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广东省珠海市2015届高三9月摸底考试数学文试题(纯word版)



珠海市 2014 年 9 月高三摸底考试 文科数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项。 1. 已知集合 M ? ?2,3, 4? , N ? ?0,2,3,4,5? 则C N M ? ( A.

)C
D. ?3,5?

/>
?2,3,4?

B.

?0, 2,3, 4,5?

C.

?0,5?

2. 为了解 72 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 8 的样本,则分段 的间隔为( )A A.9 B.8 C.10 D.7 )C D. 4 )D D. 1 ? i )B D. y ? ? )D

3. 在等比数列 ?an ? 中,有 a1a5 ? 4 ,则 a3 的值为( A. ? 2 B. ? 2 C. 2

4. 已知复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2 ,则 z ? ( A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i

5. 下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A. y ? e? x B. y ? x

C. y ? ln x

1 x

6. 如右图为某几何体的三视图,则其体积为( A. 2 B. 4 C.

4 3

D.

2 3
)B

7. 设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2, 且b ? 2 ”的( A. 充分条件 C. 充分必要条件 B. 必要条件 D. 既非充分又非必要条件
2

8. 对任意的 x ?[?2,1] 时, 不等式 x ? 2 x ? a ? 0 恒成立, 则实数 a 的 取值范围是( A. )D B. ?? ?,3? C. ?0,??? D. ?3,???

?? ?,0?

9.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2, BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( A. )B D.

? 2

B.

? 4

C.

? 6

? 8

10. 设点 M ( x0 ,1) ,若在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上存在点 N,使得 ?OMN ? 30 ,则 x0 的取值范
°

围是(

)A A. ? ? 3, 3 ? B. ? ? , ? ? 2 2?

?

?

? 1 1?

C.

??2, 2?

D. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,考生作答 4 小题,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)

?x ? 2 y ? 8 ? 11. 不等式组 ?0 ? x ? 4 表示的平面区域的面积为______________。11 ?0 ? y ? 3 ?
12.在 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , cos C ?

1 ,则 c ? 2

。 3

13.若曲线 y ? x ln x上点P 处的切线平行于直线 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P 的坐标是_______。 (1,0) (二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数)的普通方程为___________。 3x ? y ? 4 ? 0 15. (几何证明选讲选做题)如右图,已知 AB , BC 是圆O的两条弦,
B

?x ? 1? t ? y ? ?1 ? 3t

AO ? BC , AB ? 3 , BC ? 2 2 ,则圆O的的半径等于________.

3 2

A

O

C

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若角 ? 的终边与单位圆的交于点 P ? ,

?
3

), x ? R ,且 f (

5? 3 2 )? 12 2

? 5? ? ?3 4? ?? ? 。 ? ,求 f ? ? 12 ? ?5 5?

解: (1) f ( 分

5? 5? ? 3? 3 2 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? 2 ? 3. ?????4 12 12 3 4 2 2

(2)由题意可知 sin ? ?

4 3 ? , cos ? ? ,且由(1)得: f ( x) ? 3 sin( x ? ) ??6分 5 5 3 5? 5? ? 3? ? f ( ? ? ) ? 3sin( ? ? ? ) ? 3sin( ? ? ) 12 12 3 4

? 3sin

3? 3? cos ? ? 3cos sin ? ???????????????????10 分 4 4

?

21 2 ?????????????????????????????12 分 10

17. (本题满分 12 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的 4 次 预赛成绩记录如下: 甲 82 84 79 95 乙 95 75 80 90

(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (2)①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差,②若现要从中选派一人参加数学竞赛,根据 你的计算结果,你认为选派哪位学生参加合适? 17.解: (1)记甲被抽到的成绩为 x ,乙被抽到成绩为 y ,用数对 ? x, y ? 表示基本事件:

?82,95? , ?82, 75? , ?82,80 ? , ?82,90 ? , ?84,95? , ?84, 75? , ?84,80 ? , ?84,90 ? , ? 79,95? , ? 79, 75? , ? 79,80 ? , ? 79,90 ? , ? 95,95? , ? 95, 75? , ? 95,80 ? , ? 95,90 ? ,
基本事件总数 n ? 16 ????????3 分 记“甲的成绩比乙高”为事件 A,事件 A 包含的基本事件:

?82, 75? , ?82,80 ? , ?84, 75? , ?84,80 ? , ? 79, 75? , ? 95, 75? , ? 95,80 ? , ? 95,90 ? ,

????????4 分

事件 A 包含的基本事件数 m ? 8 ,所以 P ? A ? ? 所以甲的成绩比乙高的概率为 (2)①

m 8 1 ? ? n 16 2

????????5 分

1 ??????6 分 2

? 1 x甲 ? (82 ? 84 ? 79 ? 95) ? 85 , 4

x乙 ?

?

1 (95 ? 75 ? 80 ? 90) ? 85 ??????7 分 4

1 2 S甲 ? [(79 ? 85) 2 ? (82 ? 85) 2 ? (84 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] ? 36.5 ??????9 分 4 1 2 S乙 ? [(75 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (90 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] ? 62.5 ?????11 分 4

2 2 x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 , ? 甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适。????12 分 ? ?

