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【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习 第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算课件



第四章

平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算

基础盘查一

向量的有关概念

(一)循纲忆知

1.了解向量的实际背景;

2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义; 3.理解向量的几何表示.

/> (二)小题查验
1.判断正误 ??? ? ??? ? (1)向量 AB 与向量 BA 是相等向量
(2)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小

( × )
( √ )

(3)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量 ( × )

(4)|a|与|b|是否相等与 a,b 的方向无关

( √ )

2.(人教 A 版教材例题改编)如图,设 O 是 正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出 ??? ? ??? ? ??? ? 图中与 OA, OB , OC 相等的向量. ??? ? ??? ? ???? 解: OA= CB = DO ; ??? ? ???? ???? OB = DC = EO ; ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? OC = AB = ED = FO .

基础盘查二
(一)循纲忆知

向量的线性运算

1.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;
2.掌握向量数乘的运算及其几何意义;

3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)两个向量的差仍是一个向量 ??? ? ??? ? ??? ? (2) BA = OA- OB ( √ )

( √ )

(3)向量 a-b 与 b-a 是相反向量
(4)两个向量相加就是两个向量的模相加

(√ )
( ×)

2.(人教 A 版教材习题改编)化简: ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? AB (1)( AB + MB )+ BO + OM =_____.

???? ??? ? ???? ? ???? 0 (2) NQ + QP + MN - MP =__.

基础盘查三
(一)循纲忆知

共线向量定理

理解两个向量共线的含义,掌握向量的共线定理及应用.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)若向量 a,b 共线,则向量 a,b 的方向相同 ( ×)

(2)若 a∥b,b∥c,则 a∥c (× ) ??? ? ??? ? (3)向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条
直线上 ( ×)

(4)当两个非零向量 a,b 共线时,一定有 b=λa,反之成立( √ )

2.已知 a 与 b 是两个不共线的向量,且向量 a+λb 与-(b-3a) 1 - 3 共线,则 λ=____.

考点一

向量的有关概念 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
(1)向量: 既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做

向量的模. (2)零向量: 长度为 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量: 长度等于 1 个单位的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,
规定:0 与任一向量共线.
(5)相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量: 长度相等且方向相反的向量.

[题组练透]
1.给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;

??? ? ???? ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC 是四边形 ABCD
①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同 为平行四边形的充要条件;
???? ???? ???? ???? ???? ???? AB DC ②正确.∵ = ,∴| a |= | DC |且 AB ∥ DC , ③若 a=bAB ,b = c,则 = c; 又 A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; ④ a=b 的充要条件是 |a|=|b|且 a∥b; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形, ???? ∵a ???? ???? ???? ???? ???? ③正确. = b , ∴ a , b 的长度相等且方向相同, ⑤若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c . 则 AB ∥ DC 且| AB |=| DC |,因此, AB = DC . 又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同, ④不正确.当a∥b且方向相反时,既使|a|=|b|,也不能得到a=b,故 ∴a其中正确命题的序号是 ,c的长度相等且方向相同,故a=c. |a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件. ⑤不正确.考虑b=0这种特殊情况. A.②③ B.①② .故选 CA. .③④ D.④⑤ 综上所述,正确命题的序号是②③

(

)

2.设 a0 为单位向量,下列命题中:①若 a 为平面内的某个向量,
向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方 则 a=|a|· a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且 向不一定相同,故①是假命题

|a |=1,则 a=a0与 .假命题的个数是 ( 若a与a 平行,则a a 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反
向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
0 0

)

A. 0 C. 2

B. 1 D. 3

[类题通法]

平面向量有关概念的核心 (1)向量定义的核心是方向和长度.
(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反, 长度没有限制.
(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的核心是方向没有限制,但长度都是一个单位 长度. (5)零向量的核心是方向没有限制, 长度是 0, 规定零向量与 任何向量共线.

考点二

向量的线性运算 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
1.向量的加法
定义: 求两个向量和的运算.

运算法则(几何意义): 如图

运算律: (1)交换律:a+b=b+a;

(2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c).

2.向量的减法
定义:向量 a 加上向量 b 的相反向量,叫做 a 与 b 的差,即

a+(-b)=a-b.求两个向量差的运算叫做向量的减法.
运算法则(几何意义): 如图

3.向量的数乘
定义:实数 λ 与向量 a 的积运算,即 λa.

运算法则(几何意义): 如图,λa 的长度与方向规定如下:

(1)|λa|=|λ|· |a|.
(2)当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同; 当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反; 当 λ=0 时,λa=0. 运算律:λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb.

[提醒]

(1)实数和向量可以求积,但不能求和或求差;

(2)λ=0 或 a=0?λa=0.

