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14数学全国教师11(文)


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十一)
第十一单元 数列综合测试
150 分) (120 分钟

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
2 1.已知数列{an}为等比数列,且 a3a9=25 ,a2=2,则 a1 等于

A.± 2

B. 2

C.- 2 D.2
6 5 2

2 2 解析:a3a9=6 =25 ,q= =± 2,故 a1= =± 2.

答案:A

2.在等差数列{an}中,a1=0,公差 d≠0,若 an=a2+a3+a6+a8,则 n 等于 A.15
答案:B

B.16

C.17

D.18

解析:an=a2+a3+a6+a8=4a1+15d=a1+15d,故 an 为等差数列{an}的第 16 项,∴ n=16.故选 B.

3.若等差数列{an}满足递推关系 an+1=-an+n,则 a5 等于 A.2 B.4
9 9

C. 4

11

D. 4

13

解析:令 n=4,则 a5+a4=4,令 n=5,则 a6+a5=5,两式相加 2a5+a4+a6=9,∴ a5= . 答案:B

9 4

4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012,则公比 q 等于 A.4 B.3 C.2 D.8
2014 =4. 2013

解析:由 3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012 得 3a2013=a2014-a2013,∴ q= 答案:A

5.已知数列{an}的通项公式是 an=-n2+bn+c,若 an+1<an 对 n∈N+恒成立,则实数 b 的取值范 围是 A.b>0
答案:D

B.b≥-1 C.b≤3 D.b<3

解析:∵ an+1<an 恒成立,∴ an+1-an=b-(2n+1)<0,即 b<2n+1 恒成立,∴ b<3.

6.已知函数 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a11>0,则 f(a9)+f(a11)+f(a13)的值

A.恒为正数

B.恒为负数

C.恒为 0

D.可正可负

解析:因为 f(a11)>f(0)=0,a9+a13=2a11>0,a9>-a13, 所以有 f(a9)>f(-a13)=-f(a13),f(a9)+f(a13)>0,故选 A. 答案:A
2 7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 m>1,2am-1+2am+1- -4=0,S2m-1=38,则 m 等于

A.7

B.8

C.9

D.10

解析:∵ am-1+am+1=2am,
2 2 ∴ 2am-1+2am+1- -4=4am- -4=0,∴ am=2.

故 S2m-1= 答案:D

(1 +2-1 )(2m-1) 2 (2m-1) = =2(2m-1)=38.∴ m=10. 2 2

8.若数列 满足 a1= ,an+1= 于 A.3 B.1
1 2

1 2

1+ (n∈N+),则该数列的前 1-

2014 项的乘积 a1·a2·a3·…·a2014 等

C.

3 2

D.
1 3

2 3 1 2

解析:易求得 a1= ,a2=3,a3=-2,a4=- ,a5= ,…,这是一个周期为 4 的周期数列, 且每相邻四项 a1·a2·a3·a4=1,故原式= × 3= . 答案:C
1 2 3 2

9.已知数列{an}的通项公式 an=n2+n,若数列{ }的前 n 项和为 Sn,则 Sn 的取值范围为


1

A.[0,1]

B.(2,1) C.[2,1) D.[2,1]
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 = ,∴ Sn= + +…+ =1- + - +…+ =1<1,∴ 当 n=1 时,Sn 取最 (+1) +1 1 2 2 23 +1 +1 1 2

1

1

解析:依题意 =
1 2

小值 ,∴ Sn 值范围为[ ,1). 答案:C

10.在数列{an}中,对于任意的 n∈N+,都有

+2 -+1 =k(k 为常数),则称{an}为“等差比数列”.下 +1 -

面对“等差比数列”的判断:① 等差数列一定是“等差比数列”;② 等比数列一定是“等差比数 列”;③ 通项公式为 an=a·bn+c(a≠0,b≠0,1)的数列一定是“等差比数列”.其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

解析:① ② 错误,对于① ② 只要举常数列即可验证它是错的;③ 正确,对于③ ,其中 k=b.