18. (本题满分 14 分)在如图所示的多面体中,四边形 ABB1 A 1都 1 和 ACC1 A

A1 B1

C1

为矩形。 (1)若 AC ? BC ,证明:直线 BC ? 平面 ACC1 A1 ; (2)是否存在过 AC 1 的平面 ? ,使得直线 BC1 / /? 平行,若存在请作出平 面 ? 并证明,若不存在请说明理由。 解: (Ⅰ)证明:因为四边形 ABB1 A 1 都是矩形, 1 和 ACC1 A 所 以
A

C B

AA1 ? AB, AA1 ? AC ????????????????????2 分
因为 AB, AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, 所以 AA 1 ? 平面ABC ??????????????????????4 分 因为直线 BC ? 平面 ABC ,所以 AA1 ? BC 又由已知, AC ? BC, AA 1 , AC 为平面 ACC1 A 1 内的两条相交直线, 所以 BC ? 平面 ACC1 A1 ?????????????????????7 分 (Ⅱ )存在?????????????8 分 连接 AC 1 ? AC1 ? D ,取线段 AB 的中点 M,连接 A 1 , AC1 ,设 AC 1M , MC 。 则平面 ACM 为为所求的平面 ? 。 ?????????????11分 1 由作图可知 M , D 分别为 AB、 AC1 的中点,
A1 B1 D A M B C C1

1 所以 MD / / BC1 ?????????????13 分 2
又因为 MD ? ? , BC1 ? ? 因此 MD / /? ?????????????14 分 19. (本题满分 14 分) 已知 ?an ? 是首项为 1, 公差为 2 的等差数列,S n 表示 ?an ? 的前 n 项和。 (1)求 an 及 S n ;

(2) 设数列 ?

?1? n 成立。 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:当 n ? N ? 都有 Tn ? n ?1 ? Sn ?

解: (1)∵ {an } 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列, ∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ???????????????????3分

n(a1 ? an ) n(1 ? 2n ? 1) ? ? n 2 ??????6分 2 2 1 1 1 1 1 (2)由(Ⅰ )得, Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ??????????????7 分 1 2 3 4 n
故 S n ? 1 ? 3 ? ... ? (2n ? 1) ?

?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5

?

1 ????????10 分 n ? (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????12 分 2 2 3 3 4 4 5 n n ?1 1 n ? 1? ? ??????????14 分 n ?1 n ?1

x2 y E 20. (本题满分 14 分)设 F , 分别是椭圆 : ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F 1 2 a 2 b2
E 于 A, B 两点, | AF1 |? 3| BF1 | ,且 | AB |? 4, ?ABF2 的周长为 16 点F 1 的直线交椭圆
(1)求 | AF2 | ; (2)若直线 AB 的斜率为 1 ,求椭圆 E 的方程。 解:(1)由 | AF 1 |? 3| F 1B |,| AB |? 4 ,得:| AF 1 |? 3,| F 1 B |? 1 ???????????1 分 因 为

2

?ABF2 的 周 长 为

16 , 所 以 由 椭 圆 定 义 可 得

4a ? 16,| AF1 | ? | AF2 |? 2a ? 8 ????3 分
故 | AF2 |? 2a? | AF 1 |? 8 ? 3 ? 5 ????????????????4 分

(2)由(1)可设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 , F1 (?c,0) ,其中 c ? 16 ? b2 16 b 2

设直线 AB 的方程为 y ? x ? c ,即 x ? y ? c ,?????????????????5 分 代入椭圆方程得:

b 2 ? y ? c ? ? 16 y 2 ? 16b 2 ????????????????6 分
2

整理得:

?b

2

? 16 ? y 2 ? 2b 2 cy ? b 4 ? 0 ??????????????8 分

? ? 4b 4c 2 ? 4b 4 ? b 2 ? 16 ? ? 128b 4

y1 ?

2b 2 c ? 8b 2 2 2b 2 c ? 8b 2 2 y ? , ????????????10 分 2 2 ? b 2 ? 32 ? 2 ? b 2 ? 32 ?

由 | AF 1 |? 3| BF 1 | 知 y1 ? ?3 y2 , 得 2b c ? 8b
2 2

2 ? ?3 2b2c ? 8b2 2 ????????12 分
2

?

?

又由于 c ? 16 ? b2 解得 c ? 2 2 , b ? 8 所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ??????????????14 分 16 8
1 3 1 x ? (1 ? a) x 2 ? ax ,其中 a ? 1 3 2

21. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? (1)求 f ( x ) 在的单调区间;

(2)当 x ? [1,3] 时,求 f ( x ) 最小值及取得时的 x 的值。 解: (1) f ( x ) 的定义域为 (??, ??) , f ?( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? a ?????????1 分 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1, x2 ? a 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 1 ?????????????????????2 分 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x ? a ??????????????????????3 分 故 (??,1)和(a, ??) 为 f ( x ) 单调递增区间, (1, a ) 为 f ( x ) 单调递减区间。????5 分 (2)因为 x ? [1,3] ,所以 (ⅰ)当 a ? 3 时,由(1)知, f ( x ) 在[1,3]上单调递减,???????7 分 所以 f ( x ) 在 x ? 3 时取得最小值,???????????????8 分 最小值为: f (3) ? (ⅱ)当 1 ? a ? 3 时, 由 (Ⅰ) 知, f ( x ) 在[0,a ]上单调递减, 在[ a , 3]上单调递增, ????????11

3a ? 15 ???????????????????9 分 2

分 所以 f ( x ) 在 x ? a 处取得最小值,最小值为:??????????12 分

1 2 1 3 a ? a ,???????????????????13 分 2 6 9 ? 3a 所以当 a ? 3 时, f ( x ) 在 x ? 3 处取得最小值 f (3) ? ; 2 1 2 1 3 当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 x ? a 处取得最小值 f (a ) ? a ? a 。????14 2 6
又 f (a) ? 分



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