[典题例析]
1.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC, ??? ? ??? ? CA,AB 的中点,则 EB + FC = ( )

???? A. AD

1 ???? B.2 AD

??? ? C. BC

? 1 ??? D.2 BC

??? ? ??? ? ??? ? ???? ? 1 ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ??? 解析: EB + FC = ( AB + CB )+ ( AC + BC )= ( AB + AC ) 2 2 2

???? = AD ,故选 A.

2.(2013· 江苏高考)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD

???? ??? ? ???? 1 2 =2AB,BE=3BC.若 DE =λ1 AB +λ2 AC (λ1,λ2 为实数),则 λ1

1 2 . +λ2 的值为___

???? ??? ? ???? 1 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ???? ? 1 ??? 解析: DE = DB + DE =2 AB +3 BC =2 AB +3( BA + AC )
? 2 ???? 1 ??? 1 2 1 =-6 AB +3 AC ,所以 λ1=-6,λ2=3,即 λ1+λ2=2.

[类题通法]

1.向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起 点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾 相连向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知 向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.

2.两个结论

??? ? 1 ??? ? ??? ? (1)P 为线段 AB 的中点? OP = ( OA+ OB ); 2

??? ? ??? ? ??? ? (2)G 为△ABC 的重心?GA+GB +GC =0.

[演练冲关]

??? ? ??? ? ???? 1. (2015· 聊城二模)在△ABC 中,AB =c,AC =b.若点 D 满足 BD ???? ???? =2 DC ,则 AD = ( )
2 1 A.3b+3c 2 1 C.3b-3c 5 2 B.3c-3b

1 2 D.3b+3c ???? ??? ? ??? ? ??? ? 2 解析:如图,可知 AD = AB + BD = AB +3
? ???? ??? 2 2 1 ( AC - AB )=c+3(b-c)=3b+3c.故选 A.

???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 2.若典例 2 条件变为:若 AD =2 DB , CD =3 CA+λ CB ,则 λ 2 =____. 3 ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? 解析:∵ CD = CA+ AD , CD = CB + BD , ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ∴2 CD = CA+ CB + AD + BD .
???? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? 又∵ AD =2 DB ,∴2CD = CA+ CB + AB 3

??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 2 ??? ? 4 ??? ? = CA+ CB + ( CB - CA)= CA+ CB . 3 3 3

??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? 2 ∴ CD = CA+ CB ,即 λ= . 3 3 3

考点三

共线向量定理的应用 (题点多变型考点——全面发掘)

[必备知识]
共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一的一个实数 λ, 使得 b =λa.
[提醒] 限定 a≠0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性.

[一题多变]
[典型母题]

??? ? ??? ? 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线.如果 AB =e1+e2, BC =2e1 ???? -3e2, AF =3e1-ke2,且 A,C,F 三点共线,求 k 的值.

??? ? ??? ? [解] ∵ AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, ? ??? ???? ??? ? ∴ AC = AB + BC =3e1-2e2.

∵A,C,F 三点共线, ???? ???? ???? ???? ∴ AC ∥ AF ,从而存在实数 λ,使得 AC =λ AF . ∴3e1-2e2=3λe1-λke2, 又 e1,e2 是不共线的非零向量,
? ?3=3λ, ∴? ? ?-2=-λk,

因此 k=2.∴实数 k 的值为 2.

??? ? [题点发散 1] 在本例条件设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. 如果 AB = ??? ? ???? e1+e2,BC =2e1-3e2,AF =3e1-ke2,且 A,C,F 三点共线下,
试确定实数 k,使 ke1+e2 与 e1+ke2 共线.

解:∵ke1+e2 与 e1+ke2 共线, ∴存在实数 λ,使 ke1+e2=λ(e1+ke2), 即 ke1+e2=λe1+λke2,
? ?k=λ, ∴? ? ?1=λk,

解得 k=± 1.

??? ? [题点发散 2] 在本例条件设两个非零向量 e1 和 e2 不共线下, 如果 AB ??? ? ??? ? =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2,求证:A,C,D
三点共线.

??? ? ??? ? 证明:∵ AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, ? ??? ???? ??? ? ??? ? ∴ AC = AB + BC =4e1+e2,又 CD =-8e1-2e2, ??? ? ???? ???? ??? ? ∴ CD =-2 AC ,∴ AC 与 CD 共线. ???? ??? ? 又∵ AC 与 CD 有公共点 C,∴A,C,D 三点共线.

[类题通法]

1.共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共 线求参数的值.

(2)若 a,b 不共线,则 λa+μb=0 的充要条件是 λ=μ=0, 这一结论结合待定系数法应用非常广泛. 2.证明三点共线的方法 ??? ? ???? 若 AB =λ AC ,则 A,B,C 三点共线.



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