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ch10-1向量


第10章 向量与空间解析几何
§10.1 向量及其运算
? ? ? ? 向量的概念 向量的线性运算 内积 向量的外积与混合积

一、向量的概念
M2 ?

向量:既有大小又有方向的量.

? 向量表示:a 或 M1 M 2

?M

1

? 向量的模: 向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 | ? 零向量: 模长为0的向量. 0

以 M 1 为起点,M 2 为终点的有向线段.

单位向量:模长为1的向量. a 0 或 M M 0 1 2

自由向量:不考虑起点位置的向量. 相等向量:大小相等且方向相同的向量.

? a

? b

负向量:大小相等但方向相反的向量.? a

?

? ?a
位置向量(向径):

? a

空间直角坐标系中任一点 M 与原点构成的向量 OM

二、向量的加减法
? ? ? [1] 加法:a ? b ? c
(平行四边形法则)

? b

? c

? a

(平行四边形法则有时也称为三角形法则)

? ? 特殊地:若 a‖ b 分为同向和反向 ? ? ? ? ? |c |?| a | ? | b | c b ? ? a ? b c ? ? a ? ? | c |? | a | ? | b |

向量的加法符合下列运算规律:

? ? ? ? (1)交换律: a ? b ? b ? a . ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)结合律: a ? b ? c ? ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ). ? ? ? ( 3) a ? ( ? a ) ? 0 . ? ? ? b a ? ? ? ? [2] 减法 a ? b ? a ? ( ? b ) ? ?b ? ?b c ? ? ? a?b ? ? ? b c ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ?a?b a?b a

? ? ? 例1 如图 用向量 a , b , c ? ? 解: d ? a ? AD ? ? a ? BC ? ? ? ? a ? ?c ? b ?

? 表示d
? a
A

O

.
? c

? d
D

? b
B

C

三、向量与数的乘法
? ? ? 的乘积 ?a 规定为 a 与 设? 是一个数,向量 ? ? ? ? (1) ? ? 0, ?a 与a 同向,| ?a |? ? | a | ? ? ( 2) ? ? 0, ?a ? 0 ? ? ? ? ( 3) ? ? 0, ?a 与a 反向,| ?a |?| ? | ? | a | ? a ? 1? 2a ? a 2

数与向量的乘积符合下列运算规律:

? ? ? (1)结合律:? ( ? a ) ? ? (? a ) ? (?? )a ? ? ? (2)分配律: (? ? ? )a ? ? a ? ? a ? ? ? ? ? (a ? b ) ? ? a ? ? b
两个向量的平行关系

定理1

? ? 两非零向量 a 与 b 平行的充要 ? ? 条件是存在实数 ? ,使 b ? ? a .

?0 ? 设a 表示与非零向量a 同方向的单位向量,
按照向量与数的乘积的规定,

? ? ?0 a ?| a | a

? a ?0 ? ?a . |a|

上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.

? ? ? ? b ? 3a ? ? 1 ? ? 例2 化简 a ? b ? 5? ? b ? 5 ? ? 2 ? ? ? ? b ? 3a ? ? 1 ? 解 a ? b ? 5? ? b ? ? 5 ? ? 2

5 1 ?? ? ? ? (1 ? 3)a ? ? ? 1 ? ? ? 5 ? b 2 5 ? ?
? 5? ? ? 2a ? b . 2

? ? ? 例3 P为 ? ABC 的重心,OA ? a , OB ? b , OC ? c ? ? B ? 用向量 a , b , c 表示OP . ? ? b P 解: OP ? b ? BP A ? 2 M ? b ? BM ? a ? 3 c ? 2 ?1 ? O ? b ? ? BA ? BC ? 3 ?2 ? ? 1 ? ? ? ? ? b ? ?a ? b ? c ? b ? 3 1 ? ? ? ? ?a ? b ? c ? 3

C

?

?

四、向量在轴上的投影与投影定理
空间两向量的夹角的概念:

? ? ? ? a ? 0, b ? 0, ? ? 向量a 与向量b 的夹角 ? ? ? ? ? ? (a , b )? (b , a )

? b

?

? a

(0 ? ? ?? )

类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定 它们的夹角可在0与 ? 之间任意取值.

空间一点在轴上的投影

?

A
u

A?

过点A 作轴u 的垂直 平面,交点 A? 即为点 A 在轴u 上的投影.

空间一向量在轴上的投影
B A

A?