答案:B

11.已知数列{an}满足 a1=1,nan=(n+1)an-1(n≥2,且 n∈N+),则 A.2 B.3 C.4 D.5

2 +14 取最小值的

n 值为

解析:∵ nan=(n+1)an-1,∴
15

+1 2 3 2 3 +1 2 15 +14 = ,∴ · ·…· = · ·…· =n+1,即 an=n+1(n≥2),∴ =n+ +2,令 -1 1 2 -1 1 2 2 +14 取最小值,

f(x)=x+ +2,∵ f(x)在(0, 15)上单调递减,在( 15,+∞)上单调递增.故当 n=3 或 4 时, ∵3
2 +14 15 2 +14 15 39 =3+ +2=10, 4 =4+ +2= ,故当 n=4 时取最小值,故选 C. 3 3 4 4 4

答案:C

12.对任意 x∈R,函数 f(x)满足 f(x+1)= 2()-[()]2 +1,设 an=[f(n)]2-2f(n),数列{an}的前 2013 项的和为-1003,则 f(2013)等于 A.4 B.3
2

C.2
2

D.1

解析:因为[f(x+1)-1] =[f(x+1)] -2f(x+1)+1=2f(x)-[f(x)]2,所以有 an+1+an=-1. 前 2013 项和 S2013=1006·(-1)+a2013=-1003,由此可得 a2013=3,a2012=-4. 因而 f(2013)= -2012 +1=3,故选 B. 答案:B

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=4,则公差 d= 1 + 2d = 4,
解析:由题意知 答案:2

.

31 +

3×2 × 2

d = 6,

解得 d=2.

14.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a3+a9=7S7,且 a4,a6 为等比数列{bn}相邻的两项,则 等比数列{bn}的公比 q=
解析:∵ a3+a9= S7,∴ 2a6= × 答案: 或 2
1 2 1 7

1

.
1 7(1 +7 ) 1 =a4,∴ q= 或 2. 7 2 2

15.数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则通项 an=
解析:由题可得 an+1+1=2(an+1),∴ 答案:2n-1

.

+1 +1 =2,数列{an+1}为等比数列,∴ an+1=2n-1(a1+1)=2n,故 an=2n-1. +1

16.数列{an}中,对任意的 m,n,p∈N+,当 m+n=p 时,都有 am·an=ap,若 a1=2,则 a10 的值 为
2 ∴ 1 =a2,

1

.
解析:∵ am·an=ap, a1·a2=a3, a1·a3=a4, …… a1·a9=a10,
10 累乘得1 =a10=( )10=

1 2

1 . 1024

答案:

1 1024

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分) 设{an}是一个公差为 d(d≠0)的等差数列,它的前 10 项和 S10=110 且 a1,a2,a4 成等比数列,求 数列{an}的通项公式.
2 解析:因 a1,a2,a4 成等比数列,故2 =a1a4,而{an}是等差数列,有 a2=a1+d,a4=a1+3d,于是 2 2 (a1+d)2=a1(a1+3d),即1 +2a1d+d2=1 +3a1d,化简得 a1=d.5 分

∵ S10=10a1+

10×9 d=110,∴ 10a1+45d=110. 2

又∵ a1=d,∴ 55d=110,∴ d=2,∴ an=a1+(n-1)d=2n.10 分

18.(本小题满分 12 分) 已知幂函数 f(x)图象过点(-2,-2),数列{an},{bn}满足 a1=1,b1=1,且对任意 n∈N+,均有 an+1=
f( ) 1 ,b -b = . ( )+3 n+1 n 1

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)试求数列{an},{bn}的通项公式.
解析:(1)由题意可知(- )a=-2,所以 a=-1,故 f(x)= (x≠0).4 分 (2)由(1)可得 an+1= 1
1 1 1 ,所以有 = +3,故 an= . 3 +1 3 -2 +3 +1 1 1 2 1

=

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+1 =3[(n-1)+(n-2)+…+2+1]-2(n-1)+1=3· 2n+2+1=
32 -7n+6 .12 分 2

-1+1 (n-1)2

19.(本小题满分 12 分)
2 设 Sn 是正项数列 的前 n 项和,且 Sn= + an.

