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2014年高中数学复习方略课时作业:5.5数列的综合应用(人教A版·数学理·浙江专用)]


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课时提升作业(三十二)
一、选择题 1.等差数列{an}的公差为 3,若 a2,a4,a8 成等比数列,则 a4= ( (A)8 (B)10 (C)12 (D)16 )

2.等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数 列的前 10 项之和是 ( (A)90 (B)100 ) (C)145 (D)190

3.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an}的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是 ( (A)21 (B)20 (C)19 ) (D)18

4.(2013·石家庄模拟)《莱因德数学纸草书》是世界上最古老的数学 著作之一.书中有一道这样的题目:把 100 个面包分给五个人,使每人所 得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问最小一份 为 ( (A) (C) ) (B) (D) - =1(n∈N*),那

5.(2013·海淀模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an>0, 么使 an<5 成立的 n 的最大值为 ( (A)4 (B)5 (C)24 ) (D)25

6.(2013·合肥模拟)已知数列{an}为等差数列,公差为 d,若 <-1,且它 的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 Sn<0 的 n 的最小值为 ( (A)11 (B)19 (C)20 (D)21 )

7.在 1 到 104 之间所有形如 2n 和 3n(n∈N*)的数,它们各自之和的差的绝 对值为(lg2≈0.3010) ( (A)1631 (B)6542 ) (C)15340 (D)17424

8.(能力挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在 2012 年元月份时相同,甲 以后每个月比前一个月增加相同的产值 .乙以后每个月比前一个月增 加产值的百分比相同.到 2012 年 11 月份发现两间工厂的月产值又相同. 比较甲、乙两间工厂 2012 年 6 月份的月产值大小,则有 ( (A)甲的产值小于乙的产值 (B)甲的产值等于乙的产值 (C)甲的产值大于乙的产值 (D)不能确定 二、填空题 9.(2013·温州模拟)设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵 坐标为 an,则数列{ }的前 n 项和 Sn 等于 . )

10.从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升纯酒精,然后填满水,再倒出 1 升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒 使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于 10%. 11.(2013·杭州模拟)已知函数 f(x)=2x,等差数列{an}的公差为 2.若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则 log2[f(a1)· f(a2)· f(a3)· …· f(a10)]= . 次后才能

12.(能力挑战题)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=2x+1 上, n∈N*,若数列{an}是等比数列,则实数 t= 三、解答题 13.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列, (1)求{an}的公比 q. (2)若 a1-a3=3,求 Sn. 14.(2013·宁波模拟)在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,等比数 列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为 q,且 b2+S2=12,q= . (1)求 an 与 bn. (2)证明: ≤ + +…+ < . 15.(2013 · 杭 州 模 拟 ) 已 知 数 列 {an},{bn} 满 足:a1= ,an+bn=1,bn+1= (1)求 b1,b2,b3,b4. (2)设 cn= ,求证数列{cn}是等差数列,并求{bn}的通项公式. . .

(3)设 Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,不等式 4aSn<bn 恒成立时,求实数 a 的 取值范围.

答案解析
1.【解析】选 C.令首项为 a,根据条件有 (a+9)2=(a+3)〃(a+21)?a=3,

a4=3+3×3=12.故选 C. 2.【解析】选 B.设公差为 d,则(1+d)2=1〃(1+4d). ≧d≠0,解得 d=2,?S10=100. 3.【解析】选 B.由 a1+a3+a5=105 得 3a3=105,即 a3=35,由 a2+a4+a6=99 得 3a4=99 即 a4=33, ?d=-2,an=a4+(n-4)×(-2)=41-2n, 由 得 n=20.

4.【解析】选 A.设五个人所分得的面包为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中 d>0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,?a=20. 由 (a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得 3a+3d= 7(2a-3d),?24d=11a,?d= , 所以,最小的一份为 a-2d=20- = . 5.【解析】选 C.由 a1=1,an>0, an<5,则 n<25,故选 C. 6.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“ <-1”及“Sn 有最大值” 如何使用,从而列出关于 a1,d 的不等式组,求出 的取值范围,进而求出 使得 Sn<0 的 n 的最小值,或者根据等比数列的性质求解. 【解析】选 C.方法一:由题意知 d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0, 由 ≧Sn=na1+ 得- < <-9. d= n2+(a1- )n, - =1(n∈N*)可得 =n,即 an= ,要使

由 Sn=0 得 n=0 或 n=1- .

