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山东省14市2016届高三上学期期末考试数学理诅题分类汇编:立体几何



山东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编

立体几何
一、选择题 1、(滨州市 2016 届高三上学期期末)由一个球和一个直三棱柱组成的几何体,其正视图和俯视图 如图所示,其中俯视图是边长为 2 3 的正三角形及其内切圆,则该几何体的侧视图的面积为

(A)6+ ? (B)4 3 + ? (C)6+4 ? (D)4 3 +4 ? 2 、(菏泽市 2016 届高三上学期期末)一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为

12? ?

8 5 ,则正视图中 x 的值为( 3



A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3、(济南市 2016 届高三上学期期末)一个几何体的三视图如图,则该 几何体的体积为

? 6 ? C. 2
A.

B. D.

? 3

?

4、(胶州市 2016 届高三上学期期末)四棱锥的三视图如图所示,则最 长的一条侧棱的长度是 A. 5 B. C.

29 13

D. 2 2

5 、 ( 莱 芜 市 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 直 线 a、 b 是 异 面 直 线 , ?、? 是 平 面 , 若

a ? ? , b ? ? , ? ? ? ? c ,则下列说法正确的是
A.c 至少与 a、b 中的一条相交 B.c 至多与 a、b 中的一条相交 C.c 与 a、b 都相交 D.c 与 a、b 都不相交 6、(泰安市 2016 届高三上学期期末)下列命题错误 的是 .. A.如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? B.如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? C.如果平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? 平面 ? D.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? 7、(潍坊市 2016 届高三上学期期末)右图为某几何体的三视图,该几何体的体积为 V1,将俯视图 绕其直径所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积记为 V2 , 则

V1 ? V2

1 4 1 B. 2 3 C. 4 4 D. 3
A. 参考答案 1、A 2、C 6、A 7、C

3、A

4、B

5、A

二、填空题 1、 (菏泽市 2016 届高三上学期期末) 如图, 正方形 BCDE 的边长为 a , 已知 AB ? 3BC , 将 ?ABE 沿边 BE 折起, 折起后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点, 则翻折后的几何体 中有如下描述: ①AB 与 DE 所成角的正切值是 2 ; ② AB / /CE; ③ VB? ACE 体 积 是 有

1 3 a ; ④ 平 面 ABC ? 平 面 ADC. 其 中 正 确 的 6

.(填写你认为正确的序号)

2、(济宁市 2016 届高三上学期期末)一个棱锥的三视图如右图所示,则该棱锥的体积是 3、(莱芜市 2016 届高三上学期期末)某四面体的三视图如图所示,则该 四面体的表面积是__________.



4、(莱芜市 2016 届高三上学期期末)已知 a、 b 是异面直线,M 为空间一点, M ? a, M ? b . 给出下列命题: ①存在一个平面 ? ,使得 b ? ? , a / /? ; ②存在一个平面 ? ,使得 b ? ? , a ? ? ; ③存在一条直线 l,使得 M ? l , l ? a, l ? b ; ④存在一条直线 l,使得 M ? l , l 与 a、 b 都相交. 其中真命题的序号是__________.(请将真命题的序号全部写上) 5、(临沂市 2016 届高三上学期期末)将边长为 2 的正 ?ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成直二面角 B ? AD ? C ,则三棱锥 B ? ACD 的外接 球的表面积为________. 6、(泰安市 2016 届高三上学期期末)某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为 ▲ .

7、(烟台市 2016 届高三上学期期末)一个几何体的三视图如右图所 示,若其正视图、侧视图都是面积为 图为正方形,则该几何体的体积为

3 ,且一个角为 60°的菱形,俯视 2

8、(枣庄市 2016 届高三上学期期末)某几何体的三视图如图所示,其俯视图的外轮廓是由一个半 圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 .

参考答案 1、①③④ 2、

4 3

3、24+ 6 2

4、①③

5、 5?

6、

16? 9

7、

3 3

8、

8π 3

三、解答题 1、(滨州市 2016 届高三上学期期末)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平 面 ABCD,E 为 PD 的中点。 (I)证明:PB∥平面 AEC; (II)已知 AP=AB=1,AD= 3 ,求二面角 D-AE-C 的余弦值。

2、(菏泽市 2016 届高三上学期期末) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,

PA ? 平面ABCD , ?ABC =60?, E , F 分别分别为 BC,PC 的中点.
(1)判断 AE 与 PD 是否垂直,并说明理由; (2)若 PA=2,求二面角 E ? AF ? C 的余弦值.

