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2005年高考数学全国试题分类解析(数列部分)



数列部分 选择题 1. (广东卷) 已知数列 ? xn ? 满足 x2 ? 则(B) (A)

x1 1 ,xn ? ? xn ?1 ? xn ?2 ? ,n ? 3, 4, …. 若 lim xn ? 2 , n ?? 2 2

3 (B)3(C)4(D)5 2

2. (福建卷)3.已知等差数列 {a n } 中,

a7 ? a9 ? 16, a 4 ? 1, 则a12 的值是 A.15 ( A ) B.30 C.31 D.64

3. (湖南卷)已知数列 {a n } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =
3 2

(B )

A.0

B. ? 3

C. 3

D.

4. (湖南卷)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且 a1=3,a2=5,则
lim n ??

(

1 1 1 = ? ? ?? ? a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n
B.

(C)

A.2

3 2

C.1

D.

1 2

5. (湖南卷)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则 f2005(x)=(C) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx

6. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ a4+ a5=(C ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 7. (全国卷 II) 如果数列 ?an ? 是等差数列,则(B ) (A) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (B) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (C) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (D) a1a8 ? a4 a5 8. (全国卷 II) 11 如果 a1 , a2 ,?, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则(B) (A) a1a8 ? a4 a5 (B) a1a8 ? a4 a5 (C) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (D) a1a8 ? a4 a5 9. (山东卷)?an ? 是首项 a1 =1, 公差为 d =3 的等差数列, 如果 an =2005, 则序号 n 等于(C ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 10.(上海) 16. 用 n 个不同的实数 a1,a2,┄an 可得 n!个不同的排列,每个排列为一行写成 2 3 一个 n!行的数阵.对第 i 行 ai1,ai2,┄ain,记 bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 3 i=1,2,3, ┄,n!.用 1,2,3 可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 是 12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+2 ? 12-3 ? 12=-24.那么,在用 1,2,3,4,5 形成 2 3 的数阵中, b1+b2+┄+b120 等于 3 1 1 2 3 1 2 3
1

2

1 [答]( C (A)-3600 11. (浙江卷) lim
n ??

)

(B) 1800

(C)-1080

(D)-720

1? 2 ? 3 ??? n =( C ) n2 1 (A) 2 (B) 4 (C) (D)0 2 12. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成, 构成方式如图所示, 上层正方 体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。 已知最底层正方体的棱长 为 2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39,则该塔形中正方 体的个数至少是( C) (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7。 13. (江西卷)

填空题 1. (广东卷) 设平面内有n条直线 (n ? 3) , 其中有且仅有两条直线互相平行, 任意三角形不过同一点. 若 用 f (n) 表示这n条直线交点的个数,则 f (4) _____5________ ;当n>4时, f ( n ) = __

1 (n ? 2)( n ? 1) ___________. 2

2. (北京卷)已知 n 次多项式 Pn ( x) ? a0 x n ? a1 x n ?1 ? ? ? an ?1 x ? an , 如果在一种算法中,计算 x0 (k=2,3,4,…,n)的值需要 k-1 次乘法,计算 P 3 ( x0 ) 的值共需要 9 次运算( 6 次乘法, 3 次加法) ,那么计算 Pn ( x0 ) 的值共需要 次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法: P 0 ( x) ? a0 , P k ?1 ( x) ? xP k ( x) ? ak ?1 (k =0, 1, 2,…,n-1) .利用该算法,计算 P 3 ( x0 ) 的值共需要 6 次运算,计算 P n ( x0 ) 的 值共需要 2n 次运算.
k

1 n(n + 3) 2

3. (湖北卷)设等比数列 {a n } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列, -2 . 8 27 4. (全国卷 II) 在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积 2 3
2

则 q 的值为

为_______216

__.

2 n?2 Cn ? 2Cn 3 ? _ _________ 5. (山东卷) lim 2 n ?? (n ? 1) 2

6. (上海)12、用 n 个不同的实数 a1 , a 2 ,?, a n 可得到 n! 个不同的排列,每个排列为一行 写成一个 n! 行的数阵。对第 i 行 ai1 , ai 2 , ?, ain ,记 bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? ?(?1) nain ,
n

i ? 1,2,3,?, n!。例如:用 1,2,3 可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是 12,
所以, b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ? 12 ? 3 ? 12 ? ?24 ,那么,在用 1,2,3,4,5 形成的 数阵中, b1 ? b2 ? ? ? b120 =_-1080_________。

3 n ?1 ? 2 n 7、计算: lim n =_3 _________。 n ?? 3 ? 2 n ?1
1 2 3 2 n n ?1 8. (天津卷)设 n ? N ? ,则 C n ? Cn 6 ? Cn 6 ? ? ? Cn 6 ?

1 n (7 ? 1) 6

9. (天津卷)在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 a n ? 2 ? a n ? 1 ? (?1) n (n ? N ? ) , 则 S100 =_2600_ ___.

23n ? 32 n ?1 10. (重庆卷) lim 3n = -3 n ?? 2 ? 32 n
解答题 1.(北京卷)

.

? 1 a ? 1 ? 2 n 设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an ?1 ? ? 4 ?a ? 1 n ? ? 4
记 bn ? a2 n ?1 ?

n为 偶 数
,

n为 奇 数

1 ,n==l,2,3,…· . 4

(I)求 a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (III)求 lim(b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ) .
n ??

3

解: (I)a2=a1+

1 1 1 1 1 =a+ ,a3= a2= a+ ; 4 4 2 2 8 1 1 3 1 3 1 (II)∵ a4=a3+ = a+ , 所以 a5= a4= a+ , 4 2 8 2 4 16 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 b1=a1- =a- , b2=a3- = (a- ), b3=a5- = (a- ), 4 4 4 2 4 4 4 4 1 猜想:{bn}是公比为 的等比数列· 2
证明如下:

1 1 1 1 1 1 = a2n- = (a2n-1- )= bn, (n∈N*) 4 2 4 2 4 2 1 1 所以{bn}是首项为 a- , 公比为 的等比数列· 4 2 1 b1 (1 ? n ) 2 ? b1 ? 2(a ? 1 ) . (III) lim(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? lim n ?? n ?? 1 1 4 1? 1? 2 2 1 2.(北京卷)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? S n ,n=1,2,3,……,求 3
因为 bn+1=a2n+1- (I)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; (II) a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n 的值.

