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排列组合练习题精拣[1]


排列组合问题(一)
例 1. 从 1、2、3、??、20 这二十个数中任取三个不同的数组 成等差数列,这样的不同等差数列有________个。 解:设 a,b,c 成等差,∴2b=a+c, 可知 b 由 a,c 决定,又∵2b 是 偶数,∴a,c 同奇或同偶,即:分别从 1,3,5?19 或 2,4,6?20 这 十个数中选出两个数进行排列,由此就可确定等差数列。 本题答案为 A(2,10)*2=180 例 2.在 11 名工人中,有 5 人只能当钳工,4 人只能当车工,另 外 2 人能当钳工也能当车工。现从 11 人中选出 4 人当钳工,4 人 当车工,问共有多少种不同的选法? 解:以两个全能工人 A、B 所任工种为分类标准。 第一类:AB 第二类:AB 第三类:AB 第四类:AB 第五类:AB 第六类:AB 都不入选,有 C(4,5)*C(4,4)=5 种 都当钳工,有 C(2,5)*C(4,4)=10 种, 都当车工,有 C(4,5)*C(2,4)=30 种 一个钳工,一个车工,有 2*C(3,5)*C(3,4)=80 种 一个钳工,一个落选,有 2*C(3,5)*C(4,4)=20 种 一个车工,一个落选,有 2*C(4,5)*C(3,4)=40 种

例 4.在并排的 10 垄田地中,选择二垄分别种植 A,B 两种作物, 每种只种植一垄,要求 A,B 两种作物的间隔不少于 6 垄,共有多 少种不同的选法? 解:采取分类的方法 1:A 在第 1 垄,B 有 3 种选择:8,9,10 2:A 在第 2 垄,B 有 2 种选择:9,10 3:A 在第 3 垄,B 有 1 种选择:10 同理 A、B 位置互换,又有 6 种,共有 6+6=12 种。 例 5.某市有 4 条东西街道和 6 条南北街道。若规定只能向东或向 北两个方向沿图中路线前进,则从M到N有多少种不同的走法? 解:从 M 到 N 必须向上走 3 步,向右 走 5 步,共走 8 步。任务可叙述为: 从 8 个步骤中选出哪 3 步是向上走, 就可以确定走法数。 本题答案为:C(3,8)=56。 例 6.身高互不相同的 6 人排成 2 横行 3 纵列,第 1 行的每一个 人都比他同列的身后的人个子矮,所有不同的排法种数是多少? 解:每一纵列中的两人只要选定,只有前 矮后高一种站位方法, 因而每一纵列的排 队 方 法只 与 人 的 选 法 有 关 系, 共 有 三 纵 列,从而有 3*C(2,6)=90 种。 例 7.停车场划一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放,要求 空车位连在一起,不同的停车方法有多少种? 解:把空车位看成一个元素,和 8 辆车共九个元素排列,因而共 有 A(9,9)=362880 种停车方法。

共有 5+10+30+80+20+40=185 种。 例 3.从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只, 其中恰好有一双同色的取法有多少种? 解:分步解决 (一)从 6 双中选出一双同色的手套,有 6 种方法; (二)从剩下的十只手套中任选一只,有 10 种方法。 (三)从前面两双手套之外的八只手套中任选一只,有 8 种方法; (四)由于选取与顺序无关,因(二)(三)中的选法重复一次, 因而共 240 种。

例 8.6 点 24 分 30 秒时,电子表显示:6 : 24’30”,那么从 8 点到 9 点这段时间里, 此表 5 个数字都不相同的情况共有多少种? 解:给 6 个数位编号:①:②③’④⑤”,分步-乘法原则: 第 第 第 第 1 2 3 4 步:①位只可能是 8,有 1 种情况 步:②位可取 0~5 中的数,有 6 种情况 步:④位可取 0~5 中的数,与②位不重复,有 5 种情况 步:③位可取 0~9 中的数,与①②④位不重复,有 7 种情况

例 11.把 A、B、C、D、E 5 个棋子放在 5*5 网格里,每行和每列 只能出现一个棋子,一共有多少种放法? 解:5 个棋子 1 个 1 个放,共有 5 大步: 第 1 步:放 A,有 5×5=25 个方格就有 25 种不同的放法; 第 2 步:放 B,由于不能在 A 的同一行与同一列,B 放的行数和列 数都会减少 1,所以只能放在 4×4=16 个格子里,有 16 种放法; 第 3 步:放 C,有 3×3=9 种放法; 第 4 步:放 D,有 2×2=4 种放法; 第 5 步:放 E,有 1×1=1 种放法。 共有放法:25*16*9*4*1=14400 种 例 12(1)掷 2 次骰子,其点数共有几种排列? 几种组合 (2)掷 2 次骰子,其点数之和共有几种? (3)掷 2 次骰子,其点数之和等于 5 的共有几种排列?几种组合? 解: (1)每次投掷都有 6 种点数,属可重复排列,有 6×6=36 种排列, 36/A(2,2)=18 种组合 (2)11 种(列举法:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12) (3)通过列举,得到 2 种组合(1+4、2+3) ,每种组合 2 种排列, 共 2×2=4 种排列。 例 13: 有 n 间房,m 个人(m≤n) (1)每人都可能被分配到任一房间,共有多少种分法? (2)一人一间房间,共有多少种分法? (3)恰有某 m 间房,每间各有一人,共有多少种分法? (4)某指定一间房中恰有 k 人(k≤m)有几种分法? 解: (1)每人有 n 种选择,可重复排列,m 个人有 n 种分法。 (2)共有 A(m,n) 种分法。 (3)在 n 间房选 m 间有 C(m,n) 种,选定 m 间后各分一人有 m! 种,所以共有 C(m,n)×m!种分法。 (4)由 m 个人中选出 k 个人有 C(k,m) 种,其余(m-k)人可任意分 配到其余的(n-1)间房中,有(n-1)m-k 种,所以共有 C(k,m)×(n-1)m-k 种 分法。
m

第 5 步:⑤位可取 0~9 中的数,与①②③④位不重复,有 6 种情 况 此表在 8 到 9 点间 5 个数字不同的情况共有:1*6*5*7*6=1260 种

例 9. 1 到 400 的所有自然数中, 从 不含数字 3 的自然数有多少? 解:在一位数前添两个零,如把 2 写成 002;在两位数前面添一 个零,如把 12 写成 012,这样,1—400 中的数全成“三位数”了。 3 位数,①位放 0~2 中的数,②③位放 0~9 中的数(不含 3): 第 1 步:①位取 0~2 中的数,有 3 种情况 第 2 步:②位取 0~9 中的数(不含 3),有 9 种情况 第 3 步:④位取 0~9 中的数(不含 3),有 9 种情况 3×9×9 = 243 但要去除 000 的情况,243-1=242 又要考虑 400 的情况,242+1=243 例 10.用 ABCD 四色涂编号为①②③④的方格,要求任何相邻的 两个长方形的颜色都不相同,一共有多少种不同的涂法? 解:可分 3 类: 1:填 4 种颜色,有 A(4,4)=24 种 2:填 3 种颜色(1 个对角同色),有 2*A(3,4)=48 种 3:填 2 种颜色(对角同色),有 4*3=12 种 共有:24+48+12=84 种不同涂法


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