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梯形与重心(1)



梯形与重心

知识点六:四边形的分类
要点诠释:

知识点七:线段、三角形、平行四边形的重心
要点诠释: 1、线段的中点是线段的重心;三角形三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重 心;平行四边形 对角线的交点是平行四边形的重心。 2、三角形重心的性质:三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2 倍。

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三、规律方法指导
知识点回顾: 1、几种特殊梯形的定义、性质、判定方法和面积公式: 类别 定义 一组对边平行而 梯形 另一组对边不平 行的四边形 性质 中位线平行于两底且 等于两底和的一半 1. 两腰相等; 2. 同一底上的两角 等腰梯 形 两腰相等的梯形 相等; 3. 两条对角线相等 4. 等腰梯形是轴对 称图形 直角梯 形 一腰垂直于底的 梯形 具有梯形的一切性质 根据定义判定 1. 根据定义判定; 两底之和与高的 乘积的一半或中 判定 面积公式

根据定义判定

2. 同底两角相等的梯形。 位线与高的乘积

2.梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究,一 些常用的辅助线做法是: 方法 作法 过一顶点作一腰的平行 线 平移一腰 平 移 过一腰中点作另一腰的 平行线 构造出一个平行四边形和一 对全等的三角形 构造出平行四边形和一个面 积与梯形相等的三角形 构造出一个矩形和两个直角 三角形;特别对于等腰梯形, 两个直角三角形全等 图形 目的 分解成一个平行四边形和一 个三角形

平移对角线

过一顶点作一条对角线 的平行线

作高

过一底边的端点作另一 底边的垂线

延长两腰 延 长

延长梯形的两腰使其交 于一点

构成两个形状相同的三角形

延长顶点和一 连接一顶点和一腰的中 腰中点的连线 点并延长与底边相交

构造一对全等的三角形, 将梯 形作等积变换

类型一:梯形中的辅助线
1、 (平移一腰)已知等腰梯形的锐角等于 求它的腰长 ,它的两底分别是 和 ,

思 路 点 拨 : 已 知 : 如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 , . 求:AB 的长. 解析:过点 A 作 交 BC 于 E,





∵四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴AD∥BC 又∵ ,

∴四边形 AECD 是平行四边形. ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 总结升华: 在用平移线段的方法作梯形的辅助线时, 无论是平移一腰还是平移一条对角 线,都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决; 举一反三: 【变式 1】 (平移对角线)已知梯形 ABCD 的面积是 32,两底与高的和为 16,如果其中 一条对角线与两底垂直,则另一条对角线长为_____________ 【答案】梯形 ABCD 中,AD∥BC,BD⊥BC.设 AD=x,BC=y,DB=z, 由题得:x+y+z=16, 是等边三角形. ,

, (熟记梯形面积公式) 解得 x+y=8,z=8, 过 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于 E. ∴四边形 ADEC 是平行四边形, (注意这种辅助线的作法很常用) ∴DE=AC,AD=CE. (将“上底+下底”转化到一条线段上) 在 Rt△DBE 中,∠DBE=90°,BE=BC+CE=x+y=8,BD=8, 根据勾股定理得 ∵AC=DE, . 【变式 2】 (过顶点作高) 已知 AB=BC, AB∥CD, ∠D=90°, AE⊥BC. 求证: CD=CE. 【答案】分析:这是一个直角梯形,通过作 CF⊥AB,可以将梯形分成矩形和直角三角 形,结合直角梯形的性质,利用两次全等,达到证明 CD=CE 的目的. 证明:如图,连结 AC,过 C 作 CF⊥AB 于 F. 在△CFB 和△AEB 中, (这是直角梯形中常见的辅助线) ,

∴△CFB≌△AEB(AAS) ∴CF=AE. ∵∠D=90°,CF⊥AB 且 AB∥CD, ∴AFCD 是矩形 ∴AD=CF, ∴AD=AE. 在 Rt△ADC 和 Rt△AEC 中,

∴Rt△ADC≌Rt△AEC(HL) ∴CD=CE.

