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第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答



第 21 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、开始时 U 形管右管中空气的体积和压强分别为 V2 = HA p2= p1 经过 2 小时,U 形管右管中空气的体积和压强分别为 (1)

V2? ? ( H ? ?H ) A

(2)

? p2 ?

p 2V 2 V 2?
<

br />(3)

渗透室下部连同 U 形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为

V1? ? V1 ? ?HA ? p1 ? p 2 ? 2 ?gΔH

(4) (5)

式中??为水的密度,g 为重力加速度.由理想气体状态方程 pV ? nRT 可知,经过 2 小时,薄膜下 部增加的空气的摩尔数

?n ?

? p1V1? p1V1 ? RT RT
N ? ?nN A

(6)

在 2 个小时内,通过薄膜渗透过去的分子数

(7)

式中 NA 为阿伏伽德罗常量. 渗透室上部空气的摩尔数减少,压强下降.下降了?p

?p ?

ΔnRT V0

(8)

经过 2 小时渗透室上部分中空气的压强为

? p 0 ? p 0 ? ?p
测试过程的平均压强差

(9) (10)

?p ?

1 ? ?( p0 ? p1 ) ? (p0 ? p1? )? 2

根据定义,由以上各式和有关数据,可求得该薄膜材料在 0℃时对空气的透气系数

k?

Nd ?ptS

? 2.4 ? 1011 Pa ?1 m ?1s ?1

(11)

评分标准:本题 20 分.(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各 1 分,(6)式 3 分,(7)、(8)、(9)、(10) 式各 2 分,(11) 式 4 分. 二、如图,卫星绕地球运动的轨道为一椭圆,地心位于轨道椭圆的一个焦点 O 处,设待测量星体 位于 C 处.根据题意,当一个卫星运动到轨道的近地点 A 时,另一个卫星恰好到达远地点 B 处, 只要位于 A 点的卫星用角度测量仪测出 AO 和 AC 的夹角?1,位于 B 点的卫星用角度测量仪测出 BO 和 BC 的夹角?2,就可以计算出此时星体 C 与地心的距离 OC. 因卫星椭圆轨道长轴的长度
1

AB ? r近+r远

(1)

式中 r 近、与 r 远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离.由角动量守恒

mv近 r近=mv远 r远
式中 m 为卫星的质量.由机械能守恒

(2) A (3) O

?1

B

1 GMm 1 GMm 2 2 mv 近- ? mv 远- 2 r近 2 r远
已知 r近=2 R , 得 所以
v 近= 3 GM 4 R

C (4) (5) (6)

r远 ? 6R

AB ? 2R ? 6R ? 8R
sin ? 1 BC ?

在△ABC 中用正弦定理

sin?π ? ? 1 ? ? 2 ? AB

所以

BC ?

sin ? 1 AB sin?? 1 ? ? 2 ?

(7)

地心与星体之间的距离为 OC ,在△BOC 中用余弦定理
2 OC ? r远 ? BC ? 2r远 ? BC cos ? 2 2 2

(8)

由式(4)、(5)、(7)得

OC ? 2 R 9 ? 16

sin ?? 1 ? ? 2 ?
2

sin 2 ? 1

? 24

s i n 1 c o ?2 ? s ?? s i n 1 ??2 ?

(9)

评分标准: 本题 20 分.(1)式 2 分,(2)、(3)式各 3 分,(6) 、(8)式各 3 分, (9) 式 6 分. 三、因?子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命 根据时间膨胀效应,在地球上观测到的?子平均寿命为?,

? 0 ? 2.0 ? 10?6 s
(1)

??

?0
1 ? ?v c ?


2

代入数据得 ? = 1.4×10 5s (2) 相对地面,若?子到达地面所需时间为 t,则在 t 时刻剩余的?子数为

N ?t ? ? N ?0?e ?t ?
根据题意有

(3) (4)

N ?t ? ? e ?t ? ? 5% N ?0?