1 S n ,n=1,2,3,……,得 3 1 1 1 1 1 4 1 1 16 , a2 ? S1 ? a1 ? ,a3 ? S2 ? (a1 ? a2 ) ? ,a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? 3 3 3 3 3 27 3 3 9 1 1 4 由 an ?1 ? an ? ( Sn ? Sn ?1 ) ? an (n≥2) ,得 an ?1 ? an (n≥2) , 3 3 3 1 4 1 又 a2= ,所以 an= ( ) n ? 2 (n≥2), 3 3 3
解: (I)由 a1=1, an ?1 ?

? 1 ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ? 1 4 n ? 2 ( ) ? ?3 3
( II )由( I )可知 a2 , a4 ,?, a2 n 是首项为

n ?1 n≥ 2


4 1 ,公比为 ( ) 2 项数为 n 的等比数列,∴ 3 3

4 1 ? ( )2 n 1 3 ? 3 [( 4 )2 n ? 1] a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n = ? 3 1 ? ( 4 )2 7 3 3
3. (福建卷) 已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a 2 成等差数列.

4

(Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比 较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由. 解: (Ⅰ)由题设 2a3 ? a1 ? a 2 ,即2a1 q 2 ? a1 ? a1 q,

? a1 ? 0,? 2q 2 ? q ? 1 ? 0.

1 ? q ? 1或 ? . 2

n(n ? 1) n 2 ? 3n (Ⅱ)若 q ? 1, 则S n ? 2n ? ?1 ? . 2 2
当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? 若q ? ?

(n ? 1)( n ? 2) ? 0. 故 S n ? bn . 2

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n , 则S n ? 2n ? (? ) ? . 2 2 2 4
(n ? 1)( n ? 10) , 4

当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ?

故对于 n ? N ? ,当2 ? n ? 9时, S n ? bn ;当n ? 10时, S n ? bn ;当n ? 11时, S n ? bn . 4. (福建卷)已知数列{an}满足 a1=a, an+1=1+

1 我们知道当 a 取不同的值时,得到不同的 an

数列,如当 a=1 时,得到无穷数列:1,2, (Ⅰ)求当 a 为何值时 a4=0; (Ⅱ) 设数列{bn}满足 b1=-1, bn+1=

3 5 1 1 , ,?;当a ? ? 时, 得到有穷数列 : ? ,?1,0. 2 3 2 2
1 求证 a 取数列{bn}中的任一个数, (n ? N ? ) , bn ? 1

都可以得到一个有穷数列{an}; (Ⅲ)若

3 ? a n ? 2(n ? 4) ,求 a 的取值范围. 2
1 , an

(I)解法一:? a1 ? a, a n ?1 ? 1 ?

5

? a2 ? 1 ? a4 ? 1 ?

1 1 a ?1 1 2a ? 1 ? 1? ? , a3 ? 1 ? ? a1 a a a2 a ?1

1 3a ? 2 2 ? .故当a ? ? 时a 4 ? 0. a 3 2a ? 1 3 1 ? 0,? a3 ? ?1. a3

解法二 : ? a 4 ? 0,?1 ? ? a3 ? 1 ?

1 1 1 2 2 ,? a 2 ? . ? a 2 ? 1 ? ,? a ? ? .故当a ? ? 时a 4 ? 0. a2 2 a 3 3 b 1 ,? bn ? ? 1. bn ? 1 bn ?1

( II )解法一 : ? b1 ? ?1, bn ?1 ?

a取数列{bn }中的任一个数不妨设a ? bn . ? a ? bn ,? a 2 ? 1 ? ? a3 ? 1 ? ?? ? an ? 1 ? ? a n ?1 ? 0.
故 a 取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an} 5. ( 湖 北 卷 ) 设 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 Sn=2n2 , {bn } 为 等 比 数 列 , 且

1 1 ? 1? ? bn ?1 . a1 bn

1 1 ? 1? ? bn ? 2 . a2 bn ?1 1 1 ? 1? ? b1 ? ?1. a n ?1 b2

a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 .
(Ⅰ)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn. bn

解: (1) :当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 2;

当n ? 2时, a n ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故{an}的通项公式为 a n ? 4n ? 2,即{a n }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 设{bn}的通项公式为 q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ? 故 bn ? b1 q n ?1 ? 2 ?

1 . 4

1 4
n ?1

,即{bn }的通项公式为bn ?

2 4 n?1

.

(II)? c ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , n 2 bn 4 n ?1

6

? Tn ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n ?1 ], 4Tn ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 3)4 n ?1 ? (2n ? 1)4 n ]
两式相减得

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9
6. (湖北卷)已知不等式

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中n 为大于 2 的整数,[log 2 n] 表 2 3 n 2
设 数 列 {a n } 的 各 项 为 正 , 且 满 足

示 不 超 过 log 2 n 的 最 大 整 数 .

a1 ? b(b ? 0), a n ?

nan ?1 , n ? 2,3,4,? n ? a n ?1

(Ⅰ)证明 a n ?

2b , n ? 3,4,5,? 2 ? b[log 2 n]

(Ⅱ)猜测数列 {a n } 是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明) ; (Ⅲ)试确定一个正整数 N,使得当 n ? N 时,对任意 b>0,都有 a n ? 解: (Ⅰ)证法 1:∵当 n ? 2时,0 ? a n ?

1 . 5

nan ?1 1 n ? a n ?1 1 1 ,? ? ? ? , n ? a n ?1 an nan ?1 a n ?1 n



1 1 1 ? ? , a n a n ?1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?, ? ? . a 2 a1 2 a3 a 2 3 a n a n ?1 n 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? . a n a1 2 3 n 1 1 1 ? ? [log 2 n]. a n a1 2

于是有

所有不等式两边相加可得

由已知不等式知,当 n≥3 时有,

∵ a1 ? b,?

2 ? b[log 2 n] 1 1 1 ? ? [log 2 n] ? . an b 2 2b

an ?

2b . 2 ? b[log 2 n]

证法 2:设 f (n) ?

1 1 1 ? ? ? ? ,首先利用数学归纳法证不等式 2 3 n

an ?

b , n ? 3,4,5,?. 1 ? f (n)b
7

(i)当 n=3 时, 由 a3 ?

3a 2 3 3 b ? ? ? . 3 2 ? a1 3 ? a2 1 ? f (3)b ?1 3? ?1 a2 2a1

知不等式成立. (ii)假设当 n=k(k≥3)时,不等式成立,即 a k ?

b , 1 ? f (k )b

则 a k ?1 ?

