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ch10-2空间直角坐标系与向量代数


§10.2 空间直角坐标系与向量代数
? 空间直角坐标系 ? 向量沿坐标轴的分解 ? 向量代数

一、空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z

竖轴

z 轴, 即以右手握住 当右手的四个手指
? 从正向 x 轴以 角 2 度转向正向 y 轴
时,大拇指的指向 就是z 轴的正向.

定点 o

?

y 纵轴

横轴 x
空间直角坐标系



z

yoz面


zox 面


xoy面
Ⅶ Ⅷ

o

y
Ⅵ Ⅴ



x

空间直角坐标系共有八个卦限

?? 有序数组 ( x , y , z ) 空间的点 ??
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R,
坐标面上的点 A, B , C , z
R(0,0, z )

1? ?1

O ( 0, 0, 0 )
B(0, y , z )
?

C ( x , o, z )

M ( x, y, z )

o

Q(0, y ,0)

y

x

P ( x ,0,0)

A( x , y ,0)

一些特殊点的坐标特点
坐标面及坐标轴上点的 特征:

z

xOy 面:z ? 0, yOz 面:x ? 0, zOx 面:y ? 0,

x 轴:y ? z ? 0, y 轴:x ? z ? 0, z 轴:x ? y ? 0.
x

O

y

原点: x ? y ? z ? 0.
对称点的坐标:点 M ( x , y , z ),

关于 xoy 面: ( x, y,? z ), 关于 yoz 面: (? x, y, z ), 关于 zox 面: ( x,? y, z ),

关于 x 轴: ( x,? y,? z ), 关于 y 轴: (? x, y,? z ), 关于 z 轴: (? x,? y, z ),

(? x,? y,? z ). 关于原点的对称点:

二、向量沿坐标轴的分解
? 设a 是以 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 为起点、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
为终点的向量,

过 M1 , M 2 各作垂直于三个坐标轴的平面 ,
这六个平面围成一个以线段M 1 M 2 为对角线的 长方体.

? ? ? 以i , j , k 分别表示沿 x , y , z 轴正向的单位向量. ? ? ? ? z a ? a x i ? a y j ? az k
R

? k

? M2

M1

?
N

Q

向 量 在

轴 轴 y 上 ? o 上 i 的 x a x ? x2 ? x1 的 投 投 影 a y ? y2 ? y1 az ? z2 ? z1 影 ? ? ? M 1 M 2 ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j ? ( z2 ? z1 )k

P

x

? j

向 量 在 y 轴 上 的 投 影

向 量 在

z

按基本单位向量的坐标分解式:

? ? ? M 1 M 2 ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j ? ( z2 ? z1 )k ? ? ? 在三个坐标轴上的分向量: a x i , a y j , a z k ,
向量的坐标: a x , a y , a z ,

? 向量的坐标表达式: a ? {a x , a y , a z }
M1 M 2 ? { x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 }
特殊地: OM ? { x , y , z }

向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式

? ? a ? {a x , a y , a z }, b ? {bx , by , bz }, ? ? a ? b ? {a x ? bx , a y ? by , az ? bz } ? ? ? ? (a x ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k ; ? ? a ? b ? {a x ? bx , a y ? by , az ? bz } ? ? ? ? (a x ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k ; ? ?a ? {?a x , ?a y , ?a z } ? ? ? ? ( ? a x )i ? ( ? a y ) j ? ( ? a z )k .

例 1

设 A( x1 , y1 , z1 ) 和 B( x2 , y2 , z2 ) 为两已知

点, 而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两 部 分 AM 、 MB , 使 它 们 的 值 的 比 等 于 某 数

AM ? (? ? ?1) ,即 ? ? ,求分点的坐标. MB
解 设 M ( x , y , z ) 为直线上的点,
z
B A

AM ? { x ? x1 , y ? y1 , z ? z1 } MB ? { x2 ? x, y2 ? y, z2 ? z }

M

o

y

x

由题意知: AM ? ?MB

{ x ? x1 , y ? y1 , z ? z1 } ? ? { x2 ? x , y2 ? y, z2 ? z }, x1 ? ? x2 x ? x1? ? ( x2 ? x ) ? x ? , 1? ? y ? ? y 1 2 y ? y1? ? ( y2 ? y ) ? y ? , 1? ? z ? ? z 1 2 z ? z1 ? ? ( z2 ? z ) ? z ? , 1? ? M 为有向线段AB 的定比分点. M 为中点时, x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 x? , y? , z? . 2 2 2