对上式等号两边取 e 为底的对数得 t ? ?? ln 代入数据得

5 100
(6)
2

(5)

t ? 4.19 ? 10 ?5 s

根据题意,可以把?子的运动看作匀速直线运动,有 h ? vt 代入数据得 评分标准: 本题 15 分.

(7) (8)

h ? 1.24 ? 10 4 m

(1)式或(2)式 6 分,(4)式或(5)式 4 分,(7) 式 2 分,(8) 式 3 分.

四、1.考虑到使 3 个点光源的 3 束光分别通过 3 个透镜都成实像于 P 点的要求,组合透镜所在的 平面应垂直于 z 轴,三个光心 O1、O2、O3 的连线平行于 3 个光源的连线,O2 位于 z 轴上,如图 1 ? ? ? 所示. 图中 M M ? 表示组合透镜的平面,S1 、S 2 、S 3 为三个光束中心光线与该平面的交点. S 2 O2 = u 就是物距.根据透镜成像公式 M 1 1 1 ? ? (1) ?? u L?u f S1 S? h O1 1 P ?? S2 O2(S2’) 1 2 z h u ? [ L ? L ? 4 fL ] O 2 圆2 ?? 3 S3’ 因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于 L P 点,来自各光源的光线在投射到透镜之前不能 u M’ 交叉,必须有 2utan? ≤h 即 u≤2h.在上式中取 “-”号,代入 f 和 L 的值,算得
图1

u ? (6 ? 3 2 )h ≈1.757h

(2)

此解满足上面的条件. 分别作 3 个点光源与 P 点的连线.为使 3 个点光源都能同时成像于 P 点,3 个透镜的光心 O1、 O2、O3 应分别位于这 3 条连线上(如图 1) .由几何关系知,有

L?u 1 1 h?( ? 2 )h ? 0.854h L 2 4 ? ? 即光心 O1 的位置应在 S1 之下与 S1 的距离为 ? (4) S1O1 ? h ? O1O2 ? 0.146h ? ? 同理,O3 的位置应在 S 3 之上与 S 3 的距离为 0.146h 处.由(3) O1O2 ? O2 O3 ?

(3)

K 式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于 C1 圆1 0.854h,才能使 S1、S2、S3 都能成像于 P 点. S1’ 2.现在讨论如何把三个透镜 L1、L2、L3 加工组装成组合透 0.146h O1 0.439h 镜. Q W2 Q’ x2 T 因为三个透镜的半径 r = 0.75h,将它们的光心分别放置 h T’ N 0.854h N’ 到 O1、O2、O3 处时,由于 O1O2 =O2 O3 =0.854h<2r,透镜必 x1 0.439h W1 然发生相互重叠,必须对透镜进行加工,各切去一部分,然 O2 (S2’) 后再将它们粘起来,才能满足(3)式的要求.由于对称关系, 圆2 我们只需讨论上半部分的情况. C2’ 图 2 画出了 L1、L2 放在 M M ? 平面内时相互交叠的情况 ? (纸面为 M M ? 平面) .图中 C1、C2 表示 L1、L2 的边缘, S1 、 图2 ? S 2 为光束中心光线与透镜的交点,W1、W2 分别为 C1、C2 与 ? ? O1O2 的交点. S1 为圆心的圆 1 和以 S 2 (与 O2 重合)为圆心的圆 2 分别是光源 S1 和 S2 投射到 L1 和 L2 时产生的光斑的边缘,其半径均为 ? ? u tan ? ? 0.439h (5) 根据题意,圆 1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜.首先,圆 1 的 K 点(见图 2)是否落在 L1 上?由几何关系可知
3

? O1 K ? ? ? O1 S1 ? ?0.439 ? 0.146?h ? 0.585h ? r ? 0.75h

(6)