(k ? 1)a k k ?1 k ?1 ? ? (k ? 1) 1 ? f (k )b (k ? 1) ? a k ? 1 (k ? 1) ? ?1 ak b

?

(k ? 1)b ? (k ? 1) ? (k ? 1) f (k )b ? b

b 1 ? ( f (k ) ? 1 )b k ?1

?

b , 1 ? f (k ? 1)b

即当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(i) 、 (ii)知, a n ?

b , n ? 3,4,5,?. 1 ? f (n)b
b 1 1? [ l o 2 gn]b 2 ? 2b , n ? 3,4,5,?. 2 ? b[ l o 2 gn]

又由已知不等式得

an ?

(Ⅱ)有极限,且 lim a n ? 0.
n??

(Ⅲ)∵

2b 2 2 1 ? ,令 ? , 2 ? b[log 2 n] [log 2 n] [log 2 n] 5
10

则有 log 2 n ? [log 2 n] ? 10, ? n ? 2

? 1024 ,
1 . 5

故取 N=1024,可使当 n>N 时,都有 a n ?

7. (湖南卷)已知数列 {log 2 (a n ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ??? ? 1. a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n

(I)解:设等差数列 {log 2 (a n ? 1)} 的公差为 d. 由 a1 ? 3, a3 ? 9得2(log 2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8, 即 d=1.
n 所以 log 2 (a n ? 1) ? 1 ? (n ? 1)? ? n, 即 a n ? 2 ? 1.

8

(II)证明因为

1 1 1 ? n ?1 ? n, n a n ?1 ? a n a ? 2 2

所以

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ??? n a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n 2 2 2 2

1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? 2 1 2n 1? 2
8. (湖南卷)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考 察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n ∈N*,且 x1>0.不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比, 死亡量与 xn2 成正比,这些比例系数依次为正常数 a,b,c. (Ⅰ)求 xn+1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变? (不 要求证明) (Ⅱ)设 a=2,b=1,为保证对任意 x1∈(0,2) ,都有 xn>0,n∈N*,则捕捞强度 b 的 最大允许值是多少?证明你的结论. 解(I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
2 2 cxn ,因此x n ?1 ? x n ? axn ? bxn ? cxn , n ? N * .(*)

即x n ?1 ? x n (a ? b ? 1 ? cxn ), n ? N * .(**)
(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得

xn (a ? b ? cxn )恒等于0, n ? N *,所以a ? b ? cx1 ? 0.即x1 ?
因为 x1>0,所以 a>b. 猜测:当且仅当 a>b,且 x1 ?

a ?b . c

a?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0,n∈N* 由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有 0<x1<3-b. 即 0<b<3-x1. 而 x1∈(0, 2),所以 b ? (0,1] 由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下证 当 x1∈(0, 2) ,b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N* ①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. 又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn>0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允
9

许值是 1. 9. ( 江 苏 卷 ) 设 数 列 { an } 的 前 项 和 为 S n , 已 知 a1=1, a2=6, a3=11, 且

(5n ? 8) Sn?1 ? (5n ? 2) Sn ? An ? B , n ? 1,2,3,?, 其中 A,B 为常数.
(Ⅰ)求 A 与 B 的值; (Ⅱ)证明数列{an}为等差数列; (Ⅲ)证明不等式 5amn ? am an ? 1对任何正整数m、n都成立 . 解:(Ⅰ)由 a1 ? 1 , a2 ? 6 , a3 ? 11 ,得 S1 ? 1 , S2 ? 2 , S3 ? 18 .
? A ? B ? ?28, 把 n ? 1, 2 分别代入 (5n ? 8)Sn?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B ,得 ? ?2 A ? B ? ?48 解得, A ? ?20 , B ? ?8 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 5n(Sn?1 ? Sn ) ? 8Sn?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 ,即 ① 5nan?1 ? 8Sn?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 , 又 5(n ? 1)an? 2 ? 8Sn? 2 ? 2Sn?1 ? ?20(n ? 1) ? 8 . ② ②-①得, 5(n ? 1)an? 2 ? 5nan?1 ? 8an? 2 ? 2an?1 ? ?20 , 即 (5n ? 3)an? 2 ? (5n ? 2)an?1 ? ?20 . ③ 又 (5n ? 2)an?3 ? (5n ? 7)an? 2 ? ?20 . ④ ④-③得, (5n ? 2)(an?3 ? 2an? 2 ? an?1 ) ? 0 , ∴ an?3 ? 2an? 2 ? an?1 ? 0 , ∴ an?3 ? an? 2 ? an? 2 ? an?1 ? ? ? a3 ? a2 ? 5 ,又 a2 ? a1 ? 5 ,

因此,数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 5 的等差数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)知, an ? 5n ? 4, (n ? N? ) .考虑 5amn ? 5(5mn ? 4) ? 25mn ? 20 .

( am an ? 1)2 ? am an ? 2 am an ? 1 ? am an ? am ? an ? 1 ? 25mn ? 15(m ? n) ? 9 .

∴ 5amn ? ( am an ? 1)2 厖15(m ? n) ? 29 15 ? 2 ? 29 ? 1 ? 0 . 即 5amn ? ( am an ? 1)2 ,∴ 5amn ? am an ? 1 . 因此, 5amn ? am an ? 1 . 10. (辽宁卷)已知函数 f ( x) ?

x?3 ( x ? ?1). 设数列 {a n }满足 a1 ? 1, an?1 ? f (an ) ,数 x ?1
*

列 {bn }满足 bn ?| a n ? 3 |, S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N ).

( 3 ? 1) n (Ⅰ)用数学归纳法证明 bn ? ; 2 n ?1
(Ⅱ)证明 S n ?

2 3 . 3

解: (Ⅰ)证明:当 x ? 0时, f ( x) ? 1 ?

2 ? 1. x ?1

因为 a1=1,

所以 a n ? 1(n ? N *). ………………2 分

10

( 3 ? 1) n 下面用数学归纳法证明不等式 bn ? . 2 n ?1
(1)当 n=1 时,b1= 3 ? 1 ,不等式成立, (2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 bk ?

( 3 ? 1) k . 2 k ?1
………………6 分

那么

bk ?1 ?| a k ?1 ? 3 |?

( 3 ? 1) | a k ? 3 | 1 ? ak

?