B?

u

已知向量的起点 A 和终点 B 在 轴 u上的投影分别为 A?, B? , 那么轴 u上的有向线段 A?B? , 称为向量在轴 u上的投影.

向量 AB 在轴 u上的投影记为
关于向量的投影定理(1)

Prju AB

向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘 以轴与向量的夹角的余弦:

A
A?

?

B
B??

Prju AB ?| AB | cos?
u? u

B?

定理1的说明:
? (1) 0 ? ? ? , 投影为正; 2
( 2) ? ? ? ?, 投影为负; 2 ? ( 3) ? ? , 投影为零; 2

? c
? b

?

? a

u

(4) 相等向量在同一轴上投影相等;

关于向量的投影定理(2)
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. (可推广到有限多个)

Prj(a1 ? a2 ) ? Prj a1 ? Prj a2 .
A
C

? a1

B

? a2
C?

A?

u

B?

五、两向量的内积(又称数量积、点积)
? 实例 一物体在常力 M F 作用下沿直线从点 移动 1 ? ? s 表示位移,则力 F 所作的功为 到点 M 2 ,以 ? ? ? ? s 的夹角) (其中? 为F 与 W ?| F || s | cos?
启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. ? ? ? ? 定义 向量a 与b 的内积为a ? b

? ? ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos? (其中? 为a 与b 的夹角)

? ? 约 定? ? ?0, ? ?,当 ? ? 0 或 ? 时, 向 量 a 与 b 平 行(即 ? ? ? ? ? 共 线),当 ? ? 时, 向 量a与b 垂 直(即 正 交 ), 记 为 a ? b .向 2 ? ? ? ? ?a , b ?来 表 示. 量 a 与b 的 夹 角 也 通 常 用

内积又称为数量积、点积 .

? b

? a ? ? ? ? ? | b | cos ? ? Pr ja b , | a | cos ? ? Pr jba , ? ? ? ? ? ? ? a ? b ?| b | Pr jb a ? | a | Pr ja b .
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的

?

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?

乘积.
a ?b Pr jb a ? ? a ?b0 |b |

a ?b Pr jab ? ? b ? a0 |a|

关于内积的说明:

? ? ? 2 (1) a ? a ?| a | . ? ? ? ? ? 2 证 ?? ? 0, ? a ? a ?| a || a | cos? ?| a | . ? ? ? ? ( 2) a ? b ? 0 ?? a?b . ? ? ? ? 证 (? ) ? a ? b ? 0, | a |? 0, | b |? 0, ? ? ? ? cos? ? 0, ? ? , ? a?b . 2 ? ? ? (? ) ? a?b , ?? ? , ? cos? ? 0, 2 ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos? ? 0.

内积符合下列运算规律:

? ? ? ? (1)交换律:a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ; (2)分配律:
? ? ? ? ? ? (3)若 ? 为数: ( ?a ) ? b ? a ? ( ?b ) ? ? ( a ? b ), ? ? ? ? 若 ? 、?为数: ( ?a ) ? ( ?b ) ? ??( a ? b ).

例 5 设 | a |? 4, | b |? 5,a 与 b 的夹角为

?

?

?

?

?
3

,求 Prj ?

( a ?b )

?

( a ? b ).

?

?

解 Prj ?

( a ?b )

?

( a ? b ). ?

?

?

(a ? b)?(a ? b) | a? b |
? ?

?

?

?

?

?

| a | ? | b |2 | a | ? | b | ?2 a ? b
? 2 ? 2 ? ?

?

2

?

16 ? 25 ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ? 1 2
3 ?? 21. 7

? ? ? 2? ? a ?3 b ?4 例6:已知 (a , b ) ? ? 3 ? ? 求 c ? 3a ? 2b 的模 .
解:根据数量积的限制和定义,得

? ? ? ?2 ? ? ? c ? c ? c ? (3a ? 2b )(3a ? 2b )

? ? ? ? ? ? ? ? ? 9a ? a ? 6a ? b ? 6b ? a ? 4b ? b ?2 ?2 ?? ? ? ? 9 a ? 12 a b cos( a , b ) ? 4 b
? 2? 2 ? 9 ? 3 ? 12 cos ? 4 ? 4 ? 73 ? c ? 73 3
2 2

六、两向量的外积
? 实例 设O 为一根杠杆L 的支点,有一力 F 作用 ? OP 的夹角为 ? ,力 F 与 于这杠杆上 P 点处.力 ? ? F 对支点O 的力矩是一向量 M ,它的模
? F
?