1 3

1 2

(1)求 an; (2)设 =
3 (n∈N+),且数列 4 +3 1 3 1 2

的前 n 项和为 Tn,试比较 Tn 与 的大小.
3 2

1 4

2 解析:(1)由已知可得 a1= 1 + a1,a1>0,所以 a1= . 2 当 n≥2 时,有 an=Sn-Sn-1= + an-( -1 + an-1) 3 2 3 2 2 = ( - -1 )+ (an-an-1),∴ ( +an-1)(an-an-1- )=0, 3 2 2

1

1

1 2

1

1

2

1

3

又 an>0,所以有 an-an-1= ,数列 为等差数列. 所以 an= n.6 分 (2)由(1)可知 bn=
1 1 1 11 1 = < < ( ), (2+1)2 42 +4n+1 42 +4n 4 +1 1 11 4 12 11 23 1 1 1 1 1 )]= (1)< .12 分 +1 4 +1 4 3 2

3 2

所以有 Tn=b1+b2+…+bn< [( - )+( - )+…+( -

20.(本小题满分 12 分) 已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2=2( + ),a3+a4+a5=64( + + ). (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=(an+ )2,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解析:(1)设公比为 q,则 an=a1qn-1,易知 q≠1. 由已知得
1 1 1 1 2 1 1 1 3 4 5

1 + 1 q = 2( + q ),
1 1

1

1

1 + 1 + 1 = 64(

2

3

4

1 2 1

+

1 3 1

+

1 4 ), 1

化简得

2 1 q = 2, 又 a1>0,故 q=2,a1=1,∴ an=2n-1.6 分 2 6 1 = 64.

2 (2)由(1)知 bn=(an+ )2= + 2 +2=4n-1+

1

1

1
-1

4

+2,

1 1 4 -1 1-4 1 ∴ Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1+4+…+4 )+(1+ +…+ -1 )+2n= + 1 +2n= (4n-41-n)+2n+1.12 分 4 3 4-1 14
n-1

1 4

21.(本小题满分 12 分) 已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y∈R,都有 f(x·y)=xf(y)+yf(x)成立. 数列{an}满足 an=f(2n)(n∈N+),且 a1=2. (1) 试求数列{an}的通项公式 an. (2)若 bn=
(+1)2

,求数列{bn}的最小项.

解析: (1)因为 a1=f(2)=2, 令 x=2n-1,y=2,则有 f(2n)=2n-1f(2)+2f(2n-1) =2n+2[2n-2f(2)+2f(2n-2)] =2·2n+22f(2n-2)=2·2n+22[2n-3f(2)+2f(2n-3)] =3·2n+23f(2n-3)=…=(n-2)·2n+2n-2[2n-(n-1)f(2)+2f(2n-(n-1))]=n·2n,7 分 即 an=n·2n. (2)由(1)可知 bn=
2 (+1)
2 ,令

+1 +1 2 =2·[ ] >1 得 n2>2,n> +2 1 2 4 9

2,
4 9

即当 n≥2,n∈N,都有 b2<b3<…<bn,而 b1= >b2= ,故(bn)min=b2= .12 分

22.(本小题满分 12 分) 已知数列 的前 n(n∈N+)项和为 Sn,a1=t,a2=-1,点 Pn(an,Sn),若点 Pn(n=2,3,4,…)都在斜率 为3的同一条直线上. (1)当 t 为何值时,数列 是等比数列? (2)在满足(1)的条件下,设 bn=λan-n2,若数列 中,有 b1>b2,b3>b4,…,b2n-1>b2n,…成立,求实 数 λ 的取值范围.
解析:(1)∵ 点 Pn,Pn+1(n=2,3,4,…)都在斜率为 的直线上, ∴
+1 - 1 = . +1 - 3 1 3 1

又∵ Sn+1-Sn=an+1, ∴ an+1= (an+1-an),整理得
1 3 +1 1 =- (n≥2). 2

又∵ 当 n∈N+时,数列 是等比数列, ∴ 只需要 = =- , ∴ t=2.6 分 (2)由(1)得 an=2·(- )n-1, ∵ bn=λan-n2, ∴ bn=2λ(- )n-1-n2, 由 b2n-1>b2n 得,2λ(- )2n-2-(2n-1)2>b2n=2λ(- )2n-1-(2n)2, 即 2λ(- )2n-2[1-(- )]>(2n-1)2-(2n)2, ∴ λ>∵ (4-1)·4 , 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 -1 1 1 2

(4-1)·4 单调递减, 12 (4-1)·4 取最大值为-1, 12

∴ 当 n=1 时,∴ λ>-1.12 分


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