三、向量代数
? ? ? ? ? ? ? ? 设 a ? a x i ? a y j ? az k , b ? bx i ? b y j ? bz k ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? (a x i ? a y j ? az k ) ? (bx i ? by j ? bz k ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i ?j ?k , ? i ? j ? j ? k ? k ? i ? 0, ? ? ? ?| i |?| j |?| k |? 1, ? ? ? ? ? ? ? i ? i ? j ? j ? k ? k ? 1. ? ? a ? b ? a x bx ? a y b y ? a z bz
内积的坐标表达式

? ? a?b ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos? ? cos ? ? ? ? , | a || b | a x bx ? a y b y ? a z bz cos? ? 2 2 2 2 2 2 a x ? a y ? a z bx ? b y ? bz
两向量夹角余弦的坐标表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为

? ? a?b ?? a x bx ? a y b y ? a z bz ? 0

? ? ,1,?4}, b ? {1,?2,2},求( 例2 已知 a ? {1? 1) ? ? ? ? ? a ? b ;(2) a 与 b 的夹角;(3) a 在 b 上的投影. ? ? 解 (1) a ? b ? 1 ? 1 ? 1 ? ( ?2) ? ( ?4) ? 2 ? ?9.
( 2) cos? ? a x bx ? a y b y ? a z bz a x ? a y ? az
2 2 2

bx ? b y ? bz

2

2

2

1 ?? , 2 ? ? ? ? ( 3) a ? b ?| b | Pr jb a

? ? ? a?b ? Pr jb a ? ? ? ?3. |b |

3? . ?? ? 4

? ? ? ? ? ? ? 例 3 证明向量 c 与向量(a ? c )b ? (b ? c )a 垂直. ? ? ? ? ? ? ? 证 [(a ? c )b ? (b ? c )a ] ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ? [(a ? c )b ? c ? (b ? c )a ? c ] ? ? ? ? ? ? ? (c ? b )[a ? c ? a ? c ]
?0

? ? ? ? ? ? ? ?[(a ? c )b ? (b ? c )a ]?c

? 例4:在 xoy 平面上,求垂直于 a ? (1,?1,4) ? ? 且模与 a 相等的向量 b . ? ? ? ? ? b 在 xoy 平面上, 可设 b =bx i ? by j 解: ? ? ? ? 又 ? b ? a a ?b ? 0

? bx-by ? 0 ? bx ? by ? ? a ? 12 ? (?1) 2 ? 42 ? 18 ? 2 2 2 ? b ? bx ? by ? 2bx ? 18

? bx2 ? 9

? ? ? ? ? ? 所以得 b ? 3i ? 3 j 或 b ? ?3i ? 3 j

? bx ? ?3 by ? ?3

外积的坐标表达式

? ? ? ? ? ? ? ? 设 a ? a x i ? a y j ? az k , b ? bx i ? b y j ? bz k ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? (a x i ? a y j ? az k ) ? (bx i ? by j ? bz k ) ? ? ? ? ? ? ? ? i ? i ? j ? j ? k ? k ? 0, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i ? j ? k, j ? k ? i , k ? i ? j, ? ? ? ? ? ? ? ? ? j ? i ? ?k , k ? j ? ? i , i ? k ? ? j . ? ? ? ? (a y bz ? a z b y )i ? (a z bx ? a x bz ) j ? (a x b y ? a y bx )k

外积还可用三阶行列式表示

二阶行列式

a b c d

? ad ? bc

7 ?3 4 5

? 35 ? (?3) ? 4 ? 47

三阶行列式

a11 a31

a12 a32

a21 a22

a22 a23 a21 a23 ? a11 ? a12 a32 a33 a31 a33 a21 a22 ? a13 a31 a32
2 3

a13

a23 a33

1



?1 3 ? 1 ?2 1 4 2

?1

3 4

?2

2 ?2

3 4

?3

2 ?2

?1 1

? (?4 ? 3) ? 2 ? (8 ? 6)? 3 ? ( 2 ? 2) ? ?35

外积还可用三阶行列式表示

? i ? ? a ? b ? ax bx
由上式可推出

? j ay by

? k az bz

a x a y az ? ? ? ? a // b ?? bx b y bz

bx 、b y 、bz 不能同时为零,但允许两个为零,
a y az a x 例如, ? ? ? a x ? 0, a y ? 0 0 0 bz ? ? ? ? ? ? ? ? 设 a ? a x i ? a y j ? az k , b ? bx i ? by j ? bz k , ? ? ? ? c ? c x i ? c y j ? cz k , a x a y az ? ? ? ? ? ? [a , b , c ] ? (a ? b ) ? c ? bx b y bz

