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2011年江西高考理科数学试题及答案



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2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)

理科数学
参考公式: 样本数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), L ( xn , yn ) 的线性相关系数

r=

∑ ( x

? x)( y ? y)
i =1 i i

n

锥体体积公式

∑ ( x ? x)
i =1 i

n

2

∑(y ? y)
i =1 i

n

2

1 V = Sh 3

其中 x =

x1 + x2 + L xn y + y2 + L yn ,y= 1 n n

其中 S 为底面积, h 为高

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.若 z =

1+ 2i ,则复数 z = i B. ?2 + i A. ?2 ? i

C.

2.若集合 A = {x ?1 ≤ 2 x +1 ≤ 3}, B = {x A. {x ?1 ≤ x < 0} C.

x?2 ≤ 0} ,则 A ∩ B = x
B. {x 0 < x ≤ 1} D. {x 0 ≤ x ≤ 1}

2?i

D. 2 + i

{x 0 ≤ x ≤ 2}

3.若 f ( x ) =

1 ,则 f ( x ) 的定义域为 log 1 (2 x +1)
2

A. (?

1 , 0) 2

B. ( ?

1 , 0] 2

C. (?

1 , +∞) 2

D. (0, +∞ )

4.若 f ( x ) = x 2 ? 2 x ? 4 ln x ,则 f '( x ) > 0 的解集为 A. (0, +∞ ) B. -1 0 ∪ 2,∞) C. ( 2, +∞ ) ( , ( + ) D. (-1, 0)

5.已知数列{ an }的前 n 项和 S n 满足: S n + S m = S n + m ,且 a1 =1.那么 a10 = A.1 B.9 C.10 D.55 6.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)(11.3,2)(11.8,3)(12.5,4)(13,5) , , , , ;变 量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5)(11.3,4)(11.8,3)(12.5,2)(13,1) r1 表 , , , , ,

1

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示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则 A. r2 < r1 < 0 B. 0 < r2 < r1 C. r2 < 0 < r1 D. r2 = r1

7.观察下列各式: 55 =3125, 56 =15625, 57 =78125,…,则 5 2011 的末四位数字为 A.3125 B.5625 C.0625 D.8125

8.已知 a1 , a2 , a3 是三个相互平行的平面.平面 a1 , a2 之间的距离为 d1 ,平面 a2 , a3 之间的 距离为 d 2 .直线 l 与 a1 , a2 , a3 分别相交于 p1 , p2 , p3 ,那么“ PP2 = P2 P3 ”是“ d1 = d 2 ” 1 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.若曲线 C1 : x 2 + y 2 ? 2 x = 0 与曲线 C2 : y ( y ? mx ? m) = 0 有四个不同的交点,则实数 m 的 取值范围是 A. ? (

3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3

B. ? (

3 3 ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 )∪( ,+ ∞ ) 3 3

C.[ ?

D. ?∞ , ? (

10.如右图,一个直径为 l 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方 向滚动,M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小 圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的图形大 致是

第Ⅱ卷
注意事项: 第 II 卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答,答案无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

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11.已知 a = b = 2 , ( a + 2b) · a ? b =-2,则 a 与 b 的夹角为 ( ) 12.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距 离大于

r

r

r

r

r r

r

r

1 1 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家看书, 2 4

则小波周末不在家看书的概率为 . 13.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是

14.若椭圆

x2 y2 1 + 2 = 1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 x 2 +y 2 =1 的切线,切点分别为 A,B, 2 a b 2

直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 三、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分。本 题共 5 分。 15. (1) (坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为 ρ =2sin θ + 4 cos θ , 以极点为原点, 极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 15. (2) (不等式选做题)对于实数 x,y ,若 x ? 1 ≤ 1, y ? 2 ≤ 1, 则 x ? 2 y + 1 的最大值为 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以使确定工资级别,公司准备了两 种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司 要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料,若 4 杯都选对,则月工资定为 3500 元,若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2800 元,否则月工资定为 2100 元,令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数,假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望。 17. (本小题满分 12 分) 在 V ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 sin C + cos C = 1? sin (1)求 sin C 的值; (2)若 a 2 + b 2 = 4( a + b) ? 8 ,求边 c 的值. 18. (本小题满分 12 分) 已知两个等比数列 {an },{bn } ,满足 a1 = a ( a > 0), b1 ? a1 = 1, b2 ? a2 = 2, b3 ? a3 = 3 . (1)若 a = 1 ,求数列 {an } 的通项公式;

C . 2

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(2)若数列 {an } 唯一,求 a 的值.

