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高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第5讲



第八章
A组
一、选择题

第五讲
基础巩固

x2 y2 1.“2<m<6”是“方程 + =1 表示椭圆”的 ( m-2 6-m A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B x2 y2 [解析] 若 + =1 表示椭圆. m-2 6-m m-2>0, ? ? 则有?6-m>0, ? ?m-2≠6-m,

r />
)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

∴2<m<6 且 m≠4.

x2 y2 故“2<m<6”是“ + =1 表示椭圆”的必要不充分条件. m-2 6-m 2.若椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的两倍.则 m 的值为 ( 1 A. 4 C .2 [答案] A y2 [解析] 将原方程变形为 x2+ =1. 1 m 1 由题意知 a2= ,b2=1,∴a= m ∴ 1 1 =2,∴m= . m 4 1 ,b=1. m 1 B. 2 D.4 )

x2 y2 3.如图,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),其中左焦点为 F(- a b 2 5,0),P 为 C 上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆 C 的方 程为 ( ) x2 y2 B. + =1 36 16 x2 y2 D. + =1 45 25 x2 y2 A. + =1 25 5 x2 y2 C. + =1 30 10 [答案] B [解析] 设椭圆的焦距为 2c,右焦点为 F1,连接 PF1,如图所示.

-1-

由 F(-2 5,0),得 c=2 5. 由|OP|=|OF|=|OF1|,知 PF1⊥PF. 在 Rt△PF1F 中,由勾股定理,得 |PF1|= |F1F|2-|PF|2= ? 4 5?2-42=8. 由椭圆定义,得|PF1|+|PF|=2a=4+8=12,从而 a=6,得 a2=36,于是 b2=a2-c2=36 -(2 5)2=16, x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 36 16 4.如图,已知 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点 M、N,若过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为 ( A. 3-1 C. 2 2 B.2- 3 D. 3 2 )

[答案] A [解析] 因为过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线, 所以可得∠F1MF2=90° , |MF2|=c.因为|F1F2| c =2c,所以可得|MF1|= 3c.由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a,可得离心率 e= = a 2 = 3-1. 1+ 3 x2 y2 5.椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF2 的中点在 y 轴上,那 12 3 么|PF2|是|PF1|的 ( A.7 倍 C .4 倍 [答案] A [解析] 设线段 PF2 的中点为 D, 1 则|OD|= |PF1|,OD∥PF1,OD⊥x 轴, 2 b2 3 3 ∴PF1⊥x 轴.∴|PF1|= = = . a 2 3 2 ) B.5 倍 D.3 倍

-2-

又∵|PF1|+|PF2|=4 3,∴|PF2|=4 3- ∴|PF2|是|PF1|的 7 倍.

3 7 3 = . 2 2

x2 y2 6.设 F1、F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,若线 a b 段 PF1 的中点在 y 轴上,∠PF1F2=30° ,则椭圆的离心率为 ( A. 3 3 B. 3 6 )

1 C. 3 [答案] A

1 D. 6

[解析] 如图,设 PF1 的中点为 M,连接 PF2. 因为 O 为 F1F2 的中点,所以 OM 为△PF1F2 的中位线. 所以 OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90° . 因为∠PF1F2=30° ,所以|PF1|=2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2|= |PF1|2-|PF2|2= 3|PF2|, 由椭圆定义得 2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|? a= c 3|PF2| 2 3 则 e= = · = .故选 A. a 2 3|PF2| 3 3|PF2| 3|PF2| ,2c=|F1F2|= 3|PF2|? c= , 2 2

二、填空题 sinA+sinC x2 y2 7.已知△ABC 的顶点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆 + =1 上,则 = 25 9 sinB _________. [答案] 5 4

sinA+sinC |BC|+|AB| 2a [解析] 由题意知,A,C 为椭圆的两焦点,由正弦定理,得 = = = sinB |AC| 2c a 5 = . c 4 8.已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相 切,和圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________________. [答案] x2 y2 + =1 64 48

[解析] 设圆 M 的半径为 r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16, x2 y2 ∴M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆,且 2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为 + = 64 48 1.
-3-

5 9. 已知 AB 是圆心 C: (x+2)2+(y-1)2= 的一条直径, 若椭圆 x2+4y2=4b2(b∈R)经过 A、 2 B 两点,则该椭圆的方程是___________. [答案] x2 y2 + =1 12 3

[解析] 解法一:由已知,椭圆的方程为 x2+4y2=4b2.(1) 依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 不与 x 轴垂直,设其直 线方程为 y=k(x+2)+1,代入(1)得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 8k? 2 k+1? 4? 2 k+1?2-4b2 x1+x2=- ,x1· x2= , 2 1+4k 1+4k2 8k? 2 k+1? 1 由 x1+x2=-4,得- =-4,解得 k= . 2 1+4k2 从而 x1x2=8-2b2. 于是|AB|= 1 5 1+? ?2|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2= 10?b2-2?. 2 2