c x c y cz
混合积的坐标表达式

? ? ? ? ? ? 例5:已知 a ? (2,3,?1) b ? (1,2,3) 求 a ? b b ? a . ? ? ? i j k 3 ?1? 2 3? ? ? ? 2 ? 1 解:a ? b ? 2 3 ? 1 ? i ? k j ? 2 3 1 2 1 3 1 2 3

? (11,?7,1) ? ? ? i j k ? ? b ? a ? 1 2 3 ? (?11,7,?1) 2 3 ?1

? ? ? ? ? ? ? ? 例 6 求与 a ? 3i ? 2 j ? 4k , b ? i ? j ? 2k 都垂
直的单位向量.

? 解 i ? ? ? c ? a ? b ? ax bx

? j ay by

? ? ? ? k i j k ? ? a z ? 3 ? 2 4 ? 10 j ? 5k , bz 1 1 ? 2

? ? | c |? 10 2 ? 52 ? 5 5 ,

? c 2 ? 1 ?? ? 0 ? c ? ? ? ? ?? j? k ?. 5 ? |c | ? 5

例7. 已知三点 A(1, 2 , 3 ) , B( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求三角形 ABC 的面积。

B

解: 如图所示, 1 S ? ABC ?? AB ? AC 2 i j k 1 ? 2 2 2 2

A
1 ? ( 4, ? 6, 2 ) 2

?

C

1

2

4

1 ? 2(2, ?3,1) ? (2, ?3,1) 2 2 2 2 ? 14 ? 2 ? (?3) ? 1

? ? ? ? ? ? ? ? 例8 已知 a ? 3i ? 2 j ? k b ? ?i ? mj ? 5k 求 m . ? ? ? ? 1. a ? b 2. b 在 a 上的投影为 4。 ? ? 为邻边的平行四边形面积为 300 . 3. 以 a ,b ? ? ? ? ? a ?b ? 0 解 1. ? a ? b ? m ? ?4 ? ? 3 ? 2m ? 5 ? 0 a ? b ? ? 8 ? 2m ? 4 ? m ? ?4 ? 2 14 2. Prja b ? 14 a ? ? ? ? ? 3. S ? a ? b ? ?10 ? m?i ? 14 j ? ?3m ? 2?k

?10 ? m?

2

? 14 ? ?3m ? 2? ? 300
2 2

16 m?0, 5

例9

已知空间内不在一平面上的四点

A( x1 , y1 , z1 )、 B( x2 , y2 , z2 )、C ( x3 , y3 , z3 )、 D( x4 , y4 , z4 ), 求四面体的体积.
解 由立体几何知,四面体的体积等于以向量AB 、

AC 、 AD 为棱的平行六面体的体积的六分之一.

1 V ? [ AB AC AD] 6

? AB ? { x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 }

AC ? { x3 ? x1 , y3 ? y1 , z3 ? z1 } AD ? { x4 ? x1 , y4 ? y1 , z4 ? z1 }
1 ?V ? ? x3 ? x1 6 x4 ? x1 x2 ? x1 y2 ? y1 y3 ? y1 y4 ? y1 z2 ? z1 z3 ? z1 z4 ? z1

式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.

四、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点

z

R
M1

? M2 ?

d ? M1 M 2 ? ?

P

o

在直角 ? M 1 NM 2 Q 及 直 角 ?M PN 1 N 中,使用勾股定 y 理知
2 2

x

d ? M1 P ? PN ? NM 2 ,
2

2

? M1 P ? x2 ? x1 , PN ? y2 ? y1 ,
NM 2 ? z2 ? z1 ,
?d ?
2 2

z

R
M1

? M2 ?