19. (本小题满分 12 分)

1 3 1 2 x + x + 2ax 3 2 2 (1)若 f ( x ) 在 ( , +∞) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 ,求 f ( x ) 在该区间上的最大值. (2)当 0 < a < 2 时, f ( x ) 在 [1, 4] 上的最小值为 ? 3
设 f ( x) = ? 20. (本小题满分 13 分)

p ( x0, y0 ) ( x0 ≠ ± a ) 是双曲线 E :

x2 y 2 ? = 1( a > 0, b > 0 ) 上一点, M,N 分别是双曲线 E a 2 b2
1 . 5

的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为

(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线 上一点,满足 OC = λ OA + OB ,求 λ 的值. 21. (本小题满分 14 分) (1)如图,对于任一给定的四面体 A1 A2 A3 A4 ,找出依次排列的四个相互平行的平面 α1 , α 2 ,

uuur

uuu r

uuu r

α 3 , α 4 ,使得 A1 ∈ α i ( i = 1, 2,3, 4 ) ,且其中每相邻两个平面间的距离都相等;
(2)给定依次排列的四个相互平行的平面 α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,其中每相邻两个平面间的距离 都为 1,若一个正四面体 A1 A2 A3 A4 的四个顶点满足: Ai ∈ α i i = 1, 2, 3, 4) ,求该正四面 ( 体 A1 A2 A3 A4 的体积.

参考答案
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一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1—5 DBACA 6—10 CDCBA 二、填空题;本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

3 13 12. 16
13.10

11.

π

x2 y2 14. + =1 5 4
三、选做题:本大题 5 分。 15. (1) x 2 + y 2 ? 4 x ? 2 y = 0 (2)5 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)X 的所有可能取值为:0,1,2,3,4

P( X = i ) =
即 X P

1 C4 C44?i (i = 0,1, 2, 3, 4) C54

0

1

2

3

4

1 70

16 70

36 70

16 70

1 70

(2)令 Y 表示新录用员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 2100,2800,3500

则P(Y = 3500) = P( X = 4) = P(Y = 2800) = P( X = 3) =

1 70

8 35 53 P(Y = 2100) = P( X ≤ 2) = 70 1 16 53 EY = 3500 × + 2800 × + 2100 × = 2280. 70 70 70
所以新录用员工月工资的期望为 2280 元. 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由已知得 sin C + sin

C = 1 ? cos C , 2 C C 2 C 即 sin (2 cos + 1) = 2sin 2 2 2 C C C C C 1 由 sin ≠ 0得2 cos + 1 = 2 sin , 即 sin ? cos = 2 2 2 2 2 2
5

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同边平方得: sin C = (2)由 sin

C C 1 π C π ? cos = > 0得 < < , 2 2 2 4 2 2

3 4

π


2

< C < π , 则由sin C =

3 7 得 cos C = ? 4 4

由 a 2 + b 2 = 4( a + b) ? 8得 : ( a ? 2) 2 + (b ? 2) 2 = 0, 则a = 2, b = 2 由余弦定理得 c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C = 8 + 2 7, 所以c = 18. (本小题满分 12 分) (1)设 {an } 的公比为 q,则 b1 = 1 + a = 2, b2 = 2 + aq = 2 + q, b3 = 3 + aq = 3 + q
2 2

7 + 1.

由 b1 , b2 , b3 成等比数列得 (2 + q ) 2 = 2(3 + q 2 ) 即 q ? 4q + 2 = 0, 解得q1 = 2 +
2

2, q2 = 2 ? 2 2)n ?1 或an = (2 ? 2) n ?1 .

所以 {an } 的通项公式为 an = (2 +

(2)设 {an } 的公比为 q,则由 (2 + aq ) 2 = (1 + a )(3 + aq 2 ), 得 aq 2 ? 4aq + 3a ? 1 = 0(*) 由 a > 0得? = 4a + 4a > 0 ,故方程(*)有两个不同的实根
2

由 {an } 唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a = 19. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 f ′( x ) = ? x + x + 2a = ?( x ? ) +
2 2

1 . 3

1 2

1 + 2a 4

当 x ∈ [ , +∞ )时, f ′( x )的最大值为f ′( ) = 令

2 3

2 3

2 + 2 a; 9

2 1 + 2a > 0, 得a > ? 9 9 1 2 所以,当 a > ? 时, f ( x )在( , +∞ ) 上存在单调递增区间 9 3 1 ? 1 + 8a 1 + 1 + 8a , x2 = . 2 2

(2)令 f ′( x ) = 0, 得两根x1 =

所以 f ( x )在( ?∞, x1 ), ( x2 , +∞) 上单调递减,在 ( x1 , x2 ) 上单调递增 当 0 < a < 2时, 有x1 < 1 < x2 < 4, 所以f ( x ) 在[1,4]上的最大值为 f ( x2 )

6

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又 f (4) ? f (1) = ?

27 + 6a < 0, 即f (4) < f (1) 2 40 16 =? 所以 f ( x ) 在[1,4]上的最小值为 f (4) = 8a ? 3 3
得 a = 1, x2 = 2 ,从而 f ( x) 在[1,4]上的最大值为 f (2) =

10 . 3

20. (本小题满分 13 分) 解: (1)点 P ( x0 , y0 )( x0 ≠ ± a ) 在双曲线
2 2 x0 y0 ? 2 =1 a2 b

x2 y2 ? = 1 上, a2 b2



由题意又有

y0 y 1 ? 0 = , x0 ? a x0 + a 5
2 2 2 2 2

可得 a = 5b , c = a + b = 6b , 则e =
2

c 30 = a 5

(2)联立 ?