由|AB|= 10,得 10?b2-2?= 10,解得 b2=3. x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 12 3 解法二:由已知,椭圆的方程为 x2+4y2=4b2.(2) 依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且|AB|= 10.
2 2 2 2 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x2 1+4y1=4b ,x2+4y2=4b ,

两式相减并结合 x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0. 易知,AB 不与 x 轴垂直,则 x1≠x2,所以 AB 的斜率 kAB= y1-y2 1 = . x1-x2 2

1 因此 AB 直线方程为 y= (x+2)+1,代入(2)得 x2+4x+8-2b2=0.所以 x1+x2=-4,x1x2 2 =8-2b2. 于是|AB|= 1 5 1+? ?2|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2= 10?b2-2?. 2 2

由|AB|= 10,得 10?b2-2?= 10,解得 b2=3. x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 12 3 x2 y2 b 10.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭圆上,则椭 a b c 圆的离心率是____________________.

-4-

[答案]

2 2

b [解析] 设左焦点为 F1, 由 F 关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭圆上, 得|OQ|=|OF|, 又|OF1| c =|OF|,所以 F1Q⊥QF,不妨设|QF1|=ck,则|QF|=bk,|F1F|=ak,因此 2c=ak.又 2a=ck+ 2c 2a c a 2 bk,由以上二式可得 =k= ,即 = ,即 a2=c2+bc,所以 b=c,e= . a a b+c 2 b+c

三、解答题 x2 y2 2 11.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,点(2, 2)在 C 上. a b 2 (1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A、B,线段 AB 的中点为 M. 证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. x2 y2 [答案] (1) + =1 8 4 [解析] (1)由题意有 (2)略 a2-b2 2 4 2 = , 2+ 2=1, a 2 a b

x2 y2 解得 a2=8,b2=4.所以 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). x2 y2 将 y=kx+b 代入 + =1 得 8 4 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. x1+x2 -2kb b 故 xM= = 2 ,yM=k· xM+b= 2 . 2 2k +1 2k +1 yM 1 1 于是直线 OM 的斜率 kOM= =- ,即 kOM· k=- . xM 2k 2 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 12. 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O, 焦点在 x 轴上, 左、 右焦点分别为 F1 和 F2, 且|F1F2| 3 =2,点(1, )在该椭圆上. 2 (1)求椭圆 C 的方程; 12 2 (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,若△AF2B 的面积为 ,求以 F2 为圆心 7 且与直线 l 相切的圆的方程. x2 y2 [答案] (1) + =1 4 3 (2)(x-1)2+y2=2

-5-

[解析] (1)由题意知 c=1,2a= y2 + =1. 3

3 ? ?2+ 2

3 x2 ? ?2+22=4, a=2, 故椭圆 C 的方程为 2 4

3 3 (2)①当直线 l⊥x 轴时,可取 A(-1,- ),B(-1, ),△AF2B 的面积为 3,不符合题意. 2 2 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),代入椭圆方程得(3+4k2)x2+ 8k2x+4k2-12=0, 显然 Δ>0 成立,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4k2-12 8k2 则 x1+x2=- , 2,x1x2= 3+4k 3+4k2 12?k2+1? 2|k| 可得|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2= ,又圆 F2 的半径 r= , 3+4k2 1+k2 12|k| k2+1 12 2 1 ∴△AF2B 的面积为 |AB|· r= = , 2 7 3+4k2 代简得:17k4+k2-18=0,得 k=± 1, ∴r= 2,圆的方程为(x-1)2+y2=2.

B组

能力提升

x2 y2 1.(改编题)点 P 在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上,F1、F2 是椭圆的两个焦点,∠F1PF2=90° , a b 且△F1PF2 的三条边长成等差数列,则此椭圆的离心率是 ( 5 A. 7 4 C. 5 [答案] A [解析] 设|PF1|=m<|PF2|,则由椭圆的定义可得|PF2|=2a-|PF1|=2a-m,而|F1F2|=2c. 因为△F1PF2 的三条边长成等差数列,所以 2|PF2|=|PF1|+|F1F2|,即 m+2c=2(2a-m),解得 1 1 1 1 m= (4a-2c),即|PF1|= (4a-2c),所以|PF2|=2a- (4a-2c)= (2a+2c).又∠F1PF2=90° , 3 3 3 3 1 1 所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,即[ (4a-2c)]2+[ (2a+2c)]2=(2c)2,整理得 5a2-2ac-7c2=0, 3 3 7 c 5 解得 a= c 或 a=-c(舍去).故 e= = . 5 a 7 x2 → → → 2.F1、F2 分别是椭圆 +y2=1 的左、右焦点,若椭圆上存在一点 P,使(OP+OF2)· PF2= 4 0(O 为坐标原点),则△F1PF2 的面积是 ( A.4 C .2 ) B.3 D.1
-6-

