n

n+2 n+2 -2 所以 an+2-an= - = <0, 22n+22 2n 2n2n+22
所以在数列{an}中对于任意的 n∈N ,都有 an+2<an. N (3)cn=( 2)bn=2 , cn}中存在三项 cm, n, p(m<n<p, , , ∈N )成等差数列, 2·2 设{ c c m n p N 则 =2 +2 , 所以 2
n+2 m p n
* *

n

=2 +2 2

m

p, n-m+2

=2+2
*

p- m


*, n-m+2

因为 m<n<p,m,n,p∈N ,所以 n-m+2,p-m∈N 2 N N 所以 2
n-m+2

为偶数,2+2

p-m

为奇数,

与 2+2

p- m

不可能相等,

所以数列{cn}中不存在可以构成等差数列的三项.

用心

爱心

专心

- 14 -



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