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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练83



题组层级快练(八十三)
1.下列函数是正态密度函数的是( A.f(x)= B.f(x)= )
2 1 ?x-μ? e 2 ,μ、σ(σ>0)都是实数 2πσ 2σ

2π x2 e- 2π 2 1 x-σ e- 4 2π 1 x2 e 2π 2

C.f(x)= 2 D.f(x)=- 答案 B

解析 A 中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零.而 C 中的函数无对称轴,D 中的函数图像在 x 轴下方,所以选 B. 2.关于正态曲线性质的叙述: ①曲线关于直线 x=μ 对称,这个曲线在 x 轴上方; ②曲线关于直线 x=σ 对称,这个曲线只有当 x∈(-3σ,3σ)时才在 x 轴上方; ③曲线关于 y 轴对称,因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数; ④曲线在 x=μ 时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低; ⑤曲线的对称轴由 μ 确定,曲线的形状由 σ 确定; ⑥σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线越“高瘦”. 上述说法正确的是( A.只有①④⑤⑥ C.只有③④⑤⑥ 答案 A 3.设随机变量 X~N(μ,σ2),则随着 σ 的增大,概率 P(|x-μ|<3σ)将会( A.单调增加 C.保持不变 答案 C 解析 P(|x-μ|<3σ)=P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 4 是一个常数. 4.(2015· 广东惠州一模)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4),若 P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则 a=( A.3 C.5 答案 D 7 解析 因为 ξ 服从正态分布 N(3,4),P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),所以 2a-3+a+2=6,a= ,故选 D. 3 5 B. 3 7 D. 3 ) B.单调减少 D.增减不定 ) ) B.只有②④⑤ D.只有①⑤⑥

5.(2015· 湖北荆州中学第一次质检)若随机变量 X~N(1,4),P(X≤0)=m,则 P(0<X<2)=( A.1-2m 1-2m C. 2 答案 A 1-m B. 2 D.1-m

)

解析 因为随机变量 X~N(1,4), 所以正态曲线的对称轴为 x=1, 因此 P(0<x<2)=1-P(x≤0)-P(x≥2) =1-2P(x≤0)=1-2m,故选 A. 6.(2015· 山东聊城重点高中联考)已知服从正态分布 N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ, μ+2σ)和(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别为 68.3%,95.4%和 99.7%.某校为高一年级 1 000 名新生每人定制 一套校服,经统计,学生的身高(单位:cm)服从正态分布(165,52),则适合身高在 155~175 cm 范围内的校 服大约要定制( A.683 套 C.972 套 答案 B 解析 P(155<ξ<175)=P(165-5×2<ξ<165+5×2)=P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.4%. 因此服装大约定制 1 000×95.4%=954 套.故选 B. 7.已知变量 x 服从正态分布 N(4,σ2),且 P(x>2)=0.6,则 P(x>6)=( A.0.4 C.0.2 答案 A 解析 因为 P(x>2)=0.6,所以 P(x<2)=1-0.6=0.4.因为 N(4,σ2),所以此正态分布的图像关于 x=4 对称,所以 P(x>6)=P(x<2)=0.4.故选 A. 8.(2015· 皖南十校联考)在某市 2015 年 1 月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态 分布 N(98,100). 已知参加本次考试的全市理科学生约 9 450 人. 某学生在这次考试中的数学成绩是 108 分, 那么他的数学成绩大约排在全市第多少名?( A.1 500 C.4 500 答案 A 1 1 解析 因为学生的数学成绩 X~N(98,100),所以 P(X≥108)= [1-P(88<X<108)]= [1-P(μ-σ<X<μ 2 2 1 +σ)]= (1-0.682 6)=0.158 7,故该学生的数学成绩大约排在全市第 0.158 7×9 450≈1 500 名,故选 A. 2 9.(2015· 南昌调研)某单位 1 000 名青年职员的体重 x(单位:kg)服从正态分布 N(μ,22),且正态分布 的密度曲线如图所示,若体重在 58.5~62.5 kg 属于正常,则这 1 000 名青年职员中体重属于正常的人数约 是( ) ) B.1 700 D.8 000 B.0.3 D.0.1 ) ) B.954 套 D.997 套