故从 S1 发出的光束能全部进入 L1.为了保证全部光束能进入透镜组合,对 L1 和 L2 进行加工时必须 保留圆 1 和圆 2 内的透镜部分. 下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法.在 O1 和 O2 之间作垂直于 O1O2 且分别与圆 1 和 圆 2 相切的切线 QQ? 和 NN ? .若沿位于 QQ? 和 NN ? 之间且与它们平行的任意直线 T T ? 对透镜 L1 和 L2 进行切割, 去掉两透镜的弓形部分, 然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部. 同 理,对 L2 的下半部和 L3 进行切割,然后将 L2 的下半部和 L3 粘合起来,就得到符合需要的整个组 合透镜.这个组合透镜可以将 S1、S2、S3 发出的全部光线都会聚到 P 点. 现在计算 QQ? 和 NN ? 的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件.设透镜 L1 被切去 部分沿 O1O2 方向的长度为 x1,透镜 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x2,如图 2 所示,则对任 意一条切割线 T T ? , x1、x2 之和为

d ? x1 ? x2 ? 2r ? O1O2 ? 0.646h

(7)

由于 T T ? 必须在 QQ? 和 NN ? 之间, 从图 2 可看出, QQ? 切割时,1 达最大值(x1M),2 达最小值(x2m), 沿 x x

? x1M ? r ? S1O1 ? ? ? 代入 r,??和 S1O1 的值,得 x1M ? 0.457h (8) x2m ? d ? x1M ? 0.189h 代入(7)式,得 (9) 由图 2 可看出,沿 NN ? 切割时,x2 达最大值(x2M),x1 达最小值(x1m), x2M ? r ? ? x 2 M ? 0.311h 代入 r 和??的值,得 (10) x1m ? d ? x2 M ? 0.335h (11) 由对称性,对 L3 的加工与对 L1 相同,对 L2 下半部的加工与对上半部的加工相同. 评分标准: 本题 20 分.第 1 问 10 分,其中(2)式 5 分, (3)式 5 分, 第 2 问 10 分,其中(5)式 3 分,(6)式 3 分,(7)式 2 分,(8)式、(9)式共 1 分,(10)式、(11)式共 1 分. 如果学生解答中没有(7)—(11)式,但说了“将图 2 中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留, 透镜其它部分可根据需要磨去(或切割掉) ”给 3 分,再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必 须保证 O1O2=O1O2=0.854h,再给 1 分,即给(7)—(11)式的全分(4 分) .
五、1.解法Ⅰ:

? ? 如图 1 所示, 为原空腔内表面所在位置,q1 的位置应位于 OP1 的延长线上的某点 B1 处,q 2 的 S 位置应位于 OP2 的延长线上的某点 B2 处.设 A1 A1 为 S 面上的任意一点,根据题意有

k

q1 A1 P1 q2 A1 P2

?k

? q1 A1 B1 ? q2

?0

(1)

B2 S
1

O ?? P2 a a P1 R
1

B1

k

?k

A1 B2

?0

(2)

图1

怎样才能使 (1) 式成立呢?下面分析图 1 中 ?OP1 A1 与 ?OA1 B1 的关系. ? 若等效电荷 q1 的位置 B1 使下式成立,即

OP ? OB1=R 2 1

(3)

4



OP 1 OA1

?

OA1 OB1

(4)

则 △OP A1 ∽△OA1 B1 有 1

A1 P1 A1 B1

?

OP1 OA1

?

a R

(5)

? 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷 q1
? q1 ? ? R q1 a
(6)

? 由 (3) 式知,等效电荷 q1 的位置 B1 到原球壳中心位置 O 的距离
OB1 ? R2 a
(7)

同理,B2 的位置应使 △OP2 A1 ∽△OA1 B2 ,用类似的方法可求得等效电荷

? q2 ? ?

R q2 a

(8)

? 等效电荷 q2 的位置 B2 到原球壳中心 O 位置的距离
OB2 ?
解法Ⅱ:

R2 a

(9)

? 在图 1 中,设 A1 P ? r1 , A1 B1 ? r1? , OB1 ? d .根据题意, q1 和 q1 两者在 A1 点产生的电势和 1
为零.有

k

q1 q? ?k 1 ?0 r1 r1?