? x 2 ? 5 y 2 = 5b 2 , 得4 x 2 ? 10cx + 35b 2 = 0, 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ?y = x ? c

5c ? ? x1 + x2 = 2 , ? 则? 2 ? x x = 35b ? 1 2 ? 4

………………(1)

设 OC = ( x1 , y1 ), OC = λ OA + OB, 即 ?
2 2

uuur

uuur

uuu r

uuu r

? x3 = λ x1 + x2 ? y3 = λ y1 + y2
2

又 C 为双曲线上一点,即 x3 ? 5 y3 = 5b , 有 (λ x1 + x2 ) ? 5(λ y1 + y2 ) = 5b
2 2 2 2 2 2 2 2

化简得: λ ( x1 ? 5 y1 ) + ( x2 ? 5 y2 ) + 2λ ( x1 x2 ? 5 y1 y2 ) = 5b
2 2 2 2

2

…………(2)
2 2

又 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 在双曲线上,所以 x1 ? 5 y1 = 5b , x2 ? 5 y2 = 5b 由(1)式又有

x1 x2 ? 5 y1 y2 = x1 x2 ? 5( x1 ? c)( x2 ? c) = ?4 x1 x2 + 5c( x1 + x2 ) ? 5c 2 = 10b 2
得: λ 2 + 4λ = 0, 解出λ = 0, 或λ = ?4. 21. (本小题满分 14 分)

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(1)如图所示,取 A1A4 的三等分点 P2,P3,A1A3 的中点 M, A2A4 的中点 N,过三点 A2,P2,M 作平面 α 2 ,过三点 A3, P3,N 作平面 α 3 ,因为 A2P2//NP3,A3P3//MP2,所以平面

α 2 //平面 α 3 ,再过点 A1,A4 分别作平面 α1 , α 4 与平面 α 2
平行,那么四个平面 α1 , α 2 , α 3 , α 4 依次相互平行,由线段 A1A4 被平行平面 α1 , α 2 , α 3 , α 4 截得的线段相等知,其中 每相邻两个平面间的距离相等,故 α1 , α 2 , α 3 , α 4 为所求平面。 (2)解法一:当(1)中的四面体为正四面体,若所得的四个平行平面,每相邻两平面之间的 距离为 1, 则正四面体 A1A2A3A4 就是满足题意的正四面体, 设正四面体的棱长为 a, 以△A2A3A4 的中心 O 为坐标原点,以直线 A4O 为 y 轴,直线 OA1 为 z 轴建立如图的右手直角坐标系,

则A1 (0, 0,

6 a 3 a 3 3 a ), A2 (? , a, 0), A3 ( , a, 0), A4 (0, ? a, 0) 3 2 6 2 6 3

令 P2,P3 为 A1A4 的三等分点,N 为 A2A4 的中点,有

2 3 6 a 3 a, a ), N (? , ? a, 0) 9 9 4 12 uuuu r uuuu r a 5 3 6 3 3 所以, P3 N = (? , a, ? a ), NA3 = ( a, a, 0) 4 36 9 4 4 uuuur 1 3 A4 N = (? a, a, 0) 4 4 r 设平面 A3P3N 的法向量 n = ( x, y , z ), r uuuu r ?n ? P3 N = 0 ?9 x ? 5 3 y + 4 6 z = 0 ? ? 有 ? r uuuu ,即 ? r ?n ? NA3 = 0 ?3 x + 3 y = 0 ? ? r 所以, n = (1, ? 3, ? 6). P3 (0, ?
因为 α1 , α 2 , α 3 , α 4 相邻平面之间的距离为 1,所以点 A4 到平面 A3P3N 的距离

a 3a | (? ) × 1 + × (? 3) + 0 × (? 6) | 4 4 =1 1 + (? 3) 2 + (? 6)2
解得 a = 10 ,由此可得,边长为 10 的正四面体 A1A2A3A4 满足条件。 所以所求正四面体的体积

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V =

1 1 3 2 6 2 3 5 Sh = × a × a= a = 5. 3 3 4 3 12 3

解法二:如图,现将此正四面体 A1A2A3A4 置于一个正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, (或者说,在 正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角三棱锥,得到一个正方体) 1,F1 分别是 A1B1,C1D1 ,E 的中点,EE1D1D 和 BB1F1F 是两个平行平面,若其距离为 1,则四面体 A1A2A3A4 即为满足条件 的正四面体。右图是正方体的上底面,现设正方体的棱长为 a,若 A1M=MN=1,则有

A1 E1 = D1 E1 =

a , 2 A1 D12 + A1 E12 = 5 a 2 5,

据 A1D1×A1E1=A1M×D1E1,得 a = 于是正四面体的棱长 d = 其体积 V = a ? 4 ×
3

2a = 10,

1 3 1 3 5 5 a = a = . 6 3 3

(即等于一个棱长为 a 的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积)

9



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