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5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形(4)教案



课题:5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形(4)教案
教学目的:1、能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的实际问题。 2、能够在解斜三角形应用过程中,灵活地选择正弦定和余弦定理。 3、通过解斜三角形应用举例进一步培养学生将实际问题转化为数学问题, 用数学方法解决实际问题的能力。 教学重点:利用解斜三角形解决一些实际问题 教学过程: (一) 、新课 例 1、我舰在敌岛

A 南偏西 50° 相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西 10° 的方 向以 10 海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行 才能用 2 小时 追上敌舰? 解:如图,在△ ABC 中由余弦定理得:

∴ 我舰的追击速度为 14 海里/小时. 又在△ ABC 中由正弦定理得:

例 2、某船在距救生艇 A 处 10 海里的 C 处遇险,测得该船的方位角为 45?,还测得船 正沿方位角 105?的方向以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,救生艇以每小时 21 海 里的速度前往营救,试求出该救生艇的航向及与它们相遇所需时间. 解:设所需时间为 t 小时, 在点 B 处相遇(如图) 在△ ABC 中,?ACB = 120?, 105? C AC = 100, AB = 21t, BC = 9t B 45? 由余弦定理:(21t)2 = 102 + (9t)2 ? 2× 10× 9t× cos120? A 整理得:36t2 ?9t ? 10 = 0 解得:

t1 ?

2 5 , t2 ? ? 3 12 (舍去)

AB BC ? ? sin ?CAB ? ? sin ?CAB sin 120
由正弦定理:

2 3 (9 ? ) ? 3 2 ?3 3 2 14 21? 3

1

? ?CAB ? arcsin

3 3 14

例 3、如图:在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜 度为 15?,向山顶前进 100m 后,又从点 B 测得斜度为 45?,假设建筑物高 50m,求此 山对于地平面的斜度?. C 解:在△ ABC 中,AB = 100m , 50 45? D B 15? 100 ? A ?CAB = 15?, ?ACB = 45??15? = 30?

100 BC ? ? sin 15 ? 由正弦定理: sin 30

∴ BC = 200sin15?

在△ DBC 中,CD = 50m , ?CBD = 45?, ?CDB = 90? + ?

50 200sin 15? ? 由正弦定理: sin 45? sin(90? ? ? ) ?cos? = 3 ? 1 ∴ ? = 42.94?
(二)小结: 解斜三角形应用题的一般步骤是: 1、分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图. 2、建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形 中,建立一个解斜三角形的数学模型. 3、求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解. 4、检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解. 即解斜三角的基本思路

(三)课堂练习 1、自动卸货汽车的车箱采用液压结构,设计时需要计算油泵顶 杆 BC 的长度 已知车箱的最大仰角为 60°, 油泵顶点 B 与车
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箱支点 A 之间的距离为 1. 95m, AB 与水平线之间的夹角为 6°20′,AC 长为 1.40m,计算 BC 的长。 (保留三个有效数字)
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2

分析:求油泵顶杆 BC 的长度也就是在△ABC 内,求边长 BC 的问题,而根据已知条件,AC=1.40m,AB=1.95m, ∠BAC=60°+6°20′=66°20′ 相当于已知△ABC 的两边和它们的夹角, 所以求解 BC 可根据余弦定理 解:由余弦定理,得 2 2 2 BC =AB +AC -2AB·ACcosA 2 2 =1.95 +1.40 -2×1.95×1.40×cos66°20′=3.571 ∴BC≈1.89 (m) 答:油泵顶杆 BC 约长 1.89 m。 评述:此题虽为解三角形问题的简单应用,但关键是把未知边所处的三角形找到,在转 换过程中应注意“仰角”这一概念的意义,并排除题目中非数学因素的干扰,将数量关系从 题目准确地提炼出来。
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2、某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔船 在方位角为 45°、距离 A 为 10 海里的 C 处,并测得渔船正沿方位角为 105°的方向,以 9 海里/h的速度向某小岛 B 靠拢,我海军舰艇立即以 21 海里/h的速度前去营救,试 问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间。 分析:设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为x h,则利用余弦定理建立方程来解决较好, 因为如图中的∠1,∠2 可以求出,而 AC 已知,BC、AB 均可用x表示,故可看成是一 个已知两边夹角求第三边问题。 解:设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为x(h),则 AB=21x海里,BC=9x 海里, AC=10 海里,∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°, 根据余弦定理,可得 2 2 2 AB =AC +BC -2AC·BC·cos120°得 2 2 2 (21x) =10 +(9x) -2×10×9xcos120°, 2 2 即 36x -9x ×10=0 解得x1=