3、(济南市 2016 届高三上学期期末)如图,边长为 2 的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面 互相垂直,其中 AB//CD, AB ? BC,CD ? BC ?

1 AB ? 1 ,点 M 在线段 EC 上. 2

(I)证明:平面 BDM ? 平面 ADEF; (II)若 EM ? 2 MC ,求平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的大小.

4、(济宁市 2016 届高三上学期期末) 如 图 , 已 知 四 边 形 ABCD 和 BCEG 均 为 直 角 梯 形 , AD//BC,CE//BG ,且 ?BCD ? ? BCE ?

?

2

, 平面 ABCD ? 平面

BCEG,BC=CD=CE= 2 AD ? 2 BG ? 2 . (1)证明:AG//平面 BDE; (2)求平面 BDE 和平面 ADE 所成锐二面角的余弦值.

5、(胶州市 2016 届高三上学期期末)如图,四棱锥中 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB//CD, ?DAB ? 60 , AB ? AD ? 2CD, 侧面 PAD ? 底面ABCD, 且 ? PAD 为等腰直角三角形,
?

?APD ? 90? .
(Ⅰ)求证: AD ? PB; (Ⅱ)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.

6、(莱芜市 2016 届高三上学期期末)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 AAC 1 1C 是矩形,侧面
o AAC 1 1C ? 侧面 AA 1B 1B ,且 AB ? 4 AA 1 ? 4, ?BAA 1 ? 60 ,D

是 AB 的中点. (I)求证: AC1 / / 平面 CDB1 ; (II)求证: DA1 ? 平面 AA1C1C

? 的值。 (III)若 AA1=A1C1,点 M 在棱 A1C1 上,且 A1M= ? AC 1 1 ,若二面角 M-AD-A1 为 30°,求

7 、(临沂市 2016 届高三上学期期末)在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC,

?ACD与?ACB 是边长为 2 的等边三角形, BE ? 2,BE 和平面
ABC 所成的角为 60°,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的 平分线上. (1)求证:DE//平面 ABC; (2)求二面角 E ? BC ? A .

8、 (青岛市 2016 届高三上学期期末)四棱锥 P ? ABCD中,PD ? 平面 ABCD,2AD=BC=2a ? a ? 0 ? ,

AD / / BC, PD ? 3a,
?DAB ? ?
(I)若 ? ? 60 , AB ? 2a, Q 为 PB 的中点,
?

求证: DQ ? PC ; (II)若 ? ? 90 , AB ? a ,求平面 PAD 与
?

平面 PBC 所成二面角的大小. (若非特殊角,求出所成角余弦即可)

9、(泰安市 2016 届高三上学期期末)如图,多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形,EF∥AD, FA⊥面 ABCD,AB=AF=EF=1,AD=2,AC 交 BD 于点 P (I)证明:PF∥面 ECD; (II)求二面角 B-EC-A 的大小.
[

10、(威海市 2016 届高三上学期期末)已知四棱台 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的上下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形, AA 1 ? 4且AA 1 ? 底面 ABCD,点 P 为 DD 1 的中点. (I)求证: AB1 ? 面 PBC; (II) 在 BC 边上找一点 Q, 使 PQ//面 A 并求二面角 B1 ? PQ ? D 1 ABB 1, 的余弦值.

11、(潍坊市 2016 届高三上学期期末)如图,已知斜三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,底面 ABC 是等边三 角形,侧面 BB1C1C 是棱形, ?B1BC ? 60o . (I)求证: BC ? AB1 ; (II)若 AB ? 2, AB1 ? 6 ,求二面角 C ? AB1 ? C1 (锐角)的余弦值.

12、(烟台市 2016 届高三上学期期末) 如 图 , 几 何 体 E F? A B C D 中 , CDEF 为 边 长 为 2 的 正 方 形 , ABCD 为 直 角 梯 形 ,

AB / /CD, AD ? DC, AD ? 2, AB ? 4, ?ADF ? 90o .
(1)求证: AC ? FB ; (2)求二面角 E ? FB ? C 的大小.

13、(枣庄市 2016 届高三上学期期末)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧 棱 PD ⊥底面 ABCD , PD ? DC ? 2 , E 是 PC 的中点. (1)求证: PA //平面 EDB ; (2)求锐二面角 C ? PB ? D 的大小.