Q

o

P

N

y

x
2

M 1 P ? PN ? NM 2
2

M1 M 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ? .
2 2

空间两点间距离公式

特殊地:若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)

d ? OM ? x 2 ? y 2 ? z 2 .

例 10 求证以 M1 (4,3,1) 、 M 2 (7,1,2)、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解 M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 14,

2

M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6, M 3 M1 ?
2

2

(4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,
原结论成立.

? M 2 M 3 ? M 3 M1 ,

例 11

设 P 在 x 轴上,它到 P1 (0, 2,3) 的距离

为到点 P2 (0,1,?1)的距离的两倍, 求点 P 的坐标.

解 因为 P 在x 轴上, 设P点坐标为 ( x ,0,0),

PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ? x 2 ? 11,
2 2 ? ? PP2 ? x ? ? 1 ? 1 ? 2

x 2 ? 2,

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1,
所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

五、向量的模与方向余弦的坐标表示式
? 非零向量 a 的方向角:? 、? 、 ?
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 .

z

0 ? ? ? ?,
? M2 ? M1 ? ? ?

0 ? ? ? ?, 0 ? ? ? ?.

o
x

y

z
R
M1

由图分析可知
?
? M2
Q

P

? ??

o
x

? a x ?| a | cos? ? a y ?| a | cos ? ? y az ?| a | cos?
2 2

方向余弦通常用来表示向量的方向.

向 量 的 方 向 余 弦

M1 M 2 ?

M 1 P ? M 1Q ? M 1 R

2

? 2 2 2 | a |? a x ? a y ? a z 向量模长的坐标表示式

向量方向余弦的坐标表示式

当 a x ? a y ? az ? 0

2

2

2

时,

cos ? ?
cos ? ?

ax a x ? a y ? az ay
a x ? a y ? az
2 2

2

2

2

,
,

2

cos ? ?

az a x ? a y ? az
2 2 2

.

方向余弦的特征

cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1
2 2 2

特殊地:单位向量的方向余弦为

? a 0 a ? ? |a |
? {cos ? , cos ? , cos ? }.

? ? ? ? 例 12 求平行于向量 a ? 6i ? 7 j ? 6k 的单位
向量的分解式.

? 解 所求向量有两个,一个与 a 同向,一个反向 ? ?| a |? 62 ? 7 2 ? ( ?6)2 ? 11, ? ? 7 ? 6 ? a 6 0 ? a ? ? ? i ? j ? k, | a | 11 11 11 ? a 6? 7 ? 6 ? 或 a0 ? ? ? ? ? i ? j ? k. |a | 11 11 11

例 13

设有向量 P1 P2,已知 P1 P2 ? 2,它与 x 轴

? ? 和 y 轴的夹角分别为 和 ,如果 P1 的坐标为 3 4 (1,0,3) ,求 P2 的坐标.



? 设向量P1 P2 的方向角为 ? 、 ? 、

? ?? , 3

1 cos ? ? , 2

? ?? , 4

? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1,

2 cos? ? , 2 1 ? cos ? ? ? . 2

? 2? ? ? ? , ? ? . 设P2 的坐标为( x , y , z ) , 3 3 x ?1 x ?1 1 cos? ? ? x ? 2, ? ? P1 P2 2 2
y?0 y?0 2 cos ? ? ? ? y ? 2, ? P1 P2 2 2 z?3 z?3 1 ? z ? 4, z ? 2, ? cos ? ? ?? 2 P1 P2 2

P2 的坐标为 (2, 2,4), (2, 2,2).

? ? ? ? ? ? ? ? 例 14 设 m ? 3i ? 5 j ? 8k , n ? 2i ? 4 j ? 7k , ? ? ? ? ? ? ? ? p ? 5i ? j ? 4k ,求向量 a ? 4m ? 3n ? p 在 x 轴 上的投影及在 y 轴上的分向量.
? ? ? ? 解 ? a ? 4m ? 3n ? p ? ? ? ? ? ? ? 4( 3i ? 5 j ? 8k ) ? 3( 2i ? 4 j ? 7k ) ? ? ? ? ? ? ? (5i ? j ? 4k ) ? 13i ? 7 j ? 15k ,
?在 x 轴上的投影为a x ? 13 ,

? 在 y 轴上的分向量为7 j .


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