2 5 ,x2=- (舍去) 3 12

∴AB=21x=14,BC=9x=6 再由余弦定理可得 cos∠BAC=

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 142 ? 102 ? 6 2 ? ? 0.9286 , 2 ? AB ? AC 2 ? 14 ? 10
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∴∠BAC=21°47′,45°+21°47′=66°47′ 所以舰艇方位角为 66°47′,

2 小时即 40 分钟。 3

答:舰艇应以 66°47′的方位角方向航行,靠近渔船则需要 40 分钟。 评述:解好本题需明确“方位角”这一概念,方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向 线的水平角,其范围是(0°,360°) 。 在利用余弦定理建立方程求出x后,所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问 题,故仍然利余弦定理。

3

(四)课后作业 1、用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空,分别测得 气球的仰角是α 和β ,已知 B、D 间的距离为 a,测角仪的高度是 b,求气球的高度。 分析:在 Rt△EGA 中求解 EG,只有角α 一个条件,需要再有一边长被确定,而△EAC 中有较 多已知条件,故可在△EAC 中考虑 EA 边长的求解,而在△EAC 中有角β , ∠EAC=180°-α 两角与 BD=a 一边,故可以利用正弦定理求解 EA 解:在△ACE 中,AC=BD=a,∠ACE=β ,∠AEC=α -β ,
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根据正弦定理,得

AE=

a sin ? sin(? ? ? ) a sin ? sin ? sin(? ? ? )

在 Rt△AEG 中,EG=AEsinα =

∴EF=EG+b=

a sin ? sin ? +b, sin(? ? ? ) a sin ? sin ? +b sin(? ? ? )

答:气球的高度是

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评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设 EG=x,在 Rt△EGA 中,利用 cotα 表示 AG;在 Rt△EGC 中,利用 cotβ 表示 CG,而 CG-AG=CA=BD=a,故可 以求出 EG,又 GF=CD=b,故 EF 高度可求
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2、如图所示,已知半圆的直径 AB=2,点 C 在 AB 的延长线上, BC=1,点 P 为半圆上的一个动点,以 DC 为边作等边△PCD, 且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧, 求四边形 OPDC 面积的最 大值。 分析:要求四边形 OPDC 面积的最大值,这首先需要建立一个面积函数,问题是选谁作为 自变量,注意到动点 P 在半圆上运动与∠POB 大小变化之间的联系,自然引入 ∠POB=θ 作为自变量建立函数关系 四边形 OPDC 可以分成△OPC 与等边△PDC,
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S△OPC 可用

1 ·OP·OC·sinθ 表示,而等边△PDC 的面积关键在于边长求解,而 2

边长 PC 可以在△POC 中利用余弦定理表示,至于面积最值的获得,则通过三角函数 知识解决。 解:设∠POB=θ ,四边形面积为y,则在△POC 中,由余弦定理得: 2 2 2 PC =OP +OC -2OP·OCcosθ =5-4cosθ ∴y=S△OPC+S△PCD=