【变式 3】 (延长两腰)如图,在梯形 为 、 的中点。

中,







求证: 【答案】如图,延长 ∵ , 相交于 点,连结 , .

∵ ∴ ∵ ∴ ∴





、 , ∴

的中点,∴









三点共线

【变式 4】 (过一腰中点作底边平行线——构造中位线)已知梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∠ABC 的平分线过 CD 的中点 E.

求证:AD+BC=AB. 【答案】证明:过 E 作 EF∥BC 交 AB 于 F,则 EF∥BC∥AD, ∵E 是 CD 的中点 ∴EF 为梯形 ABCD 的中位线,∠2=∠3 ∴AD+BC=2EF,AF=FB ∵∠1=∠2, ∴∠1=∠3,则 BF=EF. ∴BF=EF=AF ∴2EF=BF+AF=AB ∵AD+BC=2EF ∴AD+BC=AB. 【变式 5】如图,E 是梯形 ABCD 中腰 DC 上的中点,

【答案】证明:过 E 作 MN∥AB 交 BC 于 N,交 AD 的延长线于 M,则四边形 ABNM 是平行四边形. ∵△ABE 与□ABNM 同底同高,

∵∠1=∠C,∠M=∠2,DE=CE, ∴△EMD≌△ENC.

∴S□ABNM=S 梯形 ABCD

类型二:不添加辅助线(多数与全等、面积、梯形中位线有关系)
1、已知:如图,四边形 ABCD 为矩形,四边形 ABDE 为等腰梯形, 。

求证:

思路点拨:要证 而

,则考虑这两个三角形中对应边、对应角的相等关系。 ,且 ,则问题得证,

本题要证对应的角相等也并不困难。 解析:∵四边形 ABCD 为矩形, ∴ ∵四边形 ABDE 为等腰梯形,且 ∴ 在 又 ∴ 和 , 中, , 为其对角线,

举一反三: 【变式 1】如图,已知:在梯形 ABCD 中, 求证: . ,AC、BD 相交于点 O.

【答案】∵



∴A、D 两点到 BC 的距离相等. 即 ∴ ∴ ∴ 说明 本题中,我们也可以用 和 的面积相等,推出 和 的 中 BC 边上的高与 (等底等高). 中 BC 边上的高相等.

面积相等,等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时,起关键作用. 【变式 2】如图,把边长为 2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角 三角形拼成符合下列要求的图形(全部用上,互不重叠且不留空隙) ,并把你的拼法画出来: (1)不是正方形的菱形一个; (2)不是正方形的矩形一个; (3)梯形两个; (4)不是 矩形、菱形的平行四边形一个; (5)不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。

【答案】

【变式 3】如图,已知:AD 是

的平分线,





.

(1)求证:四边形 ADCE 是等腰梯形. (2) 若 的周长为 , 求四边形 ADCE 的周长.

【答案】 证明: (1)∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ (等角对等边) (已知) , (两直线平行,内错角相等) (角平分线定义) ,

∵ ∴ 即 ∴ 又∵ ∴ ∴ 而

(已知)

(等边对等角) (对顶角相等)

(内错角相等,两直线平行)

∴ 四边形 ADCE 是梯形 又∵ ∴ ∴ (全等三角形的对应边相等).

∴ 四边形 ADCE 是等腰梯形 解答: (2)∵四边形 ADCE 是等腰梯形 ∴ ∴ 梯形 ADCE 的周长 而 ∴ ∵ ∴ 即 ∴ 梯形 ADCE 的周长 说明: 等腰梯形的判定, 一般是先判定一个四边形是梯形, 然后再由 “两腰相等” 或 “同 一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形,要判定一个四边形是梯形时,判定一组对边不 平行常常有困难,所以可用判定平行的两边不相等的方法来解决. 的周长



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