≧19<1- <20, ?Sn<0 的解集为{n∈N*|n>1- }, 故使得 Sn<0 的 n 的最小值为 20. 方法二:由题意知 d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0, 由 a10>0 知 S19>0,由 a11<0 知 S21<0, 由 a10+a11<0 知 S20<0,故选 C. 7.【解析】选 B.由 2n<104,得 n< ≈ 之间的项共有 13 项,它们的和 S1= 之间的项共有 8 项,它们的和 S2= ?|S1-S2|=6542. 8.【解析】选 C.设甲各个月份的产值构成数列{an},乙各个月份的产值 构 成 数 列 {bn}, 则 数 列 {an} 为 等 差 数 列 , 数 列 {bn} 为 等 比 数 列 , 且 a1=b1,a11=b11,故 a6= ≥ = = =b6,由于在等差数列 {an}中 ≈13.29,故数列{2n}在 1 到 104 =16382;同理数列{3n}在 1 到 104 =9840,

的公差不等于 0,故 a1≠a11,上面的等号不能成立,故 a6>b6,即 6 月份甲 的产值大于乙的产值. 9.【解析】≧y′=nxn-1-(n+1)xn,?y′|x=2=n〃2n-1-(n+1)〃2n=-n〃2n-1-2n, ?切线方程为 y+2n=(-n〃2n-1-2n)(x-2), 令 x=0 得 y=(n+1)〃2n,即 an=(n+1)〃2n, ? =2n,?Sn=2n+1-2.

答案:2n+1-2 10.【解析】设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为 1,操作一次后纯酒 精体积与总溶液体积之比 a1= ,设操作 n 次后,纯酒精体积与总溶液体

积之比为 an,则 an+1=an〃 , ?an=a1qn-1=( )n,?( )n< ,得 n≥4. 答案:4 【方法技巧】建模解数列问题 对于数列在日常经济生活中的应用问题 ,首先分析题意,将文字语言转 化为数学语言 ,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型 ,将实际问 题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是 求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量. 11.【解析】≧f(a2+a4+a6+a8+a10)= ?a2+a4+a6+a8+a10=2. 又≧a1+a3+a5+a7+a9=(a2-d)+(a4-d)+…+(a10-d)=2-5d=-8, ?a1+a2+…+a10=2+(-8)=-6. ?log2[f(a1)〃f(a2)〃…〃f(a10)] =log2( ) =4,

=a1+a2+…+a10=-6. 答案:-6 12.【思路点拨】得出关于 an+1,Sn 的式子,降低一个角标再得一个关于 an,Sn-1 的 式 子 , 两 个 式 子 相 减 后 得 出 an+1,an 的 关 系 , 可 得 数 列 {an} 中,a2,a3,a4,…为等比数列,只要 等于上面数列的公比即可. 【解析】由题意得 an+1=2Sn+1, an=2Sn-1+1(n≥2), 两式相减得 an+1-an=2an,即 an+1=3an(n≥2),

所以当 n≥2 时,{an}是等比数列, 要使 n≥1 时,{an}是等比数列,则只需 = =3,从而 t=1.

答案:1 13.【解析】(1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2), 由于 a1≠0,故 2q2+q=0. 又 q≠0,从而 q=- . (2)由已知可得 a1-a1(- )2=3, 故 a1=4, 从而 Sn= = [1-(- )n].

14.【解析】(1)设{an}的公差为 d, 因为 所以

解得 q=3 或 q=-4(舍),d=3. 故 an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1. (2)因为 Sn= 所以 = 故 + +…+ = [(1- )+( - )+( - )+…+( 因为 n≥1,所以 0< 所以 ≤ (1)< , )]= (1<1, ). , =().

≤ ,于是 ≤1-

即 ≤ + +…+ < .

15.【解析】(1)bn+1= ≧a1= ,b1= , ?b2= ,b3= ,b4= . (2)≧bn+1-1= ? = -1, ,

=

=

.

=-1+

?数列{cn}是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列. ?cn=-4+(n-1)(-1)=-n-3, 由于 cn= ?bn= . , + +…+ . == , =-n-3,

(3)an=1-bn=

?Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1= ?4aSn-bn= =

由条件可知(a-1)n2+(3a-6)n-8<0 恒成立即可满足条件, 设 f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8, 当 a=1 时,f(n)=-3n-8<0 恒成立, 当 a>1 时,由二次函数的性质知不可能成立, 当 a<1 时,对称轴 n=- 〃 =- (1)<0,

f(n)在(1,+≦)上为减函数. f(1)=(a-1)+(3a-6)-8=4a-15<0, ?a< ,?a≤1 时,4aSn<bn 恒成立.

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