A.683 C.341 答案 A

B.841 D.667

解析 ∵P(58.5<X<62.5)=P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,∴体重正常的人数约为 1 000×0.683=683 人. 10.(2015· 河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布 N(116,64),则成绩在 140 分以上 的考生所占的百分比为( A.0.3% C.1.5% 答案 D 解析 依题意,得 μ=116,σ=8,所以 μ-3σ=92,μ+3σ=140.而服从正态分布的随机变量在(μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率约为 0.997, 所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为 99.7%.从而成绩在 140 1-99.7% 分以上的考生所占的百分比为 =0.15%.故选 D. 2 ?x+2? 1 11. 如果随机变量 X 的概率分布密度函数是 φμ, e- (x∈R), 那么 E(2X-1)=________. σ(x)= 8 2 2π 答案 -5 解析 σ=2,μ=-2,E(2X-1)=2E(X)-1=2×(-2)-1=-5. 12. (2015· 山东青岛一模)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0, 1), 若 P(ξ>1)=a, a 为常数, 则 P(-1≤ξ≤0) =________. 答案 1 -a 2
2

) B.0.23% D.0.15%

1-2a 1 解析 由正态曲线的对称轴为 ξ=0, 又 P(ξ>1)=a, 故 P(ξ<-1)=a.所以 P(-1≤ξ≤0)= = -a, 2 2 1 即答案为 -a. 2 13.(2015· 河北唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位:kg)服从正态分布 N(10,0.12),任取一袋 大米,质量不足 9.8 kg 的概率为________.(精确到 0.000 1) 注:P(μ-σ<x≤μ+σ)=0.682 6, P(μ-2σ<x≤μ+2σ)=0.954 4, P(μ-3σ<x≤μ+3σ)=0.997 4 答案 0.022 8 1 1 解析 因为袋装大米质量(单位: kg)服从正态分布 N(10,0.12), 所以 P(ξ<9.8)= [1-P(9.8<ξ<10.2)]= [1 2 2 1 -P(10-2×0.1<ξ<10+2×0.1)]= (1-0.954 4)=0.022 8. 2

14.某省实验中学高三共有学生 600 人,一次数学考试的成绩(试卷满分 150 分)服从正态分布 N(100, 1 σ2),统计结果显示学生考试成绩在 80 分到 100 分之间的人数约占总人数的 ,则此次考试成绩不低于 120 3 分的学生约有________人. 答案 100 解析 ∵数学考试成绩 ξ~N(100,σ2),作出正态分布图像,可以看出,图像关于直线 x=100 对称.显 1 然 P(80≤ξ≤100) = P(100≤ξ≤120) = ; ∴ P(ξ≤80) = P(ξ≥120) . 又 ∵ P(ξ≤80) + P(ξ≥120) = 1 - 3 1 1 1 1 P(80≤ξ≤100)-P(100≤ξ≤120)= ,∴P(ξ≥120)= × = . 3 2 3 6 1 ∴成绩不低于 120 分的学生约为 600× =100 人. 6 15.(2015· 沧州七校联考)2014 年中国汽车销售量达到 1 700 万辆,汽车耗油量对汽车的销售有着非常 重要的影响,各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量,某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗 油情况,共抽查了 1 200 名车主,据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里 8.0 升,并且汽车的耗油量 ξ 服从正态分布 N(8, σ2), 已知耗油量 ξ∈[7,9]的概率为 0.7, 那么耗油量大于 9 升的汽车大约有________辆. 答案 180 思路 首先根据题意确定正态分布的对称轴,利用正态曲线的对称性即可求得 ξ>9 的概率,利用概率 来估计样本中满足条件的汽车数量. 解析 由题意可知 ξ~N(8,σ2),故正态分布曲线以 μ=8 为对称轴.又因为 P(7≤ξ≤9)=0.7,故