)

5 B. 6 3 D. 5

[答案] D → → → → → → → → [解析] 因为(OP+OF2)· PF2=(OP+F1O)· PF2=F1P· PF2=0,所以 PF1⊥PF2,∠F1PF2= 1 90° .设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,所以 S△F1PF2= mn=1,故选 2 D. x2 y2 3.一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程 16 4 为____________________. 3 25 [答案] (x- )2+y2= 2 4 [解析] 由题意知,圆过椭圆的三个顶点(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0),其中 a

3 3 25 >0,由 4-a= a2+4,解得 a= ,所以该圆的标准方程为(x- )2+y2= . 2 2 4 x2 4.已知椭圆 C: +y2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,O 为坐标原点. 2

(1)如图(1),点 M 为椭圆 C 上的一点,N 是 MF1 的中点,且 NF2⊥MF1,求点 M 到 y 轴的 距离; (2)如图(2),直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点,若在椭圆 C 上存在点 R,使 得四边形 OPRQ 为平行四边形,求实数 m 的取值范围. 1 1 [答案] (1)2 2-2 (2)(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2 [解析] (1)由题意知,F1(-1,0),F2(1,0). x0-1 y0 设 M(x0,y0),因为 N 为 MF1 的中点,所以 N( , ), 2 2 3-x0 y0 → → 所以MF1=(-1-x0,-y0),NF2=( ,- ). 2 2 → → 因为 MF1⊥NF2,所以MF1· NF2=0, 3-x0 y0 即(-1-x0,-y0)· ( ,- )=0, 2 2
2 所以 x2 0-2x0-3+y0=0.① 2 x0 又 +y2 0=1,② 2

所以由①②解得 x0=2-2 2(x0=2+2 2舍去).

-7-

所以点 M 到 y 轴的距离为 2 2-2. (2)依题意设 P(x1,y1),Q(x2,y2),R(xR,yR). 因为四边形 OPRQ 为平行四边形,所以 x1+x2=xR,y1+y2=yR. ?x1+x2?2 因为点 R 在椭圆上,所以 +(y1+y2)2=1, 2 即 ?x1+x2?2 +[k(x1+x2)+2m]2=1, 2

化简得(1+2k2)(x1+x2)2+8km(x1+x2)+8m2=2.③ x ? ? 2 +y2=1, 由? 消去 y 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. ? ?y=kx+m, 由 Δ>0,得 2k2+1>m2,④ 16? 1 +2k2?k2m2 32k2m2 4km 而 x1+x2=- ,代入③,得 - +8m2=2,化简得 4m2=1+ 1+2k2 ?1 +2k2?2 1+2k2 2k2,代入④,得 m≠0. 1 1 又 4m2=1+2k2≥1,所以 m≤- 或 m≥ . 2 2 1 1 故实数 m 的取值范围是(-∞,- ]∪[ ,+∞). 2 2 x2 y2 4 5.(原创题)如图所示,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,上顶点为(0,3),过 a b 5 椭圆 C 的左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点, 左顶点为 D, 直线 AD、 BD 分别与直线 m: x=-7 相交于 M、N 两点.
2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 S△ABD 的最大值. S△MND 1 (2) 4

x2 y2 [答案] (1) + =1 25 9

c 4 4 4 [解析] (1)由题知,椭圆 C 的上顶点为(0,3),故 b=3, = ,即 c= a,所以 a2=32+( a 5 5 5 x2 y2 a)2,解得 a=5,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 25 9 x2 y2 (2)由(1)知椭圆方程为 + =1,故 D(-5,0),F(-4,0),当直线 l 垂直于 x 轴时,△ABD 25 9

-8-

S△ABD |DF| 2 1 与△MND 相似,所以 =( ) = .当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x 2 4 S△MND x2 y2 +4),设 M(-7,yM),N(-7,yN),A(x1,y1),B(x2,y2),将 y=k(x+4)代入 + =1 整理得 25 9 (9+25k2)x2+200k2x+400k2-225=0,故 x1+x2= -200k2 400k2-225 S△ABD x2= ,所以 = 2,x1· 9+25k 9+25k2 S△MND

1 · |AD|· |BD|· sin∠ADB 2 5+x1 5+x2 x1x2+5?x1+x2?+25 |AD| |BD| = · = × = = 1 |MD| |ND| 2 2 4 · |MD|· |ND|· sin∠MDN 2 400k2-225 -200k2 +25 2 +5× 9+25k 9+25k2 25k2 = = 4 4? 9 +25k2? S△ABD 25 1 1 < .综上所述, 的最大值是 . 9 4 4 S△MND 4? 2+25? k

-9-



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