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2011届高三第一次联考(数学理)word版



湖北省

黄冈中学 黄石二中 华师一附中 荆州中学 孝感高中 襄樊四中 襄樊五中 鄂南高中 2011 届 高 三 第 一 次 联 考 数学试题(理科) 满分:150 分 时间:120 分钟

八校

一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.

已知集合 A ? {0,1, 2,3}, 集合B ? {x | x ? 2a, a ? A} ,则 A. A ? B ? A B. A ? B ? A C. A ? B ? B ( )

D. A ? B ? A

2.命题 p:若 a ? b ? 0, 则a与b 的夹角为钝角, 命题 q:定义域为 R 的函数 f ( x)在(??,0)及(0, ??) 上都是增函数,则 f ( x)在(??, ??) 上是增函数 下列说法正确的是 ( ) A. “p 且 q”是假命题 B. “p 或 q”是真命题 C.

? ?

? ?

? p 为假命题

D.

? q 为假命题

3.函数 y ? sin x(3sin x ? 4cos x)( x ? R) 的最大值为 M,最小正周期为 T,则有序数对(M,T)为 ( A. (5, ? ) ) B. (4, ? )
2

C. (?1, 2? ) D. (4, 2? ) )

4. “ a ? ?1 ”是“直线 a x ? y ? 6 ? 0 与直线 4 x ? (a ? 3) y ? 9 ? 0 互相垂直”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,若 C ? 120 , c ?
?

2b ,则(



A. B ? 45

?

B. A ? 45

?

C. b ? a

D. b ? a

6.定义在区间 (0, a ) 上的函数

f ( x) ?

x2 2 x 有反函数,则 a 最大为





2 ln 2 1 A. ln 2 B. 2 C. 2

D.2

??? ? ??? ? 2 2 P ( x , y ) 是圆 x ? ( y ? 3) ? 1 PA ? PB 7.已知 上的动点,定点 A(2,0) ,B(—2,0) ,则 的最大值为
A.4 ( ) B.0 C.—12 D.12

1 / 11

???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 ???? ?ABC中, AN ? NC AP ? m AB ? AC 3 11 8. 如图, 在 , P 是 BN 上的一点, 若 , 则实数 m 的值为 ( 9 A. 11 3 C. 11 5 B. 11 2 D. 11 [0, ??), 则 1 9 ? c ? 1 a ? 9 的最大值为(



2 9.设二次函数 f ( x) ? ax ? 4x ? c( x ? R) 的值域为



31 38 6 A. 25 B. 33 C. 5
10.有下列数组排成一排:

31 D. 26

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1 4 3 2 1 ( ), ( , ), ( , , ), ( , , , ), ( , , , , ), ? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 2 3 4 5
如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列:

1 2 1 3 2 1 1 3 2 1 5 4 3 2 1 , , , , , , , , , , , , , , ,? 1 1 2 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 5
则此数列中的第 2011 项是 ( )

7 6 5 4 A. 57 B. 58 C. 59 D. 60
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。

A(0, b), B为椭圆
11.已知点 上,则该椭圆的离心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 的左准线与 x 轴的交点,若线段 AB 的中点 C 在椭圆


12.已知实数

?x ? y ? 5 ? 0 ? x, y满足 ? x ? y ? 0 , 则z ? x ? 2 y ?x ? 3 ?

的最小值是



13 . 奇 函 数

f ( x) 满 足 对 任 意 x ? R都有f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? 0, 且f (1) ? 9 , 则 ( 2 。0 1 2 )

f ( 2 0 ? 1 f0 ) ? ( f2 0的值为 1 1 )
14 . 已 知 等 比 数 列

{an } 的 各 项 都 为 正 数 , 且 当 n ? 3时, a4 ? a2n?4 ? 102n , 则 数 列


lg a1 , 2lg a2 , 22 lg a3 , 23 lg a4 ,?, 2n?1 lg an ,?的前n项和Sn 等于

15.对于连续函数 f ( x)和g ( x),函数 | f ( x) ? g ( x) | 在闭区间 [ a, b] 上的最大值称为 f ( x)与g ( x) 在闭区间

[a, b] 上的“绝对差” ,记为 a ? x ?b

? ( f ( x), g ( x))

,则

1? x ? 4

? (

1 2 2 , x ? x) x ?1 9 =



2 / 11

三、解答题;本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (12 分)

? ? ? ? ? 12 ? p ? (1 ? sin A, ), q ? (cos 2 A, 2sin A), 且 p / / q 7 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 。
(I)求 sin A 的值; (II)若 b ? 2, ?ABC 的面积为 3,求 a。

17. (12 分)已知

f ( x) ? log 2 (1 ? x 4 ) ?