3 ?1 ( 3 ? 1) k ?1 bk ? . 2 2k

所以,当 n=k+1 时,不等也成立。 根据(1)和(2) ,可知不等式对任意 n∈N*都成立。 …………8 分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, bn ?

( 3 ? 1) n . 2 n ?1

所以

( 3 ? 1) 2 ( 3 ? 1) n S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 3 ? 1) ? ??? 2 2 n ?1

3 ?1 n ) 2 ? ( 3 ? 1) ? …………10 分 3 ?1 1? 2 1? (
故对任意 n ? N ? , S n ?

? ( 3 ? 1) ? 1?

1 3 ?1 2

?

2 3. 3

2 3. ………………(12 分) 3 1 11. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列 ?a n ? 的首项 a1 ? ,前 n 项和为 S n ,且 2
210 S 30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0 。
(Ⅰ)求 ?a n ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nS n ?的前 n 项和 Tn 。
10 10 10 解: (Ⅰ)由 2 S 30 ? (2 ? 1) S 20 ? S10 ? 0 得 2 ( S 30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 ,

10 即 2 (a 21 ? a 22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 ,
10 10 可得 2 ? q (a11 ? a12 ? ? ? a20 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 .

因为 a n ? 0 ,所以 2 q
10

1 1 ,因而 a n ? a1 q n ?1 ? n , n ? 1,2,?. 2 2 1 1 (Ⅱ)因为 {a n } 是首项 a1 ? 、公比 q ? 的等比数列,故 2 2
10

? 1,

解得 q ?

11

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? 2 n 1 2n 2n 1? 2
1 2 n ? ? ? n ), 2 2 2 2 Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ). 2 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n?1 前两式相减,得 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 1 n n(n ? 1) 2 2 ? n 即 Tn ? ? n ?1 ? n ? 2. ? ? n ?1 1 2 4 2 2 2 1? 2 12. (全国卷Ⅰ)
则数列 {nS n } 的前 n 项和 Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 设等比数列 ?a n ?的公比为 q ,前 n 项和 S n ? 0 (n ? 1,2,?) 。 (Ⅰ)求 q 的取值范围;

3 a n ?1 ,记 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,试比较 S n 与 Tn 的大小。 2 解: (Ⅰ)因为 {a n } 是等比数列, S n ? 0, 可得a1 ? S1 ? 0, q ? 0. 当 q ? 1时, S n ? na1 ? 0;
(Ⅱ)设 bn ? a n ? 2 ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? qn ? 0, 即 ? 0, (n ? 1, 2,?) 1? q 1? q ?1 ? q ? 0, 上式等价于不等式组: ? ① , (n ? 1,2, ?) n ?1 ? q ? 0 ?1 ? q ? 0, , (n ? 1,2, ?) 或? ② n ?1 ? q ? 0 当q ? 1时, Sn ?
解①式得 q>1;解②,由于 n 可为奇数、可为偶数,得-1<q<1. 综上,q 的取值范围是 (?1,0) ? (0,??).

3 3 3 an?1 得 bn ? a n (q 2 ? q), Tn ? (q 2 ? q) S n . 2 2 2 3 1 于是 Tn ? S n ? S n (q 2 ? q ? 1) ? S n (q ? )( q ? 2). 2 2 又∵ S n >0 且-1< q <0 或 q >0 1 当 ?1 ? q ? ? 或 q ? 2 时 Tn ? S n ? 0 即 Tn ? Sn 2 1 当 ? ? q ? 2 且 q ≠0 时, Tn ? S n ? 0 即 Tn ? Sn 2 1 当 q ? ? 或 q =2 时, Tn ? S n ? 0 即 Tn ? Sn 2 13. (全国卷 II) 已知 ?an ? 是各项为不同的正数的等差数列,lg a1 、lg a2 、lg a4 成等差数列. 又
(Ⅱ)由 bn ? aa ? 2 ?

12

bn ?

(Ⅰ) 证明 ?bn ? 为等比数列; (Ⅱ) 如果数列 ?bn ? 前 3 项的和等于
7 ,求数列 ?an ? 的首 24
F C E A D P

1 , n ? 1, 2,3,? . a2 n

项 a1 和公差 d . (I)证明:∵ lg a1 、 lg a2 、 lg a4 成等差数列 ∴2 lg a2 = lg a1 + lg a4 ,即 a2 2 ? a1a4 3d ) 这样 d 2 ? a1d ,从而 d ( d - a1 )=0 ∵ d ≠0 ∴ d = a1 ≠0 ∴ a2n ? a1 ? (2 ? 1)d ? 2 dbn ?
n n

又设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则( a1 - d ) 2 = a1 ( a1 - B

1 1 1 ? ? n a2n d 2

1 1 ,公比为 的等比数列。 2d 2 1 1 1 7 (II)解。∵ b1 ? b2 ? b3 ? (1 ? ? ) ? 2d 2 4 24 ∴ d =3 ∴ a1 = d =3
∴ ?bn ? 是首项为 b1 = 14.(全国卷 II) 已知 ?an ? 是各项为不同的正数的等差数列,lg a1 、lg a2 、lg a4 成等差数列. 又 bn ?
1 , a2 n

n ? 1, 2,3,? .
(Ⅰ) 证明 ?bn ? 为等比数列; (Ⅱ) 如果无穷等比数列 ?bn ? 各项的和 S ?
1 ,求数列 ?an ? 的首项 a1 和公差 d . 3

(注:无穷数列各项的和即当 n ?? 时数列前 n 项和的极限) 解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d,依题意,由 2 lg a2 ? lg a1 ? lg a4 得 a2 2 ? a1a4 即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ,得 d ? 0或d ? a1
2



an bn ?1 ? 2 bn a 2 n ?1

? 当 d =0 时,{an}为正的常数列 就有
n

an bn ?1 ? 2 ?1 bn a 2 n ?1
n ?1

当 d = a1 时,a 2n ? a1 ? (2 ? 1)a1 , a 2n ?1 ? a1 ? (2 于是数列{ bn }是公比为 1 或

? 1)a1 ,就有

an bn ?1 1 ? 2 ? bn a 2 n ?1 2

1 的等比数列 2 (Ⅱ)如果无穷等比数列 ?bn ? 的公比 q =1,则当 n →∞时其前 n 项和的极限不存在。
13

1 1 , b1 ? 2 2d 1 1 n [1 ? ( ) ] 2 这样 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ? 2d 1 1? 2 1 1 n [1 ? ( ) ] 2 ?1 则 S= lim Sn ? lim 2d n ??? n ??? 1 d 1? 2 1 由 S ? ,得公差 d =3,首项 a1 = d =3 3
因而 d = a1 ≠0,这时公比 q = 15. (全国卷 III) 在等差数列 {a n } 中,公差 d ? 0, a 2是a1与a 4 的等差中项. 已知数列 a1 , a3 , a k1 , a k2 , ?, a kn ,? 成等比数列,求数列 {k n } 的通项 k n . 解:由题意得: a 2 ? a1a 4 ……………1 分
2