P(7≤ξ≤9)=2P(8≤ξ≤9)=0.7,所以 P(8≤ξ≤9)=0.35.而 P(ξ≥8)=0.5,所以 P(ξ>9)=0.15.故耗油量大于 9 升的汽车大约有 1 200×0.15=180 辆. 16.(2015· 湖北武汉模拟)某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市 100 000 名男生的身高 服从正态分布 N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高,测量发现被测学生身高全 部介于 160 cm 和 184 cm 之间,将测量结果按如下方式分成 6 组:第 1 组[160,164),第 2 组[164,168),?, 第 6 组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)由频率分布直方图估计该校高三年级男生平均身高状况; (2)求这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数; (3)在这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人中任意抽取 2 人, 将该 2 人中身高排名(从高到低) 在全市前 130 名的人数记为 ξ,求 ξ 的数学期望. 参考数据: 若 ξ~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 6,

P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 4, P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.997 4. 2 答案 (1)168 cm (2)10 人 (3) 5 解析 (1) 由频率分布直 方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为 (162× 5 7 + 166× + 100 100

8 2 2 1 170× +174× +178× +182× )×4=168.72,高于全市的平均值 168 cm. 100 100 100 100 (2)由频率分布直方图知,后 3 组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为 0.2×50=10,即这 50 名 男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数为 10. (3)∵P(168-3×4<ξ≤168+3×4)=0.997 4, 1-0.997 4 ∴P(ξ≥180)= =0.001 3. 2 ∴0.001 3×100 000=130. ∴全市前 130 名男生的身高在 180 cm 以上,这 50 人中 180 cm 以上的有 2 人. 随机变量 ξ 可取 0,1,2,于是 P(ξ=0)= P(ξ=2)=
1 C2 28 C1 16 8 8C2 2 = ,P(ξ=1)= 2 = , C10 45 C10 45

C2 1 2 = , C2 45 10

25 16 1 2 ∴E(ξ)=0× +1× +2× = . 48 45 45 5

1.已知某种零件的尺寸 ξ(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞) 上是减函数,且 f(80)= 8 (1)求概率密度函数; (2)估计尺寸在 72 mm~88 mm 间的零件大约占总数的百分之几? ?x-80? 1 答案 (1)φμ,σ(x)= e- 128 8 2π
2

1 2π

.

(2)68.26%

解析 (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,所以正态曲线关于直线 x=80 对称,且在 x=80 处取得最大值. 因此得 μ=80, 1 1 = ,所以 σ=8. 2π· σ 8 2π
2

?x-80? 1 故密度函数解析式是 φμ,σ(x)= e- . 128 8 2π (2)由 μ=80,σ=8,得 μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88. 所以零件尺寸 ξ 位于区间(72,88)内的概率是 0.682 6. 因此尺寸在 72 mm-88 mm 间的零件大约占总数的 68.26%.

2.(2013· 湖北理)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800,502)的随机变量.记一天 中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0. (1)求 p0 的值; (参考数据: 若 X~N(μ, σ2), 有 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4, P(μ-3σ<X≤μ +3σ)=0.997 4.) (2)某客运公司用 A,B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆.公司 拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆.若每天要以不小于 p0 的概率运 完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车,B 型车各多少辆? 答案 (1)0.977 2 (2)A 型车 5 辆,B 型车 12 辆

解析 (1)由于随机变量 X 服从正态分布 N(800,502),故有 μ=800,σ=50,P(700<X≤900)=0.954 4. 由正态分布的对称性,可得 1 1 p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)= + P(700<X≤900)=0.977 2. 2 2 (2)设 A 型,B 型车辆的数量分别为 x,y 辆,则相应的劳动成本为 1 600x+2 400y. 依题意,x,y 还需满足 x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0. 由(1)知,p0=P(X≤900),故 P(X≤36x+60y)≥p0 等价于 36x+60y≥900. x+y≤21, ? ?y≤x+7, 于是问题等价于求满足约束条件? 36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x,y∈N, 且使目标函数 z=1 600x+2 400y 达到最小的 x,y. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6).

z 由图可知, 当直线 z=1 600x+2 400y 经过可行域的点 P 时, 直线 z=1 600x+2 400y 在 y 轴上截距 2 400 最小,即 z 取得最小值. 故应配备 A 型车 5 辆,B 型车 12 辆.



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