1 ? mx ( x ? R) 1 ? x2 是偶函数。

(I)求实常数 m 的值,并给出函数 f ( x ) 的单调区间(不要求证明) ; (II)k 为实常数,解关于 x 的不等式: f ( x ? k ) ? f (| 3x ? 1|).

3 / 11

18. (12 分) 在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线(记作 MA)的变化情况来 决定买入或卖出股票。股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的 MA 均线近期走得很有特点:如 果按如图所示的方式建立平面直角坐标系 xoy ,则股价 y(元)和时间 x 的关系在 ABC 段可近拟地用解析 式 y ? a sin(? x ? ? ) ? b(0 ? ? ? ? ) 来描述,从 C 点走到今天的 D 点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明 显的筑底结束的标志,且 D 点和 C 点正好关于直线 l : x ? 34 对称,老张预计这只股票未来的走势如图中 虚线所示,这里 DE 段与 ABC 段关于直线 l 对称,EF 段是股价延续 DE 段的趋势(规律)走到这波上升行情 的最高点 F。 现在老张决定取点 A(0, 22), 点 B(12,19) ,点 D(44,16)来确定解析式中的常数 a, b, ? , ? ,

??
并且已经求得

?
72

.

(I)请你帮老张算出 a, b, ? ,并回答股价什么时候见顶(即求 F 点的横坐标) (II)老张如能在今天以 D 点处的价格买入该股票 5 000 股,到见顶处 F 点的价格全部卖出,不计其它费 用,这次操作他能赚多少元?

19. (12 分)
2 2 2 2 已知双曲线 x ? y ? 1 的左、 右顶点分别为 A1、 A2, 动直线 l : y ? kx ? m 与圆 x ? y ? 1 相切,

且与双曲线左、右两支的交点分别为 (I)求 k 的取值范围,并求 (II)记直线

P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ).

x2 ? x1 的最小值;

P 1A 1的斜率为k1 , 直线P 2A 2的斜率为k2 , 那么k1 ? k2 是定值吗?证明你的结论。

4 / 11

20. (13 分)已知数列 (I)李四同学欲求

{an }满足a1 ? 7, an?1 ? 3an ? 2n?1 ? 8n.(n ? N * )
{an } 的通项公式,他想,如能找到一个函数 f (n) ? A ? 2n?1 ? B ? n ? C (A、B、C
an?1 ? f (n ? 1) ? 3[an ? f (n)] 后,就容易求出 {an } 的通项了,请问:他设想

是常数) ,把递推关系变成 的

f (n)存在吗?{an } 的通项公式是什么?
(II) 记

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , 若不等式Sn ? 2n2 ? p ? 3n 对任意n ? N * 都成立,求实数 p 的取

值范围。

1 1 f ( x) ? ln( ? ax) ? x 2 ? ax. (a为常数, a ? 0) 2 2 21. (14 分)已知函数 x?
(I)若

1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; 2

1 0 ? a ? 2时, f ( x)在[ ,+?) 2 (II)求证:当 上是增函数;
(III)若对任意的 a ? (1, 2), 总存在 围。

1 x0 ? [ ,1], 使不等式f ( x0 ) ? m(1 ? a 2 ) 2 成立,求实数 m 的取值范

5 / 11

参考答案 题号 答案

1
D

2
A

3

4
A

5

6

7

8

9

10

B

C

A

D

C

C

B

11 .

3 3

12 . ?3
13. ?9
n 14 . 1 ? (n ?1)2

15 .

13 9
? 12 cos 2 A ? (1 ? sin A) ? 2sin A 7 ,

? ? ? 16 . (Ⅰ)? p // q

?6(1 ? 2sin 2 A) ? 7sin A(1 ? sin A) , 5sin 2 A ? 7sin A ? 6 ? 0 ,
? sin A ? 3 . (sin A ? ?2舍) 5

6分

1 S?ABC ? bc sin A ? 3, b ? 2 2 (Ⅱ)由 ,得 c ? 5 , cos A ? ? 1 ? sin 2 A ? ?


4 5,

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5cos A ? 29 ? 20cos A ,
cos A ?


4 2 5 时, a ? 13, a ? 13 ; 4 2 5 时, a ? 45, a ? 3 5 .

10 分

cos A ? ?


12 分

17 .(Ⅰ)? f ( x) 是偶函数, ? f (? x) ? f ( x) ,
? log 2 (1 ? x 4 ) ? 1 ? mx mx ? 1 ? log 2 (1 ? x 4 ) ? 2 1? x 1 ? x2 ,
2分

? mx ? 0 ,? m ? 0 .

6 / 11

? f ( x) ? log 2 (1 ? x 4 ) ?
4分

1 1 ? x 2 , f ( x) 的递增区间为 [0, ??) ,递减区间为 (??, 0] .