即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) …………3 分
2

又 d ? 0, ? a1 ? d …………4 分 又 a1 , a3 , a k1 , a k2 , ?, a kn ,? 成等比数列, ∴该数列的公比为 q ? 所以 a kn ? a1 ? 3
n ?1

a3 3d ? ? 3 ,………6 分 a1 d

………8 分

又 a kn ? a1 ? (k n ? 1)d ? k n a1 ……………………………………10 分

? k n ? 3 n ?1 所以数列 {k n } 的通项为 k n ? 3 n ?1 ……………………………12 分
16. (山东卷)
* 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 S n ,且 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N )

(I)证明数列 ?an ? 1? 是等比数列;
2 n ( II )令 f ( x) ? a1x ? a2 x ? ? ? an x ,求函数 f ( x) 在点 x ? 1 处的导数 f ?(1) 并比较

2 f ? (1)与 23n2 ? 13n 的大小.
* 解:由已知 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N ) 可得 n ? 2, Sn ? 2Sn?1 ? n ? 4 两式相减得

14

Sn?1 ? Sn ? 2 ? Sn ? Sn?1 ? ? 1 即 an?1 ? 2an ? 1 从 而 an?1 ? 1 ? ? 2an ?

? 1当

n ?1 时

S2 ? 2S1 ? 1 ? 5 所以 a2 ? a1 ? 2a1 ? 6 又 a1 ? 5 所以 a2 ? 11 从而 a2 ? 1 ? 2 ? a1 ? 1?
故总有 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,n ? N * 又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0 从而 比数列; (II)由(I)知 an ? 3 ? 2n ? 1 因为 f ( x) ? a1x ? a2 x 2 ? ? ? an x n 所以 f ?( x) ? a1 ? 2a2 x ? ? ? nan x n?1 从而 f ?(1) ? a1 ? 2a2 ? ? ? nan = ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 3 ? 2 2 ? 1 ? ? ? n(3 ? 2 n ? 1) = 3 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n - ?1 ? 2 ? ? ? n ? = 3 ? n ? 1? ? 2n?1 ? 由上 2 f ?(1) ? 23n 2 ? 13n ? 12 ? n ? 1? ? 2 n - 12 2n 2 ? n ? 1 =
n 12 ? n ? 1? ? 2n ? 12 ? n ? 1? (2n ? 1) =12 (n ? 1) ? ? 2 ? (2n ? 1) ? ?①

an?1 ? 1 ? 2 即数列 ?an ? 1? 是等 an ? 1

?

?

?

?

n(n ? 1) ?6 2

?

?

?

?

当 n ? 1 时,①式=0 所以 2 f ?(1) ? 23n ? 13n ;
2

当 n ? 2 时,①式=-12 ? 0 所以 2 f ?(1) ? 23n ? 13n
2
n 0 1 n ?1 n 当 n ? 3 时, n ? 1 ? 0 又 2 ? ?1 ? 1? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1 n n 2 所以 ? n ? 1? ? ? 2 ? ? 2n ? 1? ? ? ? 0 即① ? 0 从而 2 f ?(1) ? 23n ? 13n

17.(上海)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分. 假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后 的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的 面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? [解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中 a1=250,d=50,则 Sn=250n+

n(n ? 1) ? 50 =25n2+225n, 2

令 25n2+225n≥4750,即 n2+9n-190≥0,而 n 是正整数, ∴n≥10. 到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, 其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400· (1.08)n-1· 0.85. 由题意可知 an>0.85 bn,有 250+(n-1)· 50>400· (1.08)n-1· 0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6.
15

到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 18. (天津卷) 已知 u n ? a n ? a n ?1b ? a n ?2 b 2 ? ? ? ab n ?1 ? b n (n ? N ? , a ? 0, b ? 0) . (Ⅰ)当 a ? b 时,求数列 ?u n ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅱ)求 lim

un . n?? u n ?1
① ②

(18)解: (Ⅰ)当 a ? b 时, u n ? (n ? 1)a n .这时数列 {u n } 的前 n 项和

S n ? 2a ? 3a 2 ? 4a 3 ? ? ? na n?1 ? (n ? 1)a n .
①式两边同乘以 a ,得 ①式减去②式,得 若 a ? 1,

aSn ? 2a 2 ? 3a 3 ? 4a 4 ? ? ? na n ? (n ? 1)a n ?1 (1 ? a) S n ? 2a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? (n ? 1)a n ?1

(1 ? a) S n ?

a(1 ? a n ) ? (n ? 1)a n ?1 ? a , 1? a

Sn ?

a (1 ? a n ) a ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 1)a n ? 2 ? (n ? 2)a n ?1 ? a 2 ? 2a ? ? 1? a (1 ? a) 2 (1 ? a) 2

若 a ? 1 , S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (n ? 1) ?

n(n ? 3) 2
un (n ? 1)a n a(n ? 1) ? lim ? lim ? a. n ? 1 n ?? u n ?? n ?? n na n ?1

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) , 当 a ? b 时, 则 lim u n ? (n ? 1)a n ,

当 a ? b 时, un ? a n ? a n ?1b ? ? ? ab n ?1 ? b n ? a n [1 ?

b b 2 b ? ( ) ? ? ? ( )n a a a

b 1 ? ( ) n ?1 1 a ?a ? (a n ?1 ? b n ?1 ) b a ?b 1? a
n

此时,

un a n ?1 ? b n ?1 ? . u n ?1 an ? bn
b a ? b( ) n a ? a. b n 1? ( ) a

u a n ?1 ? b n ?1 若 a ? b ? 0 , lim n ? lim ? lim n ?? u n ?? a n ? b n n ?? n ?1

u 若 b ? a ? 0 , lim n ?? lim n ?? u n ?? n ?1

a a( ) n ? b b ? b. a n ( ) ?1 b

19. (天津卷)若公比为 c 的等比数列{ an }的首项 a1 =1 且满足:an ? 4,…) 。 (I)求 c 的值。
16

an?1 ? an?2 ( n =3, 2

(II)求数列{ nan }的前 n 项和 S n 。 解:(1)由题设,当 n≥3时,an=c an-2,
2

an-1=can-2,an=

=

an-2,

∴c =

2

.