' )

式中

r1 ? ( R 2 ? a 2 ? 2Ra cos ? )1 2 r1? ? ( R 2 ? d 2 ? 2Rd cos ? )1 2

(2' ) (3' )

由(1'、 )(3' )(2'、 )式得
2 ? q1 ( R 2 ? d 2 ? 2Rd c o ? ) ? q1 ( R 2 ? a 2 ? 2Ra c o ? ) s s 2

(4' )

(4' )式是以 cos ? 为变量的一次多项式,要使(4' )式对任意 ? 均成立,等号两边的相应系数应 相等,即
2 ? q1 ( R 2 ? d 2 ) ? q1 ( R 2 ? a 2 ) 2 2 ? q1 d ? q1 a 2

(5' ) (6' ) (7' )

由(5'、 )式得 ad 2 ? (a 2 ? R 2 )d ? aR 2 ? 0 )(6'
5

解得

d?

(a 2 ? R 2 ) ? (a 2 ? R 2 ) 2a

(8' )

由于等效电荷位于空腔外部,由(8' )式求得

d?

R2 a

(9' )

由(6'、 )式有 )(9'

? q1 2 ?

R2 2 q1 a2

(10' )

考虑到(1' )式,有

? q1 ? ?
OB2 ?

R q1 a
R2 a

(11' )

同理可求得

(12' )

? q2 ? ?

R q2 a

(13' )

? ? 2.A 点的位置如图 2 所示.A 的电势由 q1、 q1 、q2、 q2 共同产生,即

? 1 R 1 1 R 1 ? ? U A ? kq? ? ? ? ? P A a B A P A a B A? 1 2 2 ? ? 1

(10)

因 P A ? r 2 ? 2ra cos? ? a 2 1

? R2 ? ? R2 ? ? cos ? ? ? ? B1 A ? r ? 2r ? ? a ? ? a ? ? ? ? ?
2

2

A B2 O ?? P2 a a P1 R S
图2
1

P2 A ? r ? 2ra cos? ? a
2
2

B1

2

? R2 ? ? R2 ? ? cos ? ? ? ? B 2 A ? r ? 2r ? ? a ? ? a ? ? ? ? ?
代入 (10) 式得

2

? 1 R U A ? kq? ? ? 2 2 a 2r 2 ? 2raR2 cos? ? R 4 ? r ? 2ra cos? ? a
? 1 r 2 ? 2ra cos ? ? a 2 ? ? ? ? a 2 r 2 ? 2raR 2 cos ? ? R 4 ? R
(11)

评分标准: 本题 20 分.第 1 问 18 分,解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各 3 分.解法Ⅱ的评分可参考解 法Ⅰ.第 2 问 2 分,即(11)式 2 分.

6

六、令 I 表示题述极短时间?t 内挡板对 C 冲量的大小,因为挡板对 C 无摩擦力作用,可知冲量的 方向垂直于 DE,如图所示; I ? 表示 B、C 间的杆对 B 或 C 冲量的大小,其方向沿杆方向,对 B 和 C 皆为推力; v C 表示?t 末了时刻 C 沿平行于 DE 方向速度的大小, v B 表示?t 末了时刻 B 沿平行 于 DE 方向速度的大小, v B? 表示?t 末了时刻 B 沿垂直于 DE 方向速度的大小.由动量定理, 对C有 对B有 对 AB 有

I ? sin? ? mvC
I ? I ? cos ? ? mv

(1) (2) (3) (4) A B ????A
A

D

I ? sin? ? mv B

I ? c o ? ? 2m?v ? v B? ? s

因为 B、C 之间的杆不能伸、缩,因此 B、C 沿杆的方向的分速度必相 等.故有

vC s i n ? v B? c o ? ? v B s i n ? s ?
I?
2

I

(5)

C
A A

由以上五式,可解得

3 ? s i n? mv (6) 2 1 ? 3s i n ?