? f (x ? k) ? f ( x ? k ) (Ⅱ)? f ( x) 是偶函数 , ,
不等式即

f ( x ? k ) ? f ( 3x ?1)

,由于 f ( x ) 在 [0, ??) 上是增函数,

? x ? k ? 3x ?1 ? x2 ? 2kx ? k 2 ? 9 x2 ? 6 x ? 1 , ,
即 8x ? (6 ? 2k ) x ? (1 ? k ) ? 0 ,
2 2

?
?

(x ?

k ?1 k ?1 )( x ? )?0 2 4 ,

7分

k ?1 k ? 1 3k ? 1 ? (? )? 2 4 4 ,

?k ?

1 3 时,不等式解集为 ? ;

k?

1 k ?1 k ?1 (? , ) 3 时,不等式解集为 4 2 ; 1 k ?1 k ?1 ( ,? ) 3 时,不等式解集为 2 4 .

k?

12 分

18 . (Ⅰ)? C , D 关于直线 l 对称? C 点坐标为 (2 ? 34 ? 44, 16) 即 (24, 16) ,

把 A 、 B 、 C 的坐标代入解析式,得

? ? 2 2? a s i? n? b ? ? ? ?? ? b ) ?1 9? a s i n ( 6 ? ? ? 1 6? a s i n ( ?? ? b ) ? 3 ?

① ② ③

② ? ①,得

a[ s i n (? ? ? ) ? s i? n? ] 3 6 , a[ s i n (? ? ? ) ? s i? n? ] 6 3 ,

?

?

③ ? ①,得

? 2sin( ? ? ) ? 2sin ? ? sin( ? ? ) ? sin ? 6 3 ,

?

?

7 / 11

? cos ? ? 3s in ? ?

3 3 cos ? ? sin ? 2 2 ,

? (1 ?

3 3 3 ) cos ? ? ( ? 3)sin ? ? 3( ? 1)sin ? 2 2 2 , 3 3 ,? 0 ? ? ? ?
?? ? ? ?

? tan ? ? ?

?
6

?

5? 6 , 代入②,得 b ? 19 ,

再由①,得 a ? 6 ,

?a ? 6 , b ?
y ? 6sin(

5? ?? 1 9 6 . , x? 5? ) ? 19 6 ,

7分

?
72

于是, ABC 段的解析式为

由对称性得, DEF 段的解析式为

y ? 6sin[

?
72

(68 ? x) ?

5? ] ? 19 6 ,

?

?
72

(68 ? xF ) ?

5? ? ? , 6 2 解得 xF ? 92 ,
10 分

? 当 x ? 92 时,股价见顶.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,

yF ? 6 ? 19 ? 25 ,
12 分

故这次操作老张能赚 5000 ? (25 ? 16) ? 45 000 元.

19 . (Ⅰ)? l 与圆相切,

?1 ?

m 1? k 2
? m2 ? 1 ? k 2
………… ①

? y ? kx ? m ? 2 x ? y 2 ? 1 , 得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2mkx ? (m2 ? 1) ? 0 , 由?
? ? 1? k 2 ? 0 ? ? ? ?? ? 4m2 k 2 ? 4(1 ? k 2 ) (m 2 ? 1) ? 4(m 2 ? 1 ? k 2 ) ? 8 ? 0 ? 2 ? x1 ? x2 ? m2 ? 1 ? 0 ? k ?1 ? ,

? k 2 ? 1, ??1 ? k ? 1 ,故 k 的取值范围为 (?1,1) .
x1 ? x2 ?
由于

2mk 2 2 2 2 ? x2 ? x1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 2 2 1? k 1? k 2 1? k
2 ? 当 k ? 0 时, x2 ? x1 取最小值 2 2 .

, 6分

?0 ? k 2 ? 1

8 / 11

(Ⅱ)由已知可得

A1, A2 的坐标分别为 (?1, 0), (1, 0) ,

? k1 ?

y1 y , k2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 , y1 y2 (kx ? m)(kx2 ? m) ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
k2 ? m2 ? 1 2mk ? mk ? 2 ? m2 2 k ?1 k ?1 m2 ? 1 2 2 ? ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

? k1 ? k2 ?

k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 1

?

?

m2 k 2 ? k 2 ? 2m2 k 2 ? m2 k 2 ? m2 k 2 ? m2 ? m2 ? 1 ? 2 2 ? k 2 ? 1 m2 ? k 2 ? 2 ? 2 2 ,
m2 ? k 2 ? 1 ,
?1 ? ?(3 ? 2 2) 3? 2 2 为定值.

由①,得

? k1 ? k2 ?