参考答案 1、

2、 【解析】 : (Ⅰ)垂直. 证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形.因为 E 为 BC 的中点,所以 AE ⊥AD.因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE.而 PA ? 平面 PAD.AD ? 平面 PAD 且 PA ∩AD=A,所以 AE⊥平面 PAD.又 PD ? 平面 PAD,所以 AE⊥PD.——…………………….4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的 空间直角坐标系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点, ∴A(0,0,0) ,B( 3 ,-1,0) ,C( 3 ,1,0) ,D (0,2,0) , P(0,0,2) ,E( 3 ,0,0) ,F?

? 3 1 ? ? 2 , 2 ,1 ? ? ,……………………6 分 ? ?

所以 AE ?

??? ?

?

??? ? ? 3 1 ? 3, 0, 0 , AF ? ? ? 2 , 2 ,1? ?. ? ?

?

??? ? ? 3x1 ? 0 ? ?m ? AE ? 0 ? 设平面 AEF 的一法向量为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? ,则 ? ??? ,因此 ? 3 , ? 1 ? x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? ?m ? AF ? 0 ? 2 2
取 z1 ? ?1 ,则 m ? ? 0,2, ?1? .………………………………8 分 因为 BD⊥AC,BD⊥ PA,PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 AFC, 故 BD 为平面 AFC 的一法向量,又 BD ? ? 3,3, 0 ,…………………………10 分

??? ?

??? ?

?

?

??? ? 所以 cos ? m, BD ??

??? ? m ? BD 2?3 15 ??? ? ? . ? 5 | m | ? | BD | 5 ? 12
15 .………………………12 分 5

因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为 3、解: (Ⅰ)证明:如图,

? DC ? BC ? 1, DC ? BC,? BD ? 2 ? AD ? 2 , AB ? 2,? AD2 ? BD2 ? AB2 ,? ?ADB ? 900 ? AD ? BD ? 面ADEF ? 面ABCD, ED ? AD, 面ADEF ? 面ABCD ? AD ? ED ? 面ABCD.则BD ? ED ? AD ? DE ? D,? BD ? 面ADEF, 又BD ? 面BDM ? 面BDM ? 面ADEF
…………4 分 (Ⅱ) 在面 DAB 内过点 D 作 DN ? AB

? AB // CD,? DN ? CD, 又? ED ? 面ABCD,? DN ? ED

以 D 为坐标原点, DN 所在的直线为 x 轴, DC 所在直线为 y 轴, DE 所在直线为 z 轴,建立

直角坐标系

则 B(1,1,0),C(0,1,0), E(0,0, 2 ), N (1,0,0)

2 2 M (0, , ) 3 3 …………5 分

设平面 BMD 的法向量为

?2 2 ? z?0 ?n1 ? DM ? 0 ? y ? n1 ? ( x, y, z ),? ? ??3 3 ? ?n1 ? DB ? 0 ? ?x ? y ? 0


x ? 1, 得n1 ? (1,?1, 2 )

…………9 分

∵平面 ABF 的法向量 n2 ? (1,0,0) ,

? cos ? n1 , n 2 ??

1 2

所以平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角是 4、

? …………12 分 3

5、解:(Ⅰ)取 AD 的中点 G ,连结 PG、GB、BD . ? PA ? PD , ? PG ? AD ……………………………2 分 ? AB ? AD ,且 ?DAB ? 60? ,

? ?ABD 是正三角形, BG ? AD , 又 PG ? BG ? G , ? AD ? 平面 PGB . ? AD ? PB . ……………………………5 分 (Ⅱ) ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,
又? PG ? AD ,? PG ? 底面 ABCD . ? PG ? BG .∴直线 GA、GB、GP 两两互相垂直, 故以 G 为原点,直线 GA、GB、GP 所在直线为 x 轴、 y 轴和 z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系 G ? xyz . 设 PG ? a ,则可求得 P (0, 0, a ), A(a, 0, 0), B (0, 3a, 0) , D (? a, 0, 0) ,