E

评分标准:本题 20 分. (1)、(2)、(3)、(4)式各 2 分. (5)式 7 分,(6)式 5 分. 七、解法Ⅰ: 当金属杆 ab 获得沿 x 轴正方向的初速 v0 时,因切割磁力线而产生感应电动势,由两金属杆与 导轨构成的回路中会出现感应电流.由于回路具有自感系数,感应电流的出现,又会在回路中产生 自感电动势,自感电动势将阻碍电流的增大,所以,虽然回路的电阻为零,但回路的电流并不会趋 向无限大,当回路中一旦有了电流,磁场作用于杆 ab 的安培力将使 ab 杆减速,作用于 cd 杆的安 培力使 cd 杆运动. 设在任意时刻 t,ab 杆和 cd 杆的速度分别为 v1 和 v2(相对地面参考系 S) ,当 v1、v2 为正时, 表示速度沿 x 轴正方向;若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向,则因两杆作切割磁力 线的运动而产生的感应电动势

E ? Bl ?v1 ? v 2 ?

(1)

当回路中的电流 i 随时间的变化率为 ?i ?t 时,回路中的自感电动势

EL ? ? L

?i ?t

(2)

根据欧姆定律,注意到回路没有电阻,有

E ? EL ? 0

(3)

金属杆在导轨上运动过程中, 两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零, 系统的质心作匀 速直线运动.设系统质心的速度为 VC,有

mv 0 ? 2mVC


(4) (5)

VC ?

v0 2

VC 方向与 v0 相同,沿 x 轴的正方向. 现取一新的参考系 S ? ,它与质心固连在一起,并把质心作为坐标原点 O ? ,取坐标轴 O ?x ? 与 x 轴平行.设相对 S ? 系,金属杆 ab 的速度为 u,cd 杆的速度为 u ? ,则有

v1 ? VC ? u

(6)
7

v 2 ? VC ? u ?
因相对 S ? 系,两杆的总动量为零,即有

(7)

mu ? mu ? ? 0
由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式,得

(8)

2Blu ? L

在 S ? 系中,在 t 时刻,金属杆 ab 坐标为 x ? ,在 t+?t 时刻,它的坐标为 x ? ? ?x ? ,则由速度的 定义 代入 (9) 式得

?i ?t

(9)

?x? ?t 2 Bl?x ? ? L?i u?

(10) (11)

若将 x ? 视为 i 的函数,由(11)式知 ?x ? ?i 为常数,所以 x ? 与 i 的关系可用一直线方程表示

x? ?

L i?b 2Bl

(12)

式中 b 为常数,其值待定.现已知在 t=?时刻,金属杆 ab 在 S ? 系中的坐标 x ? = 故得

1 x0 ,这时 i = 0, 2

x? ?
i?

L 1 i ? x0 2Bl 2

(13)



2 Bl ? 1 ? ? x ? ? x0 ? L ? 2 ?

(14)

1 ? 1 ? x0 表示 t=?时刻金属杆 ab 的位置. x ? 表示在任意时刻 t,杆 ab 的位置,故 ? x ? ? x0 ? 就是 2 ? 2 ?
杆 ab 在 t 时刻相对初始位置的位移,用 X 表示,

X ? x? ?

1 x0 2

(15)

当 X>0 时,ab 杆位于其初始位置的右侧;当 X<0 时,ab 杆位于其初始位置的左侧.代入(14)式, 得

i?

2Bl X L

(16)

这时作用于 ab 杆的安培力

2B 2 l 2 X (17) L ab 杆在初始位置右侧时,安培力的方向指向左侧;ab 杆在初始位置左侧时,安培力的方向指向 右侧,可知该安培力具有弹性力的性质.金属杆 ab 的运动是简谐振动,振动的周期 F ? ?iBl ? ?

T ? 2π

?

m 2B l L
2 2

?