解得 c=1或 c=-

.

(2)当 c=1时{an}是一个常数数列,an=1.

此时 Sn=1+2+3+…+n=

.

当 c=-

时,an=(-

) (n∈N ).

n-1

*

此时 Sn=1+2(-

)+3(-

) +…+n(-

2

) . ①

n-1

-

Sn=-

+2(-

) +3(-

2

) +…+(n-1)(-

3

) +n(-

n-1

). ②

n

①-②得(1+

)Sn=1+(-

)+(-

) +…+(-

2

) -n(-

n-1

)

n

=

-n(-

).

n

17

∴Sn=

[4-(-1)

n

].

20. (浙江卷)已知实数 a,b,c 成等差数列,a+1,b+1,c+4 成等比数列,求

a,b,c.
?a ? b ? c ? 15 …… (1) ? 解:由题意,得 ?a ? c ? 2b……(2) ?(a ? 1)(c ? 4) ? (b ? 1) 2……(3) ?
将 c ? 10 ? a 代入(3),整理得 a 2 ? 13a ? 22 ? 0 解得 a ? 2 或 a ? 11 故 a ? 2 , b ? 5, c ? 8 或 a ? 11, b ? 5, c ? ?1 经验算,上述两组数符合题意。 21(浙江卷)设点 An ( xn ,0), Pn ( xn , 2n ?1 ) 和抛物线 Cn :y=x +an x+bn(n∈N*),其中 an
2

由(1)(2)两式,解得 b ? 5

=-2-4n-

1 2 n ?1

, xn 由以下方法得到:
2

x1=1,点 P2(x2,2)在抛物线 C1:y=x +a1x+b1 上,点 A1(x1,0)到 P2 的距离是 A1 到 C1 上点的最短距离, …, 点 Pn ?1 ( xn ?1 , 2n ) 在抛物线 Cn : y=x +an x+bn 上, 点 An ( xn , 0)到 Pn ?1 的距离是 An 到 Cn 上点的最短距离. (Ⅰ)求 x2 及 C1 的方程. (Ⅱ)证明{ xn }是等差数列. 解: (I)由题意,得 A1 (1, 0), C1 : y ? x 2 ? 7 x ? b1 。
2 2 设点 P( x, y ) 是 C1 上任意一点,则 | A1 P |? ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? ( x ? 7 x ? b1 )

2

2

2

2

令 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? ( x 2 ? 7 x ? b1 ) 2 , 则 f ' ( x) ? 2( x ? 1) ? 2( x 2 ? 7 x ? b1 )(2 x ? 7). 由题意,得 f ' ( x2 ) ? 0, 即 2( x2 ? 1) ? 2( x2 2 ? 7 x2 ? b1 )(2 x2 ? 7) ? 0. 又 P2 ( x2 , 2) 在 C1 上,

? 2 ? x2 2 ? 7 x2 ? b1 ,
解得 x2 ? 3, b1 ? 14. 故 C1 方程为 y ? x ? 7 x ? 14.
2

(II)设点 P( x, y ) 是 Cn 上任意一点,则 | An P |? 令

( x ? xn ) 2 ? ( x 2 ? an x ? bn ) 2
, 则

g ( x) ? ( x ? xn ) 2 ? ( x 2 ? an x ? bn ) 2

g ' ( x) ? 2( x ? xn ) ? 2( x 2 ? an x ? bn )(2 x ? an ) .
2 由题意得 g '( xn ?1 ) ? 0 ,即 2( xn ?1 ? xn ) ? 2( xn ?1 ? an xn ?1 ? bn )(2 xn ?1 ? an ) ? 0

18

又? 2n ? xn ?12 ? an xn ?1 ? bn ,

? ( xn ?1 ? xn ) ? 2n (2 xn ?1 ? an ) ? 0(n ? 1). 即 (1 ? 2n ?1 ) xn ?1 ? xn ? 2n an ? 0
下面用数学归纳法证明 xn ? 2n ? 1 ①当 n=1 时, x1 ? 1, 等式成立。 ②假设当 n=k 时,等式成立,即 xk ? 2k ? 1, 则当 n ? k ? 1 时,由(*)知 (1 ? 2k ?1 ) xk ?1 ? xk ? 2k ak ?0 又 ak ? ?2 ? 4k ? 2 k ?1 ,
1

(*)

xk ? 2k ak ? 2k ? 1. 1 ? 2k ?1 即当 n ? k ? 1 时,等式成立。 由①②知,等式对 n ? N 成立。 ?{xn } 是等差数列。 ? xk ?1 ?
22. (重庆卷)数列{an}满足 a1?1 且 8an?1?16an?1?2an?5?0 (n?1)。 记 bn ?

1 1 an ? 2

(n?1)。

(1) 求 b1、b2、b3、b4 的值; (2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前 n 项和 Sn。
解法一:

7 1 8 ? 2; a2 ? , 故b2 ? ? 1 7 1 3 8 1? ? 2 8 2 3 1 13 20 a3 ? , 故b3 ? ? 4; a4 ? , 故b4 ? . 3 1 4 20 3 ? 4 2 4 4 2 8 4 (II)因 (b1 ? )(b3 ? ) ? ? ? ( ) 2 , 3 3 3 3 3 4 2 4 2 4 4 4 (b2 ? ) ? ( ) , (b1 ? )(b3 ? ) ? (b2 ? ) 2 3 3 3 3 3 4 2 故猜想 {bn ? }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列. 3 3
(I) a1 ? 1, 故b1 ?

1

因 an ? 2 , (否则将 a n ? 2 代入递推公式会导致矛盾) 。 故an ?1 ?

5 ? 2a (n ? 1). 16 ? 8an

4 1 4 16 ? 8an 4 20 ? 16an ? ? ? ? ? 1 3 a ? 3 6an ? 3 3 6an ? 3 n ?1 2 4 2 8 20 ? 16an 4 4 2(bn ? ) ? ? ? ? bn ?1 ? , b1 ? ? 0 1 3 3 6an ? 3 3 3 an ? 2 4 故 | bn ? | 确是公比为q ? 2 的等比数列. 3
∵ bn ?1 ?