3 3 C ( ? a, a, 0) .…………………………………………………7 分 2 2

??? ? ??? ? 3 3 ? BC ? (? a, ? a, 0) .? PB ? (0, 3a, ?a) 2 2 ? ??? ? ? ??? ? ? 设 n ? ( x0 , y0 , z0 ) 是平面 PBC 的法向量,则 n ? BC ? 0 且 n ? PB ? 0 .
? ? 3 3 3 y0 , ay0 ? 0, ?? ax0 ? ? x0 ? ? ?? 2 ?? 3 2 ? 3ay ? az ? 0. ?z ? 3y . 0 0 ? 0 ? 0 ? 取 y0 ? 3 ,得 n ? (?1, 3,3) . …………………………………………9 分 ?? ??? ? 又? 平面 PAD 的法向量 n1 ? GB ? (0, 3a, 0) ,
设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角为 ? ,

? ?? n ? n1 3a 39 则 cos ? ? ? ?? ? , ? 13 1 ? 3 ? 9 ? 3a n ? n1
所以平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 6、

39 .……………………12 分 13

7、证明:(1)由题意知,△ABC,△ACD 都是边长为 2 的等边三角形, 取 AC 中点 O,连接 BO,DO, 则 BO⊥AC,DO⊥AC, 又∵平面 ACD⊥平面 ABC, ∴DO⊥平面 ABC,作 EF⊥平面 ABC, 那么 EF∥DO,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∵BE 和平面 ABC 所成的角为 60°, ∴∠EBF=60°, ...........2 分

∵BE=2,∴



...........4 分

∴四边形 DEFO 是平行四边形, ∴DE∥OF, ∵DE 不包含于平面 ABC,OF? 平面 ABC, ∴DE∥平面 ABC. .................6 分

(2)以 OA,OB,OD 为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz, B(0, ∴ ,0),C(﹣1,0,0),E(0, ,0), =(0,﹣1, , ), ),

=(﹣1,﹣

平面 ABC 的一个法向量为 设平面 BCE 的一个法向量为

则 ∴

,∴

, ................9 分

所以 又由图知,所求二面角的平面角是锐角, 二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值为 .



...................12 分
?

8、证明 (Ⅰ) 连结 BD , ?ABD 中, AD ? a, AB ? 2a, ?DAB ? 60 由余弦定理:

BD2 ? DA2 ? AB2 ? 2DA ? AB cos 60? ,
解得 BD ? 3a 所以 ?ABD 为直角三角形, BD ? AD 因为 AD // BC ,所以 BC ? BD 又因为 PD ? 平面 ABCD 所以 BC ? PD ,因为 PD ? BD ? D
[来

P

Q
D A P B

C

所以 BC ? 平面 PBD BC ? 平面 PBC 所以,平面 PBD ? 平面 PBC 又因为 PD ? BD ? 3a , Q 为 PB 中点 所以 DQ ? PB

第Ⅰ问图

C
D A

第Ⅱ问图

B

因为平面 PBD ? 平面 PBC ? PB 所以 DQ ? 平面 PBC

PC ? 平面 PBC
所以 DQ ? PC …………………………………6 分 (Ⅱ)

? ? 90? , AB ? a

z
P

可得 BD ? CD ? 2a 取 BC 中点 M 可证得 ABMD 为矩形 以 D 为坐标原点分别以 DA, DM , DP 所在直线为 x, y, z 轴, 建立 D ? xyz 空间直角坐标系, A(a,0,0), B(a, a,0)

C
D A B y M

DM ? 平面 PAD ???? ? ???? ? 所以面 DM 是平面 PAD 的法向量, DM ? (0, a,0)
设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z)

x

第Ⅱ问图

?

P(0,0, 3a), B(a, a,0), C(?a, a,0) ??? ? ??? ? 所以 PB ? (a, a, ? 3a), BC ? (?2a,0,0) ? ??? ? ? ?n ? PB ? 0 ,令 z ? 1 ? ? ? ??? ? ?n ? BC ? 0
?ax ? ay ? 3a ? 0 ? ? ??2ax ? 0 ? 解得: n ? (0, 3,1) ???? ? ? DM ? n 3a 3 ? ? ? 所以 cos ? ? ???? ? 2 | DM || n | 2a
可得 ? 所以平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角为

? …………………………12 分 6

解法 2 本题也可以采用作出两平面的交线,再作出二面角平面角的方法. 评分标准,作角证角 4 分,求角 2 分. 9、

10、

11、

12、

??? ? ???? ??? ? 13、 (1)解法一:如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA, DC, DP 所在的方向为 x轴, y轴, z轴 的正方向,