(18)

在任意时刻 t, ab 杆离开其初始位置的位移

? 2π ? X ? A cos? t ? ? ? ?T ?

(19)

A 为简谐振动的振幅,??为初相位,都是待定的常量.通过参考圆可求得 ab 杆的振动速度

8

? 2π ? ? 2π ? u ? ? A? ? sin? t ? ? ? ?T ? ?T ?

(20)

(19)、(20)式分别表示任意时刻 ab 杆离开初始位置的位移和运动速度.现已知在 t=0 时刻,ab 杆 位于初始位置,即 X=0 速度

1 1 u ? v0 ? VC ? v0 ? v0 ? v0 2 2
0 ? A cos ?

故有

v0 ? 2π ? ? ? A? ? sin ? 2 ?T ?

解这两式,并注意到(18)式得

? ? 3π 2
A? v0 v T? 0 4? 2 Bl mL 2

(21)

(22)

由此得 ab 杆的位移

X?

v0 2 Bl

mL 3π ? v ? 2π cos? t ? ? ? 0 2 2 ? 2 Bl ?T

mL 2π sin t (23) 2 T

由 (15) 式可求得 ab 杆在 S ? 系中的位置

? x ab ?

v 1 x0 ? 0 2 2 Bl

mL 2π sin t 2 T

(24)

因相对质心,任意时刻 ab 杆和 cd 杆都在质心两侧,到质心的距离相等,故在 S ? 系中,cd 杆的位 置

v 1 ? xcd ? ? x0 ? 0 2 2 Bl

mL 2? sin t 2 T

(25)

相对地面参考系 S,质心以 VC ? 中的位置

1 v 0 的速度向右运动,并注意到(18)式,得 ab 杆在地面参考系 2

xab ? x0 ?

v 1 v0 t ? 0 2 2Bl

mL ? 2 ? ?t sin? Bl ? 2 mL ? ? ?

(26)

cd 杆在 S 系中的位置

xcd ?

v 1 v0 t ? 0 2 2Bl

mL ? 2 ? ?t sin? Bl ? 2 mL ? ? ?

(27)

回路中的电流由 (16) 式得

i?

2Bl v0 L 2Bl

? mL 2π m 2 ? ?t (28) sin t ? v0 sin? Bl ? 2 T 2L ? mL ? ?

解法Ⅱ: 当金属杆在磁场中运动时,因切割磁力线而产生感应电动势,回路中出现电流时,两金属杆都
9

要受到安培力的作用,安培力使 ab 杆的速度改变,使 cd 杆运动.设任意时刻 t,两杆的速度分别 为 v1 和 v2(相对地面参考系 S) ,若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向,则由两金属杆 与导轨构成的回路中,因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为

E ? Bl ?v1 ? v 2 ?
令 u 表示 ab 杆相对于 cd 杆的速度,有

(1’)

EL ? Blu

(2’)

当回路中的电流 i 变化时,回路中有自感电动势 EL,其大小与电流的变化率成正比,即有

EL ? ? L

?i ?t

(3’)

根据欧姆定律,注意到回路没有电阻,有 E ? EL ? 0 由式(2’)、(3’)两式得

Blu ? L

设在 t 时刻,金属杆 ab 相对于 cd 杆的距离为 x ? ,在 t+?t 时刻,ab 相对于 cd 杆的距离为 x ? + ? x ? ,则由速度的定义,有

?i ?t

(4’)

u?

?x? ?t
Bl?x ? ? L?i
(6’)

(5’)

代入 ( 4 ? ) 式得

若将 x ? 视为 i 的函数,由(6’)式可知, ?x ? ?i 为常量,所以 x ? 与 i 的关系可以用一直线方程表示, 即

x? ?