1 ? 3 5 3 ? 1 ? 2 sin ? + (5-4cosθ ) =2sin(θ - )+ 2 3 4 4

∴当θ -

? ? 5? 5 3 = 即θ = 时,ymax=2+ 6 3 2 4
4

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评述:本题中余弦定理为表示△PCD 的面积,从而为表示四边形 OPDC 面积提供了可能, 可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据,一般地也是分析几何量之间关系的重要公式,要 认识到这两个定理的重要性 另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ 的构造及逆用,应要求学生予以重视。
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3、如图,在海岸 A 处发现北偏东 45°方向,距 A 处 ( 3 -1)海里的 B 处有一艘走私船。在 A 处北偏西 75°方向,距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船,奉命 以 10 3 海里/时的速度追截走私船,此时走私船正 以 10 海里/时的速度, 从 B 处向北偏东 30°方向逃窜 问: 辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求 出所需时间。 解:设辑私船应沿 CD 方向行驶t小时,才能最快截获(在 D 点)走私船,
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则 CD=10 3 t海里,BD=10t海里。 ∵BC =AB +AC -2AB·AC·cosA =( 3 -1) +2 -2( 3 -1) ·2cos120°=6, ∴BC= 6
2 2 2 2 2

BC AC ? sin A sin ABC AC ? sin A 2 sin 120? 2 ? sin ABC ? ? ? BC 2 6 ?
∴∠ABC=45°,∴B 点在 C 点的正东方向上, ∴∠CBD=90°+30°=120°

BD CD ? sin BCD sin CBD BD ? sin CBD 10t ? sin 120? 1 ? sin BCD ? ? ? , CD 2 10 3t ?
∴∠BCD=30°,∴∠DCE=90°-30°=60° 由∠CBD=120°,∠BCD=30° 得∠D=30° ∴BD=BC,即 10t= 6

∴t=

6 (小时)≈15(分钟) 10
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答:辑私船沿北偏东 60°的方向行驶,才能最快截获走私船,需时约 15 分钟

4、如图,为了测量河对岸 A、B 两点间的距离,在这一岸定一基线 CD,现已测出 CD=a 和 ∠ACD=α ,∠BCD=β ,∠BDC=γ ,∠ADC=s,试求 AB 的长。
5

分析:如图所示:对于 AB 求解,可以在△ABC 中或者是△ABD 中求解,若在△ABC 中,由∠ ACB=α -β ,故需求出 AC、BC,再利用余弦定理求解 而 AC 可在△ACD 内利用正弦 定理求解,BC 可在△BCD 内由正弦定理求解 解:在△ACD 中,已知 CD=a,∠ACD=α ,∠ADC=δ ,由正弦定理得
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AC=

a sin ? a sin ? ? sin?180? ? (? ? ? )? sin(? ? ? ) a sin ? a sin ? ? sin?180? ? ( ? ? ? )? sin(? ? ? )

在△BCD 中,由正弦定理得

BC=

在△ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又因为∠ACB=α -β ,所以 用余弦定理,就可以求得
2 2 AB= AC ? BC ? 2 AC ? BC ? cos( ? ? ? )

评述:(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用 (2)注意体会例 2 求解过程在实际当中的应用
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5、据气象台预报,距 S 岛 300 km的 A 处有一台风中心形成,并以每小时 30 km的速度 向北偏西 30°的方向移动,在距台风中心 270 km以内的地区将受到台风的影响 问:S 岛是否受其影响? 若受到影响,从现在起经过多少小时 S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由。
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分析:设 B 为台风中心,则 B 为 AB 边上动点,SB 也随之变化 S 岛是否受台风影响可转化为 SB≤27O 这一不等式是否有解的判断,则需表示 SB,可设台风中心经过t小时到达 B 点,则在△ABS 中,由余弦定理可求 SB 解:设台风中心经过t小时到达 B 点, 由题意,∠SAB=9O°-3O°=6O° 在△SAB 中,SA=3OO,AB=3Ot,∠SAB=6O°, 由余弦定理得: 2 2 2 SB =SA +AB -2SA·AB·cosSAB 2 2 =3OO +(3Ot) -2·3OO·3Otcos6O° 若 S 岛受到台风影响,则应满足条件 2 2 |SB|≤27O 即 SB ≤27O 2 化简整理得 t -1Ot+19≤O
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解之得 5- 6 ≤t≤5+ 6 所以从现在起, 经过 5- 6 小时 S 岛开始受到影响, (5+ 6 )小时后影响结束 (5+ 6 )-(5- 6 )=2 6 小时 为 2 6 小时。
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持续时间:

答:S 岛受到台风影响,从现在起,经过(5- 6 )小时,台风开始影响 S 岛,且持续时间

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