19

因b1 ?

1 n 4 4 2 4 1 ? , 故bn ? ? ? 2 n , bn ? ? 2 ? (n ? 1) 3 3 3 3 3 3

由bn ?

1 1 an ? 2

得a n bn ?

1 bn ? 1, 2

故S n ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn
1 (1 ? 2n ) 5 1 3 ? ? n ? (2n ? 5n ? 1) 1? 2 3 3

1 ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2

解法二: (Ⅰ)由 b ? n

1 1 an ? 2

得an ?

1 1 ? , 代入递推关系8an ?1an ? 16an ?1 ? 2an ? 5 ? 0, bn 2

整理得

4 6 3 4 ? ? ? 0,即bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1bn bn ?1 bn 3

8 20 由a1 ? 1, 有b1 ? 2, 所以b2 ? , b3 ? 4, b4 ? . 3 3 4 4 4 4 2 (Ⅱ)由 bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ), b1 ? ? ? 0, 3 3 3 3 3 4 2 所以 {bn ? }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列 3 3 4 1 n 1 4 故 bn ? ? ? 2 ,即bn ? ? 2n ? (n ? 1). 3 3 3 3 1 1 由 bn ? 得 anbn ? bn ? 1 1 2 an ? 2 1 (1 ? 2n ) 1 5 3 故 Sn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n ? ? n 2 1? 2 3 1 ? (2n ? 5n ? 1) 3
解法三: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ) b2 ? b1 ?

2 4 8 2 8 4 , b3 ? b2 ? , b4 ? b3 ? , ? ? ( ) 2 3 3 3 3 3 3

2 1 猜想{bn ?1 ? bn }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列, bn ?1 ? bn ? ? 2n 3 3 5 ? 2an 又因an ? 2, 故an ?1 ? (n ? 1).因此 16 ? 8an 1 1 1 2 bn ?1 ? bn ? ? ? ? 1 1 5 ? 2an 1 2an ? 1 an ?1 ? an ? ? 2 2 16 ? 8an 2

?

16 ? 8an 10 ? 8an 6 ? ? ; 6an ? 3 6an ? 3 6an ? 3
20

bn ? 2 ? bn ?1 ?

1 an? 2 ? 1 2

?

1 an?1 ? 1 2

?

16 ? 8an ?1 16 ? 8an ? 6an?1 ? 3 6an ? 3

?
因b2 ? b1 ?

36 ? 24an 16 ? 8an 20 ? 16an ? ? ? 2(bn ?1 ? bn ). 6an ? 3 6an ? 3 6an ? 3

2 1 ? 0,{bn?1 ? bn }是公比q ? 2的等比数列, bn ?1 ? bn ? ? 2n , 3 3

从而 bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1

1 ? (2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 21 ) ? 2 3 1 n 1 4 ? (2 ? 2) ? 2 ? ? 2n ? (n ? 1). 3 3 3 1 1 由bn ? 得anbn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2
故 Sn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ?

1 (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2

1 (1 ? 2n ) 5 1 ?3 ? n ? (2n ? 5n ? 1). 1? 2 3 3
23. (重庆卷)数列{an}满足 a1 ? 1且a n ?1 ? (1 ?

1 1 )an ? n (n ? 1) . n ?n 2
2

(Ⅰ)用数学归纳法证明: a n ? 2(n ? 2) ; ( Ⅱ ) 已 知 不 等 式 ln(1 ? x) ? x对x ? 0成立, 证明 : a n ? e 2 (n ? 1) , 其 中 无 理 数 e=2.71828…. (Ⅰ)证明: (1)当 n=2 时, a 2 ? 2 ? 2 ,不等式成立. (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时不等式成立,即 a k ? 2(k ? 2), 那么 a k ?1 ? (1 ?

1 1 )a k ? k ? 2 . 这就是说,当 n ? k ? 1 时不等式成立. k (k ? 1) 2

根据(1) 、 (2)可知: a k ? 2对所有n ? 2 成立. (Ⅱ)证法一: 由递推公式及(Ⅰ)的结论有 a n?1 ? (1 ? 两边取对数并利用已知不等式得 ln a n ?1

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? 2 ? n )a n .( n ? 1) n ?n 2 n ?n 2 1 1 ? ln(1 ? 2 ? ) ? ln an n ? n 2n
2

21

? ln a n ?

1 1 1 1 ? n ? n . 故 ln a n ?1 ? ln a n ? n(n ? 1) 2 n ?n 2
2

(n ? 1).

上式从 1 到 n ? 1 求和可得

ln a n ? ln a1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? 2 ? ? ? n ?1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 2 n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2. ? 1? ? ( ? ) ??? ? ? ? 1 2 2 3 n ?1 n 2 n 2n 1? 2 1?
即 ln a n ? 2, 故a n ? e 2 (Ⅱ)证法二: 由数学归纳法易证 2 ? n(n ? 1)对n ? 2 成立,故
n

(n ? 1).

a n ?1 ? (1 ?

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? an ? n(n ? 1) n(n ? 1) n ?n 2
2

(n ? 2).

令 bn ? a n ? 1

(n ? 2), 则bn ?1 ? (1 ?

1 )bn n(n ? 1)

(n ? 2).

取对数并利用已知不等式得

ln bn ?1 ? ln(1 ?

1 ) ? ln bn n(n ? 1)

? ln bn ?

1 n(n ? 1)

(n ? 2). 1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

上式从 2 到 n 求和得

ln bn ?1 ? ln b2 ?

? 1?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1. 2 2 3 n ?1 n
(n ? 2).