L i?b Bl

(7’)

式中 b 为常数,其值待定.现已知在 t=?时刻,金属杆 ab 相对于 cd 杆的距离为 x0 ,这时 i = 0, 故得 或

x0 表示 t=?时刻金属杆 ab 相对于 cd 杆的位置. x ? 表示在任意时刻 t 时 ab 杆相对于 cd 杆的 位置,故 ?x? ? x0 ? 就是杆 ab 在 t 时刻相对于 cd 杆的相对位置相对于它们在 t=?时刻的相对位置的 位移,即从 t=?到 t=t 时间内 ab 杆相对于 cd 杆的位移 X ? x ? ? x0 (10') Bl 于是有 (11’) i? X L 任意时刻 t,ab 杆和 cd 杆因受安培力作用而分别有加速度 aab 和 acd,由牛顿定律有
? iBl ? maab iBl ? macd
两式相减并注意到( 9 ? )式得 (12’) (13’)

L (8’) i ? x0 Bl Bl (9’) i ? ?x ? ? x0 ? L x? ?

m?a ab ? a cd ? ? ?2iBl ? ?

2B 2 l 2 X L

(14’)

2B 2l 2 式中 ?aab ? acd ? 为金属杆 ab 相对于 cd 杆的加速度, X 是 ab 杆相对 cd 杆相对位置的位移. 而 L 是常数,表明这个相对运动是简谐振动,它的振动的周期
10

T ? 2π

?

m 2B l L
2 2

?

(15’)

在任意时刻 t,ab 杆相对 cd 杆相对位置相对它们初始位置的位移

? 2π ? X ? A cos? t ? ? ? ?T ?

(16’)

A 为简谐振动的振幅,??为初相位,都是待定的常量.通过参考圆可求得 X 随时间的变化率即速度

? 2π ? ? 2π ? V ? A? ? sin? ??? T ? ?T ? ?

(17’)

现已知在 t=0 时刻,杆位于初始位置,即 X = 0,速度 V ? v 0 故有

0 ? A cos ?

? 2π ? v 0 ? ? A? ? sin ? ?T ?

解这两式,并注意到(15’) 式

? ? 3π 2

A?

v0 v T? 0 2π Bl

mL 2

由此得

X?

v0 Bl

mL 3π ? v ? 2π cos? t ? ? ? 0 2 2 ? Bl ?T

mL ? 2 ? ?t sin? Bl ? 2 mL ? ? ?

(18’)

因 t = 0 时刻,cd 杆位于 x = 0 处,ab 杆位于 x = x0 处,两者的相对位置由 x0 表示;设 t 时刻,cd 杆位于 x = xcd 处,ab 杆位于 x = xab 处,两者的相对位置由 xab-xcd 表示,故两杆的相对位置的位移 又可表示为 X = xab-xcd-x0 (19’) 所以

xab ? xcd ? x0 ?
(12’)和(13’)式相加, 得

v0 Bl

mL ? 2 ? ?t sin? Bl ? 2 mL ? ? ?

(20’)

m?aab ? acd ? ? ?iBl ? iBl ? 0

?aab ? acd ? ? 0

由此可知,两杆速度之和为一常数即 v0,所以两杆的位置 xab 和 xcd 之和应为 xab+xcd = x0+v0t (21’) 由(20’)和(21’)式相加和相减,注意到(15’)式,得

1 v mL ? 2 ? ?t xab ? x0 ? v0t ? 0 sin ? Bl ? mL ? 2 2Bl 2 ? ? xcd ? v 1 v0 t ? 0 2 2Bl mL ? 2 ? ?t sin? Bl ? 2 mL ? ? ? i ? v0
11

(22’)

(23’)

由(11’)、 (19’)(22’)、(23’)式得回路中电流

? m 2 ? ?t sin? Bl 2L ? mL ? ? ?

(24’)

评分标准:本题 25 分. 解法Ⅰ 求得(16)式 8 分,(17)、(18)、(19)三式各 2 分. (23)式 4 分,(24)、(25)二式各 2 分, (26)、(27)、(28)三式各 1 分.解法Ⅱ的评分可参照解法Ⅰ评分标准中的相应式子给分.

12



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