O

P Q

? ? | M |?| OQ || F | ? L ?| OP || F | sin? ? ? M 的方向垂直于OP 与 F 所决
定的平面, 指向符合右手系.

? ? ? ? ? 定义 向量a 与b 的外积为 c ? a ? b ? ? ? ? ? a 与b 的夹角) | c |?| a || b | sin? (其中? 为 ? ? ? c 的方向既垂直于 a ,又垂直于 b ,指向符
合右手系. 外积也称为“叉积”、“向量积”.

关于外积的说明:

? ? ? (?? ? 0 ? sin? ? 0) (1) a ? a ? 0. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2) a // b ?? a ? b ? 0. ( a ? 0, b ? 0)

? ? ? ? 证 (? ) ? a ? b ? 0, | a |? 0,

? | b |? 0, ? ? ? sin? ? 0, ? ? 0, a // b ? ? ( ? ) ? a // b ?? ? 0或 ? ? sin? ? 0 ? ? ? ? | a ? b |?| a || b | sin? ? 0.

向量积符合下列运算规律:

? ? ? ? ( 1) a ? b ? ? b ? a . ? ? ? ? ? ? ? (2)分配律:( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c . ? ? ? ? ? ? (3)若?为数: (?a ) ? b ? a ? (?b ) ? ? (a ? b ).

由叉积的定义知

? ? ? ? | a ? b | 表示以 a 和 b 为邻边
的平行四边形的面积.
? a

? ? ? c ? a?b ? b

? ? ? 例 6 设向量 m , n, p 两两垂直,符合右手规则,且 ? ? ? ? ? ? | m |? 4,| n |? 2,| p |? 3 ,计算( m ? n) ? p .

? ? ? ? ?? ? 解 | m ? n |?| m || n | sin(m , n)
? 4 ? 2 ? 1 ? 8,

? ? ? 依题意知m ? n 与p 同向, ? ? ?? ?? ? ( m ? n, p) ? 0 ? ? ? ? ? ? ( m ? n) ? p ?| m ? n | ? | p | cos? ? 8 ? 3 ? 24.

? ? ? ? ? ? ? ? ? 是夹角为 例7:设 a ? m ? 2n b ? 2m ? n, m, n 6 ? ? 的单位向量,求以 a , b 为临边的平行四边形的面积。 ? ? ? ? ? ? 解: a ? b ? (m ? 2n ) ? (2m ? n )

? ? ? ? ? A ? a ? b ? ? 3m ? n
? 3 ? ? ? 3 m n sin ? 6 2

? ? ? ? ? ? ? m ? ( 2m ? n ) ? 2n ? ( 2m ? n ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2m ? m ? m ? n ? 4n ? m ? 2n ? n ? ? ? ? ? ? ? m ? n ? 4m ? n ? ?3m ? n

七、向量的混合积
? ? ? ? ? ? 定义 设已知三个向量a 、 b 、c ,数量(a ? b ) ? c ? ? ? 称为这三个向量的混合积,记为 [a, b , c ] .

关于混合积的说明:
(1)向量混合积的几何意义:

? ? ? ? ? ? [a, b , c ] ? (a ? b ) ? c 是这样
的一个数,它的绝对值表 ? ? ? 示以向量a 、b 、c 为棱的 平行六面体的体积 . ?

向量的混合积

? ? ? a ?b c
? a
? b

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) [a , b , c ] ? ( a ? b ) ? c ? (b ? c ) ? a ? (c ? a ) ? b . ? ? ? ? ? ? (3)三向量 a 、b 、 c 共面?? [a , b , c ] ? 0.

? ? ? ? ? ? 计算[(a ? b ) ? (b ? c )] ? (c ? a ) . ? ? ? ? ? ? 解 [(a ? b ) ? ( b ? c )] ? ( c ? a ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [a ? b ? a ? c ? b ? b ? b ? c )] ? (c ? a ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? (a ? c ) ? c ? 0 ? c ? (b ? c ) ? c ?0 ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? a ? (a ? c ) ? a ? 0 ? a ? (b ? c )? ?a ? ? ? 0 ? 0 ? (a ? b ) ? c ? ? ? ? ? ? ? 2[a , b , c ] ? 4. ? 2( a ? b ) ? c

? ? ? 例8 已知 [a, b , c ] ? 2 ,

八、小结
向量的数量积(结果是一个数量)
向量的向量积(结果是一个向量)

向量的混合积(结果是一个数量)
(注意共线、共面的条件)


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