12 分

20 . (Ⅰ)? an?1 ? f (n ? 1) ? 3[an ? f (n)]

? an?1 ? 3an ? f (n ? 1) ? 3 f (n) ,
所以只需 f (n ? 1) ? 3 f (n) ? 2
n?1

? 8n ,

? f (n ? 1) ? 3 f (n) ? ? A ? 2n?1 ? 2Bn ? ( B ? 2C) ,
?? A ? 1, ?2B ? ?8, B ? 2C ? 0 , ? A ? ?1, B ? 4, C ? 2 .故李四设想的 f (n) 存在, f (n) ? ?2n?1 ? 4n ? 2 .

?an ? f (n) ? 3n?1[a1 ? f (1)] ? 3n?1 (7 ? 5) ? 2 ? 3n?1 , ?an ? 2 ? 3n?1 ? f (n) ? 2 ? 3n?1 ? 2n?1 ? 2(2n ? 1).
(Ⅱ) 5分

Sn ? 2(1 ? 3 ? 32 ? ?? 3n?1 ) ? (1 ? 2 ? ?? 2n?1 )

?2[3 ? 5 ? ?? (2n ?1)] ? 3n ? 2n ? 2n2 ? 4n.
? Sn ? 2n2 ? 3n ? 2n ? 4n ,
7分



Sn ? 2n ? p ? 3 ,得
2 n

p?

n n 3n ? 2 ? 4 n 2? n4 ? 1 ? n 3 3n .

9 / 11

3n ? 2n ? 4n bn ? 3n 设 ,则

b n ?1 ? bn ? 1 ?
当 n ? 6 时,

2n ?1 ? 4(n ? 1) 2n ? 4n 2n ? 8n ? 4 2n ? 4(2n ? 1) ? 1 ? ? ? 3n ?1 3n 3n ?1 3n ?1 ,

1 2 n?3 n ?2 2n?2 ? (1 ?1)n?2 ? 1 ? Cn ?2 ? Cn?2 ? ?? Cn?2 ? Cn?2

? 2(1 ? n ? 2) ?

(n ? 2)(n ? 3) ? 2n ? 2 ? 2(n ? 3) ? 4n ? 8 ? 2n ? 1 2 ,(用数学归纳法证也行)

? n ? 6 时, bn?1 ? bn . 容易验证 , 1 ? n ? 5 时, bn|?1 ? bn ,

? p ? (bn )min

? b6 ?

689 729 ,

? p 的取值范围为

( ??,

689 ) 729 .

13 分

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a f ?( x) ? 2 ? 2x ? a ? 1 1 1 ? ax ? ax 2 2 21 . .
1 a2 ? 2 f ?( ) ? 0 ?0 2 (Ⅰ)由已知,得 且 2a ,

? a 2 ? a ? 2 ? 0 ,? a ? 0 ,? a ? 2 .
2分 (Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,

?

a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) ? ? ? ?0 2a 2 2a 2a ,

1 a2 ? 2 ? ? 2 2a ,

?当

x?

1 2ax a2 ? 2 ?0 x? ?0 2 时, 2a .又 1 ? ax ,

1 [ , ? ?) ? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 2 上是增函数.

5分

1 1 1 f (1) ? ln( ? a) ? 1 ? a [ ,1] 2 2 (Ⅲ) a ? (1, 2) 时,由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 2 上的最大值为 ,
于是问题等价于:对任意的 a ? (1, 2) ,
10 / 11

1 1 ln( ? a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 2 2 不等式 恒成立. 1 1 g (a) ? ln( ? a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) 2 2 记 , (1 ? a ? 2 ) g ?(a) ?


1 a ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)] 1? a 1? a , g ?(a) ? ?a ?0 1? a , ? g (a ) 在区间 (1, 2) 上递减,此时, g (a) ? g (1) ? 0 ,

当 m ? 0 时,
2

由于 a ? 1 ? 0 ,? m ? 0 时不可能使 g (a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0 ,

? g ?(a ) ?

2ma 1 [a ? ( ? 1)] 1? a 2m .

1 1 ?1 ? 1 (1, min{2, ? 1}) g ( a ) 2m 若 2m ,可知 在区间 上递减,
在此区间上,有 g (a) ? g (1) ? 0 ,与 g (a) ? 0 恒成立矛盾,

1 ?1 ? 1 ? 故 2m ,这时, g (a ) ? 0 , g (a ) 在 (1, 2) 上递增,

?m ? 0 ? ?? 1 1 ?1 ? 1 m? ? 4, 恒有 g (a) ? g (1) ? 0 ,满足题设要求, ? 2m ,即
1 [ , ? ?) 所以,实数 m 的取值范围为 4 .

14 分

11 / 11



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