因 b2 ? a 2 ? 1 ? 3.故 ln bn ?1 ? 1 ? ln 3, bn ?1 ? e1?ln 3 ? 3e

2 2 2 2 故 a n ?1 ? 3e ? 1 ? e , n ? 2, 又显然a1 ? e , a 2 ? e , 故a n ? e 对一切n ? 1 成立

24.
2=3

( 江 西 卷 ) 已 知 数 列 {an} 的 前

n

项 和

Sn 满 足

Sn - Sn



1 3 (? ) n?1 (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? , 求数列{an}的通项公式. 2 2 1 1 解:方法一:先考虑偶数项有: S2 n ? S2 n ?2 ? 3 ? (? ) 2 n ?1 ? ?3 ? ( ) 2 n ?1 2 2 1 2 n ?3 1 S2 n ? 2 ? S2 n ? 4 ? 3 ? (? ) ? ?3 ? ( ) 2 n ?3 2 2
22

………

1 1 S4 ? S2 ? 2 ? (? )3 ? ?3 ? ( )3 . 2 2
1 1 1 1 1 1 1 ? S2 n ? S2 ? 3[( ) 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?3 ? ? ? ( )3 ] ? ?3[( ) 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?3 ? ? ? ( )3 ? ] 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 n ? ( ) 1 1 1 1 ? ?3 ? 2 2 4 ? ?4[ ? ? ( ) n ] ? ?2 ? ( ) 2 n ?1 ( n ? 1). 1 2 2 4 2 1? 4
同理考虑奇数项有: S2 n ?1 ? S2 n ?1 ? 3(? ) 2 n ? 3 ? ( ) 2 n .

S2 n?1 ? S2 n?3
………

1 1 2 2 1 2 n?2 1 ? 3 ? (? ) ? 3 ? ( )2 n?2 2 2

1 1 S 3 ? S1 ? 3 ? ( ? ) 2 ? 3 ? ( ) 2 . 2 2
1 1 1 1 ? S 2 n ?1 ? S1 ? 3[( ) 2 n ? ( ) 2 n ? 2 ? ? ? ( ) 2 ] ? 2 ? ( ) 2 n ( n ? 1). 2 2 2 2 1 1 1 ? a2 n ?1 ? S2 n ?1 ? S2 n ? 2 ? ( ) 2 n ? (?2 ? ( ) 2 n ?1 ) ? 4 ? 3 ? ( ) 2 n ( n ? 1). 2 2 2 1 1 1 a2 n ? S2 n ? S2 n ?1 ? ?2 ? ( ) 2 n ? (2 ? ( ) 2 n ?1 ) ? ?4 ? 3 ? ( ) 2 n ?1 ( n ? 1). 2 2 2 a1 ? S1 ? 1.

1 ? 4 ? 3 ? ( ) n ?1 , n为奇数, ? ? 2 综合可得 a n ? ? ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数. ? 2 ?
方法二:因为 S n ? S n?2 ? an ? an?1所以an ? an?1 ? 3 ? (? ) n?1 (n ? 3), 两边同乘以 (?1) ,可得:
n

1 2

1 1 (?1) n a n ? (?1) n ? 1 a n ? 1 ? 3 ? (?1) n ? (? ) n ? 1 ? ?3 ? ( ) n ? 1 . 2 2
令 bn ? (?1) n a n ,? bn ? bn ?1 ? ?3 ? (? ) n ?1 (n ? 3). 所以 bn ? bn ?1 ? ?3 ? (? ) n ?1 ,

1 2

1 2

1 bn?1 ? bn?2 ? ?3 ? (? ) n?2 , 2
………

1 b3 ? b2 ? ?3 ? (? )2 , 2
23

1 1 1 n?2 ? ?( ) 1 n?1 1 n?2 1 2 ? bn ? b2 ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? b2 ? 3 ? 4 4 2 1 2 2 2 1? 2 3 1 ? b2 ? ? 3 ? ( ) n ?1 (n ? 3). 2 2 3 5 又? a1 ? S1 ? 1, a2 ? S2 ? S1 ? ? ? 1 ? ? , 2 2 5 ? b1 ? (?1)1 a1 ? ?1, b2 ? (?1) 2 a2 ? ? 2 5 3 1 n?1 1 n?1 ∴ bn ? ? ? ? 3 ? ( ) ? ?4 ? 3 ? ( ) (n ? 1) 2 2 2 2 1 ∴ an ? (?1)n bn ? ?4(?1) n ? 3 ? (?1) n ? ( ) n ?1 2
1 ? 4 ? 3 ? ( ) n ?3 , n为奇数, ? ? 2 ?? ??4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数. ? ? 2
25. (江西卷) 已知数列 {a n }的各项都是正数, 且满足 : a0 ? 1, an ?1 ? (1)证明 an ? an ?1 ? 2, n ? N ; (2)求数列 {a n } 的通项公式 an. 解: (1)方法一 用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时, a0 ? 1, a1 ?

1 an , (4 ? an ), n ? N . 2

∴ a0 ? a1 ? 2 ,命题正确.

1 3 a0 (4 ? a0 ) ? , 2 2

2°假设 n=k 时有 a k ?1 ? a k ? 2. 则 n ? k ? 1时, ak ? ak ?1 ?

1 1 ak ?1 (4 ? ak ?1 ) ? ak (4 ? ak ) 2 2

1 ? 2(ak ?1 ? ak ) ? (ak ? 1? ak )(ak ? 1 ? ak ) 2 1 ? (ak ?1 ? ak )(4 ? ak ?1 ? ak ). 2 4 ? ak ?1 ? ak ? 0, ? ak ? ak ?1 ? 0. 而 ak ?1 ? ak ? 0. 1 1 又 ak ?1 ? ak (4 ? ak ) ? [4 ? (ak ? 2) 2 ] ? 2. 2 2 ∴ n ? k ? 1 时命题正确. 由 1°、2°知,对一切 n∈N 时有 a n ? a n ?1 ? 2.
方法二:用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时, a0 ? 1, a1 ? 2°假设 n=k 时有 a k ?1

1 3 a0 (4 ? a0 ) ? , ∴ 0 ? a0 ? a1 ? 2 ; 2 2 ? ak ? 2 成立,
24

1 x(4 ? x) , f ( x) 在[0,2]上单调递增,所以由假设 2 1 1 1 有: f (a k ?1 ) ? f (a k ) ? f (2), 即 a k ?1 (4 ? a k ?1 ) ? a k (4 ? a k ) ? ? 2 ? (4 ? 2), 2 2 2 也即当 n=k+1 时 a k ? a k ?1 ? 2 成立,所以对一切 n ? N , 有a k ? a k ?1 ? 2 1 1 (2)下面来求数列的通项: a n ?1 ? a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 所以 2 2 2 2(a n ?1 ? 2) ? ?(a n ? 2) 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1? 2??? 2 2 2 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn (? bn?2 ) ? ? ? ( ) 2 bn bn ?1 ? ? ?1 ? ? ? ?( ) 2 2 2 2 2 2
令 f ( x) ?
2 n ?1

n

, 又 bn=-1,所以 bn ? ?( ) 2

1 2

n

?1

1 n ,即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 2

25



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