建立空间直角坐标系 D ? xyz. 则 A(2,0,0), P(0,0, 2), D(0,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), E (0,1,1) .…………………2 分 ??? ? ??? ? ???? 法一: PA ? (2,0, ?2), DB ? (2,2,0), DE ? (0,1,1). ??? ? ??? ? ???? 设 PA ? ? DB ? ? DE, 即 (2,0, ?2) ? ? (2, 2,0) ? ? (0,1,1). 解得 ? ? 1, ? ? ?2. ??? ? ??? ? ???? 所以 PA ? DB ? 2DE. 又 PA ? 平面 EDB ,所以 PA ? 平面 EDB .…………4 分

z
P E C

D A

y
B

x

法二:取 BD 的中点 G ,则 G(1,1,0). ??? ? ??? ? PA ? (2,0, ?2) , EG ? (1,0, ?1) . ??? ? ???? 所以 PA ? 2 EG ,所以 PA ? EG. 又 PA ? 平面 EDB , EG ? 平面 EDB , 所以 PA ? 平面 EDB .……………………4 分

z
P E C G

D A

y
B

x

??? ? ???? 法三: DB ? (2,2,0), DE ? (0,1,1).
设 n = ( x, y, z ) 为平面 EDB 的一个法向量, ??? ? ???? 则 n ? DB ? 0, n ? DE ? 0 ,即 2 x ? 2 y ? 0, y ? z ? 0. 取 y ? ?1 ,则 x ? z ? 1. 于是 n = (1, ?1,1). ??? ? ??? ? ??? ? 又 PA ? (2,0, ?2) ,所以 n ? PA = 1? 2 ? (?1) ? 0 ? 1? (?2) ? 0. 所以 PA ? n . 又 PA ? 平面 EDB ,所以 PA ? 平面 EDB .……………………………………4 分 解法二:连接 AC ,设 AC ? BD ? G. 因为 ABCD 是正方形,所以 G 是线段 AC 的中点. 又 E 是线段 PC 的中点,所以, EG 是△ PAC 的中位线. 所以 PA ? EG. …………………………………………2 分 又 PA ? 平面 EDB , EG ? 平面 EDB , 所以 PA ? 平面 EDB .………………………………4 分

P E

D A G B

C

??? ? ??? ? (2)解法一:由(1)中的解法一, PB ? (2,2, ?2) , CB ? (2,0,0) .
设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 CPB 的一个法向量, ??? ? ??? ? 则 m ? PB ? 2x1 ? 2 y1 ? 2 z1 ? 0 , m ? CB ? 2 x1 ? 0 . 取 y1 ? 1 ,则 z1 ? 1 .于是 m ? (0,1,1). ………………7 分 因为 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD. 因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? AC. 又 PD ? BD ? D ,所以 AC ? 平面 PDB. ???? 所以 AC ? (?2,2,0) 是平面 PDB 的一个法向量.………………………………10 分

???? 所以 cos ? m, AC ??

1 ? .…………………………………………11 分 2?2 2 2

2

所以,锐二面角 C ? PB ? D 的大小为 60 ? . …………………………………12 分

z
P E C

D A

y
B

x

解法二:如图,设 AC ? BD ? G. 在 Rt △ PDB 中,过 G 作 GF ? PB 于 F ,连接 FC . …………………………5 分 因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 CA ? BD ,即 CG ? BD. …………………………6 分 因为侧棱 PD ? 底面 ABCD , CG ? 平面 ABCD , 所以 CG ? PD. …………………………………………7 分 又 CG ? BD , PD ? BD ? D ,所以 CG ? 平面 PDB. 所以 CG ? PB. ………………………………………8 分 又 PB ? GF , CG ? GF ? G ,所以 PB ? 平面 CGF .

所以 PB ? FC . 从而 ?GFC 就是二面角 C ? PB ? D 的一个平面角…………………9 分 在 Rt △ PDB 中, FG ? BG ? sin ?GBF ? BG ?

PD 2 2 ? 2? ? . ……11 分 2 2 PB 3 2 ? (2 2)

在 Rt △ FGC 中, tan ?GFC ?

GC ? FG

2 2 3

? 3. 所以 ?GFC ? 60?.

所以二面角 C ? PB ? D 的大小为 60 ?. ………………………………………………12 分

P E F G

D A

C B



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